Wykład_OFI_2_Interferencja_Interferometria

Transkrypt

OPTYKA FALOWA INTERFERENCJA INTERFEROMETRIA
prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski
Wprowadzenie
W przypadku nakładania się w przestrzeni dwóch lub większej
liczby zaburzeń (wiązek) świetlnych obowiązuje zasada superpozycji.
Wynika ona z liniowości równania falowego. Nie ma ona jednakże
zastosowania w odniesieniu do detekowanego rozkładu
intensywności (natężenia światła), który nie musi być równy sumie
zaburzeń składowych. Wynikowy rozkład intensywności zależy od
relacji fazowych między nakładającymi się zaburzeniami i efektu
interferencji między nimi. Interferencja to oddziaływanie światła
ze światłem, podczas gdy takie zjawiska optyczne jak załamanie,
rozpraszanie i dyfrakcja związane są z oddziaływaniem światła
z materią.
Optyka falowa cz. 1: Interferencja Interferometria – K.Patorski
Pierwsze efekty interferencyjne uzyskane w wyniku odbicia światła
od dwóch powierzchni cienkiej warstwy powietrza ograniczonej dwiema
płytkami szklanymi zostały zaobserwowane i opisane w drugiej połowie
XVII wieku niezależnie przez Boyle’a i Hooke’a. Obserwacje te można
uważać za początek interferometrii optycznej.
Zakres zastosowań interferometrii jest ogromny. Obejmuje on pasmo
spektralne od promieni rentgenowskich do fal radiowych. Efekty
interferencyjne uzyskuje się również, między innymi, za pomocą fal
akustycznych, elektronów i neutronów. Jednakże najbardziej
zaawansowane metody i systemy pomiarowe opracowano
w paśmie promieniowania widzialnego (interferometria optyczna).
ROZWÓJ INTERFEROMETRII OPTYCZNEJ
Pierwsze obserwacje efektów interferencyjnych – druga połowa XVII
wieku (Boyle i Hook)
1690: Huyghens rozwija falową teorię światła
1802: Young formułuje zasadę interferencji
1818: Fresnel udoskonala zasady interferencji.
Arago i Fresnel odkrywają, że dwie prostopadle spolaryzowane
wiązki nie mogą interferować (wiązki świetlne są falami
poprzecznymi)
1887: sławne doświadczenie Michelsona i Morleya: na podstawie
otrzymanych wyników odrzucono koncepcję „eteru” i stworzono
podwaliny dla teorii względności Einsteina.
Za ojca interferometrii z wykorzystaniem promieniowania widzialnego uważa
się Michelsona, który w 1907 roku uzyskał Nagrodę Nobla w dziedzinie
fizyki:
„za dokładne przyrządy optyczne oraz badania spektroskopowe
i metrologiczne wykonane przez Niego z wykorzystaniem tych przyrządów”
ROZWÓJ INTERFEROMETRII (CHRONOLOGICZNIE) NA RZYKŁADZIE
WAŻNIEJSZYCH ZASTOSOWAŃ
1881/87 Sławne doświadczenia Michelsona i Morleya
1891 Michelson przeprowadza pierwsze doświadczenie w zakresie
spektroskopii interferencyjnej w paśmie widzialnym – początki
spektroskopii fourierowskiej (FTS)
1896 pierwszy pomiar międzynarodowego wzorca metra (Michelson)
1911 Rubens i Wood zastosowali podobną metodę do metody
Michelsona (1981) w paśmie podczerwieni
1916 Twyman modyfikuje interferometr Michelsona do badania
elementów optycznych
1951 Felleget otrzymuje, po raz pierwszy, widmo interferogramu po
zastosowaniu przekształcenia Fouriera i demonstruje zalety FTS
1954 Handbury, Brown i Twiss tworzą koncepcję pomiaru stopnia
korelacji zmian intensywności w źródle (tzw. interferometria
intensywnościowa, 1964)
Wynalezienie i upowszechnienie lasera w latach sześćdziesiątych
spowodowało rewolucję w nauce i technice. Za pionierów techniki laserowej
uważa się Schawłowa i Townesa, Maimana, Javana, Sandersa, Kastlera,
Basowa i Prochorowa oraz wielu innych naukowców i inżynierów. Takie
cechy promieniowania lasera jak wysoka gęstość przestrzenna (mała
rozbieżność wiązki) i widmowa (wąskie pasmo spektralne) energii i/lub mocy
oraz wysoki stopień koherencji promieniowania spowodowały przełom i
niezwykle dynamiczny rozwój prac w ogólnie pojętym obszarze zastosowań
inżynierskich i medycznych. Bez wątpienia beneficjentem wynalezienia i
upowszechnienia promieniowania lasera była i jest nadal interferometria.
Znikły ograniczenia wynikające z dotychczas stosowanych źródeł
termicznych. W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych wysoki stopień
koherencji przestrzennej i czasowej zapewniały lasery gazowe, głównie
laser He-Ne i argonowy. Ostatnie dziesięciolecie to rozwój laserów
półprzewodnikowych, początkowo podyktowany potrzebami telekomunikacji
w bliskiej podczerwieni w zakresie 1,3 – 1,5 µm. Obecnie powszechnie
dostępne są również diody laserowe emitujące pojedynczy mod podłużny w
paśmie widzialnym. Dodatkowa możliwość zmiany długości fali przez
sterowanie temperaturą lub prądem złącza stwarza nowe możliwości dla
nowoczesnej interferometrii, w której automatyczna analiza wyniku pomiaru
jest jednym z podstawowych wymagań.
Opis teoretyczny interferencji dwuwiązkowej
Wektor pola elektrycznego opisujący zaburzenie optyczne w pewnym
punkcie przestrzeni można przedstawić w postaci
lub
E(x, y, z ) = A(x, y, z, t )exp{iϕ (x, y, z )} ,
(I.1.1)
E(r, t ) = A (r, t )exp{iϕ (r, t )}
(I.1.2)
gdzie r oznacza wektor położenia rozpatrywanego punktu w przestrzeni,
a amplituda A i faza φ zaburzenia zależą od współrzędnych
przestrzennych i czasu. Reprezentacja zaburzenia optycznego w postaci
liczby zespolonej znacznie upraszcza analizę w przypadku superpozycji
dwóch lub więcej fal o różnych amplitudach. Stan polaryzacji zaburzenia
zależy od czasowych zmian wektora amplitudy. W przypadku liniowo
spolaryzowanej monochromatycznej fali świetlnej otrzymujemy
