kąt wpisany Centrum ćwiczenia kąt

Projekt „Wiedza, kompetencje i praktyka to pewna przyszłość zawodowa technika.
Kompleksowy Program Rozwojowy dla Technikum nr 1 w Zespole Szkół
Technicznych im. Stanisława Staszica w Rybniku”, współfinansowany przez Unię
Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu
Operacyjnego Kapitał Ludzki, Priorytet IX, Działanie 9.2
Skrypt edukacyjny
do zajęć wyrównawczych
z matematyki
dla klas III
Barbara Mrowiec
Projekt „Wiedza, kompetencje i praktyka to pewna przyszłość zawodowa technika.
Kompleksowy Program Rozwojowy dla Technikum nr 1 w Zespole Szkół Technicznych im.
Stanisława Staszica w Rybniku”, współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego
Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki, Priorytet IX,
Działanie 9.2, realizuje:
Katolickie Centrum Edukacji Młodzieży KANA
ul. Górna 13
44-100 Gliwice
www.kana.gliwice.pl
[email protected]
Technikum nr 1 im. Stanisława Staszica w Zespole Szkół Technicznych w Rybniku
ul. Tadeusza Kościuszki 5
44-200 Rybnik
www.zstrybnik.pl
[email protected]
Autorka: Barbara Mrowiec
Redakcja: Robert Młynarz
Zdjęcia na okładce ze zbiorów Zespołu Szkół Technicznych w Rybniku.
Gliwice, grudzień 2012
Spis treści
Rozdział 1. Zostań mistrzem w działaniach na potęgach . ............................... 5
1.1 Potęga o wykładniku naturalnym. ......................................................... 5
1.2 Potęga o wykładniku całkowitym. ......................................................... 7
1.3 Potęga o wykładniku wymiernym. ....................................................... 10
1.4 Potęga o wykładniku niewymiernym. .................................................. 13
1.5 Potęga o wykładniku rzeczywistym. .................................................... 14
1.6 Funkcja wykładnicza i jej własności. ................................................... 15
1.7 Zastosowanie działań na potęgach w rozwiązywaniu równań
wykładniczych. ........................................................................................... 17
Rozdział 2. Zostań mistrzem w działaniach na logarytmach. ........................ 19
2.1 Pojęcie logarytmu z liczby dodatniej i ćwiczenia w ich obliczaniu. .... 19
2.2 Twierdzenia o działaniach na logarytmach i ich zastosowanie. ........... 22
2.3 Elementarne równania logarytmiczne i metody ich rozwiązywania. ... 25
Rozdział 3. Zostań mistrzem planimetrii ....................................................... 25
3.1 Pojęcia podstawowe geometrii ............................................................. 25
3.2 Wzajemne położenie okręgów ............................................................. 33
3.3 Wzajemne położenie okręgu i prostej. ................................................. 35
3.4 Kąty w okręgu. ..................................................................................... 38
3.5 Pole koła. .............................................................................................. 40
Rozdział 4. Zostań mistrzem geometrii analitycznej ..................................... 53
Rozdział 1.
Zostań mistrzem w działaniach na potęgach.
W tym rozdziale powtórzymy wiadomości potęgach o wykładniku
całkowitym i zdefiniujemy potęgę o wykładniku wymiernym i niewymiernym oraz
podamy ćwiczenia ułatwiające i utrwalające działania na potęgach o różnych
wykładnikach.
1.1 Potęga o wykładniku naturalnym.
Jeżeli a to dowolna liczba rzeczywista i chcemy ją wielokrotnie pomnożyć
przez siebie, to liczbę a nazywamy podstawą potęgi, zaś liczbę, która informuje nas
ile razy a przez siebie mnożymy, nazywamy wykładnikiem potęgi i zapisujemy:
n
a . Wynik takiego działania nazywamy potęgą liczby a. Zatem podajemy
następującą definicję potęgi o wykładniku naturalnym:
n N
Definicja: a  R ,
a1 = a i a n+1 = a n  a ;
a n  a  a  a  ...  a
inaczej
n czynników
Przykład 1.1
3
2
3
 3   3   3   3   3  37
;
8 2 = 81  8 = 8  8 = 64 ;   =      =         =
4
 4   4   4   4   4  64
4
4
3
 1
 3
 3   3   3   3   3   3  81
1  =   =     =           =
 2
 2
 2   2   2   2   2   2  16
 2 =  2 
5
4
2=4 2
Potęgę o wykładniku 2 nazywamy kwadratem liczby zaś o wykładniku
3 sześcianem liczby rzeczywistej co ma związek z polem kwadratu o boku a > 0
i objętością sześcianu o krawędzi a>0.
Jeżeli podnosimy do potęgi ułamki, liczby ujemne, liczby te zapisujemy
w nawiasie. Jeżeli chcemy podnieść do potęgi liczby mieszane, to najpierw
zamieniamy je na ułamek zwykły niewłaściwy, a dopiero później podnosimy do
potęgi.
Uwaga:
1n = 1 dla n  N  ; 0 n = 0 dla n  N  .
-5-
Wykonując działania na potęgach stosujemy poniższe twierdzenie:
Twierdzenie: Dane są: a  R, b  R oraz m, n  N  . Wówczas:
a 
m
n
m n
; a a  a
przy czym m ≥ n ;
a m  a n = a m n
m n
 a mn
n
a  b
= a b
n
n
n
an
a
   n przy czym b ≠ 0.
b
b
;
Przykład:
3
2
5
5
1
 1  1
 1
    =   = 
243 ;
 3  3
 3
 0,2  =  0,2
2 4
24
50
3
2 2
2
  :  =  
7 7
7
5 3
2
4
2
=  =
49
7
=  0,2 = 0,00000256 ;
8
50
50
 13   17 
 13 17 
50
     =    = 1 = 1;
17
13
17
13
   


1,2531 : 1 1 
31
31
1

= 1,25 : 1  = 131 = 1 .
4
 4

1,2
3
Ćwiczenie 1.1 Oblicz :
 6
3
2
1,5 5  ;   1 13 


3 7  : 3 7  ;
5
12
2
3
2
 1
 1  ;
 3
 
4
1,514  2 
 10   7 
 2  : 1  ;
 27   9 

2
14
6

3


 2  ;


;
3+7
 :
10
 11  3   11  3 ; 144 : 36

2 5 
 6
 5 ;
2 6  ; 1,5 
3
6
6
4
6
5
6
3
-6-
7
7
3 2
4
;

8
3+7 ;
2,542 0,442 ;
;
3
5
3
3
4
2 2
  :  ;
5 5
3+ 7  2 3  7 ;
3
3
 1
1  ;
 3
3 2 
2

 2  ;
3

10
5
;
3
 3
  ;
 7
;
4
2
  ;
5
 
 
2
 3 2  ;


8
4
2 2 4 3 2 6

 

 2 1  ;  2 1  .

