listy zadań dla gimnazjum

METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 1 – Liczby wymierne
Zad.1 Które z podanych liczb a i b spełniają warunek, że podwojona różnica liczby a i b jest równa
ilorazowi liczby a przez b?
A. a = 1 i b = −1,
B. a = 2 i b = 1,
C. a = 4 i b = − 14 ,
D. a = − 12 i b = 2.
Zad.2 Znajdź odwrotność liczby, która jest wartością wyrażenia [(2, 4 − 52 ) · (3 13 − 4) − (2 21 )2 ] :
q
1 97 .
Zad.3 Zawartość 24 butelek o pojemności 0,3 litra i 18 butelek o pojemności 0,25 litra przelano
do zbiornika o pojemności 13,5 litra. Zawartość ilu butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze
do zbiornika?
Zad.4 Oblicz wartość wyrażenia:
(a)
2 14 − 0, 25
,
13 85 : (2 35 + 81 )
(b)
(1, 2 : 53 − 1 13 · 0, 3) : 1 71
.
(1 21 − 3 · 1 31 ) : 2 12
Zad.5 Uporządkuj rosnąco liczby wymierne i zaznacz je na osi liczbowej:
(a) 0; −3; 2; 2 21 ; − 21 ; −5; 4 41 ; −2 41 ,
(b) 0, 5; −1, 25; 0; 1, 3; −1, 5; 2, 5; −3; 4,
(c)
1
;
2
−2; 23 ; −3, 5; −0, 5; 1 21 ; 0; −1, 5.
Zad.6 Oblicz:
(a) różnicę ilorazu i iloczynu liczb (−4, 2) i 2 13 ,
(b) sumę iloczynu i ilorazu liczb (−4, 8) i 2 32 .
Zad.7 Oblicz 0,32 kwadratu różnicy liczb 2,75 oraz 5 41 .
Zad.8 Która liczba jest większa:
3
4
liczby 15 czy 150% liczby 7,5?
Zad.9 Oblicz [(−10) + 7 · 1 41 ] · [1 54 : (−1, 8)] − 38 + 25.
Zad.10 Pan Kozłowski hoduje kozy. Codziennie uzyskuje od nich średnio 21,7 l mleka, które
sprzedaje w półlitrowych butelkach. Oszacuj, ile butelek pan Kozłowski powinien przygotować na
280 dni.
Zad.11 Kaczki, perkozy i jeden łabędź pływały po stawie. Kaczki stanowiły
ptaków, a perkozy
9
.
16
5
12
wszystkich tych
Ile ptaków pływało po stawie?
Zad.12 Ślimak pokonał 3 metry w ciągu 2 godzin, a gąsienica przebyła 2 metry w 3 godziny. Ile
razy szybciej poruszał się ślimak od gąsienicy?
Zad.13 Ludność Azji stanowi
3
5
ludności świata, a w Afryce i Europie mieszka po
świata. Jaka część ludności mieszka na pozostałych kontynentach?
3
25
ludności
Zad.14 Przez pięć dni w tygodniu gazeta kosztuje 1,2 zł, a jej wydanie sobotnie kosztuje 1,5 zł. Za
roczną prenumeratę tej gazety należy zapłacić 300 zł. Ile złotych można zaoszczędzić, prenumerując
tę gazetę, zamiast kupować każde jej wydanie? Przyjmij, że w roku są 52 tygodnie.
Zad.15 Król Zbójnisław Szczodry postanowił obdarować wszystkich ubogich w swoim państwie.
Aby zebrać potrzebne pieniądze, nałożył na poddanych specjalny podatek. Po jego zebraniu piątą część trzeba było przeznaczyć na wynagrodzenie poborców. Dwie jedenaste tego, co zostało,
przypadło na pokrycie kosztów ich podróży po kraju. Z pozostałej kwoty trzecią część pochłonęło
wynagrodzenie urzędników rozdzielających jałmużnę. Wreszcie z pozostałej kwoty jeden dukat na
każdy tuzin zginął w niewyjaśnionych okolicznościach. Jaka część zebranych pieniędzy trafiła do
ubogich? Czy to więcej niż 51 ?
Zad.16
(a) Pięcioosobowa rodzina – rodzice i troje dzieci – zamówili dwie pizze. Rodzice podzielili swoją
pizzę na 6 jednakowych kawałków i zjedli 5 z nich. Dzieci podzieliły pizzę na 8 części i zjadły 6 kawałków. Kto zjadł więcej pizzy – dzieci czy rodzice?
(b) Wujek Staś odziedziczył
2
7
spadku po dziadku Julku, a ciocia Krysia
4
.
13
Które z nich odziedzi-
czyło większą część spadku?
(c) Zuzia przepłynęła basen 25-metrowy w 20 sekund. Kasia przepłynęła ten sam dystans ze średnią
przędkością 1,3 m/s. Która z dziewcząt płynęła szybciej?
Zad.17 Ile jest liczb naturalnych, których:
(a) zaokrąglenie do dziesiątek jest równe 90,
(b) zaokrąglenie do setek jest równe 2500?
Zad.18 Ogrodnik zebrał 110 kg jabłek, które ułożył w trzech jednakowych skrzynkach. Jedna
skrzynka ważyła brutto 34 43 kg, a druga – 36,3 kg. Trzy puste skrzynki ważą razem 6 43 kg. Ile
jabłek było w trzeciej skrzynce?
Zad.19 Oblicz wartość wyrażeń:
7
(b) [( 24
:
(a) (1 72 : 13 12 ) · (5 41 · 14 ),
28
) + (0.375
3
(c) (0, 7 · 0, 2 :
: 54 )] · 2,
Zad.20 Określ, która liczba jest większa: połowa ilorazu liczby
iloczynu liczby
25
27
przez
przez
27
13
− 11) : (−10).
czy dziesiąta część
13
.
27
Zad.21 Oblicz różnicę ilorazu iloczynu
niż 54.
5
27
7
50
24
7
przez
14
8
przez sumę
32
17
i
4
34
i liczby 18 razy mniejszej
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 2 – Potęgi i pierwiastki
Zad.1 Oblicz wartość wyrażeń:
√ √
5 9 7
27· 3) : ( 91 : 3),
)
·(
)
,
(b)
(
(a) ( 36
81
6
(c) (− 57 )·(− 75 )·(− 75 )·(− 57 )·(− 75 )·(− 75 )·(− 57 )·(− 55 ).
Zad.2 Spójrz na przykład: 8548 = 8 · 103 + 5 · 102 + 4 · 101 + 8 · 100 i przedstaw w podobny sposób
liczby:
(a) 34523523,
(b) 5426346643.
Zad.3 Jeden sześcian ma objętość 1728 cm3 , drugi natomiast 343 cm3 . Czy łączna długość wszystkich krawędzi obu sześcianów byłaby większa niż wzrost 24 letniego koszykarza, który rośnie rocznie
o 5 cm, a w wieku 16 lat jego wzrost wynosił 187 cm?