E(x, y, z, t ) = A(x, y, z )exp{i[ωt − ϕ(x, y, z )]}
,
(I.1.3)
gdzie ω = 2πν, ν jest częstotliwością drgań zaburzenia. Amplituda nie
zależy już od czasu, a czynnik fazowy zawiera składnik zależny od czasu t
i zależy również od (x,y,z).
Interferencja jest wynikiem koherentnej superpozycji dwóch lub więcej fal.
Wynikową amplitudę zespoloną można zapisać w postaci
E(x, y, z, t ) = ∑ Ei (x, y, z, t )
(I.1.4)
i
a detekowane natężenie światła (intensywność) jest uśrednioną w czasie
wartością kwadratu modułu amplitudy danej wzorem (I.1.4)
I(x, y, z, t ) = E(x, y, z, t )
2
(I.1.5)
gdzie < > oznacza uśrednianie w czasie znacznie dłuższym od okresu drgań
zaburzenia równego 1/ν. W przypadku interferencji dwuwiązkowej
otrzymujemy
I(x, y, z, t ) = E1
2
+ E2
2
*
*
*
*
+ E1 ⋅ E 2 + E1 ⋅ E 2 = I1 + I2 + E1 ⋅ E 2 + E1 ⋅ E 2
(I.1.6)
gdzie I1 i I2 reprezentują intensywności (natężenia) obu wiązek składowych.
Trzeci i czwarty człon wzoru (I.1.6) są członami sprzężonymi.
Gdy obydwie wiązki są liniowo spolaryzowane i kwasi-monochromatyczne,
tzn.
E1,2 (x, y, z, t ) = A1,2 (x, y, z ) exp {i [ω 1,2 t − ϕ1,2 (x, y, z )]}
(I.1.7)
ogólny wzór upraszcza się do postaci
I(x, y, z, t ) = I1 + I2 + 2(A1 ⋅ A 2 )cos {(ω1 − ω 2 ) t − [ϕ1 (x, y, z ) − ϕ 2 (x, y, z )]} (I.1.8)
Ostatni człon jest członem interferencyjnym. Zawiera on dwie ważne
informacje. Po pierwsze, jeśli dwie interferujące wiązki są spolaryzowane
wzajemnie prostopadle, efekt interferencji nie wystąpi (iloczyn skalarny
jest wtedy równy zero). Po drugie, jeśli częstotliwości wiązek są różne,
efekt interferencji będzie zależał od czasu.
W przypadku gdy
ω1 − ω 2 = ∆ω << ω1, ω2
(I.1.9)
detektor będzie odbierał częstotliwość zdudnieniową (różnicową).
Jest to zasada tzw. interferometrii heterodynowej.
Rozważmy teraz przypadek dwóch wiązek o wzajemnie równoległych
polaryzacjach liniowych i tych samych częstotliwościach. Rozkład
intensywności, wzór (I.1.8), przyjmuje teraz postać
I(x, y, z ) = I1 + I2 + 2 I1I2 cos[∆ϕ(x, y, z )]
,
(I.1.10)
gdzie ∆φ(x,y,z) = φ1(x,y,z) – φ2(x,y,z) odpowiada różnicy fazy między
wiązkami w rozważanym punkcie przestrzeni (x,y,z), rys. 1.1a. Wzór (I.1.8)
opisuje sinusoidalny rozkład intensywności w interferogramie (obrazie
prążkowym), rys. 1.1b. Różnica faz odpowiada różnicy dróg optycznych
między gałęziami interferometru pomnożonej przez liczbę falową k = 2π/λ.
I
I1+I2+2( I1I2)1/2
E2
E
∆ϕ
E1
I1+I2-2( I1I2)1/2
ϕ2
ϕ1
-4π
-2π
0
2π
4π
ϕ
Rys. 1.1 Diagram fazowy dla superpozycji dwóch zaburzeń o amplitudach E1 i E2
i fazach φ1 i φ2; oraz rozkład intensywności w funkcji różnicy fazy ∆Φ = Φ1 – Φ2
między dwiema interferującymi wiązkami.
Z rysunku wynika, że jasne prążki interferencyjne (zawierające maksymalne
wartości intensywności) występują w miejscach, w których różnica fazy jest
parzystą wielokrotnością π, lub różnica dróg optycznych jest całkowitą
wielokrotnością λ. Prążki ciemne (zawierające minimalne wartości
intensywności) odpowiadają różnicom fazy będącym nieparzystą
wielokrotnością π lub różnicom dróg optycznych równym nieparzystej
wielokrotności połowy długości fali.
Bardzo często wzór (I.1.8) przedstawia się w postaci
(I.1.11)
I(x, y ) = I0 (x, y ){1 + γ (x, y )cos[∆ϕ(x, y, z )]} ,
gdzie I0 (x,y) = I1(x,y) + I2(x,y) odpowiada średniej wartości intensywności
1
(poziomowi tła), a
2[I (x, y )I2 (x, y )]2
γ(x, y ) = 1
,
(I.1.12)
I (x, y ) + I (x, y )
1
2
opisuje kontrast lub widzialność prążków w punkcie (x,y). Kontrast prążków
można wyznaczyć również ze wzoru
I (x, y ) − Imin (x, y )
γ(x, y ) = max
,
(I.1.13)
Imax (x, y ) + Imin (x, y )
gdzie Imax i Imin oznaczają maksymalne i minimalne wartości intensywności
w interferogramie. Maksymalną wartość kontrastu równą jedności uzyskuje
się w przypadku wiązek o równych amplitudach (intensywnościach). Wzrost
zróżnicowania amplitud interferujących wiązek powoduje spadek kontrastu
prążków.
Należy podkreślić, że powyższy opis teoretyczny dotyczy superpozycji
zaburzeń wzajemnie koherentnych, zarówno w przestrzeni jak i w czasie.
Dyskusję ogólnego przypadku superpozycji fal częściowo koherentnych
można znaleźć w wykładzie z “Podstaw Fotoniki” prof. Jóźwickiego.
Do niektórych z tych zagadnień przejdziemy w dalszej części tego wykładu
oraz w innych wykładach na IV roku studiów.
Elementarne przykłady interferencji
Dwie fale płaskie wzajemnie równoległe (wzdłuż osi z)
Niech każda wiązka o intensywności I0 propaguje się wzdłuż osi z; jedna
z wiązek jest opóźniona względem drugiej o odległość d, a więc
E1 = I01/2exp(-ikz),
E2 = I01/2exp[-ik(z - d)].
Wzór opisujący intensywność ma postać
I = 2I0{1 + cos[(2π/λ)d]}.
Jeśli d jest wielokrotnością długości fali λ, mamy przypadek
maksymalnej wartości intensywności równej I0. Natomiast jeśli d jest
nieparzystą wielokrotnością λ/2, mamy przypadek tzw. interferencji
destruktywnej i I = 0. Intensywność średnia wynosi 2I0.
Ponieważ intensywność zależy od fazy ϕ = 2πd/λ = 2πnd/λ0 = 2πnνd/c0,
gdzie d jest różnicą dróg optycznych między dwiema interferującymi falami,
interferometr może służyć do pomiaru zmian d, współczynnika załamania n,
lub długości fali λ0 (lub częstotliwości ν). Przykładowo, jeśli d/λ0 = 104,
zmiana współczynnika załamania ∆n = 10-4 odpowiada zmianie fazy
o ∆ϕ = 2π.
Interferencja dwóch nierównoległych względem siebie fal płaskich
Niech obydwie wiązki mają tę samą intensywność I0; jedna z nich
propaguje się wzdłuż osi z, E1 = I01/2 exp(-ikz), a druga propaguje się pod