 

3
 23 6 3  ;


Przykład 1.2 Obliczając wartość wyrażeń algebraicznych zawierających
potęgi o dużych wykładnikach, można postąpić jak w podanym przykładzie:
2  517  7  518 2  517  7  517  5 517 2  7  5
2  35
 33
 11
=
= 19
= 2
=
=
20
19
19
19
45 +5
4  5  5+5
5  4  5 + 1 5 20 + 1 25  21 175
Ćwiczenie 1.2 Postępując analogicznie jak w przykładzie, oblicz
317 + 316
2  3 20  5  319
212  15  211  21
wartość wyrażeń: 11
;
;
;
2  3 + 210  7
99
315 + 316
3  2 20  7  219  52
315  313  2 9
;
.
2
314  312  1024
13  8 4








1.2 Potęga o wykładniku całkowitym.
Ze względu na fakt, że przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki
odejmujemy czyli a n : a n = a nn = a 0 zaś gdy wykonamy dzielenie:
a0 = 1
a ≠ 0 , stąd przyjmujemy, że :
an
= 1 dla
an
aR ia  0
dla
Z tych samych powodów dla a  R  0 , gdy wykonamy dzielenie :
1
an
an
1
an
an
= n
= n+1 = a n n 1 = a 1 ; 2 = n 2 = n+2 = a n  n  2 = a  2 itd.
a a a a
a
a a
a
dlatego przyjmujemy następującą definicję:
Definicja:
a  R  0 , n  N
n

a
n
1 1
= n =  .
a
a
Przykład 1.3
15 2 =
1
1
;
=
2
225
15
3
3
 112 =
3
3
343
 2
 9
 7
;
1  =   =   = 
729
 7
 7
 9
-7-
3
 3
 5  125
;
  =  =
27
5
 3
1
1
;
=
2
 11 121
7 3 
2
=
1
7 2 
2
=
1
1
.
=
49  2 96
Wykonując działania na potęgach o wykładniku całkowitym, ujemnym, stosujemy
te same twierdzenia co o wykładniku naturalnym.
np. 2 3  2 4 = 2 3+4  = 2 7 =
1
1
;
=
7
128
2
2
2 2 
4
4
  1  2 
256
 1
4
 1   = 1 1 
 1  =   =
 3  
81
 3
 3
3


2
 
3
10
 2
1 
 7
10  8 
8
2
2
:  =  
3
3
13
7
 
9
13
 2 7
= 1  
 7 9
2 3  4
2 - 3 
7
7
2
2
9
2
3
=  =  = ;
4
3
2
13
9 7
=  
7 9


13
= 113 = 1 ;




2 3 4
 2 3 4  2 3 
 

 
7

 2 3  2 3 
2

3




Ćwiczenie 1.3 Oblicz:
2


 1 
-4
1,2
-3
 6
7
7
1
 1 

 
128
2
-3
=……………..
2
  =………………
5
 1
1  =………………
 3
=……………….
2
 3

   =………………   2  =………………
3
 7

-2
-3
-3
6
3 2 
-4
=.....................
-1
3+7
-2
 :
-9
1,5-20  2 
20
3
2
3+ 7
2
2 +3
3+7
-8
5
-3
-4
-5
  : 3 7 
=………………… 3 7
-12
-10
  2
31
-31
3 7

2 3
5

-4
=……………..
2 2
  : 
 5   5  =……………………
=…………………………. 2,5 0,4
  2
5

1,5 5 

3


 2  =……………


 1  1
 1    1 
 3   3  =………………

7
=…………
=…………………
= ………………………
 11  3   11  3
8
8
5
7
= ……………  
-8-
4
4
=………………
7
   =……………………….
5
4
-4
 10   7 
144 : 36 =…………………………  2  : 1  =…………………………
 27   9 
3
-3
 5
2 5 
=……………………………
1,5 
=……………
6
3
7
5
6
3
2 6 
 6
3 2
 
 3

1
7
3
=……………………………….
 
2
 =……………

 23 6

3
3
 =………… .

Obliczając wartości wyrażeń, w których mamy do wykonania więcej niż
jedno działanie lub wykorzystanie więcej niż jednego twierdzenia o działaniach na
potęgach, to wykonujemy działania pamiętając o kolejności działań . I tak najpierw
podnosimy do potęgi, następnie mnożymy i dzielimy zaś na końcu dodajemy lub
odejmujemy. W wyrażeniach, w których występują nawiasy, wykonujemy najpierw
działania w wyrażeniach, w których nie ma żadnych innych nawiasów. Oto
przykład:
Przykład 1.4 Oblicz:
3  2
2
 0,8
 13 
 
 16 

 2 1
1

 1  4  2 
 3  2    
 2  5  
1
 3  5 2 
    
 4  4  
1
 3 25 
  
 4 14 
1
 12 25 
  
 16 16 
16
13
2
 1  3
  3 
Ćwiczenie 1.4 Oblicz wartość wyrażenia: 1  + 2  
 
 4  
 2 
3
 1  1

2
1   2  ;
 3 

 2  3

3
   + 3  2 
 3 

2
15
14
4 
1 4
3
   
5
3
1
 2     8 2  64 2 ;
 16 
5
-9-
;
4 1  3  1,5 2
;
5  0,5 1
;
1
6 + 12   
6
15
1
0,514   
3
1
.
1
1.3 Potęga o wykładniku wymiernym.
Chcąc zdefiniować potęgę o wykładniku wymiernym najpierw definiujemy potęgę
o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej różnej od zera.
1
W tym celu prześledźmy następujące rozumowanie: przez 2 2 rozumiemy taką liczbę
1
która podniesiona do kwadratu powinna być równa 2 ; 2 3 to powinna być taka
liczba, która podniesiona do potęgi trzeciej da wartość równą a (ze względu na
twierdzenie o potędze potęgi, które mówi, że wykładniki mnożymy). Stąd też
przyjmujemy następującą definicję:
Definicja: a  R i a ≥ 0 i n  N

1
n
i n≥2 a =na.
1
 256  4 4 256 4
= .
Przykład 1.4 8 = 3 8 = 2 ; 32 = 5 32 = 2 ; 
 =
81
3
 81 
1
3
1
5
Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci iloczynu liczby całkowitej
i odwrotności liczby naturalnej większej lub równej 2 .
np.
3
1
= 3 ;
7
7
0, 6 = 0,666... =
3
13
1
 2 =  = 13  ;
5
5
5
2
1
= 2 .
3
3
Zatem przyjmuje się następującą definicję:
m
Definicja: a  R i a > 0 i n  N  i m  C
an 
 a
n
m
 n am .
Wykonując działania na potęgach o wykładniku wymiernym korzystamy z tego
samego twierdzenia co na potęgach o wykładniku naturalnym.
 256 
Przykład 1.4 

 81 
2
3
 
0,343
2
3
 343 

  3

 1000 
3
3
4
3
3
 256 
4
3
27
 =   =   =
=  4
;

81
3
4
64






 144 


 169 
2
8 = 3 8 = 22 = 4 ;


2
7
 
 10 
2

1
2
 144 

 

169


2
100
 10 
  
.
49
7
- 10 -
1
1
13
 12 
   ;
12
 13 
Ćwiczenie 1.5 Oblicz:
1
3

1
3
1
5
27 =…………………………. 1000 =…………….; 32 =…………..;
2
1

2

2
 49 
3
  =…………………….. 8 =.............................. 27 3 =..................
 64 
0,125

2
3
2
=……………………; 9
1,5
 125  3
=……………..; 
 =......................
 216 
2,251,5 =..............................;  81 
 16 

3
4
=…………; 810,125 =......................
0,04 2 =……………………; 0,16-0,5 =…………..; 0,027 3 =…………
3
2
.
Ćwiczenie 1.6 Oblicz:
5  27
2
3
6,25
100
1
2
 8 
 
 27 
 0,01
 0,1
2
3
 25 
 
 49 
-1
2

5  25
;
0,5

1
;
 9
1 
 16 
;
3
2
1
2
2
 
7
 64
1,96 0,5  49 0,5 ;
;

1
0,75
1
;
1
3
 14 
2 
 25 
,
 10 
2 
 27 

1
2

2
3
’
 0,5
2
 0,1
2
.
Przykład 1.5
3

4
Oblicz korzystając z twierdzeń o działaniach na
1
2
1
1
12  3 2  12  3 2  36 2  36  6
potęgach:
  23 
12 






1
2
 12
2  3
   
3  4
1
1
 12 2  12  2 3
;
3  2 2   3  2 2   3  2 2  3  2 2 
7
9
;
7
9
Ćwiczenie 1.7
7
9
1
4
1
4
Oblicz: 3  27 
- 11 -
7
9
 9  8  1  1
7
9
1
2
1
2
; 8  18 
2