Zad.4 W 1859 roku do Australii sprowadzono pierwsze 22 króliki. Znalazły tu doskonałe warunki
do życia. Już w 1887 roku było ich tak dużo, że rząd postanowił przyznać nagrodę temu, kto wymyśli
sposób zmniejszenia ich populacji. Przypuśćmy, że liczba królików podwaja się co rok. Oszacuj, ile –
przy takim założeniu – mogło być królików w Australii pod koniec 1887 roku. Przyjmij, że 210 ≈ 103 .
Zad.5 Oblicz obwód i pole trapezu narysowanego poniżej.
√
4 3
√
36
√
√
√
24
12
27
√
5 3
Zad.6 Wśród podanych liczb są takie trzy, które nie są naturalne. Wskaż te liczby.
√
√
√
√
√
√
√
√
3
3
163 ,
316 ,
1122 ,
2211 ,
69 ,
96 ,
10099 ,
99100 .
Zad.7 Jaką cyfrę w rzędzie jedności ma liczba:
(a) 4173 ,
(b) 3169 .
Zad.8 Oblicz:
(a) (− 23 a2 b)3 ,
√
√
√
(e) 27 + 12 − 48,
(b)
8·63
,
43
5
(c) (7·5)
4 4 ,
√ √
√ 7 ·5
(f ) 3 2(4 8 + 5 18),
(d) (1 32 )3 : (2 41 )3 · 33 ,
√ √
√
√
(g) 2(2 10 + 6 − 3 30).
Zad.9 Znajdź:
(a) odwrotność liczby, która jest wartością wyrażenia: 4 37 : (−6 15 ) · 14 − (−3, 6),
q
√
4
(b) liczbę przeciwną do danej: [(1 12 )2 − ( 21 )2 ] : (3 · 15
− 2, 56) − (1 12 )4 .
Zad.10 Według indyjskiej legendy, Budda, starając się o rękę księżniczki Gopy, musiał zwyciężyć
swych konkurentów między innymi w arytmetyce. Wielki matematyk Arjuna zapytał go, czy zna
liczby większe niż koti. Sto koti – odpowiedział Budda – to ayuta, sto ayuta to niyuta, sto niyuta
to kańkara, sto kańkara to vivara.
Wiedząc, że koti to sto razy sto tysięcy, zapisz wszystkie występujące w tej opowieści liczebniki
w postaci potęg dziesięciu.
Zad.11 Oto zadanie z podręcznika sprzed prawie 200 lat. Napisane jest ówczesnym językiem. Czy
potrafisz je rozwiązać?
Pewna liczba rzemieślników z czeladzią swą stanęła do roboty, każdy z Maysstrów po tyle miał
czeladzi, ile samych Maystrów razem wszystkich wziętych było; była zaś liczba wszystkiey czeladzi
625, pytam: iaka liczba Maystrów?
Zad.12 Legenda mówi, że wynalazca szachów poprosił sułtana o pozornie niewielką nagrodę:
1 ziarno pszenicy za pierwsze pole szachownicy, 2 ziarna za drugie pole, 4 ziarna za trzecie, 8 ziaren
za czwarte itd.
(a) Ile ziaren pszenicy powinien otrzymać wynalazca szachów za ostatnie pole? Wynik zapisz w notacji wykładniczej.
(b) Zakładając, że jedno ziarno waży około 0,001 g, oblicz, ile ton pszenicy powinien dostać wynalazca za ostatnie pole.
(c) Porównaj ilość pszenicy za ostatnie pole z ilością obecnie zbieraną w ciągu roku na świecie
(około 600 mln ton).
Wskazówka: Skorzystaj z przybliżenia 210 = 1024 ≈ 1000 = 103 .
Zad.13 Masa elektronu wynosi 9 · 10−31 kg, a masa protonu 1, 7 · 10−27 kg. Ile razy masa elektronu
jest mniejsza od masy protonu?
Zad.14 Oblicz 80% wartości wyrażenia:
√72 3 √
( 9 ) ·3 −2 4
Zad.15 Oblicz:
.
21
3·53 ·5−2·(52 )2 +4·56 :52
.
2·54
Zad.16 Uzasadnij, że teren, który na planie w skali 1 : 10000 ma powierzchnię 1 cm2 , w rzeczywistości zajmuje obszar 1 ha.
Zad.17 Trzy sześcienne kostki z ołowiu przetopiono w jedną dużą kostkę sześcienną. Oblicz długość
jej krawędzi, jeśli krawędź pierwszej kostki była równa 3 cm, drugiej – 4 cm, a trzeciej – 5 cm.
Zad.18 Uzasadnij, że cyfra jedności każdej liczby, którą można zapiać w postaci 3n+2 + 3n , jest
równa 0.
Zad.19 Piłeczka opuszczona na posadzkę odbija się od niej na wysokość równą
2
5
wysokości, z jakiej
ją spuszczono. Piłeczkę opuszczono z wysokości 3 m. Jak wysoko wzniesie się piłeczka po czwartym
odbiciu? Po którym odbiciu wzniesie się na wysokość niższą niż 1 cm?
Zad.20 Jedna z największych chmar szarańczy pojawiła się w Kenii w 1954 roku i liczyła 10
miliardów owadów. Jeden osobnik szarańczy waży około 2,5 g. Zapisz w notacji wykładniczej, ile
ton ważyła ta chmara szarańczy.
Zad.21 Zastąp symbole odpowiednimi liczbami:
√
√
√
√
(c)
(a) 2 = 21 ,
(b) 2 3 = 3 ,
3
2
√
a
√
3 = 3 a ,
(d)
q
a
1
5
=
1
5
√
a
.
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 3 – Procenty
Zad.1 Cenę pewnego towaru podwyższono o 20% i po pewnym czasie obniżono o 25%. Po tych
dwóch zmianach cena jest równa 81 zł. Jaka była cena początkowa? O ile procent zmieniła się cena
w odniesieniu do ceny początkowej?
Zad.2 50% uczniów pewnej klasy nie wie, że 50% to połowa; 50% tej połowy klasy nie wie nawet,
że 100% to jeden, a 50% z nich, czyli 4 uczniów, nigdy nawet nie słyszało słowa „procent”. Ilu
uczniów liczy ta klasa?
Zad.3 Do drugiej tury wyborów we Flatlandii przeszło dwóch kandydatów: pan M. i pan S.
Wyniki głosowania na wsi: pan M. – 25%, pan S. – 75%.
Wyniki głosowania w mieście: pan M. – 65%, pan S. – 35%.
30% mieszkańców Flatlandii mieszka na wsi, a 70% w mieście. Który z kandydatów wygrał?
Zad.4 W królestwie Krasnolandii 8% mieszkańców ubiera się na żółto, 9% na czerwono, 10%
na zielono, 11% na niebiesko, a 60% na szaro. Jedynie czteroosobowa rodzina królewska oraz jej
pięćdziesięcioosobowa świta może ubierać się wielobarwnie. Jaka jest liczba mieszkańców królestwa?