kątem θ względem osi z, czyli E2 = I01/2 exp[-ik(zcosθ + xsinθ)], patrz rysunek
poniżej. W płaszczyźnie z = 0 różnica fazy między wiązkami wynosi
ϕ = kxsinθ, a rozkład intensywności opisuje wzór
I = 2I0 [1 + cos(kx sinθ)].
Interferencja dwóch fal o płaskich czołach falowych tworzących między sobą kąt θ.
W płaszczyźnie obserwacji otrzymuje się sinusoidalny rozkład intensywności o przestrzennym
okresie λ / sinθ.
Przykładowo, jeśli θ = 300, to okres prążków wynosi 2λ.
Interferencja dwuwiązkowa daje więc możliwość realizowania siatek
dyfrakcyjnych poprzez rejestrację rozkładu intensywności interferogramu
lub kodowania zmian kąta między wiązkami (jedna z zasad holografii –
patrz dalsza część wykładu).
Interferencja fal o płaskim i sferycznym czole falowym
I(x,y) = exp(-ikz) + exp{-ik(x2 + y2)/2R}2;
ρ = √ (x2 + y2) << R
dla z = 0 mamy
I(x,y) = 1 + exp{-ik(x2 + y2)/2R}2 = 2 {1 + cos(2π/λ)[x2 + y2]/2R}
= 2 {1 + cosπ(x2 + y2)/λR}
Obraz prążkowy (interferogram) składa się z koncentrycznych prążków
kołowych, których okres zmniejsza się z ρ.
Dla m-tego prążka licząc od x = y = 0 mamy ρm = √ 2 mR;
gdzie m oznacza rząd interferencji
równy unormowanej różnicy dróg
optycznych (OPD) przez długość
fali promieniowania.
Binarna reprezentacja interferencji
wiązek o płaskim i sferycznym
czole falowym.
Interferencja dwóch wiązek o sferycznych czołach falowych
Najczęściej spotykane przypadki szczególne:
płaszczyzna obserwacji jest prostopadła do linii łączącej źródła
Interferogram jest symetryczny wokół linii łączącej źródła.
Różnicę fazy między czołami falowymi można zapisać w postaci
∆ϕ ≈ (πρ2 /λ) [(1/R1) – (1/R2)] ≈ (2π/λ)d – (πρ2/λ)(d/R2),
gdzie d = R1 – R2 oznacza odległość między dwoma źródłami,
R2 ≈ R1R2.
Rząd interferencji osiąga maksymalną wartość w środku interferogramu
(x = y = 0) i zmniejsza się ze wzrostem x i y.
płaszczyzna obserwacji jest równoległa do linii łączącej źródła
Różnica dróg optycznych wynosi (przybliżenie Fresnela)
OPD(x,y) = {[(x + d/2)2 + y2]/2L} – {[(x – d/2)2 + y2]/2L} ,
gdzie L oznacza odległość od źródeł do płaszczyzny
obserwacji.
OPD(x,y) = xd/L;
∆ϕ(x,y) = (2π/λ)(xd/L).
Otrzymuje się równoodległe prostoliniowe prążki
interferencyjne prostopadłe do osi y. Okres prążków
jest równy λL/d.
BADANIE ELEMENTÓW FAZOWYCH O SYMETRII
KOLOWEJ
Prostoliniowe prążki odniesienia stosuje się w przypadku analizy obrazu
prążkowego we współrzędnych prostokątnych. W przypadku obiektów o
symetrii kołowej wygodniejsze jest stosowanie biegunowego układu
współrzędnych. To podejście wymaga wytworzenia:
radialnych prążków odniesienia, i/lub;
kołowych prążków odniesienia.
Tworzenie interferogramów dwuwiązkowych z radialnymi i kołowymi
prążkami odniesienia:
interferencja wiązki O o płaskim czole falowym z wiązką R o helikoidalnym
czole falowym (wytworzoną za pomocą hologramu syntetycznego, CGH);
interferencja wiązki O o płaskim czole falowym z wiązką R o stożkowym
czole falowym (wytworzoną za pomocą aksikonu lub CGH).
Interferencyjne kodowanie i dekodowanie informacji
Obiekty odwzorowywane przez układy optyczne charakteryzują się,
w ogólnym przypadku, transmitancją lub reflektancją zespoloną.
Gdy obiekt wpływa wyłącznie na fazę wiązki padającej, to rejestrowany
rozkład intensywności (z uwagi na dostępne detektory w paśmie
częstotliwości optycznych) nie zawiera informacji o fazie obiektu.
Aby tę informację wydobyć stosuje się różne techniki odwzorowania
optycznego w oświetleniu koherentnym z zastosowaniem
przeogniskowania, filtracji częstości przestrzennych (metoda ciemnego
pola, cieniowa i kontrastu fazowego) i interferometrii. Poniżej omówione
zostaną zasady interferencyjnego kodowania i dekodowania informacji
fazowej.
Kodowanie informacji fazowej za pomocą interferencji dwuwiązkowej
Dla prostoty przedstawienia zagadnienia rozważania ograniczono do
przypadku interferencji dwuwiązkowej. Mają one charakter ogólny i dotyczą
również interferencji wielowiązkowej, obecnie już znacznie rzadziej stosowanej
do badania obiektów fazowych. Informację o rozkładzie fazy badanego obiektu
można kodować za pomocą trzech głównych metod:
1. Interferencji wiązki przedmiotowej niosącej informację o mierzonej wielkości
(wiązka ta przechodzi lub zostaje odbita od badanego obiektu) z wiązką
odniesienia, najczęściej o płaskim lub sferycznym czole falowym
(w specjalnych przypadkach wiązka odniesienia może mieć dowolny kształt
czoła falowego zadany, przykładowo, za pomocą hologramów generowanych
komputerowo).
2. Interferencji wiązki przedmiotowej z jej repliką przemieszczoną względem
oryginału. Można wyróżnić trzy podstawowe rodzaje wzajemnego
przemieszczenia wiązek: przesunięcie poprzeczne w dowolnym kierunku
w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji wiązki, przesunięcie
radialne i przesunięcie kątowe w tej samej płaszczyźnie.
3. Interferencji wiązki przedmiotowej z wiązką z nią sprzężoną, tzn. wiązką
o czole falowym stanowiącym zwierciadlaną replikę oryginału względem
płaszczyzny x,y prostopadłej do kierunku propagacji.
Na rysunku poniżej przedstawiono schematy blokowe interferometrów
realizujących wyżej wymienione sposoby kodowania informacji fazowej.
Wiązka przedmiotowa
a)
Źródło światła
Podział
wiązek
Rozkład fazy
ϕ1(x,y)
Nałożenie
wiązek
Wiązka odniesienia
Interferogram
I ~ cos(ϕ1-ϕ2)
Detekcja
(matryca CCD)
Rozkład fazy
ϕ2(x,y)
b)
Rozkład fazy
Źródło
światła
Wiązka
przedmiotowa