2
3
4

8
2
3
8
2
 5 9  6 9
    
6 5

52
  2

3
2
52

3
4
 8

3
36


   
 49  


5
6
 


5 3 




1,69  
3
5
5
6
3
2

2
 10  1,5  9
 2   
 27  
2, 4

1
1
 13
 1
 8  32 3  4 3   2 3 




1
1
 12
 1
 8  18 2  50 2   2 2 





.
.
Ćwiczenie 1.8 Postępując analogicznie jak w podanym przykładach zapisz
podane liczby w postaci potęgi o podstawie 2 np.
3
 32 

2
5
1
2
 1


=  32 2 




2
;
4

 
64  2
1
6 5
2
6
1
5
2
6
5
;
1
3
5
3


 5
 2  2 2    2 2   2 6


 
 
2 8  2  23
3
1
3
5
2
5
1


=  25 2 


 
2 3 2 ;
4
32 ;

2
5
=2
1  2
5   
2  5
= 2 1 :
2
9
3
2 2 ;
5
6
8 4 ; 64 : 0,25 .
Ćwiczenie 1.9 Stosując poznane definicje potęg, oblicz wartości wyrażeń:
0,027 3    1 
1
2
0
 6
 3  0 
  
 4  
4  27

2
3
0, 9
 7,5  4
 256 0,75  31  5,5 

3
2
 2  4  810, 25 
3
 4 2
 1
 5     2430, 4   2 
9
 4
1
 5  1  2 
 
1

12      2  3  9 2 

 8  3  

1
3
1, 5


.
- 12 -
Ćwiczenie 1.10 Oblicz wartości wyrażeń korzystając ze wzorów skróconego
mnożenia oraz poznanych wiadomości o potęgach jak w przedstawionym
przykładzie:

 0,5
9 2 2

  9
1
2
0,5

2

2 2  

1
2
2
1
1
 1

1
2
2




 9 2  2 2    2   9 2  2 2 
 



 






  9  2 2 


1
2
1
2
2
1
 1

2



2
  9  2 2   
 


1
1
 1
  12
 2
2




9  2 2  2   9  2 2    9  2 2   9 2  2 2 
 


1
2
 
1
 1 2
2 2
3  2   9 2  2 2   3  6  2  9  4  2  6  2  1  8


 
  14
4  2 2


4
3
 
   14
  4  2 2
 

4
3
 

  14
 ; 9  3 3


2

4
3
 
   14
  9  3 3
 

4
3

;

2
1
1
1
1


1 2
1 2
1 2
1 2








 4  7 2    4  7 2   ;  3  5 2    3  5 2   .


  


 



  


 

 

1.4 Potęga o wykładniku niewymiernym.
Dla każdej liczby rzeczywistej niewymiernej można wskazać ciąg liczb
wymiernych, które zbliżają się do danej liczby niewymiernej. Takim ciągiem liczb
wymiernych zbliżających się do dowolnej liczby rzeczywistej niewymiernej, może
być ciąg jej przybliżeń wymiernych. np. x= √2 ciąg przybliżeń wymiernych tej
liczby: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; 1,4142135;.... . Obliczając
potęgę dowolnej liczby dodatniej o wykładniku niewymiernym, obliczamy potęgi
o danej podstawie i wykładnikach będących kolejnymi wyrazami ciągu przybliżeń
wymiernych. np. 2
2
obliczymy jako granicę ciągu potęg :
21,4 ; 21,41; 21,414; 21,4142;...
W zadaniach obliczeniowych tak dobrane są wykładniki, aby występujące w nich
liczby niewymierne zredukowały się.
- 13 -
Definicja: a > 0 i x dowolna liczba rzeczywista niewymierna ; x n ciąg liczb
wymiernych dążących do liczby x wraz ze wzrostem indeksu n
a x to granica ciągu potęg o podstawie a i wykładniku x n przy n nieograniczenie
rosnącym.
Twierdzenie dotyczące działań na potęgach są prawdziwe dla potęg o wykładniku
niewymiernym.
Przykład 1.6 3
2 5 +4
2 3
3 2 3
3
2 5 +2
3
3
: 
 
4
4
 2+ 3 7 







=3
3
= 
4
3 2
2 3+3 2 3

2 5 + 4  2 5 +2

7
=

 2 
= 33 = 27 ;   
 3 

6
17

6 5
4
;

6 5
3 2
7 2
;
:2
3
2 3
 3 + 2   3  2 
1
 49
2
;
3
2
;
2
2
4
2
=  = ;
9
3
2
3
2
2
2
3+ 2




9
3
=  = ;
 4  16
Ćwiczenie 1.11 Oblicz wartość wyrażenia:
3 2
2
3 5 5
8
4 2
2
 5
= 3  2
3+2
32
 31
3
7
0 , 23
;
2 3
; 6
: 2
7
3
 2 2
3
=1.
6
 0 , 2 ;
6
;
.
Ćwiczenie 1.12 Przedstaw w postaci a x , gdzie a jest liczbą naturalną.
2
7 2
 4 3 ; 27
3
3
 
 3
3
2
;
1
 25 0,5 : 125 2 ;
5
62
2
: 36 3
2
.
1.5 Potęga o wykładniku rzeczywistym.
Każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną lub niewymierna zatem potęga
o wykładniku rzeczywistym została zdefiniowana. Wykonując działania na potęgach
o dowolnym rzeczywistym wykładniku korzystamy z twierdzenia: a > 0 i b > 0
i xRi yR:
a x  a y = a x+ y
a  b
;
a x : a y = a x y ;
a 
x y
= a x y ;
x
x
= a b ;
x
x
ax
a
  = x .
b
b
Ponadto można zauważyć, że gdy x > y, to:
a x > a y , dla a > 1 ; a x < a y , dla 0 < a < 1
- 14 -
; ax > 0 .
a x gdzie a jest liczbą naturalną zaś
Ćwiczenie 1.13 Zapisz w postaci
xR:
27 3
4 8;
 

1
43  8 2
1 6
5 :  ;
5
2
3
16
17
8
3
25 5 ;
;
365 6
73 7
;
49
5
32 8 ;
 3
3
;
33 9
6
;
.
Ćwiczenie1.14 Oblicz wartość wyrażenia:
2
0,125
1
2
9  32 + 4   
3
2
 3,5 +   1  + 3  8 3 ;
 4
0
2
 30 +  0,50  1 

;
1
2
 81 
1
 2  3

3
   + 3  2  + 3  8 3 ;
 3 

2
2
 

2
3
3
1
1




4
3 81     9 3     ;

 3
 27  


1
1
 0,5
  1

4
4
9

9

3

9

 
 ;

 

 2
8 1  4    
 3
1
 1
6   
 2
2
 3
 
7
15
3
2 5
7
 
 3
 3 2
3
2 5
 51
6
;
3
;
2+1
6
 
 7

1 2
2 3+ 10


4
;
2 3  10
;
3 1
1
: 
4

2
1
 
 81 
1 3
3 2
;
 