Zad.5 Dzięki sponsorom liczba książek w pewnej bibliotece wzrosła w tym roku o 25% w porównaniu z rokiem ubiegłym. Pod koniec zeszłego roku były w tej bibliotece 4764 woluminy. Ile książek
zakupiono dzięki sponsorom?
Zad.6 Przedstawienie operowe rozpoczęło się o godzinie 19:00. Z powodu licznych przerw na oklaski
przedłużyło się o 24 minuty. Obecny na widowni gimnazjalista obliczył szybko, że przedstawienie
trwało o 15% dłużej w porównaniu z czasem podanym w programie. O której godzinie się skończyło?
Zad.7 Uzasadnij, że liczby pierwsze stanowią 25% liczb naturalnych od 1 do 100.
Zad.8 W 40-osobowej grupie nie mniej niż
2
3
osób lubi pierogi, a ponad połowa ma psa. Uzasadnij,
że właściciele psów lubiący pierogi stanowią co najmniej 15% osób z tej grupy.
Zad.9 Oceń prawdziwość podanych zdań.
Dodanie do roztworu pewnej ilości takiego samego roztworu zmniejsza stężenie procentowe.
P
F
Dodanie do roztworu pewnej ilości substancji rozpuszczanej zwiększa stężenie procentowe.
P
F
Odparowanie z roztworu części rozpuszczalnika zmniejsza stężenie procentowe.
P
Dodanie do roztworu pewnej ilości rozpuszczalnika zwiększa stężenie procentowe.
F
P
F
Zad.10 Łączny koszt pierwszego i drugiego tomu książki wynosi 38 zł. Cena pierwszego tomu
została obniżona o 20%, a cena drugiego tomu o 10% i wówczas za 25 egzemplarzy pierwszego tomu
i 20 egzemplarzy drugiego tomu zapłacono 750 zł. Ile kosztował każdy z tomów przed obniżką?
Zad.11 Turysta przebył 15 km, co stanowiło 30% całej trasy. Ile km wynosi cała trasa?
Zad.12
Tata i mama zarabiają razem 4800 zł. Kwota ta jest miesięcznym budżetem rodzin-
nym. Córka Kasia zwiększając budżet domowy pożyczyła 33 13 % swoich oszczędności, czyli 200 zł.
Ile zaoszczędzonych pieniędzy miała Kasia? O ile procent został przekroczony miesięczny budżet
rodzinny dzięki pożyczce Kasi, wynik zaokrąglij do 0,1%?
Zad.13 W 30-osobowej klasie było 60% chłopców. Gdy 10 uczniów przeniosło się do równoległej
klasy, okazało się, że chłopców i dziewcząt jest tyle samo. Ilu chłopców i ile dziewcząt ubyło?
Zad.14 W rodzinie Burskich 20% dochodów pochłaniają stałe opłaty – czynsz, prąd itd. 15%
pozostałych dochodów państwo Burscy wpłacają do banku. Jaki procent dochodów zostaje im na
inne wydatki?
Zad.15 (a) Lodówka kosztowała 1150 zł. Przeceniono ją o 12%. Ile kosztuje teraz lodówka?
(b) Kosiarka do trawy kosztowała 750 zł, a teraz — 600 zł. O ile procent obniżono cenę kosiarki?
(c) Cenę żyrandola obniżono o 15% i obecnie wynosi 272 zł. Ile kosztował żyrandol przed obniżką?
Zad.16 W klasie I b 12,5% osób nie zaliczyło sprawdzianu, zaś 6,25% osób otrzymało ocenę 6.
Pozostałe 26 osób otrzymało ocenę między 2 a 5. Ile osób uczęszcza do klasy I b?
Zad.17 Podstawę trójkąta i jego wysokość zwiększono o 40%. O ile procent wzrosło pole tej figury?
Zad.18 Oblicz:
(a) 65% liczby 80,
(b) 28% liczby 12, 4,
(c) 4,6% liczby 32·3·2.
Zad.19 Poniższe ułamki zamień na procenty, z zaokrągleniem do trzeciego miejsca po przecinku,
a następnie określ, który stanowi większą część całości:
(a)
19
37
czy
17
33
?
(b)
41
97
czy
43
101
?
Zad.20 W konkursie finałowym w kategorii 70-80 kg w wyciskaniu sztangi na ławeczce poziomej
znalazło się trzech kandydatów do złota. Pierwszy z nich ważył 76 kg i udało mu się podnieść 97 kg,
drugiemu udało się podnieść 95 kg, przy własnej wadze 72 kg. Trzeci z nich ważący 79 kg uniósł
ciężar o masie 101 kg. Konkurencję wygrał ten, który uniósł największą część swojej własnej masy.
Przedstaw w procentach (po zaokrągleniu do części dziesiętnych) jaką część własnej masy unieśli,
a następnie określ, kto wygrał zawody.
Zad.21 Krzysiek wrzucił do skarbonki 120 zł, przez następne 5 dni wrzucał do niej jeszcze 10
procent tego, co już w niej się znajdowało. Arek natomiast wrzucił do skarbonki 300 zł, a następnie
przez 5 dni wyciągał z niej 10 procent tego, co się w niej znajdowało. Wiemy, że sumy, które chłopcy
wkładali i wyciągali były zaokrąglone do pełnych groszy. Kto miał więcej pieniędzy po 5 dniach
i o ile?
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 4 – Wyrażenia algebraiczne
Zad.1 Na pewne przedstawienie cyrkowe sprzedano a biletów po b złotych. Następnego dnia ceny
biletów, obniżono o 2 złote, a występ przyszło zobaczyć o 30 osób więcej niż dzień wcześniej. Ile
pieniędzy uzyskał cyrk ze sprzedaży biletów na oba przedstawienia?
Zad.2
Wykonaj polecenia sztuczki liczbowej zapisanej poniżej. Następnie oznacz początkową
liczbę przez x i wykonaj polecenia, zapisując odpowiednie wyrażenia algebraiczne. Czy teraz wiesz,
dlaczego zawsze na końcu otrzymujemy 4?
(1) Pomyśl dowolną liczbę naturalną.
(2) Dodaj do niej 3.
(3) Wynik pomnóż przez 5.
(4) Dodaj 4.
(5) Wynik pomnóż przez 2.
(6) Dodaj 2.
(7) Wynik podziel przez 10.
(8) Odejmij liczbę pomyślaną na początku.
Zad.3 Pole trapezu o podstawach x i y jest równe xy + y 2 . Jaka jest wysokość tego trapezu?
Zad.4 Tomek miał pomalować płot długości p metrów. Sam pomalował fragment płotu o długości 2
metrów, a 90% pozostałej części pomalowali jego koledzy. Ile metrów płotu zostało do pomalowania?
Zad.5 Ania kupiła w księgarni trzy książki. Jedna kosztowała (3x + y) złotych, druga o 5,50 zł
mniej, a trzecia o 2y więcej niż druga. Po zapłaceniu za książki Ani zostało 10,50 zł. Ile złotych
miała przed kupnem książek?