ϕ x −
∆x 
,y
2 
Replika wiązki
przedmiotowej
Rozkład fazy
∆x 

ϕ x +
,y
2


Nałożenie
wiązek
Interferogram
I ~ cos(∆x )
∂ϕ(x, y )
∂x
Detekcja
(matryca CCD)
c)
Źródło
światła
Tworzenie
wiązek
sprzężonych
Rozkład fazy
ϕ(x,y)
Wiązka sprzężona
Nałożenie
wiązek
Interferogram
I ~ cos2ϕ(x,y)
Detekcja
(matryca CCD)
Rozkład fazy
ϕ*(x,y)
Schematy blokowe interferometrów dwuwiązkowych: (a) z wiązką odniesienia;
(b) z przemieszczoną poprzecznie repliką wiązki przedmiotowej; oraz (c) z wiązką sprzężoną.
W każdej z wyżej wymienionych metod wiązki tworzące interferogram
mogą być zorientowane względem siebie w następujący sposób:
a) wiązki propagują się równolegle względem siebie – mówi się wtedy
o detekcji w jednorodnym polu prążkowym (jednorodny rozkład
intensywności otrzymuje się w przypadku interferencji dwóch wiązek
o identycznych czołach falowych i dokładnie pokrywających się
w przestrzeni). Przykładowo, ten typ detekcji stosuje się w metodzie
czasowej dyskretnej zmiany fazy do automatycznej analizy
interferogramów i obrazów prążkowych.
b) wiązki są pochylone względem siebie – mówi się w tym przypadku
o detekcji w polu prążkowym, z prążkami odniesienia lub częstością
nośną. Prążki odniesienia w interferometrach z przemieszczoną repliką
wiązki przedmiotowej można wytwarzać również bez wzajemnego
pochylania interferujących wiązek. Detekcję z prążkami odniesienia
stosuje się w metodach automatycznej analizy interferogramów i obrazów
prążkowych z częstością nośną (między innymi, w metodzie transformaty
Fouriera i metodzie przestrzennej dyskretnej zmiany fazy).
Przeanalizujmy teraz informację zakodowaną w interferogramach
uzyskiwanych w konfiguracjach interferometrów pokazanych na rysunku.
W celu uproszczenia i ujednolicenia rozważań załóżmy, że:
- amplitudy obydwu interferujących wiązek są takie same i równe jedności,
- wiązka odniesienia ma płaskie czoło falowe,
- opis matematyczny wiązki przedmiotowej w płaszczyźnie detekcji ma
postać exp{(iφ)} = exp{i(2π/λ) OPD(x,y,z)}, gdzie φ(x,y) jest rozkładem
fazowym w tej płaszczyźnie, OPD(x,y) oznacza odstępstwo badanego
czoła falowego od płaszczyzny, a λ jest długością fali promieniowania.
Oznaczenie OPD odpowiada różnicy dróg optycznych i pochodzi od nazwy
w języku angielskim “optical path difference”,
- interferujące wiązki są współfazowe w początku układu współrzędnych
związanym z płaszczyzną obserwacji (detekcji). Dowolne przesunięcie
fazowe niezależne od współrzędnych (x,y) wprowadza zmianę fazy
prążków (“przesunięcie poprzeczne prążków”) w interferogramie
nie mające wpływu na informację o badanym obiekcie.
1. Informacja zawarta w interferogramach (obrazach prążkowych):
Interferometria z wiązką odniesienia
Najprostszą interpretację wyników pomiaru uzyskuje się w przypadku
stosowania wiązki odniesienia z płaskim czołem falowym. Gdy obie wiązki
propagują się wzdłuż osi z, rozkład intensywności w płaszczyźnie detekcji,
z = 0, przedstawia wzór
I(x, y ) = 1+ exp{iϕ(x, y )} = [1+ exp{iϕ(x, y )}][1+ exp{− iϕ(x, y )}] = 2[1+ cosϕ(x, y )] (I.1.14)
2
Interferogram stanowi warstwicową mapę zaburzenia fazowego φ(x,y)
wprowadzonego przez badany obiekt. Odległość między sąsiednimi
prążkami (warstwicami) odpowiada różnicy fazy i drogi optycznej równej,
odpowiednio, 2π i λ.
Niech teraz wiązka przedmiotowa propaguje się nadal wzdłuż osi z,
a wiązka odniesienia pada pod niewielkim kątem θ względem tej osi
w płaszczyźnie x,z, rys. poniżej
x
ϕ(x,y)
R
θ1
Schemat superpozycji wiązki przedmiotowej P
propagującej się wzdłuż osi z z płaską falą
odniesienia R padającą na płaszczyznę detekcji
pod kątem θ.
P
Rozkład intensywności w płaszczyźnie z = 0 wyznacza się ze wzoru
2