7

1
2
;
0,4 
5+2
3+ 2

7
5 2
;
.
Ćwiczenie 1.15 Zapisz podane wyrażenie w najprostszej postaci:
4
5  25  125  4 25
625  0.04  4 125
3
;
7  49  343  3 49
.(Przedstaw każdy czynnik
1 4
2401 
 343
49
w postaci potęgi i wykonaj działania na potęgach).
Ćwiczenie 1.16
6
Wykaż, że jeżeli A = 2
3+4
3
i B= 2
3+4
,to B  4 A .
1.6 Funkcja wykładnicza i jej własności.
Poznaliśmy definicje potęg o różnych wykładnikach oraz twierdzenia, które
pozwalają wykonywać działania na tych potęgach, zatem można zdefiniować
- 15 -
funkcję, która dowolnej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje potęgę dowolnej
liczby dodatniej o tym wykładniku x. Funkcję te nazywamy wykładniczą.
Funkcją wykładniczą o podstawie a , gdzie a > 0 nazywamy funkcję
postaci f ( x)  a x , x  R .
Własności funkcji wykładniczych omawiamy najczęściej budując wykresy
funkcji o podstawach 2,3 jako przykłady funkcji o podstawie większej od 1 oraz
o podstawach 0,5 i
1
jako przykłady funkcji o podstawach z przedziału od 0 do 1.
3
Szczególny przypadek to funkcja o podstawie 1, która jest funkcją stałą. Wykresy
tych funkcji możemy narysować posługując się tabelą wartości funkcji.
x
-2
-1
0
1
2
f ( x)  2 x
0,25
0,5
1
2
4
4
2
1
0,5
0,25
f ( x)  1x
1
1
1
1
1
f ( x)  3 x
1/9
1/3
1
3
9
9
3
1
1/3
1/9
f ( x)  0,5
1
f ( x)   
 3
x
x
Własności funkcji wykładniczych:
Zbiór wartości funkcji wykładniczych o podstawie różnej od 1 to zbiór liczb
rzeczywistych dodatnich. Funkcje są rosnące, gdy a > 1, malejące gdy 0 < a < 1,
- 16 -
różnowartościowe tzn. każdą wartość dodatnią przyjmują dokładnie dla jednego
argumentu x.
Tę własność wykorzystujemy przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.
Ćwiczenie 1.7 Naszkicuj wykres funkcji f ( x)  2 x , x  R , a następnie
utwórz wykresy funkcji : g ( x)  2 x 3 ; h( x)  2 x  2 i k ( x)  2 x 3  2 .
1.7 Zastosowanie działań na potęgach w rozwiązywaniu
równań wykładniczych.
Równanie wykładnicze to równanie, którego niewiadomą jest wykładnik potęgi
o dodatniej podstawie: np. 3 x = 27 . Chcąc rozwiązać równanie wykładnicze lewą
i prawą stronę równania przedstawiamy w postaci potęgi o tej samej podstawie
a następnie opuszczamy podstawy i porównujemy wykładniki lewej i prawej strony
równania. W ten sposób otrzymujemy równania z jedną niewiadomą, których
metodę rozwiązania poznaliśmy wcześniej.
2
3
x+3
8
aby rozwiązać to równanie prawą stronę
27
2
przedstawiamy w postaci potęgi liczby otrzymując równanie
3
x+3
3
2
2
postaci:   =   . Następnie porównujemy wykładniki otrzymując równanie:
3
3
Przykład 1.6  
=
x + 3 = 3 , którego rozwiązaniem jest x = 0.
Postępując analogicznie rozwiąż równania: 32x1 =
1
;
81
2 53x = 8 .
Przykład 1.7 8 2x+1 = 32  23x2 chcąc rozwiązać to równanie lewą i prawą stronę
 
zapisujemy w postaci potęgi o podstawie 2 : 2 3
2x+1
= 2 5  2 3x2 , następnie
wykonujemy działania na potęgach : 2 6x+3 = 23x+3 dalej opuszczamy podstawy
potęg otrzymując równanie: 6x + 3 = 3x + 3 , które rozwiązujemy tak, jak równanie
stopnia pierwszego czyli przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę równania
zaś liczby na prawą stronę równania otrzymując:
6x – 3x = 3 – 3
3x = 0
x=0.
1
1
Postępując analogicznie rozwiąż równania:  9 2x+6 = 3 x  2   
3
9
x
0,2  25
x+3
=5
3x7
;
 4   27 
   
9  8 
x 1
=
- 17 -
2
.
3
4 3x
;
2
Przykład 1.8  
 3
x2
x
64
 3
Rozwiązując takie równanie zauważamy, że
  =
729
2
2
lewą i prawą stronę równania można zapisać w postaci potęgi o podstawie
oraz,
3
że przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy, więc równanie
2
można zapisać :  
3
x2
x
6
2
=   . Zatem po porównaniu wykładników
3
2
otrzymujemy równanie x  x = 6 . Równanie to przekształcamy do postaci
x 2  x  6 = 0 i rozwiązujemy jak równanie kwadratowe tzn. obliczamy deltę (∆ =
25) a następnie x1 i x2 (x1 =-2 ; x2 =3).
x
Postępujące analogicznie rozwiąż równania: 2
x2
2
1
1
x
   = ; 100 x  0,1 = 10 ;
4
8
2
125 x : 25 x = 5 .
x
x
Ćwiczenie 1.8 Rozwiąż równania: 9 = 3
 27 
3x6
4 2x3 = 83x+1 ;
24 8 x = 4 x ;
2
5 x = 25  5 x ;
5x
2
x  2
 2
x 2 5 x
2
3 x = 81 ;
1 ;
= 1;
5x
= 9 2x+1 ;
2
2
 53 x ;
2
38 x = 9 x ;
x
3 9
x3
x2
 93 ;
x
2 4
x3
x2
1
  ;
2
2 x  256 .
- 18 -
3
x 1
3
4
;   =3 ;
8
9
0,252x3 = 43x+1 ;
25 x  125 4 x6
2
4 x = 0,5 ;
2
x
Rozdział 2.
Zostań mistrzem w działaniach na logarytmach.
2.1 Pojęcie logarytmu z liczby dodatniej i ćwiczenia
w ich obliczaniu.
Mając zdefiniowane potęgi o różnych wykładnikach można się zastanawiać jak
znaleźć wykładnik potęgi, gdy znamy wartość tej potęgi oraz jej podstawę. Szukanie
wykładnika potęgi o znanej podstawie nazywamy logarytmowaniem.
Definicja : Logarytmem o dodatniej podstawie a , różnej od 1, z dodatniej liczby b,
nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a aby otrzymać
liczbę b.
Definicję te zapisujemy symbolicznie następująco:
a > 0 i a ≠ 1 i b > 0 log a b = x  a x = b
Przykład 2.1
log 2 2 = 1 bo 21 = 2 ; log 2 8 = 3 bo 23 = 8 ;
1
log 2 2 = 0,5 bo 2 0,5 = 2 ;
log 2 0,5 = 1 bo 2 1 = = 0,5 ;
2
4
1
2
1
4
4
3
3
;
= 0,5 bo 2 0,5 =
log 2 16 =
bo 2 = 2 3 = 3 16 ; log 2
2
3
2
1
log 2 1 = 0 bo 2 0 = 1 ;
log 2 0,125 = 3 bo 2 3 = = 0,125 ;
8
 
2
3
2
2
1
1
1
log 1 4 = 2 bo   = 4 ;
log 1 0,125 = 3 bo   = = 0,125 ;
8
2
2
2
2
1
2
2


1
2
1
1 2


log 1 2 = 
bo   = 2 ; log 1 3 4 = 
bo   3 = 2 3 = 3 4 ;
2
2
3
 
2
2
2
1
log 1 9 = 2 bo   = 9 ;
 3
3
log 5 0,2 = 2 bo
log 3
3
1
= 2 bo
27
log 2 8 = 6 bo
2
9
2
3
log 2 2,25 = 2 bo   =   = ;
4
3
2
3
2
1
1
5 = 5 1 = ; log 0,110 = 1 bo 0,1 = 10
5
 
3 3 
2
 2
6
2
 32 
1
=  3  = 3 3 =
;
27
 
=8
- 19 -
log 2
2
64  4
2 2 
4
bo
log 2 1 = 0 bo
 2 =1 ;
log1231 = 0 bo
1230 = 1 ;
log 5,15,1 = 1 bo
4
 3
  2 2   2 6  64
 
0
1
log 1 1 = 0 bo   = 1 ;
2
2
0
5,1
1
1
log 1
2
1
1
1
= 1 bo   = ;
2
2
2
log1212 = 1 bo 121 = 12 .
= 5,1 ;
Uwaga: Dla dowolnej liczby a > 0 i a ≠ 1 prawdziwe są równości:
i log a 1 = 0 bo a 0 = 1.
log a a = 1 bo a1 = a
W przypadku, gdy obliczenie logarytmu jest dość trudne można postąpić
x
 2
3

następująco: log 2 3 32 = x bo 
 2  = 32 następnie rozwiązujemy


2
x
5
1
1
 x
 1 
otrzymane równanie wykładnicze  2 2  = 2 5 3 więc 2 2 = 2 3 co oznacza, że