Zad.6 Zapisz sumę trzech kolejnych liczb nieparzystych w postaci wyrażenia algebraicznego.
Zad.7 Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego liczbę trzycyfrową, której cyfrą jedności jest a,
cyfrą dziesiątek b, a cyfrą setek jest suma cyfr a i b. Jaki warunek muszą spełniać liczby a i b?
Zad.8 Najstarszym z trojga dzieci państwa Liczmańskich jest Jaś, który ma teraz x lat. Dwa lata
po Jasiu urodziła się jego siostra, a 5 lat temu urodził się młodszy brat. Ile lat mają razem dzieci
państwa Liczmańskich? Zapisz odpowiedź w jak najprostszej postaci.
Zad.9 Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku długości 3a. Wysokość tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Przedstaw w postaci jednomianu objętość tego
graniastosłupa. Oblicz tę objętość dla a = 1 13 .
Zad.10 Zmieszano trzy gatunki cukierków: a kg po 15 zł, b kg po 20 zł i c kg po 25 zł. Oblicz,
jaka jest cena jednego kilograma mieszanki.
Zad.11 Reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a, b, c, d wynoszą odpowiednio: 1, 2, 3, 4.
Wykaż, że suma: a + b + c + d jest liczbą podzielną przez 5.
Zad.12 Oblicz średnią arytmetyczną kwadratów liczb: n − 1, n, n + 1.
Zad.13 Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile
pieniędzy mają w sumie?
Zad.14 Długość prostokąta wynosi (2x + 1) cm, a szerokość (x + 8) cm. Zapisz, ile wynosi obwód
i pole tego prostokąta.
Zad.15 Zapisz poniższe wyrażenia algebraiczne w najprostszej postaci
(a) 2h − 3h + 5h,
(b)
(3m−2)·3
2
− (m − 1) · 3,
(c)
10
m
−
15
,
2m
(d) 3(s − 1) −
5s−4
2
+
s−1
.
s
Zad.16 Uzupełnij kwadrat odpowiednimi jednomianami tak, aby był on kwadratem magicznym
ze względu na mnożenie, czyli aby iloczyny jednomianów w kolumnach, rzędach i po przekątnych
były takie same.
x4
32y 3
0, 25x4 y 6
8x2
Zad.17 Po lewej stronie równości brakuje nawiasów. W które miejsca należy je wstawić?
(a) −18x2 + 2y − 3z + 2z − 4y = −18x2 − 6y + 5z,
(b) 3y 3 − 4xy + 8, 1zy 2 − 4y 3 − 4xy − 1, 9zy 2 = −y 3 + 10zy 2 ,
(c) −3x2 + y 2 − 5x2 + 6y 2 − 10x2 + 10y 2 = −18x2 − 5y 2 .
Zad.18 Dany jest prostokąt o długości x i szerokości y. Długość zwiększono o połowę, a szerokość
zmniejszono o 5 jednostek. Wyznacz obwód i pole otrzymanego prostokąta.
Zad.19 Wykonaj działania na sumach algebraicznych:
(a) (5a−7c+88d)−(−7c+81c+10b−a),
(b) (52a−c+8d)−(−901a+89c−10a−12a).
Zad.20 Tomek notorycznie nie odrabiał zadań domowych. Gdy miał ich określoną ilość do nadrobienia okazało się, że jego dwóch serdecznych przyjaciół poszło w jego ślady. Pierwszy z nich –
Romek miał ich do nadrobienia o 34 mniej niż Tomek. Natomiast Filip miał ich do nadrobienia
17
821
tego, co musiał zrobić Romek. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego po ile zadań musieliby
wykonać, gdyby podzielili się nimi po równo.
Zad.21 Zredukuj wyrazy podobne, a następnie oblicz ich wartość, jeżeli x, a, z, b, c są kolejnymi
liczbami całkowitymi (dokładnie w tej kolejności) i b = −7:
(a) 12x − 15x + 8x − 6x + 3x,
(b) 3 + 4a − 2 + 5a + a − 6,
(c) −5z − 8 + 3z − 4z + 8 − 7z,
(d) 2a − 3b + 4c − 2b + 4a − 5c + 6a.
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 5 – Równania
Zad.1 Gdy pan N. A. Iwniak zaczynał grę z panem O. Szustem, miał tyle samo gotówki co on. Na
początku wygrał 20 zł, ale potem przegrał dwie trzecie tego, co posiadał. W rezultacie miał cztery
razy mniej pieniędzy niż O. Szust. Z jaką kwotą obaj panowie rozpoczynali grę?
Zad.2 Obwód czworokąta P RST jest pięć razy większy od długości przekątnej RT . Obwód trójkąta
P RT jest równy 40, a obwód trójkąta RST jest równy 23. Jaką długość ma przekątna RT ?
Zad.3 Dwaj sąsiedzi, pan Jan i pan Kazimierz, hodują gołębie. Mają ich razem 47. Pan Jan ma
o 12% gołębi mniej niż pan Kazimierz. Ile gołębi ma każdy z tych panów?
Zad.4 W klasie III A jest razem 28 uczniów. Gdyby dziewcząt było o 25% więcej, a chłopców
o 25% mniej, to łącznie w klasie byłoby o jedną osobę mniej, niż jest obecnie. Ile dziewcząt i ilu
chłopców jest w tej klasie?
Zad.5 Zofia i Maria w 2012 roku miały łącznie 38 lat. W 2007 roku Zofia była trzy razy starsza
od Marii. Ile lat miała Maria, a ile Zofia w 2012 roku?
Zad.6 Pan Marek kupił dwie stare komody, za które łącznie zapłacił 2500 zł. Po odnowieniu
sprzedał je i zyskał 20% kwoty, za którą kupił komody, przy czym pierwszą komodę sprzedał
z zyskiem 40%, a drugą ze stratą 10%. Ile zapłacił za każdą komodę?
Zad.7 Ania jest 2 razy starsza ode swojego brata, a 3 lata temu była od niego 3 razy starsza. Ile
lat ma Ania, a ile jej brat?
Zad.8 Staś miał w skarbonce 43 zł. Najwięcej było w niej złotówek: dwa razy więcej niż dwuzłotówek i cztery razy więcej niż pięciozłotówek. Pozostałymi monetami w skarbonce były pięćdziesięciogroszówki, których liczba była równa
2
3
liczby złotówek. Ile monet było w skarbonce?
Zad.9 Średnia długość życia hipopotama jest 6 razy większa od średniej długości życia kangura.
Niektóre osobniki żyją jednak o wiele dłużej. Jeśli hipopotam i kangur będą żyły o 20 lat dłużej
niż średnia długość życia ich gatunków, to hipopotam dożyje wieku 2 razy większego od kangura.
Ile wynoszą średnie długości życia tych zwierząt?