 2π

 2π

I(x, y ) = expi
xsinθ − ϕ(x, y ) 
xsinθ + exp{iϕ(x, y )} = 21+ cos 
 λ

 λ



 2π

x − ϕ(x, y ) 
= 21+ cos 
,
 λ/sinθ


(I.1.15)
W szczególnym przypadku interferencji wiązek o płaskich czołach falowych,
tzn. φ (x,y) = 0, otrzymuje się prostoliniowe prążki interferencyjne równoległe
do osi y. Są to tzw. prążki odniesienia lub prążki nośne. Ich okres (odległość
międzyprążkowa) wynosi λ/sinθ. Podstawiając φ(x,y) = (2π/λ) OPD(x,y)
otrzymujemy


 2π 
I(x, y ) = 21+ cos
[xsinθ − ODP(x, y )] ,
(I.1.16)

 λ 

czyli w przypadku kodowania informacji fazowej z wykorzystaniem pochylonej
wiązki odniesienia otrzymuje się prążki o lokalnym odstępstwie od
prostoliniowości proporcjonalnym do różnicy dróg optycznych wprowadzanej
przez obiekt badany.
Podsumowując, w przypadku detekcji w polu jednorodnym informacja
o fazie φ(x,y) obiektu jest kodowana w postaci zmian intensywności
w odniesieniu do jednorodnego rozkładu intensywności. Natomiast
w przypadku detekcji w polu prążkowym (z częstością nośną sinθ/λ)
informacja fazowa kodowana jest jako odstępstwo prążków
od prostoliniowości.
Prostoliniowe prążki odniesienia stosuje się do analizy rozkładu fazy
we współrzędnych prostokątnych. W przypadku obiektów z obrotową
osią symetrii, analizę we współrzędnych biegunowych ułatwiają radialne
prążki odniesienia (równoodległe kątowo, rozbiegające się od środka
interferogramu pokrywającego się z osią optyczną; prążki te przypominają
tzw. gwiazdę Siemensa) oraz równoodległe prążki kołowe. Pierwsze
z nich otrzymuje się w wyniku interferencji fali płaskiej z wiązką
o helikoidalnym czole falowym, a drugie z wiązką o stożkowym czole
falowym. Otrzymanie wiązek odniesienia o takich czołach falowych
wymaga stosowania stożkowego aksikonu do generacji fali stożkowej
lub koherentnej filtracji hologramu syntetycznego do generacji obydwu
kształtów czół falowych.
2. Interferometria z wykorzystaniem przesuniętej repliki wiązki
przedmiotowej
Aby uniknąć konieczności wytwarzania wiązki odniesienia o idealnie płaskim
lub sferycznym czole falowym (najczęściej stosowane kształty czół falowych
wiązki odniesienia) opracowano metodę interferencji dwuwiązkowej, w której
wiązka niosąca informację o badanym obiekcie interferuje z własną repliką
odpowiednio przemieszczoną w płaszczyźnie (x,y) prostopadłej do kierunku
propagacji.
Najczęściej spotyka się liniowe (poprzeczne) przemieszczenie repliki
względem wiązki pierwotnej. Ta metoda interferencji dwuwiązkowej nosi
nazwę interferencji z poprzecznym rozdwojeniem czoła fali lub interferencji
różniczkowej. Niech interferujące wiązki będą przesunięte w płaszczyźnie
detekcji o ∆x/2 i –∆x/2 wzdłuż osi x. Rozkład intensywności w interferogramie
(przypadek detekcji w jednorodnym polu prążkowym) opisuje wzór
2
 
