Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do

Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do

Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Scenariusz lekcji
1. Informacje wstępne:
Klasa: III „a1” liceum (grupa dwujęzyczna);
Czas trwania zajęć: 45 minut;
Nauczany przedmiot: matematyka;
2. Program nauczania: Matematyka z plusem. Program nauczania matematyki w liceum i technikum
M. Braun, M. Karpiński, J. Lech;
3. Temat lekcji: Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań;
4. Integracja: wewnątrzprzedmiotowa – ciągi, wielokąty;
5. Cele lekcji:
Uczeń potrafi:
- określić zbiór zdarzeń elementarnych, zdarzenie losowe, doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń
zdarzeń elementarnych (A1),
- nazwać pojęcia prawdopodobieństwa w języku niemieckim (A2),
- wyjaśnić sposób obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia (B1),
- wyjaśnić zasadę mnożenia (B2),
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
- wyznaczyć zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego (C1),
- wyznaczyć zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu losowemu (C2),
- zastosować metodę mnożenia (C3),
-
zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa (C4),
- zaproponować sposób rozwiązania zadania (D1);
6. Postawy i zainteresowania:
- doskonalenie umiejętności logicznego myślenia,
- doskonalenie umiejętności współdziałania przy realizacji zadania,
- rozwijanie umiejętności aktywnej pracy w parach,
- wdrażanie do dobrej organizacji pracy;
7. Strategie nauczania: podająca;
8. Metody nauczania:
- pogadanka (M1),
- ćwiczeniowa (M2),
- programowana z użyciem tablicy interaktywnej (M3);
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
9. Zasady nauczania:
- świadomego i aktywnego uczestnictwa w zajęciach,
- stopniowania trudności,
- wyrabianie pewności siebie u ucznia przez wypowiedzi i czynny udział w zajęciach;
10. Formy pracy uczniów:
- indywidualna (F1),
- binarna (F2),
- zbiorowa (F3);
11. Środki dydaktyczne:
- tablica interaktywna z programem Interwrite,
- rzutnik multimedialny;
12. Wykaz piśmiennictwa:
dla ucznia i nauczyciela:
- załącznik nr 1,
- załącznik nr 2,
- załącznik nr 3;
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
13. Struktura lekcji:
SPOSOBY
ETAPY LEKCJI
REALIZACJI
SPEŁNIENIE
ZAGADNIENIA, ZADANIA,
ZAGADNIEŃ,
ZAŁOŻONYCH
PROBLEMY LEKCJI
ZADAŃ,
CELÓW
PROBLEMÓW
LEKCJI
LEKCJI
1. FAZA WSTĘPNA
Czynności organizacyjne;
Sprawdzenie pracy domowej;
(F1, F3)
Podanie tematu i celów lekcji;
Odczytanie i przetłumaczenia tekstu wprowadzającego – o powstaniu teorii
prawdopodobieństwa jako dziedziny matematyki (Załącznik nr 1);
2. FAZA
REALIZACYJNA
Rozwiązywanie zadania 1 (Załącznik nr 2) w parach;
(F3), (M2, M3)
(A3)
(F2) (M2)
(A1, A2, A3)
Pytania do uczniów: Czy treść zadania jest rozumiała?
(B1) (C1, C2, C4)
- Weryfikacja wyniku pracy w parach;
Uzupełnienie tabeli nr 1(Załącznik nr 2) przez nauczyciela na tablicy
interaktywnej (nauczyciel wpisuje treści zapisane kolorem niebieskim w
załączniku); wyjaśnienie pojęć: doświadczenie losowe, zdarzenie
(F3) (M1, M3)
(A1, A2)
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
elementarne, zbiór zdarzeń elementarnych, zdarzenie losowe;
Podanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa;
Rozwiązywanie zadania 2 (Załącznik nr 2) w parach;
(F1) (M1, M3)
(A1, A2)
(F2) (M2)
(A1, A2, A3)
- Pytanie do uczniów: Czy treść zadania jest rozumiała?
(B1) (C1, C2, C4)
- Nagrodzenie pary, która pierwsza rozwiąże zadanie, plusem;
- Porównanie wyników pracy;
Rozwiązywanie zadania 3 (Załącznik nr 2) w parach;
(F3) (M1)
(F2) (M2)
- Pytanie do uczniów: Czy treść zadania jest rozumiała?
