Ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa
Transkrypt
Ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa
Ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Empirical Academy www.EmpiricalAcademy.pl 6 lutego 2012 Empirical Academy ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego W 1766 roku astronom Daniel Titius przedstawiª hipotez¦, wedªug której ±rednie odlegªo±ci planet od Sªo«ca mo»na wyrazi¢ za pomoc¡ prostej formuªy arytmetycznej. Reguªa zostaªa opublikowana w 1772 roku przez Johanna Bodego, dyrektora obserwatorium astronomicznego w Berlinie. Okazuje si¦, »e rzeczywiste odlegªo±ci planet od Sªo«ca, a odlegªo±ci wyliczone na podstawie reguªy Titiusa-Bodego, s¡ sobie wyj¡tkowo bliskie. Przyjmijmy skal¦, wedªug której odlegªo±¢ Ziemii od Sªo«ca wynosi 10 jednostek astronomicznych. Porównanie odlegªo±ci planet od Sªo«ca znajduje si¦ w tabeli poni»ej. Planeta Rzeczywista odlegªo±¢ Odlegªo±¢ Titiusa-Bodego Merkury 3,9 0+4=4 Wenus 7,2 3+4=7 Ziemia 10 6 + 4 = 10 Mars 15,2 12 + 4 = 16 24 + 4 = 28 Jowisz 52 48 + 4 = 52 Saturn 95,4 96 + 4 = 100 Sformuªuj reguª¦ Titiusa-Bodego. rednia odlegªo±¢ planety od Sªo«ca wynosi: redni¡ odlegªo±¢ planety od Sªo«ca mo»na zapisa¢ w postaci formuªy d = n+4, gdzie n = 0, 3, 6, 12, . . . (ka»da nast¦pna liczba jest podwojeniem poprzedniej). Alternatywnie: d = 3·m+4, gdzie m = 0, 1, 2, 4, . . . (kolejne pot¦gi dwójki). Oblicz ±rednie odlegªo±ci planet od Sªo«ca korzystaj¡c z reguªy Titiusa-Bodego Planeta Rzeczywista odlegªo±¢ Uran 192 Neptun 301 Pluton 395 Odlegªo±¢ Titiusa-Bodego Uwaga: od 1930 do 2006 roku Pluton byª uwa»any za planet¦, obecnie jest klasykowany jako planeta karªowata. Z pomiarów astronomiczych wynika, »e Neptun znajduje si¦ znacznie bli»ej od Sªo«ca, ni» wynika to z reguªy Titiusa-Bodego. Ten fakt byª jednym z powodów, dla których rozpocz¦to poszukiwania dziewi¡tej planety (do 2006 roku uwa»ano, »e jest to Pluton). Czy wiesz czym jest brakuj¡cy wpis w tabeli? 1 Empirical Academy ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego W czasach, gdy sformuªowano omawian¡ reguª¦, znanych byªo tylko sze±¢ planet. Reguªa TitiusaBodego pozostawiaªa puste miejsce pomi¦dzy Marsem a Jowiszem. Gdy 13 marca 1781 roku William Herschel odkryª Urana (planet¦ o wi¦kszej odlegªo±ci od Sªo«ca ni» Saturn), dla którego zachodziªa reguªa Titiusa-Bodego, wzmocniªo si¦ przekonanie astronomów, »e pomi¦dzy Marsem a Jowiszem znajduje si¦ jaka± nieznana planeta. Intuicja badaczy potwierdziªa si¦, gdy w 1801 roku Giuseppe Piazzi odkryª planetoid¦ znajduj¡c¡ si¦ w tym obszarze. Ta planetoida jest obecnie znana pod nazw¡ Ceres, a jej orbita wynosi 27,7 jednostek, co doskonale pasuje do przewidywa« reguªy Titiusa-Bodego (28 jednostek). Odkrycie dokonane przez Piazziego zapocz¡tkowaªo dalsze badania w nieznanym dot¡d obszarze i ostatecznie doprowadziªo do odkrycia w nim wielu ciaª, okre±lanych obecnie wspólnym mianem Pasa planetoid, których ±rednie odlegªo±ci od Sªo«ca mieszcz¡ si¦ w przedziale od 21,7 do 36,4 jednostek. Obecny stan wiedzy astronomicznej pozwoliª na wykazanie, »e z powodu wpªywu grawitacyjnego Jowisza, w Pasie planetoid nie mo»e istnie¢ »adna planeta. Warto zauwa»y¢, »e reguªa Titiusa-Bodego uwzgl¦dnia Pas planetoid, natomiast nie uwzgl¦dnia Pasa Kuipera, który rozci¡ga si¦ za orbit¡ Neptuna od 300 do 550 jednostek od Sªo«ca (ten obszar jest podobny do Pasa planetoid, ale jest od niego o wiele wi¦kszy: 20 razy szerszy i 20-200 razy bardziej masywny). W tym pasie kr¡»¡ planety karªowate, a w±ród nich Pluton. Czy wiesz dlaczego satelity Sªo«ca speªniaj¡ reguª¦ Titiusa-Bodego? Nie ma pewno±ci co do przyczyny, dla której speªniona jest reguªa Titiusa-Bodego. Prawdopodobn¡ hipotez¡ jest powstawanie w przestrzeni kosmicznej obszarów "zabronionych", w których nie wyst¦puj¡ orbity o dªugich okresach stabilno±ci. Podejrzewa si¦, »e obszary te powstaj¡ na skutek rezonansu orbitalnego. Ta teoria potwierdzana jest przez symulacje procesów planetotwórczych, które zdaj¡ si¦ sugerowa¢, »e reguªa Titiusa-Bodego jest naturaln¡ konsekwencj¡ tych procesów. Czy reguªa Titiusa-Bodego obowi¡zuje tak»e w innych systemach planetarnych? Zebrany dotychczas materiaª obserwacyjny jest zbyt ubogi, aby mo»na byªo stwierdzi¢ jednoznacznie, czy reguªa Titiusa-Bodego (lub reguªa analogiczna do niej) ma zastosowanie do innych systemów planetarnych. Analiza ukªadu planetarnego wokóª gwiazdy HD 10180 wykazaªa, »e istnieje w nim co najmniej pi¦¢ planet i »e wskazuj¡ one na istnienie reguªy podobnej do tej, sformuªowanej przez Titiusa-Bodego, ale jest to jak na razie zbyt sªaby dowód. Oblicz bª¦dy procentowe oblicze« dokonanych na podstawie reguªy Titiusa-Bodego Bª¡d procentowy to inaczej bª¡d wzgl¦dny wyra»ony w procentach. Aby obliczy¢ bª¡d procentowy, nale»y skorzysta¢ z nast¦puj¡cego wzoru: w − w ∆w b δ = · 100% = w · 100%, w gdzie w 6= 0, a w b jest przybli»eniem warto±ci w. 2 Empirical Academy ciekawostki matematyczne reguªa Titiusa-Bodego Planeta Rzeczywista odlegªo±¢ Odlegªo±¢ Titiusa-Bodego Merkury 3,9 4 Wenus 7,2 7 Ziemia 10 10 Mars 15,2 16 Pas planetoid 27 28 Jowisz 52 52 Saturn 95,4 100 Uran 192 196 Neptun 301 388 Pluton 395 772 3 Bª¡d procentowy δ 3,9−4 3,9 · 100% ≈ 2, 56%