Zad.10 Trapez o podstawach długości a i b ma pole P . Ze wzoru na pole tego trapezu wyznacz
jego wysokość h.
Zad.11 Asia dodała trzy kolejne nieparzyste liczby naturalne i otrzymała liczbę mniejszą niż 1000.
Ile co najwyżej mogła być równa największa z liczb dodawanych przez Asię?
Zad.12
– Dziadku, ile masz lat?
– Rok temu byłem dwa razy starszy od cioci Agaty.
– A ile lat ma ciocia Agata?
– Dwa lata temu miała trzy razy tyle, ile lat miała wtedy twoja kuzynka Kasia.
– A ile lat ma Kasia?
– Kasia jest 66 lat młodsza ode mnie.
No właśnie – ile lat ma dziadek?
Zad.13 Suma dwóch liczb jest równa 120, a 20% jednej liczby jest równe
4
5
drugiej liczby. Znajdź
te liczby.
Zad.14 Przed dwoma laty matka była 4 razy starsza od syna. Za 10 lat będą mieli razem 74 lata.
Ile lat obecnie ma każde z nich?
Zad.15
Cyfra jedności liczby dwucyfrowej jest dwa razy mniejsza od cyfry dziesiątek. Jeżeli
przestawimy cyfry, to otrzymamy liczbę mniejszą o 18. Jaka to liczba?
Zad.16 Czy istnieje liczba x, która spełnia oba równania?
1
2x + 5
1
(x + 12) + 6 =
+9 ,
3
6
6
7 = 8(x + 4) − 5(x − 6).
Zad.17 Ewa jest trzy razy starsza od Adama. Za sześć lat będzie dwa razy starsza od Adama. Ile
lat ma teraz Adam? Zapisz obliczenia.
Zad.18 Pręt o długości 2 m podzielono na trzy pręty, z których drugi jest dwukrotnie dłuższy
niż pierwszy, a trzeci o 40 cm krótszy niż pierwszy. Sprawdź, czy z prętów tych można zbudować
trójkąt.
Zad.19 Rozwiąż równania:
(a) 2x + 7 = 13,
(b) 7 − 8x = −1,
(c) 15x − 15 = 27,
(d) 7x + 3 = 2x − 2.
Zad.20 Pieciu budowlańców pracowało przez x godzin przez 3 dni nad położeniem płytek w pewnej hali. Dwóch z nich zostawało jeszcze dodatkowo na 10 godzin dziennie. Gdyby ta dwójka nie
pracowała dłużej, cała grupa musiałaby pracować dziennie dwa razy dłużej, aby wykonać to w tym
samym terminie. Ile średnio pracował dziennie każdy z nich?
Zad.21 Tomek trenował karate od x lat, w każdym roku było x tygodni, które poświęcał na
treningi, a w tych tygodniach miał cztery dni, w których nie trenował. Wiadomo, że brał udział
łącznie w 75 treningach. Ile lat Tomek trenował karate?
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 6 – Wykresy funkcji
Zad.1 Dobierz punkty parami tak, by były symetryczne względem osi OX: A = (0; −5), B = (5; 0),
C = (5; −5), D = (0; 5), E = (−5; 0), F = (5; 5), G = (−5; 5), H = (−5; −5).
Zad.2 Punkty A = (1; 8) i B = (−4; −2) należą do wykresu funkcji y = ax + b.
(a) Znajdź wzór tej funkcji.
(b) Oblicz pole figury ograniczonej wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych.
Zad.3 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = −2x − 1 i y = −2x − 3
oraz oblicz pole figury ograniczonej tymi wykresami i osiami układu współrzędnych.
Zad.4 Na podstawie wykresu funkcji przedstawionej na rys. 1 zdecyduj, czy zdanie jest prawdziwe,
czy fałszywe.
(a) Dziedziną tej funkcji są tylko liczby naturalne od (−4) do 8.
P
F
(b) Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu x = −4.
P
F
(c) Funkcja jest malejąca dla −2 < x < 1 i 6 < x < 8.
P
F
(d) f (5) = 1
P
F
Zad.5 Niech f (x) = 0, 5x + 2. Narysuj i uzupełnij tabelkę i graf tej funkcji dla dowolnych 5
argumentów. Przedstaw funkcję za pomocą wykresu i zaznacz na nim miejsce zerowe.
Zad.6 Funkcja określona jest następująco: każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowujemy odwrotność tej liczby.
(a) Podaj wzór tej funkcji.
(b) Oblicz wartości tej funkcji dla kilku wybranych argumentów.
(c) Dla jakich argumentów wartości funkcji wynoszą:
1 3
; ;
3 4
Zad.7 Dana jest funkcja y = (2x − 3)2 − (4x − 3)(x + 1) +
2; 1; 1 13 ; 0, 1; 0, 0001?
10
x
3
− 3.
(a) Sporządź wykres funkcji.
(b) Oblicz miejsce zerowe.
(c) Oblicz wartość funkcji dla x = 4.
(d) Określ przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Zad.8 Sporządź w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz znajdź współrzędne punktu przecięcia się tych wykresów: y = 2x − 6, y = −2x + 2.
Zad.9 Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań:
(
(a)
x+y = 3
,
x−y = 1
(
(b)
−2x + 2y = 2
,
y−x
= 5
(
(c)
y − 2x + 1 =
0
.
y−1
= 2(x − 1)
Zad.10 Funkcja f każdej liczbie naturalnej przypisuje liczbę jej cyfr w układzie dziesiętnym.
(a) Oblicz: f (7), f (93), f (140).
(b) Dla ilu różnych argumentów funkcja f przyjmuje wartość 2?
(c) Dla ilu różnych argumentów funkcja f przyjmuje wartość 3?
(d) Rozwiąż równanie f (x) = x.
Zad.11 Funkcja określona jest za pomocą tabeli:
x
5 10 15
f (x) 3 2 17
20 25
10 −8
(a) Określ dziedzinę i wypisz wartości tej funkcji.
(b) Jaka jest największa wartość tej funkcji?
(c) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje najmniejszą wartość?
(d) Narysuj wykres tej funkcji.
Zad.12 Funkcja f każdej liczbie większej od (−5) i mniejszej lub równej 3 przyporządkowuje
połowę tej liczby.
(a) Zapisz wzór tej funkcji.
(b) Narysuj wykres tej funkcji.
(c) Podaj zbiór wartości funkcji.
(d) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Zad.13 Podaj współrzędne punktu przecięcia osi OY przez funkcję liniową o wzorze y = 2x − 3.
Zad.14 Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru X = {−2; −1; 0; 1, 5; 3; 4} liczbę
o 2 większą. Zapisz wzór tej funkcji, opisz ją za pomocą tabelki, podaj zbiór wartości, narysuj
wykres.
Zad.15 Rys. 2 przedstawia wykres funkcji f (x). Korzystając z niego, podaj:
(a) miejsce przecięcia osi OY ,
(b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,
(c) przedziały, na których funkcja jest malejąca oraz przedziały, na których jest stała,
(d) argumenty, dla których wartość funkcji jest największa lub najmniejsza.
