Indukcja Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Indukcja
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Zasada Indukcji Matematycznej - wersja zupełna
TWIERDZENIE
Jeśli S ⊆ N jest zbiorem liczb naturalnych takim, że
(1) 0 ∈ S,
(2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja k ∈ S ⇒ k + 1 ∈ S,
to S = N.
TWIERDZENIE
Jeżeli
(1) prawdziwe jest zdanie P (0)
(2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja P (k) ⇒ P (k + 1),
to zdanie P (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n > 0.
Zasada Indukcji Matematycznej - wersja niezupełna
TWIERDZENIE
Jeśli S ⊆ N jest zbiorem liczb naturalnych takim, że
(1) k0 ∈ S,
(2) dla każdego k > k0 prawdziwa jest implikacja k ∈ S ⇒ k + 1 ∈ S,
to S ⊇ N − {0, 1, . . . , k0 − 1} .
TWIERDZENIE
Jeżeli
(1) prawdziwe jest zdanie P (k0 )
(2) dla każdego k > k0 prawdziwa jest implikacja P (k) ⇒ P (k + 1),
to zdanie P (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n > k0 .
Zasada Indukcji Matematycznej - wersja porządkowa
TWIERDZENIE
Jeśli S ⊆ N jest zbiorem liczb naturalnych takim, że
(1) 0 ∈ S


^
l ∈ S  ⇒ k + 1 ∈ S,
(2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja 
06l6k
to S zawiera wszystkie liczby naturalne, tzn. S = N.
TWIERDZENIE
Jeżeli
(1) prawdziwe jest zdanie P (0)


^
P (l) ⇒ P (k + 1),
(2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja 
06l6k
to zdanie P (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n > 0.
Przykłady
Zadanie:
Klient zamawia przynajmniej 12 kg towaru. Udowodnić, że jeśli towar jest zapakowany w worki po 4 kg i 5 kg,
zawsze można zrealizować zamówienie bez przepakowywania towaru.
Twierdzenie
Udowodnić indukcyjnie, że każdą liczbę naturalną m > 2 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych
(iloczyn może składać się z jednego czynnika).
O definiowaniu przez indukcję
1
TWIERDZENIE
Dany jest niepusty zbiór A, element a zbioru A oraz funkcja ϕ : A −→ A. Wówczas istnieje dokładnie jedna
funkcja f : N −→ A spełniająca warunki:
— f (0) = a,
— f (n + 1) = ϕ(f (n)) dla n ∈ N.
A∗ zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazach ze zb. A.
TWIERDZENIE
Dany jest niepusty zbiór A, element a zbioru A oraz funkcja ϕ : A∗ × N −→ A. Wówczas istnieje dokładnie jedna
funkcja f : N −→ A spełniająca warunki:
— f (0) = a,
— f (n + 1) = ϕ(hf (0), . . . , f (n)i, n) dla n ∈ N.
Zasada Indukcji Noetherowskiej (strukturalnej) - wersja bardzo nieformalna
Definiowanie zbioru przez indukcję strukturalną
— (P) podanie skończonego zbioru elementów bazowych
— (R) podanie zasady (funkcji), na podstawie której z elementów już należących do zbioru możemy utworzyć kolejne
elemeny.
Zasada indukcji strukturalnej
Niech X będzie zbiorem zdefiniowanym przez indukcję strukturalną.
— Jeżeli elementy bazowe zbioru X mają własność W oraz
— jeżeli z faktu, że elementy zbioru X mają własność W wynika, że posiadają ją również elementy z nich utworzone
w kroku rekurencyjnym,
to własność W posiadają wszystkie elementy zbioru X.
2