- Nagrodzenie pary, która pierwsza rozwiąże zadanie, plusem;
- Porównanie wyników pracy;
Rozwiązywanie zadań 4 i 5 (Załącznik nr 2) na tablicy;
(F3) (M1)
(F1, F3) (M1, M2, M3)
(A1, A2, A3)
(B1, B2) (C1, C2,
C3,C4) (D1)
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
3. FAZA
Podsumowanie lekcji
PODSUMOWUJĄCA
- Przetłumaczenie słownictwa do opanowania - WORTSCHATZ
(F1, F3) (M1, M3)
(A2) (B2)
(F1, F3) (M1, M3)
(A2) (B2)
(Załącznik nr 2);
- Rozwiązanie zadania 6 (Załącznik nr 2);
Informacja o zadaniu domowym
Załącznik nr 3.
Opracowała Irena Wosz – Łoba
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Załącznik nr 1
Grundlagen
Die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt die Entwicklung eines
gleichzeitig
alten
und
modernen
Teilgebiets
der
Mathematik.
Die
Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Aufgabe, das Zufällige, also das
Unberechenbare, doch berechenbar zu machen.
In
den
Anfängen
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
beschränkte
sich
ihr
Anwendungsgebiet zunächst nur auf Glücksspiele. In den letzten Jahrzehnten hat die
Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Praxis eine immer größere Bedeutung erlangt und ist für
alle Zweige der Naturwissenschaften, der Wirtschaft und Technik unentbehrlich geworden.
Heute kommt man
bei ökonomischen und technischen Berechnungen ohne sie nicht mehr aus.
Als Begründer der Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann man
Die Mathematiker Pascal (1628 bis 1662) und Fermat (1601 bis 1665) ansehen. Pierre de
Fermat
und Blaise Pascal
wechselten 1654 einige Briefe zu Problemen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ausgangspunkt war die Frage, wie der Einsatz eines
Glücksspieles zwischen zwei gleichwertigen Partnern bei vorzeitigem Abbruch des Spieles
gerecht aufzuteilen ist. Dabei kamen beide - Fermat und Pascal - unabhängig voneinander zu
dem gleichen Ergebnis und legten einen Grundstein für die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Jakob Bernoulli (1655 – 1705) hat wesentlich zur
Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie beigetragen.
Eines seiner wichtigen Werke die “Ars Conjectandi”
(„Kunst des Vermutens”), das erste grundlegende Werk
über die Wahrscheinlichkeitsrechnung, wurde erst 1713,
also acht Jahre nach seinem Tod, in Basel veröffentlicht.
Das Buch fasste Arbeiten anderer Autoren auf dem Gebiet
der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen und entwickelte
sie weiter.
Jakob Bernoulli
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Załącznik nr 2
Aufgabe 1.
Ein idealer Würfel wird geworfen.
Ermittle alle möglichen Ergebnisse:
................................
Wie sind die Chancen eine Primzahl*
zu bekommen? . . . . . . . . . . . .
* liczba pierwsza
Tabela nr 1
Doświadczenie losowe
Rzut kostką
Zufallsexperiment
Würfelwurf
Zdarzenia
elementarne
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Elementarereignisse
(Alle möglichen Ergebnisse des
(wszystkie możliwe wyniki
doświadczenia)
Zuffalsexperimentes)
Zbiór zdarzeń
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ergebnismenge
elementarnych
N=6
(Ergebnisraum)
Zdarzenie losowe
(oznaczamy wielkimi literami)
A - „Otrzymano liczbę
Ereignis
pierwszą“
A - „Man bekam eine
Primzahl“
Zdarzenia elementarne
A = {2, 3, 5}
sprzyjające zdarzeniu
nA = 3
Prawdopodobieństwo
zajścia zdarzenia A
P(A) =
Ereignis ist eine Teilmenge
von Ergebnismenge
ଷ
Die Wahrscheinlichkeit des
଺
Ereignisses A
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Aufgabe 2.
Ein idealer Würfel und eine ideale Münze
(Wappen, Zahl) werden gleichzeitig geworfen.
Wappen
a) Bestimme die Ergebnismenge Ω und gib N an.
Zahl
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Das Augenzahl ist eine gerade Zahl.
B: Die Augenzahl ist ungerade und die Münze zeigt die Wappenseite.
Uzupełnij tabelkę nr 2:
Das Ergebnis auf dem Würfel
1
Das
Ergebnis
auf der
Münze
2
3
4
5
6
W
Z
Uzupełnij tabelkę nr 3:
Doświadczenie losowe
Zufallsexperiment
Zdarzenia elementarne
(wszystkie możliwe wyniki
doświadczenia)
Elementarereignisse
(Alle möglichen Ergebnisse des
Zbiór (przestrzeń) zdarzeń
Ergebnismenge (Ergebnisraum)
Zuffalsexperimentes)
elementarnych
Zdarzenie losowe
Ereignis
(oznaczamy wielkimi
literami)
Zdarzenia elementarne
Ereignis ist die Teilmenge von
sprzyjające zdarzeniu
Ergebnismennge
Prawdopodobieństwo
Die Wahrscheinlichkeit des
zajścia zdarzenia A
Ereignisses A
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Aufgabe 3.