10
1
5
10
 x = zatem x =  . Wobec tego log 2 3 32 =  .
3
2
3
3
2
Ćwiczenie 2.1 Oblicz wartości logarytmów:
log 2 2 =……………
log 1 216 =……………..;
3
=……………;
3
log 25 5 =…………… ; log 8 0,5 =………………
log 0,2 25 =………….; log 3
6
1
=……………….; log 64 0,25 =…………….; log 36 6 =…………..
3
9
log 0,2564 =……………….; log 27 3 =……………...; log 2 =……………
4
3
log 27
log 0,5128 =……………….; log 1 243 =…………….. log 1 49 =…………….
3
7
27
25
=……………….; log 4
=……………… log 1 6 =…………….
log 0,6
64
9
3
6
log 2 43 32 =………………; log 3 3 81 =……………. ; log 4 43 16 =…………
log 5 0,043 25 =……………; log 1 3 32 =……………..; log 2 0,25 2 =………..
2
- 20 -
3
16
=……………….; log 1 16 8 =…………….; log 5 0,2 5 =………
4
2
log 4
3
log
2
3
3
16
9
=…………….; log 1
=…………….. .. log 1
=………….
3
4
3
3
3
4
3
3
=……………….; log 2 0,253 2 =……………; log 3
=……….
9
9
log 27 81 3 =…………….; log 1 0,5 32 =……………. log 5 1254 5 ………
log 3
8
log 1 9 3 =…………….. log
3
3
log
6
1
 ………………. log
6
log 49 343 ;
log 216 36
2
1
=………………
9
16  …………….
log 9 243 ;
;
log 49 7  …………
log 3 3 9  ………….
log 25 0,008 ; log 0,16 15,625 .
Wykorzystując definicję logarytmu można obliczać potęgi, których
log b
wykładniki są logarytmami: log a b  x  a x  b  a a  b . Ten fakt
wykorzystujemy
 
w
następujących
5log5 7  7
przykładach:
;
3 log2 3
8log2 3  2
 2 3 log2 3  (2 log2 3 ) 3  33  27 ;
312 log3 2  31  (3log3 2 ) 2  3  2 2  12
Ćwiczenie 2.2 Postępując analogicznie oblicz podane potęgi:
2
log2 9
;
3
log3 5
; 4
log2 5
;
1
 
 3
log3 6
;
49 log7 2 ;
 2
log2 9
.
Jeżeli podstawą logarytmu jest liczba 10, to logarytm nazywamy dziesiętnym i nie
piszemy podstawy ( log 8) . Zatem log10 = 1, log100 = 2; log0,01 = -2.
Ćwiczenie 2.3 Oblicz: log 1000 ; log 0,1 ; log 0,001 ;
log 100000; log 0,01; log 100.
Ćwiczenie 2.4 Korzystając z informacji w przykładzie, oblicz
analogicznie pozostałe przykłady :
log 3 log 3 27 = log 3 3 = 1 ( liczymy najpierw wewnętrzny logarytm)


log 2 log 216 ; log 4 log16 256 ; log 3 log 3 3 3 ; log 27 log 2 8 ;
log 64 log 2 16 ; loglog 21024 ; log 0,5 log 6 36 ;
log 41 log 6,3 6,3.
Oblicz:
Ćwiczenie 2.5
Oblicz : log 4 64 + log 3 81;
log100  log 0,5 32 ;
log 0,2 25 + log 0,1100 .
Ćwiczenie 2.6
Korzystając z definicji logarytmu, oblicz x. np. log 6 x = 2
- 21 -

x = 62
log 0,5 x = 3 ;
log 0,5 x +1 = 2 ;
log
log 3 x = 3 ;
log 2 x = 2 ;
log
log 2 x = 3 ;
3
log 2 x + 3 = 3 ;
x  3 = 2 ;
3
log 1 x = 2 ;
3
log 1 x  2 = 2 ;
log
2
x +1 = 4 ;
3
 x  2 = 3 .
5
Ćwiczenie 2.7 Korzystając z definicji oblicz dodatnią różną od 1 liczbę x
postępując jak w podanym przykładzie log x 4 = 2  x 2 = 4 ze względu na
to, że x > 0 , więc x = 2.
log x 27 = 3 ;
log x
log x 64 = 3 ;
Ćwiczenie
Oblicz
2.8
4
=2;
9
analogicznie
log x 0,125 = 3 .
jak
w
przykładzie:
log 6 5 + log 5 3 + log 2 4 = log 6 5 + log 5 3 + 2 = log 6 5 + log 5 5 = log 6 5 +1
log 6 6 = 1

 1

log 8 10  log 1  2 + log0,01  .
4

2

 1

log 2 1 + log 4 2 + log 3 9 ;
4

3
2.2 Twierdzenia o działaniach na logarytmach i ich
zastosowanie.
Wykonując działania na logarytmach stosujemy następujące twierdzenie.
Twierdzenie: a > 0 , a ≠ 1, x > 0 , y > 0 , m  R
Logarytm iloczynu dwóch dowolnych liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów
log a x  y = log a x + log a y .
przy tej samej podstawie z obu czynników:
Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika
przy tej samej podstawie: log a
x
= log a x  log a y .
y
Logarytm potęgi liczby dodatniej o dowolnym wykładniku jest równy iloczynowi
wykładnika tej potęgi przez logarytm z podstawy potęgi przy tej samej podstawie
logarytmu: log a x m = m  log a x .
Dość często trzeba również znać oraz umieć zastosować twierdzenie, które
nazywane jest twierdzeniem o zamianie podstaw logarytmu. Można je zapisać
w postaci następującej formuły:
log a b =
log c b
log c a
- 22 -
dla dowolnych liczb dodatnich a ,b, c i takich, że a ≠ 0 i c ≠ 0.
Zastosowanie poniższych twierdzeń w obliczeniach:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 2  3 = log 6 6 = 1;
log 2 12  log 2 3 = log 2 12 : 3 = log 2 4 = 2 ;
5
4
17
4
log 0,5 8 32 = log 0,5 2  2 = log 0,5 2 =
3
4
log 9 27 =
17
17
17
 log 0,5 2 =   1  
4
4
4
log 3 27 3
=
log 3 9 2
Ćwiczenie 2.9 Korzystając z podanych przykładów, oblicz wartości
podanych niżej logarytmów:
log 213 + log 21 7 ;
log 35 5 + log 35 7 ;
log 45 3 + log 4515 ;
log 2 20 + log 2 0,2 ;
log 3 6 + log 3 0,75 ;
log 312 + log 3 0,25 3 ;
log 5 0,1+ log 5 50 ;
log18 3 + log18 4 + log18 27 ;
log12 3 + log12 4 ;
log 4 80 + log 4 0,1 ;
log 0,2100 + log 0,2 0,25 ;
log 2412 + log 24 6 + log 24 8 ;
log 6 3 9 + log 6 72 + log 6 3 3 ;
log 21 7 7 + log 219 + log 21 7 ;
log15 45 + log15 5 + log15 3 + log15 5 ;
log 6 2 + log 6 3 + log 6 9 + log 6 4 ;
log12 2 + log12 3 + log12 4 + log12 6
log12 3 2 + log12 3 4 + log12 9 + log12 8 ;
log 0,2 75  log 0,2 3 ; log 318  log 3 54 ; log 0,2 75  log 0,2 3 ; log 3 54  log 3 2
log 0,5100 + log 0,5 3  log 0,5 75 ;
log 0,2 75 + log 0,2 4  log 0,212 ;
log 6 72  log 6 2 ; log 2 12  log 2 18 ; log 0,812  log 0,815 ;
3
3
log 2 3  log 212 ; log 4 3  log 4 48 ; log 6 2  log 6 72 ;
2log 6 2 + 2log 6 3 ;
log 0,6 30  log 0,618
2log15 3 + 2log15 5 ;
log12 2  log12 288 ;
1
log 12 36  2 log 12 2 ;
2
2
1
1
1
1
log 3 27  log 3 16 ;
log 6 4  log 6 18 ;
log 125  0,25 log
2
3
16
3
2
2
2
4
log 24  log 2
log 25  log 5
2 log 4  log 5
 log 2 8  2 log 2 14 ;
;
;
;
log
96