 
∂ϕ(x, y ) , (I.1.17)
∆x 
∆x 
, y  = 1+ 2cos (∆x )
, y  + expiϕ x +
I(x, y ) = expiϕ x −
∂x
2 
2 
 
 
otrzymany przy założeniu
ϕ(x, y ) = ϕ(x − ∆x, y ) + ∆x
∂ϕ(x, y )
,
∂x
(I.1.18)
które jest prawdziwe przy wolnych zmianach funkcji φ(x,y) oraz małym
przemieszczeniu ∆x czół falowych.
Widzimy, że interferometria z przesuniętą repliką wiązki przedmiotowej
koduje, przy spełnieniu wspomnianych założeń, informację o pierwszej
pochodnej rozkładu fazy w obiekcie badanym. Stąd też stosowana czasami
nazwa interferometrii różniczkowej. Samą funkcję rozkładu fazy uzyskuje się
przez całkowanie.
Należy zwrócić uwagę, że wartość pochodnej ∂ϕ(x,y)/∂x jest uśredniona
w przedziale ∆x. Przy zwiększeniu wartości ∆x konieczne jest uwzględnienie
wyższych pochodnych rozwinięcia funkcji ϕ(x,y) w szereg Taylora.
Detekcję w polu prążkowym otrzymuje się podobnie jak w przypadku
interferometrii z wiązką odniesienia przez wzajemne pochylenie wiązek.
Należy jednakże pamiętać, aby podczas pochylania wiązek nie spowodować
zmiany wielkości rozsunięcia czół falowych. Druga metoda otrzymywania
prostoliniowych prążków odniesienia polega na wprowadzeniu
przeogniskowania (sferycznego czoła falowego) do wiązki przedmiotowej.
Mamy teraz, wzór (I.1.19)
2
2
2
 
 


∆x 
∆x 
2
2
  x −
  x +
 +y
 +y


∆x  
∆x  
∂ϕ (x, y ) (∆x ) 
 
 
2 
2 



, y   = 1+ 2cos (∆x )
I(x, y ) = expi
, y   + expi
x ,
+ϕ x −
+ϕ x +
−
2R
2R
2  
2  
2R 
∂x







 
 




(I.1.19)
gdzie zastosowano przyosiowe, paraboliczne przybliżenie sferycznego czoła
falowego o promieniu
Prostoliniowe prążki odniesienia (funkcja liniowa odpowiadająca pochodnej
funkcji kwadratowej zmiennej względem x) są zdeformowane proporcjonalnie
do lokalnej wartości pierwszej pochodnej informacji fazowej φ(x,y).
Powyższe rozważania dotyczyły generowania pochodnej informacji fazowej
wzdłuż kierunku x lub y, ogólniej, w dowolnym kierunku we współrzędnych
prostokątnych. Pochodną wzdłuż promienia r = (x2 + y2)1/2, tzn. ∂φ(r)/∂r,
realizuje się przez zróżnicowanie powiększenia poprzecznego przekrojów
wiązek w płaszczyźnie (x,y) Pochodną kątową (“po azymucie”) generuje się
przez wzajemne przemieszczenie kątowe wiązek wokół osi z.
Interferometria różniczkowa ma duże znaczenie w zastosowaniach
inżynierskich. Wynika to z jej małej czułości na zakłócenia zewnętrzne –
dzięki nieznacznej separacji wiązek w przestrzeni wpływ zakłóceń jest
bardzo zbliżony dla obu wiązek i jest redukowany w procesie interferencji.
Dodatkowo, pewne zastosowania wymagają właśnie informacji o pierwszej
pochodnej wielkości badanej. Jako przykład służyć może rozkład
odkształceń w obciążonym obiekcie mechanicznym lub aberracja
poprzeczna badanego układu optycznego.
3. Interferometria z wykorzystaniem wiązek sprzężonych
Dwie wiązki niosące sprzężoną informację o rozkładzie fazowym φ(x,y)
i propagujące się wzdłuż osi z dają w wyniku interferencji rozkład
intensywności opisany wzorem
exp{iϕ(x, y )}+ exp{− iϕ(x, y )} = 2[1+ cos2ϕ(x, y )]
2
(I.1.20)
Interferometria tego typu pozwala więc na uzyskanie zdwojonej informacji
o rozkładzie fazy obiektu w porównaniu z interferencją tej samej wiązki
przedmiotowej z wiązką odniesienia o płaskim czole falowym.
Z interferencją wiązek sprzężonych mamy do czynienia w przypadku
superpozycji dwóch symetrycznych (przeciwnego znaku) rzędów
dyfrakcyjnych hologramu syntetycznego lub siatki dyfrakcyjnej. Rzędy
dyfrakcyjne n i –n niosą wzajemnie sprzężoną informację fazową
zakodowaną w postaci odstępstwa linii struktury dyfrakcyjnej
od prostoliniowości.
Zdwojenie czułości kodowania z wykorzystaniem wiązek sprzężonych
uzyskuje się zarówno w przypadku detekcji w jednorodnym polu prążkowym
jak i detekcji z wprowadzonymi prążkami odniesienia. Warto w tym miejscu
zasygnalizować rozluźnione wymaganie na dokładne nałożenie wiązek
na siebie w przestrzeni. W przypadku wystąpienia przesunięcia
poprzecznego między wiązkami (detekcja w jednorodnym polu prążkowym)
otrzymuje się, wzór (I.1.21),
2

 
 
 
∆x  
∆x  
∆x 
∆x 
, y  = 21+ cos ϕ x −
, y  + exp− iϕ x +
expiϕ x −
 + ϕ x +
 
2
2
2 
2 



 
 
 