Zwei ideale Würfel werden geworfen. Bestimme
N zur Ergebnismenge Ω.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
a) Die Summe der Augenzahlen ist kleiner als 9.
b) Die Summe der Augenzahlen ist durch 3 teilbar.
Uzupełnij tabelkę nr 4:
Das Ergebnis auf dem ersten Würfel
Das Ergebnis auf dem zweiten Würfel
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Aufgabe 4.
In einer Lostrommel befinden sich 150 Lose. Die Wahrscheinlichkeit, dass das
gezogene Los ein Gewinn ist, beträgt 10%. Wie viele Lose gewinnen?
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Aufgabe 5.
Es soll zufällig eine dreistellige Zahl aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 gebildet
werden, bei der jede dieser Ziffern nur einmal vorkommt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Die Zahl enthält eine 2.
B: Die gebildete Zahl endet auf 2.
C: Die gebildete Zahl ist gerade.
D: Die gebildete Zahl ist größer als 400.
Wortschatz
-s Ereignis - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-s Ergebnis - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-e Ergebnismenge - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-r Münzwurf - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-e Wahrscheinlichkeit - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-r Würfelwurf - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-s Zufallsexperiment - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 6. Ergänze die Lücken
Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teilmengen der Ergebnismenge heißen Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Tłumaczenie treści zadań z załącznika 2
Zad. 1. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników rzutu?
Jakie są szanse otrzymania liczby oczek, która jest liczbą pierwszą?
Zad. 2. Rzucamy jednocześnie sześcienna kostką do gry i monetą.
a) Wyznacz Ω i N.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - Liczba otrzymanych oczek na kostce jest liczbą parzystą;
B – Liczba otrzymanych oczek na kostce jest liczbą nieparzystą, a wynik na
monecie to „orzeł”.
Zad. 3. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Wyznacz ilość
możliwych wyników tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzeń losowych:
a) Suma otrzymanych oczek na obu kostkach jest mniejsza niż 9.
b) Suma otrzymanych oczek na obu kostkach jest liczbą podzielną przez 3.
Zad. 4. W loterii przygotowano 150 losów. Szansa na wygraną przy zakupie
jednego losu jest równa 10%. Ile jest losów wygrywających?
Zad. 5. Z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 losujemy trzy i zapisujemy wynik losowania
otrzymując liczbę trzycyfrową, w której cyfry nie mogą się powtórzyć
(pierwsza wylosowana cyfra to cyfra setek, druga – cyfra dziesiątek,
trzecia – cyfra jedności). Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania:
A – liczby, w zapisie której występuje cyfra 2,
B – liczby, której cyfra jedności to 2,
C – liczby parzystej,
D – liczby większej niż 400.
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Załącznik nr 3
Zadanie domowe
Zad. 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p
oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek
jest równy 5. Wtedy
A)
p=
ଵ
ଷ଺
B) p =
ଵ
ଵ଼
C) p =
ଵ
ଵଶ
D) p =
ଵ
ଽ
Zad. 2. Losujemy jedną liczbę czterocyfrową. Prawdopodobieństwo p
otrzymania liczby, której cyfry to 1,1,2,2 (w dowolnej kolejności) spełnia
warunek
A)
p < 10-4
B) p = 10-4
C) p < 10-3
Zad. 3. Spośród wyrazów skończonego ciągu arytmetycznego
D) p = 10-3
danego
wzorem an = 5n + 8, gdzie n є {1, 2, …, 15} wybieramy losowo 3. Oblicz
prawdopodobieństwo, że iloczyn wybranych liczb jest podzielny przez 3.
Zad. 4. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dwa losowo wybrane wierzchołki
sześciokąta foremnego o boku długości 1, są końcami odcinka o długości
.
Zad. 5. In einer Urne befinden sich 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14. Die
Kugel mit den Nummern von 1 bis 3 sind blau, mit den Nummern von 4 bis 6
sind grün, der Rest ist rot Es wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse ?
a) Die gezogene Kugel ist grün oder rot.
b) Die gezogene Kugel ist rot mit einer zweistelligen Zahl.
c) Die gezogene Kugel ist grün oder mit einer geraden Zahl.
Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań
Zadanie domowe
(Tłumaczenie zadania 5)
Zad. 5. W urnie jest 14 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 14. Kule z
numerami od 1 do 3 są niebieskie, z numerami od 4 do 6 są zielone, a pozostałe
są czerwone. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) Wylosowana kula jest zielona lub czerwona.
b) Wylosowana kula jest czerwona z liczbą dwucyfrową.
c) Wylosowano kulę zieloną lub z numerem parzystym.