log
2
log
20

log
4
3
log
0
,
2

log
125
7
7
- 23 -
log 12  2 log 2
.
log 9  log 3
Ćwiczenie 2.10 Oblicz x, korzystając z własności logarytmów:
log 21 x  log 21 49  log 21 9
log 4 x  log 4 112  log 4 7
;
log 6 x  log 6 12  log 6 3 ;
log 7 x  log 7 392  log 7 8 ;
log 24 x  3 log 24 4  2 log 24 3 ;
log 2 x 
3
2
1
log 2 27  log 2 16 ;
3
2
3
3
log x  log 2700  3 log 3 .
log 6 x  3 log 6 3  log 6 8 ;
Ćwiczenie 2.11 Postępując analogicznie jak w podanym przykładzie, oblicz
x: np. log 3 x  2  2 log 3 2 prawą stroną równości zastępujemy sumą logarytmów
korzystając z definicji i twierdzenia o logarytmie potęgi i iloczynu:
log 3 x  log 3 9  log 3 4  log 3 x  log 3 9  4  x  36
log 0,5 x  1  log 0,5 6  2 log 0,5 3
; log
2
x  4  2 log
2
6  3 log
2
3;
log x  2  2 log 5  log 4
Ćwiczenie 2.12 Oblicz
Ćwiczenie 2.13 Oblicz
c  log 0, 2
ab , gdy a  log 3 81 i b  log 4 256 .
abc , gdzie a  log 3
1
, b  log 2 0,125 i
27
1
.
25
Ćwiczenie 2.14
abc 3
1
Oblicz
,jeżeli log 2 a  5 , b = log 0,01,
c  log 0,05 20 .
Ćwiczenie 2.15
Oblicz
log c 4  4 .
Ćwiczenie 2.16
log c 2 
Oblicz
a  b2
, jeżeli log 2 a  5 i
c
abc 3 ,
1
.
2
- 24 -
log 3
1
b i
9
jeżeli log 2 a  4 , log 2 b  5 i
2.3 Elementarne równania logarytmiczne i metody ich
rozwiązywania.
Równanie logarytmiczne, to równanie, w którym niewiadoma występuje pod
znakiem logarytmu tzn. jest wyrażeniem logarytmowanym lub podstawą logarytmu.
Równania tej postaci rozwiązywane są z wykorzystaniem definicji logarytmu oraz
definicji i twierdzeń o logarytmach.
Przykład 2.2 Rozwiąż równanie: log( x  1)  2  x  1  10 2  x  99
przy założeniu, że x + 1 > 0 .Otrzymane rozwiązanie spełnia warunek zatem
rozwiązanie to : x = 99.
log x 4  2 ; założenie: x > 0 i x ≠ 1 równanie to jest równoważne równaniu
x 2  4  x  2 (ze względu na założenie).
Ćwiczenie 2.17 Rozwiąż równania: log 2 x  1  3 ; log 3 2 x  1  2 ;
log 0, 25 ( x  2)  1 ; log( 3x  2)  1 ; log x  2 log 5 ; log 2 ( x  3)  4 ;
log 0,5 (5x  1)  2 ; log 36 ( x 2  10)  0,5 ; log x ( x  6)  2 ; log(log x) = 0.
Rozdział 3. Zostań mistrzem planimetrii.
W tym rozdziale przypomnimy krótko czym zajmuje się geometria oraz
poznamy i zastosujemy podstawowe własności figur płaskich.
W starożytnym Egipcie, gdzie wznoszono potężne budowle, sypano tamy
i nawadniano grunty, istniała wiedza praktyczna, stosowana przy wykonywaniu
różnych pomiarów. Tę wiedzę przejęli od Egipcjan Grecy i nazwali ją geometrią.
W kolejnych wiekach wiedzę te wzbogacili a w III wieku p.n.e. Euklides zebrał
dotychczasowe odkrycia, uporządkował i zapisał w dziele „Elementy”, w którym to
dziele dał wykład geometrii jako nauki abstrakcyjnej i dedukcyjnej. Fakt, że
geometria jest nauką abstrakcyjną oznacza, że badane figury geometryczne są
wytworem ludzkiego umysłu, zaś dedukcyjną – to, że za pomocą podstawowych
pojęć definiuje następne nowe pojęcia geometrii i dowodzi ich własności.
3.1 Pojęcia podstawowe geometrii.
Do podstawowych pojęć geometrii zwanych pojęciami pierwotnymi czyli
takimi których nie definiujemy, należą pojęcia punktu (oznaczenie: A, B, C,…) ,
prostej (oznaczenie: l, p, k,…), płaszczyzny. Innym podstawowym pojęciem jest
pojęcie odległości punktów na płaszczyźnie (oznaczenie |AB|). Własności tych pojęć
omawiają twierdzenia zwane aksjomatami, czyli pewnikami, których to twierdzeń
nie dowodzi się jako oczywiste. I tak aksjomatami są następujące twierdzenia:
Do każdej prostej należy nieskończenie wiele punktów.
- 25 -
Przez dowolne dwa różne punkty płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna prosta.
Następnie omawiamy wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie: proste mające
jeden punkt wspólny – proste przecinające się; proste mające nieskończenie wiele
punktów wspólnych – proste pokrywające się; proste nie mające żadnego punktu
wspólnego – proste rozłączne. Dwa ostatnie położenia definiuje się jako proste
równoległe i wprowadza oznaczenie „||”. Kolejnym a zarazem fundamentalnym
aksjomatem jest aksjomat zwany aksjomatem Euklidesa: Przez każdy punkt
płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej.
Rodzinę wszystkich prostych równoległych do danej nazywamy prostymi o tym
samym kierunku.
Jednym z najważniejszych pojęć geometrii jest pojęcie odległości punktów: Każdym
dwom punktom A, B można przyporządkować liczbę zwaną odległością punktów
A i B oznaczaną |AB| spełniającą następujące trzy warunki: |AB| ≥ 0; |AB| = |BA| ;
|AC|+|CB| ≥ |AB|
( warunek ten nazywamy warunkiem trójkąta).
odległości punktów pozwala wprowadzić nowe definicje: okręgu i koła.
Pojęcie
Definicja: Okręgiem o środku S i promieniu r > 0, nazywamy zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa promieniowi r.
Kołem o środku S i promieniu r > 0, nazywamy zbiór wszystkich punktów
płaszczyzny, których odległość od środka S jest mniejsza lub równa promieniowi r.
Koło umożliwia wprowadzenie pojęcia figur ograniczonych, czyli tych , które
zawierają się w jakimś kole. Mając definicje okręgu można również badać ich
wzajemne położenie oraz wzajemne położenie okręgu i prostej.
Następnymi pojęciami, które wprowadzamy, to definicja półprostej, odcinka
i łamanej.
Definicja: Zbiór wszystkich punktów prostej l leżących po jednej stronie punktu A
wraz z punktem A, nazywamy półprostą o początku A.
Odcinkiem o końcach A, B (oznaczenie AB ) nazywamy zbiór wszystkich punktów
prostej AB, które leżą między punktami A i B. Odległość końców odcinka
nazywamy długością odcinka i oznaczamy | AB | AB .
- 26 -
Łamaną nazywamy figurę geometryczną, która jest sumą skończonej liczby
odcinków takich, że każde dwa kolejne mają wspólny koniec oraz:
- każde dwa kolejne odcinki i tylko dwa kolejne odcinki mają wspólny koniec,
- żadne dwa następujące po sobie odcinki nie są zawarte w jednej prostej.
Odcinki łamanej nazywamy jej bokami a suma długości jej boków to długość
łamanej.
Szczególnym przypadkiem jest łamana zwyczajna zamknięta.
Definicje półprostej, łamanej pozwalają na zdefiniowanie nowych bardzo ważnych
pojęć kąta i wielokąta.
Definicja: Każdą z dwóch części płaszczyzny otrzymanych przez jej
rozcięcie wzdłuż dwóch półprostych o wspólnym początku, nazywamy
kątem. Wspólny wierzchołek obu półprostych to wierzchołek kąta, zaś te
półproste to ramiona kąta.