Zad.16 Wykresy przedstawione na rys. 3 przedstawiają zmiany średnich kursów dolara amerykańskiego (USD) i euro (EUR) w latach 2006-2007. Na podstawie tych wykresów odpowiedz na
pytania.
(a) Kiedy różnica wartości między euro a dolarem była większa: na początku czy na końcu przedstawionego okresu?
(b) Jaki był średni kurs dolara w listopadzie 2006?
(c) Kiedy euro było najdroższe? Jaki był wtedy jego średni kurs?
(d) Jaki był kurs euro w październiku 2006 roku? Po jakim czasie jego wartość wróciła do tego
poziomu?
(e) O ile procent spadała wartość dolara względem złotówki w ciągu roku 2007? O ile w tym czasie
spadła wartość euro?
(f ) O ile procent wyższy był kurs euro od kursu dolara w chwili, gdy euro było najdroższe? O ile
procent tańszy od euro był wtedy dolar?
Zad.17 Zapisz wzór i narysuj wykres funkcji, która każdej liczbie przyporządkowuje liczbę o 3
większą od połowy tej liczby.
Zad.18 Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji: y = 2x − 3, y = −x − 3, y = 3.
Zad.19 Narysuj wykresy poniższych funkcji (przedstaw y jako funkcję zmiennej x):
(a) 2y = 16x − 10,
(b) 15y = 7x + 8y − 4.
Zad.20 Czy rysując na jednym wykresie nieskończoną ilość funkcji liniowych może okazać się, że
żadne dwie z nich się nigdy nie przetną? Odpowiedź uzasadnij.
Zad.21
Narysuj wykresy funkcji: y = 2x + 1 oraz y = x + 2 i wskaż parę (x, y), będącą
rozwiązaniem układu złożonego z tych dwóch równań.
rys. 1
rys. 2
rys. 3
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 7 – Statystyka opisowa i rachunek prawdopodobieństwa
Zad.1 Zmierzono 35 uczniów w pewnej III klasie gimnazjum. Wyniki zapisano w centymetrach
w przypadkowej kolejności: 168, 172, 164, 169, 158, 161, 159, 170, 168, 171, 166, 168, 176, 164, 159,
163, 168, 171, 165, 166, 158, 170, 168, 166, 170, 162, 168, 165, 167, 167, 168, 159, 170, 167, 166.
Oblicz średnią wzrostu w tej klasie modę oraz medianę.
Zad.2
Dana jest tabela, w której wypisano główne Polskie rzeki pod względem ich długości
w kilometrach. Sporządź diagram słupkowy poziomy. Oblicz średnią długość rzek w Polsce.
Wisła
1047
Soła Dunajec
89
247
Wisłoka
164
San Wieprz Narew Bug Odra Nysa Kł.
433
303
484
772 854
182
Bystrzyca
95
Zad.3 W pewnym gimnazjum jest 540 uczniów. 30% uczniów to uczniowie trzecich klas. Jedna
trzecia uczniów klas trzecich korzysta z dodatkowych zajęć sportowych w szkole. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń tej szkoły jest trzecioklasistą korzystającym z zajęć
sportowych?
Zad.4 Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3, 1, 1, 0, x, 2 jest równa 2. Oblicz x.
Zad.5 Rzucamy dwa razy monetą. Ustal, co jest bardziej prawdopodobne:
(a) otrzymanie dwóch orłów czy otrzymanie dwóch reszek,
(b) otrzymanie dwóch orłów czy otrzymanie orła w pierwszym rzucie i reszki w drugim,
(c) otrzymanie dwóch orłów czy otrzymanie różnych wyników w obu rzutach.
Zad.6 W pewnej klasie jest 28 uczniów. Spośród wszystkich uczniów losujemy jednego. Prawdopodobieństwo tego, że wylosowana będzie dziewczyna wynosi 47 . Ilu chłopców jest w tej klasie?
Zad.7 Oto wyniki klasówki w klasach II a i II b:
II a:
2, 1, 2, 2, 4, 5, 6, 5, 1, 1, 3, 5, 2, 4, 3, 1, 5, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 2, 5, 5, 2;
II b:
4, 2, 4, 3, 4, 1, 4, 4, 4, 1, 1, 4, 2, 4, 4, 4, 2, 1, 4, 3, 2, 4, 5, 1, 2, 4, 4.
(a) Porównaj średnie ocen w obydwu klasach.
(b) Narysuj diagramy słupkowe przedstawiające te wyniki.
(c) Czy na podstawie diagramów można stwierdzić, że uczniowie obydwu klas napisali klasówkę
równie dobrze?
(d) Porównaj mediany wyników w obu klasach.
Zad.8 W sklepie „Bubel” sprzedaje się tanio różne rzeczy bez gwarancji. Na przykład na pięć
dobrych żarówek przypadają tam trzy przepalone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując jedną
żarówkę, trafisz na dobrą, a jakie, że na przepaloną?
Zad.9 W klasie Jasia i Kasi jest 36 uczniów. Jasio ma w dzienniku numer 17, a Kasia 12. Jasio zaproponował nauczycielce, aby rzucała dwiema kostkami, mnożyła liczby oczek i odpytywała osobę,
której numer w dzienniku jest równy otrzymanemu iloczynowi. Jasio tłumaczył, że wynik zawsze
jest liczbą pomiędzy 1 a 36, więc losowanie jest sprawiedliwe. Kasia zaprotestowała, twierdząc, że
ona wyjdzie na tym najgorzej. Jak sądzisz, czy taki sposób losowania byłby sprawiedliwy? Dlaczego
właśnie Kasia zaprotestowała?
Zad.10
Pięciu najlepszych przyjaciół ustawiło się do wspólnego zdjęcia od najmniejszego do
największego. Pierwszy z nich miał 154 cm wzrostu, a każdy następny był o 12 cm wyższy od
poprzedniego. Ile średnio wzrostu miał każdy z nich?
Zad.11 W pewnej grze planszowej osoba, która stanie na pole „×” rzuca dwukrotnie stworzoną
specjalnie do tego celu kostką o pewnej ilości ścian. Para liczb, jaką wyrzuci informuje go o tym, na
której kartce znajduje się informacja o czekającej go karze (kolejność jest ważna: para (1, 2) nie jest
parą (2, 1)). Wiadomo, że możliwości ukarania zawodnika jest 289. Ile zatem ścian ma ta kostka?
Zad.12 Spotkało sie dwóch początkujacych trenerów. Jeden z nich, trenujący piłkę reczną, narzekał, że z 4. ligi do 3. awansują tylko 2 z 25 zespołów, z 3. do 2. ta sztuka udaje się tylko co
dziesiątemu, a na najwyższy poziom rozgrywkowy wchodzą jedynie 3 drużyny spośród 400! Drugi
z nich, trenujący piłkę nożną, zaśmiał się i powiedział, że w jego dyscyplinie z 4. do 3. ligi awansują
4 zespoły sposród 100, aby awansować z 3. do 2. trzeba zająć co najmniej 2 miejsce spośród 30,
a aby wejść na najwyższy poziom trzeba załapać się do grona 255 drużyn sposród 10000! Obydwoje
chcą awansować z 4. ligi do 1. w 3 sezony. Czy jesteś w stanie powiedzieć, przed którym z trenerów
stoi trudniejsze zadanie?