2 2


 ∆x  ∂ ϕ(x, y ) 
= 21+ cos 2ϕ(x, y ) + 


∂x 2  
 2 


.
(I.1.21)
Tak więc interferencja dwóch wiązek niosących wzajemnie sprzężoną
informację fazową, ale przesuniętych poprzecznie względem siebie,
daje rozkład intensywności, w którym zakodowana jest zdwojona informacja
o samej funkcji fazy φ(x,y), oraz druga pochodna tej funkcji. Ten drugi
składnik, w przypadku spełnienia przybliżenia dotyczącego wolnozmienności
funkcji i małego przesunięcia poprzecznego ∆x można pominąć.
Interferencyjne kodowanie informacji fazowej z zastosowaniem dwóch
długości fali promieniowania
W dotychczas omówionych układach interferencyjnych do rejestracji
informacji o obiekcie fazowym wykorzystywano czasowo i przestrzennie
koherentne źródło światła generujące promieniowanie o długość fali λ.
Jednakże istnieją sytuacje, w których stosowanie jednej długości fali
nie pozwala na rozwiązanie pewnych zagadnień. Przykładowo, można
tu wymienić dwa zagadnienia metrologiczne: zmniejszenie czułości
(rozdzielczości) metody w celu zwiększenia zakresu pomiarowego
oraz zwiększenie dokładności pomiaru. Okazuje się, że w takich
przypadkach pomocne jest stosowanie promieniowania z dwiema lub
większą liczbą długości fal. Służą one do tworzenia interferogramów
dla każdej długości fali oddzielnie, lub interferogram tworzony jest
z wykorzystaniem częstotliwości różnicowej.
Poniżej przedstawione zostaną zasady interferencyjnego kodowania
informacji fazowej z zastosowaniem dwóch długości fali, z podkreśleniem
sposobu akwizycji informacji.
Interferometria z zastosowaniem dwóch długości fali promieniowania
w celu zwiększenia zakresu pomiarowego
Wspólną cechą interferencyjnego kodowania fazy jest porównanie
rozkładu fazy w wiązce przedmiotowej z rozkładem fazy drugiej wiązki:
wiązki odniesienia, przesuniętej repliki wiązki przedmiotowej lub wiązki
sprzężonej. To porównanie odpowiada matematycznej operacji
odejmowania zespolonych amplitud obu wiązek.
Zajmijmy się przypadkiem dużych zmian fazy wprowadzanych przez
obiekt badany. Otrzymywane prążki interferencyjne mogą okazać się
zbyt gęste dla oka lub matrycy CCD. Pewnym rozwiązaniem jest
zastosowanie interferometrii różniczkowej, ale wymaga ona operacji
całkowania w celu uzyskania informacji o rozkładzie fazy. W przypadku
interferometrii z wiązką odniesienia można zastosować promieniowanie
o większej długości fali, np. promieniowanie lasera CO2, λ = 10.6 µm,
zamiast promieniowania lasera He-Ne, λ = 0.633 µm. Ta prawie
dwudziestokrotna różnica długości fali spowoduje prawie
dwudziestokrotne zmniejszenie czułości metody, a więc i liczby
otrzymywanych prążków interferencyjnych. Odpowiednio wzrasta zakres
pomiarowy.
Inne ciekawe podejście polega na wytworzeniu dwóch interferogramów
tego samego obiektu fazowego z zastosowaniem dwóch różnych długości
fali promieniowania, a następnie na ich porównaniu. Jak wykażemy niżej,
technika ta powoduje również zmniejszenie czułości pomiaru metodą
z wiązką odniesienia przez wytworzenie większej efektywnej długości fali
promieniowania.
Rozkłady intensywności pierwszego i drugiego interferogramu z częstością
nośną, rejestrowane za pomocą promieniowania o długościach fali λ1 i λ2,
mają postać


 
2π
x − ϕ1,2 (x, y ) 
Iλ1,2 (x, y ) = 21+ cos 
λ
/sinθ

1,2
 1,2
 
(I.1.22)
.
Możliwa jest multiplikatywna lub addytywna superpozycja powyższych
rozkładów intensywności. Pierwszą z nich realizuje się metodą prążków mory.
Iloczyn rozkładów intensywności Iλ1 i Iλ2 opisuje wzór (I.1.23)
 2π

 2π

Iλ1Iλ2 = 4 + 4cos 
x − ϕ1 (x, y ) + 4cos 
x − ϕ 2 (x, y )
λ
/sinθ
λ
/sinθ
1
2
 2

 1

 2π

 2π

+ cos 
x − ϕ 2 (x, y )
x − ϕ1(x, y )cos 
 λ1/sinθ1

 λ 2 /sinθ 2

(I.1.23)
.
Stosując dolnoprzepustową filtrację częstości przestrzennych otrzymujemy
 2π
  2π

x − ϕ 2 (x, y ) 
x − ϕ1 (x, y ) − 
Iλ ekw (x, y ) = 4 + cos
  λ 2 /sinθ 2

 λ1/sinθ1
.
(I.1.24)
W przypadku tego samego kąta padania wiązek odniesienia θ = θ1 = θ2
rozkład fazy między wiązką przedmiotową i wiązką odniesienia jest taki sam,
tzn.
xsinθ1 − OPD1 (x, y ) = xsinθ 2 − OPD 2 (x, y )
(I.1.25)
Otrzymujemy więc
I λ ekw

 2π 2π 

= 4 + 2cos[xsinθ − OPD(x, y )]
−
λ
λ
2 
 1


λ −λ
= 4 + 2cos[xsin − OPD(x, y )]2π 2 1
λ1λ 2


,

(I.1.26)
gdzie, jak poprzednio, OPD oznacza różnicę dróg optycznych wprowadzaną
przez obiekt badany. Z powyższych wzorów wynika, że prążki mory
iloczynowej odpowiadają prążkom interferencyjnym uzyskiwanym
w interferometrze z wiązką odniesienia przy zastosowaniu ekwiwalentnej
długości fali λekw = λ1λ2 / (λ1 – λ2). Metoda zapewnia szeroki zakres czułości
z wykorzystaniem lasera argonowego generującego kilka długości fali.
Opisana wyżej superpozycja iloczynowa, w której jeden z rejestrowanych
interferogramów stanowi strukturę odniesienia nie daje możliwości pracy
na bieżąco (w czasie rzeczywistym). Jakakolwiek zmiana położenia badanego
obiektu lub interferogramu odniesienia podczas badań prowadzi
do niepożądanej zmiany wyniku pomiaru.
Wersję kodowania na bieżąco realizuje się przez jednoczesne tworzenie
interferogramów w interferometrze. Rozkłady intensywności interferogramów
dodają się (wiązki o różnych długościach fali promieniowania są wzajemnie
niekoherentne) i wynikowy rozkład intensywności ma postać, wzór (I.1.27)


λ −λ 
λ +λ 
Iλ1 + Iλ2 = 4 + 4cos[xsinθ - OPD(x, y )]2π 1 2  ⋅ cos[xsinθ - OPD(x, y )]2π 1 2  (I.1.27)
2λ1λ 2 
2λ1λ 2 