Kąty przyległe
Kąty wierzchołkowe
Kąty naprzemianległe
- 27 -
Kąt wpisany
Kąt środkowy
Definicja: Wielokątem nazywamy figurę będącą sumą łamanej zwyczajnej
zamkniętej i części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną. Boki łamanej to brzeg
wielokąta zaś długość łamanej jest obwodem takiego wielokąta.
Wielokąt jest wypukły wtedy, gdy
odcinek łączący dowolne dwa
punkty tego wielokąta zawiera się w
tym wielokącie.
α , γ kąty wewnętrzne
γ, δ kąty zewnętrzne
Przekształcenie geometryczne to kolejne pojęcie, które dobrze byłoby przypomnieć.
Przekształcenie geometryczne na płaszczyźnie to inaczej funkcja , której
argumentami i wartościami są punkty płaszczyzny. Wartości takich funkcji
nazywamy obrazami punktów i tak, jeżeli przekształcenie geometryczne oznaczymy
przez F, to F(A) to obraz punktu A w przekształceniu F . Ważnymi
przekształceniami są przekształcenia, w których odległość punktów i ich obrazów
jest taka sama. Przekształcenia te nazywamy izometrycznymi. Elementarnymi
przekształceniami izometrycznymi są: symetria osiowa względem prostej k;
symetria środkowa względem punktu ; przesunięcie o wektor oraz obrót o kąt wokół
punktu.
Symetria osiowa
- 28 -
Symetrią osiową względem prostej
k nazywamy takiej przekształcenie
płaszczyzny, w którym obrazami
punktów prostej k są te same punkty
zaś obrazami pozostałych punktów
płaszczyzny są punkty, zwane
symetrycznymi
do
danych
względem prostej k. (wyznaczamy
je za pomocą cyrkla)
Figurę, której obraz względem
pewnej prostej jest tą samą figurą
nazywamy osiowosymetryczną a tę
prostą nazywamy osią symetrii
figury.
Oś symetrii prostej to prosta do niej
prostopadła.
Odległość punktu od prostej, to
odległość tego punktu od jego rzutu
prostokątnego na daną prostą.
Odległość A od prostej k
Oś
symetrii
odcinka
nie
przechodząca przez jego końce to
symetralna odcinka.
Własność punktów należących do
symetralnej:
|AK|=|BK|
dla
dowolnego punktu K należącego do
symetralnej odcinka AB.
- 29 -
Dwusieczna kąta to półprosta
zawarta w osi symetrii kąta i jego
wnętrzu.
Punkty należące do dwusiecznej
kąta są równoodległe od jego
ramion.
Symetrią środkową względem punktu S nazywamy takie przekształcenie
płaszczyzny, w którym obrazem punktu S jest ten sam punkt zaś obrazem
dowolnego innego punktu płaszczyzny A ≠ S jest taki punkt A’, że S jest środkiem
odcinka AA’.
Figurę F nazywamy środkowo symetryczną wtedy, gdy w symetrii środkowej
wzglądem punktu S obrazem figury F jest ta sama figura. Przykładami figur
środkowo symetrycznymi są: prosta, odcinek, okrąg, koło.
Translacja o wektor u lub przesunięcie równoległe o wektor u , to przekształcenie,
które każdemu punktowi płaszczyzny A przyporządkowuje taki punkt A’, że
AA'  u .
Obrotem dookoła punktu O o kąt skierowany α nazywamy przekształcenie
płaszczyzny na płaszczyznę, w którym punkt O jest stały, a dowolnemu punktowi A
przyporządkowuje punkt A', taki że |OA| = |OA'| i kąt skierowany ∡AOA' = α.
Punkt O nazywamy środkiem obrotu, a kąt α kątem obrotu.
- 30 -
Figurę G nazywamy przystającą do figury F wtedy, gdy można je na siebie nałożyć
tzn że istnieje przekształcenie izometryczne, w którym obrazem figury F jest figura
G lub odwrotnie. Dla najprostszego wielokąta jakim jest trójkąt podajemy cechy
przystawania czyli jakie warunki powinny być spełnione, aby dwa trójkąty nazwać
przystającymi.
I cecha Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom
drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.
II cecha Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio
równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty
są przystające.
III cecha Jeżeli długość boku i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są
odpowiednio równe długości boku i dwóm kątom do niego przyległym drugiego
trójkąta, to trójkąty są przystające.
Chcąc przejść do ważnego twierdzenia Talesa przypomnijmy pojęcie odcinków
proporcjonalnych. Odcinki o długościach a i b są proporcjonalne do odcinków
o długościach c i d wtedy gdy a:b = c: d tzn. gdy ilorazy długości tych odcinków są
równe.
Twierdzenie Talesa : prosta AB = l
prosta AC = k ; prosta BC = a ; prosta
DE = b Jeśli proste l i k przecinające
się w punkcie A zostaną przecięte
prostymi a i b równoległymi nie
przechodzącymi przez punkt A, to
odcinki wyznaczone przez punkt A i
proste a, b na prostej l są
proporcjonalne do odpowiednich
odcinków wyznaczonych przez punkt
A i proste a i b na prostej k.
| AB |:| AD || AC |:| AE |
- 31 -
Twierdzenie Talesa można rozszerzyć
do postaci: |AD|:|AB |= |AE|:|AC|.
Ponadto prawdziwe są równości:
|AD|:|BD| = |AE|:|EC|.
Dodatkowo jeśli zachodzi któraś z
podanych równości to prosta DE i
prosta BC są równoległe. (twierdzenie
odwrotne do tw. Talesa)
Mając do dyspozycji twierdzenie Talesa można określić przekształcenia takie jak
jednokładność i podobieństwo.
Jednokładnością o środku O i skali k ≠ 0 nazywamy takie przekształcenie
płaszczyzny, w którym obrazem punktu A jest taki punkt A’, że OA'  k  OA
Podobieństwem w skali k > 0 nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym
obrazem punktów A i B są takie punkty A’ i B’, że |A’B’|:|AB| = k.
Podobnie jak przy figurach przystających mamy również cechy podobieństwa
trójkątów:
I cecha oznaczana (BBB) Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do
odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
II cecha oznaczana (KBK) Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe
miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
III cecha oznaczana (BKB) Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są
proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są
przystające, to trójkąty są podobne.
- 32 -
3.2 Wzajemne położenie okręgów.
Okręgi rozłączne zewnętrznie
| AB | r1  r2
Okręgi styczne zewnętrznie
| AB | r1  r2
Okręgi przecinające się
| r1  r2 || AB | r1  r2
Okręgi styczne wewnętrznie
| AB || r1  r2 |
Okręgi rozłączne wewnętrznie
| AB || r1  r2 |
Okręgi współśrodkowe
- 33 -
Przykład 3.1 Określ wzajemne położenie okręgu o środku A i promieniu r oraz
okręgu o środku B i promieniu R , gdy |AB| = 5 i a) r = 7 , R = 12; b) r = 3 , R = 5 ;
c) r = 1 , R = 4 ; d) r = 6 , R = 2 .
Chcąc określić wzajemne położenie takich okręgów porównujemy odległość