Zad.13 Uczeń otrzymał następujące oceny z pięciu kartkówek: 5, 3, 4, 2 i 2. Z powodu nieobecności
w szkole nie poznał oceny z szóstej kartkówki, ale wie, że po jej napisaniu średnia jego ocen wynosi
3,5. Jaką ocenę otrzymał z ostatniej kartkówki?
Zad.14 W pewnej klasie ustawiono oddzielnie chłopców i dziewczęta według wzrostu od najmniejszego do największego i zmierzono ich wzrost. W grupie dziewcząt mediana wzrostu była średnią
arytmetyczną wzrostu dziewcząt stojących na pozycji szóstej i siódmej, a w grupie chłopców mediana wzrostu była równa wzrostowi chłopca stojącego na pozycji ósmej. Ilu uczniów było w tej
klasie?
Zad.15 W turnieju bierze udział pięć drużyn. Ile meczy zostanie rozegranych, by każda drużyna
zagrała z każdą mecz i rewanż?
Zad.16 Z zapisanych na oddzielnych kartkach cyfr 1, 2, 3 i 4 losujemy jedną, a następnie drugą.
Układamy je kolejno od lewej do prawej. Jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia liczby większej
niż 25?
Zad.17 W loterii jest 110 losów, w tym 2 wygrywające. Ile losów wygrywających trzeba dołożyć,
aby prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego:
(a) było równe 15 ?
(b) było większe od 31 ?
Zad.18 Rzucamy złotówką, dwuzłotówką i pięciozłotówką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego,
że na wszystkich trzech monetach wypadnie orzeł?
Zad.19 Paulina ma w szafie 20 bluzek w kilku kolorach. W tabelce przedstawiono, jaki procent
bluzek stanowią bluzki w danym kolorze. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana losowo bluzka
jest niebieska.
kolor bluzki czerwony niebieski
procent
15
70
czarny biały
5
10
Zad.20 W pewnej klasie okazało się, że są 3 osoby, które urodziły się w kwietniu tego samego
roku i są dwie osoby, które urodziły się w lipcu tego samego roku. Oblicz prawdopodobieństwo, że
troje z tych 5 uczniów urodziło się tego samego dnia roku.
Zad.21 Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . , 19, 20} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.
Zad.22 Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli z urny, w której są jeszcze kule białe
i czarne, jest równe 0,2. Białych kul jest 5, a czarnych 7. Ile jest kul czerwonych?
Zad.23 W pudełku są tylko kule białe i czarne, przy czym kul czarnych jest o 5 więcej niż kul
białych, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest dwa razy mniejsze, niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej. Wybierz P – jeśli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest
fałszywe.
(a) W pudełku jest więcej niż 12 kul.
P
F
(b) Po dołożeniu do pudełka 3 kul czarnych, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej będzie
3 razy mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.
P
F
Zad.24 W kapeluszu znajdują się króliki białe i szare. Królików szarych jest trzy razy więcej
niż białych. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia z kapelusza królika białego jest równe
prawdopodobieństwo wyciągnięcia z kapelusza królika szarego?
2
8
. Jaie jest
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 8 – Figury płaskie
Zad.1 W sześciokąt foremny o boku 6 cm wpisano trójkąt, jak pokazano na rysunku. Oblicz pole
koła wpisanego w ten trójkąt.
Zad.2 W kole o promieniu 6 cm dany jest kąt środkowy o mierze 22, 5◦ . Oblicz długość łuku, na
którym jest oparty ten kąt i pole powstałego wycinka koła.
Zad.3 Pokój ma wymiary 4 m × 5 m oraz 2,5 m wysokości. Są w nim dwa okna o wymiarach
1 m × 1,5 m oraz drzwi o wymiarach 1 m × 2 m. Ile puszek farby trzeba kupić, jeżeli jedna puszka
wystarczy na powierzchnię 9 m 2 , a pomalować trzeba tylko ściany?
Zad.4 Klomb ma kształt sześciokąta foremnego o boku 2 m. Ogrodnik postanowił zmienić kształt
tego klombu („ścinając” wierzchołki) na możliwie duże koło i zasadzić na nim bratki. Na 1 m2
ogrodnik planuje posadzić 80 kępek bratków. Ile kępek bratków powinien przygotować?
Zad.5 Ramiona trapezu prostokątnego mają długości 4 cm i 5 cm, a jego pole jest równe 46 cm2 .
Oblicz obwód tego trapezu.
Zad.6 Punkty A = (−1; 1), B = (7; 1) i C = (2; 3) są wierzchołkami trójkąta. Znajdź punkt D
taki, że trójkąty ABC i ABD są przystające i C 6= D. (Uwaga: Są trzy takie punkty.)
Zad.7 Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?
Zad.8 Ile wynosi pole zacieniowanego obszaru na rysunku?
4 cm
b
√
Zad.9 Do kwadratu o przekątnej 7 2 cm dorysowano trójkąt prostokątny tak, że jedna przyprostokątna pokrywa się z bokiem kwadratu, a druga o długości 3 cm leży na przedłużeniu drugiego
boku kwadratu. Jaką długość ma przeciwprostokątna dorysowanego trójkąta?
Zad.10 Obwód równoległoboku wynosi 28 cm. Oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że jeden
jego bok jest 2,5 razy dłuższy od drugiego boku, a jego wysokość wynosi 2,6 cm.
Zad.11 Pole koła opisanego na kwadracie wynosi 32π. Oblicz pole kwadratu oraz pole koła wpisanego w ten kwadrat. Oblicz różnicę pól poszczególnych figur oraz różnicę ich obwodów.
Zad.12 Na trójkącie równobocznym o długości boku a = 9 cm opisano okrąg. Oblicz obwody
i pola obu figur.
0
Zad.13 Jedna minuta (1 ) to
(a) 315◦ w minutach,
0
(c) 3360 w stopniach,
1
60
00
stopnia, a jedna sekunda (1 ) to
0
1
60
minuty. Wyraź:
00
(b) 12◦ 40 27 w sekundach,
00
(d) 432000 w stopniach.
Zad.14 Narysuj trójkąt równoboczny. Podziel go na trzy trójkąty: ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny.
Zad.15 Logo pewnego przedsiębiorstwa ma kształt kwadratu o polu 225 cm2 podzielonego na
cztery trójkąty o wspólnym wierzchołku znajdującym się wewnątrz kwadratu. Pola dwóch spośród
tych trójkątów są równe 45 cm2 i 60 cm2 . Oblicz odległości wspólnego wierzchołka trójkątów od
wszystkich boków kwadratu.