Omawiana superpozycja odpowiada technice kodowania informacji metodą
modulacji kontrastu częstości nośnej, w odróżnieniu od poprzednio opisanej
metody modulacji intensywności. W wyniku skanowania obrazu
interferencyjnego rozkład intensywności zostaje zamieniony na sygnał
elektryczny. Po odjęciu składowej stałej, sygnał podnosi się do kwadratu
i stosuje się filtrację dolnoprzepustową. Niskoczęstotliwościowy sygnał
modulujący opisuje wzór (I.1.28)
 λ −λ

Iλ = 4 + 4cos2π 2 1 [xsinθ − OPD(x, y )] (I.1.28)
2λ1λ 2


ekw
Tak jak poprzednio, ekwiwalentna długość fali promieniowania wynosi
λekw = λ1λ2 / (λ1 – λ2).
Interferometria heterodynowa
W metodzie heterodynowej częstotliwości interferujących wiązek są
nieznacznie przesunięte względem siebie. Przesunięcie częstotliwości
uzyskuje się przez wstawienie w jedną lub obydwie gałęzie interferometru
obrotowego elementu polaryzacyjnego (np. płytki ćwierćfalowej λ/4 w zespole
z nieruchomą płytką λ/4), obrotowej siatki dyfrakcyjnej, modulatora
elektrooptycznego lub modulatora akustooptycznego. Pole elektryczne
generowane przez wiązki o częstotliwościach ν1 i ν2, w dowolnym punkcie
(x,y) płaszczyzny detekcji, opisuje wzór
oraz
E1 (x, y, t ) = A1 (x, y ) exp {i[2π ν 1t − ϕ1 (x, y )]}
(I.1.29)
E 2 (x, y, t ) = A 2 (x, y ) exp {i[2π ν 2 t − ϕ 2 (x, y )]}
(I.1.30)
gdzie │A1(x,y)│ i │A2(x,y)│ oznaczają części rzeczywiste amplitud wiązek,
a φ1(x,y) i φ2(x,y) oznaczają fazę wiązek. Intensywność jest równa
I(x, y, t ) = E1 (x, y, t ) + E 2 (x, y, t ) = A1 (x, y ) + A 2 (x, y )
2
2
2
+ 2 A1 (x, y ) A 2 (x, y ) cos[2π (ν 1 − ν 2 ) t − ∆ϕ ( x, y )] ,
(I.1.31)
gdzie ∆φ(x,y) = φ2(x,y) – φ1(x,y).
Wartość intensywności w rozpatrywanym punkcie płaszczyzny detekcji
zmienia się sinusoidalnie w czasie z częstotliwością ν1 – ν2 , a faza sygnału
jest proporcjonalna do różnicy faz między dwiema interferującymi wiązkami.
Jest ona mierzona elektronicznie względem sygnału odniesienia
uzyskiwanego albo z drugiego detektora umieszczonego w punkcie,
w którym różnica faz między wiązkami nie ulega zmianie, lub z generatora
sterującego modulatorem – przesuwnikiem częstotliwości. Z uwagi
na prowadzenie pomiaru w dziedzinie czasu metoda umożliwia uzyskanie
bardzo wysokich dokładności pomiaru rozkładu fazy lub zmian drogi
optycznej wprowadzanych przez badany obiekt ( nawet rzędu kilkulub kilkunastotysięcznych części długości fali).
Metoda interferometrii heterodynowej jest metodą z punktową akwizycją
danych. Rozkład fazy odpowiadający badanemu obiektowi otrzymuje się
w wyniku mechanicznego skanowania płaszczyzny interferogramu
detektorem “punktowym”.
Najczęściej stosowane polowe metody interferometryczne
z jednoczesną akwizycją i równoległym przetwarzaniem informacji
Nazwa metody lub grupy metod
Interferometria obiektów nie
rozpraszających światła:
- Interferometria z wiązką
odniesienia
Właściwości badanego obiektu
Obiekt transmitujący światło oraz
obiekt z powierzchnią
zwierciadlaną (w tym odbiciową
siatką dyfrakcyjną)
- Interferometria z przesuniętą
repliką wiązki przedmiotowej
- Interferometria z wiązkami
sprzężonymi (w tym
interferometria siatkowa)
Interferometria obiektów
rozpraszających światło
Obiekt przestrzenny z
powierzchnią chropowatą.
Pomiar przemieszczeń w
- interferometria holograficzna
(optyczna i cyfrowa), w tym układy płaszczyźnie wymaga płaskiej
z wiązką odniesienia, przesuniętą powierzchni obiektu.
repliką wiązki przedmiotowej i
wiązką sprzężoną
- elektroniczna interferometria
plamkowa (ang. ESPI), w tym
układy z wiązką odniesienia,
przesuniętą repliką wiązki
przedmiotowej (ang. ESPSI) oraz
wiązką sprzężoną
Wielkość wyznaczana
(mierzona pośrednio)
- Grubość, współczynnik załamania,
kształt frontu falowego i elementów
optycznych
- Gradient zmian wielkości
wymieniowych wyżej
- Kształt frontu falowego i elementów
optycznych, przemieszczenia
w płaszczyźnie (przyp. interferometrii
siatkowej)
- Przemieszczenia u, v i w, amplituda
i faza drgań, przestrzenny kształt
obiektu, współczynnik załamania, itp.
oraz pochodne tych wielkości (w
zależności od metody)
- Jak wyżej
- Przestrzenny kształt obiektu
- metoda koherentnej i
niekoherentnej projekcji prążków

Wykład_OFI_2_Interferencja_Interferometria

Transkrypt

Podobne dokumenty

Instrukcja instalacji aktywnych barier podczerwieni

Potencjalne klastry kluczowe Jednym z celów

Pomiary w akustyce – zagadnienia na kolokwium I 1. Akustyka

Wstęp do optyki i fizyki materii skondensowanej

Aparat do elektroterapii Enraf-Nonius Endomed 182 – 1416920

Interferencja światła

RTG Philips Libra WERS MS