Zad.16 Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają 35 cm i 10 cm, a długości ramion wynoszą
20 cm i 15 cm.
Zad.17 Bok kwadratu i średnica okręgu mają
długość 2. Oblicz pola zamalowanych figur.
Zad.18 Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie styczne do okręgu. Punkty
styczności podzieliły okrąg na dwa łuki w stosunku 1 : 8. Oblicz miarę kąta ostrego utworzonego
przez te styczne.
Zad.19 Jaką długość może mieć trzeci bok trójkąta, jeżeli dwa pozostałe mają długości 12 cm
i 7 cm?
Zad.20 Na placu w kształcie rombu o boku długości 10 m i kącie ostrym 60◦ ma powstać trawnik.
Należy obsiać go trawą, wysiewając 25 g nasion na 1 m2 . Czy wystarczy na to 2 kg nasion?
Zad.21 W układzie współrzędnych dane są punkty A = (−5, 0), C = (1, 0) i D = (2, 5). Czworokąt
ABCD jest figurą osiowosymetryczną względem osi x układu współrzędnych. Podaj współrzędne
wierzchołka B. Oblicz długości boków czworokąta oraz długość krótszej przekątnej.
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 2
GIMNAZJUM – LISTA 9 – Bryły
Zad.1 Marcin zaplanował wykonanie lampki. Abażur do lampki ma mieć kształt stożka o wysokości
16 cm i średnicy podstawy równej 24 cm. Marcin musi przygotować odpowiedni szablon w kształcie
wycinka koła. Jaki to wycinek koła? (Podaj promień koła i miarę kąta środkowego wyznaczającego
ten wycinek).
Zad.2 Fabryka produkuje dwa rodzaje puszek o wysokości 20 cm lub 25 cm. Każda puszka ma
pojemność 1 l i kształtem przypomina walec.
(a) Ile razy większą średnicę ma niższa z tych puszek niż wyższa?
(b) Na którą puszkę zużywa się więcej blachy?
Zad.3 Do pojemnika w kształcie walca o średnicy 10 cm nalano wody i wrzucono do niego 30
metalowych kulek, każda o promieniu długości 1 cm. Kulki całkowicie zanurzyły się w wodzie. O ile
centymetrów podniósł się poziom wody w naczyniu?
Zad.4 Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli krawędź jego podstawy
ma długość 9 cm, a przekątna ściany bocznej ma długość 15 cm.
Zad.5 W sześciennym pudełku o polu całkowitym równym 600 cm2 pająk zaczepił nić swojej sieci
pomiędzy dwoma najbardziej oddalonymi od siebie wierzchołkami. Jaką długość ma zaczepiona
nić? Jaką objętość ma to pudełko?
Zad.6 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość
stożka jest równa 8. oblicz pole powierzchni bocznej stożka.
Zad.7 Oblicz objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi 1 dm.
Zad.8 Drut o długości 2 m otoczony jest izolacją. Średnica samego drutu wynosi 1 mm, a drutu
w izolacji 2 mm. Ile waży izolacja, jeśli wykonano ją z materiału o gęstości 0, 5 g/cm3 ?
Zad.9 Do zbudowania indiańskiego namiotu użyto dwumetrowych tyczek. Szkielet namiotu kształtem przypomina ostrosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy długości 90 cm. Każda
tyczka nachylona jest do podłoża pod kątem 60◦ . Jaką długość ma wystająca część tyczki? Czy
indiański chłopiec o wzroście 1,60 m będzie mógł się w tym namiocie wyprostować? Czy 4,5 m2
materiału wystarczy na pokrycie ścian tego namiotu?
Zad.10 Do szklanego naczynia w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 90 cm na
30 cm i wysokości 50 cm, częściowo wypełnionego wodą, wlano 3 litry nafty. Oblicz, jaką grubość
będzie tworzyła nafta nad powierzchnią wody.
Zad.11 Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach 30 cm × 40 cm należy wykonać naczynie
o pojemności 1 litra. Zaproponuj kształt i wymiary tego naczynia oraz oblicz, ile procent arkusza
blachy zostanie zużyte na wykonanie twojego naczynia.
Zad.12
Walec wykonany z miedzi o średnicy 24 cm i wysokości 12 cm przetopiono na kulki
o promieniu 3 cm. Oblicz ilość otrzymanych kulek.
Zad.13 Dziecko nasypuje piasek do foremek w kształcie stożka o promieniu podstawy 5 cm i tworzącej 13 cm. Następnie przesypuje go do wiaderka w kształcie walca o wysokości 36 cm i promieniu
dwa razy większym niż promień foremki. Jaką część wiaderka wypełniło dziecko, wsypując 6 foremek
piasku?
Zad.14 Akwarium, w którym Marek hoduje rybki, ma wymiary podstawy 5 dm na 8 dm i wysokość
6 dm. Marek wlewa do niego wodę przepływającą przez kran z szybkością 8 dm3 na minutę. Na
jakiej wysokości znajdzie się woda po 10 minutach? Ile czasu zajmie napełnienie akwarium do
2
3
pojemności?
Zad.15 Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wynosi 1 : 2 : 3. Przekątna prostopadłościanu ma długość 7 m. Jakie pole ma najmniejsza ściana tego prostopadłościanu?
Zad.16 Do naczynia w kształcie walca, które jest napełnione w 75% wodą, wrzucono sześcienną metalową kostkę. Jej pole powierzchni całkowitej wynosi 6 dm2 . Wiedząc, że przekrój osiowy
walca jest kwadratem o boku 18 cm sprawdź, czy woda z naczynia się wylała. Wykonaj potrzebne
obliczenia.
Zad.17 Trójkąt równoramienny o kącie rozwartym 120◦ obrócono względem zewnętrznej wysokości,
√
otrzymując wydrążoną bryłę. Wiedząc, że najdłuższy bok obracanego trójkąta ma 2 3 cm, oblicz
objętość powstałej bryły.
Zad.18 Kasia ma puszkę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wypełnioną po
brzegi kawą zbożową. Postanowiła przesypać tę kawę do puszki o większej pojemności w kształcie
graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Wymiary puszek podano na rysunku. Uzasadnij, że
przesypana kawa zajmie więcej niż połowę pojemności większej puszki.
18 cm
8 cm
6 cm
8 cm
Zad.19 Sześcian ma objętość 216000 cm3 . Jakie jest pole jednej ściany tego sześcianu wyrażone w dm2 ?
Zad.20 W czasie prac wykopaliskowych wydobyto 45 m3 ziemi, z której usypano kopiec w kształcie
stożka. Jego pole podstawy jest równe 54 m2 . Oblicz wysokość kopca stworzonego z tej ziemi.
Zad.21 Dach domu, którego podstawą jest kwadrat o boku 10 m ma kształt ostrosłupa. Płaszczyzny dachu nachylone są do poziomu pod kątem 45◦ . Oblicz pole powierzchni tego dachu.