środków z sumą promieni i ich różnicą ( wartość bezwzględna we wzorze pojawia
się aby nie pisać, że od większego promienia odejmujemy mniejszy).a)R + r = 12 ;
R – r = 5 = |AB| - okręgi są styczne wewnętrznie ( mają jeden punkt wspólny); b) R
+ r = 8 ; R – r = 5 – 3 = 2 więc |AB| < R + r oraz |AB| > 2 lub inaczej 2 < |AB| <
8 okręgi przecinają się (mają dwa punkty wspólne) c) R + r = 5 = |AB| okręgi
styczne zewnętrznie ; d) R + r = 8 ; r – R = 4 |AB| > R + r okręgi rozłączne
zewnętrznie.
Ćwiczenie 3.1 Określ wzajemne położenie okręgów: o środku A i promieniu r i
okręgu o środku B i promieniu R , mając dane : a) |AB| = 15; r = 7 , R = 3 ; b) |AB|
= 12,5; r = 7,25 , R = 5,25
; r = 6 ; R = 1.
c) |AB| = 8 ; r = 3 -
3 , R = 11 -
3 ; d) |AB| = 2
Przykład 3.2 Dany jest okrąg o środku A i promieniu R oraz okrąg o środku B
i promieniu r. Podaj liczbę punktów wspólnych tych okręgów w zależności od r :
|AB| = 5 ; R = 2 . Chcąc rozstrzygnąć ile jest punktów wspólnych obu okręgów
rozwiązujemy warunki: |AB| = R + r czyli 2 + r = 5 więc gdy r = 3 okręgi są styczne
zewnętrznie ; |AB| = |R – r| więc |2 – r| = 5 czyli 2 – r = 5 lub 2 – r = -5 co oznacz,
że r = - 3 (sprzeczność bo r > 0) lub r = 7 . Zatem dla r = 7 okręgi są styczne
wewnętrznie . Teraz analizujemy: gdy 3 < r < 7 okręgi się przecinają ; gdy 0 < r
< 3 okręgi są rozłączne zewnętrznie ; gdy r > 7 okręgi są rozłączne wewnętrznie.
Następnie formułujemy odpowiedź: Okręgi mają jeden punkt wspólny gdy r = 3 lub
r = 7 dla r  (3; 7) okręgi mają dwa punkty wspólne , zaś dla r  (0;3) lub r  (7 ;
+∞) okręgi nie mają punktów wspólnych. (Rozwiązując zadanie można posłużyć
się rysunkiem ).
Ćwiczenie 3.2 Postępując analogicznie jak w przykładzie rozstrzygnij ile
punktów wspólnych mają okręgi : o środku A i promieniu R i o środku B
i promieniu r w zależności od promienia r, mając dane: a) |AB| = 14,2 i R = 5 ; b)
|AB| = 21 i R = 8 ; c) |AB| = 7 2 i R = 4 .
Przykład 3.3 Znajdź obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki
parami zewnętrznie stycznych okręgów o promieniach 9 , 10 , 11.
- 34 -
Chcąc znaleźć obwód takiego
trójkąta po pierwsze wykonujemy
rysunek , zapisujemy długości
promieni i odliczamy długości
boków trójkąta.
|AB|=9+10=19
; |AC| = 9+11=20
|BC| = 10 + 11 = 21 ; więc obwód to
|AB|+|AC|+|BC|=19+20+21=60
Odp. Obwód trójkąta wynosi 60..
Ćwiczenie 3.2 a) Postępując analogicznie oblicz obwód trójkąta, którego
wierzchołkami są środki parami zewnętrznie styczne okręgi o promieniach:
1 , 3 , 5. b) Trzy okręgi o środkach O, P, S są parami styczne zewnętrznie,
przy czym |OP| = 8, |PS| = 10 i |OS| = 12. Znajdź promienie tych okręgów.
3.3 Wzajemne położenie okręgu i prostej.
Prosta i okrąg mają dwa punkty
wspólne - prosta przecina okrąg
- prostą nazywamy sieczną.
Odległość środka S okręgu od
prostej |PS| jest mniejsza niż
promień r okręgu
0 < |PS| < r
Prosta i okrąg mają jeden punkt
wspólny – prosta jest styczna do
okręgu i nazywamy ją styczną
zaś punkt wspólny punktem
styczności.
Odległość środka okręgu S od
prostej |PS| jest równa promieniowi
r tego okręgu.
|PS| = r
- 35 -
Prosta i okrąg nie mają punktów
wspólnych – prosta jest rozłączna
z okręgiem.
Odległość środka S okręgu od
prostej jest większa od promienia r
tego okręgu.
|PS| > r
Ćwiczenie 3.3 Określ wzajemne położenie okręgu o środku S i promieniu
r i prostej k, gdy : a) r = 5 odległość środka okręgu od prostej k = 7; b) r = 4,5
odległość środka okręgu od prostej k = 4,5 ; c) r = 6 odległość środka od prostej
k = 3.
Przykład 3.4 Prosta przecina okrąg o środku S i promieniu 10 dwóch
punktach A i B. Oblicz odległość tej prostej od środka S, gdy |AB| = 16.
Chcąc rozwiązać takie zadanie wykonujemy rysunek i zaznaczamy na nim
poszczególne punktu czyli S, A, B oraz rzut prostokątny S na prostą k – P.
Trójkąt
ABS
jest
trójkątem
równoramiennym o ramionach 10 i
podstawie 16. Szukany odcinek PS
dzieli trójkąt na dwa trójkąty
prostokątne
o
przyprostokątnej
|AP|=|BP|=8. Z twierdzenia Pitagorasa
wynika równość: r 2 | AP | 2  | PS | 2 .
10 2  8 2  | PS | 2 czyli 100  64 | PS | 2
więc | PS | 2  36
Odpowiedź: Odległość środka S od prostej k , to |PS| = 6.
Ćwiczenie 3.4
Prosta przecina okrąg o środku S i promieniu 17 dwóch
punktach A i B. Oblicz odległość tej prostej od środka S, gdy |AB| = 16.
Przykład 3.5 Przez punkt M poprowadzono prostą styczną do okręgu
o promieniu 3cm. Odległość punktu M od środka S okręgu wynosi 5cm. Oblicz
odległość punktu M od punktu styczności.
Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wykonania rysunku i wprowadzenia na nim
odpowiednich oznaczeń wynikających z treści zadania.
- 36 -
Promień poprowadzony do punktu
styczności jest prostopadły do prostej
stycznej wobec tego otrzymujemy
trójkąt prostokątny MPS , w którym
można stosować twierdzenie Pitagorasa.
2
2
2
Zatem MS  MP  PS czyli
5 2  MP  32 więc MP  25  9
|MP| = 4cm.
2
2
Odpowiedź. Odległość punktu M od punktu styczności jest równa 4cm. Postępując
analogicznie rozwiąż następne ćwiczenie.
Ćwiczenie 3.5 Przez punkt R poprowadzono prostą styczną do okręgu
o promieniu 5cm. Odległość punktu R od środka okręgu wynosi 13cm. Oblicz
odległość punktu R od punktu styczności.
Przykład 3.6 Okrąg o promieniu 5cm jest styczny zewnętrznie do okręgu
o promieniu 3cm. Poprowadzono prostą styczną do obu okręgów nie przechodzącą
przez punkt wspólny obu okręgów. Oblicz odległość między punktami styczności .
Rozwiązując zadanie rozpoczynamy od rysunku, na którym zaznaczamy informacje
z treści zadania.
Zauważamy, że czworokąt AA’B’B jest
trapezem, bo AA’ i BB’ są prostopadłe
do prostej stycznej więc są do siebie
równoległe. |AB| = 5+3 = 8. Trójkąt ABC
gdzie C jest rzutem prostokątnym B na
AA’ jest trójkątem prostokątnym, w
którym |AC| = 5 – 3 = 2.
Z twierdzenia Pitagorasa wynika następująca równość:
| AB | 2  AC  BC podstawiając do tego wzoru otrzymujemy:
2
2
8 2  2 2  BC zatem BC  60 czyli |BC| = 4 5 ; |BC| = |B’A’| .
2
2
Odpowiedź: Odległość punktów styczności wynosi 4 5 .
Postępując analogicznie rozwiąż zadanie: Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie.
Poprowadzono prostą styczną do tych okręgów nie przechodzącą przez ich punkt
wspólny. Oblicz odległość punktów styczności wiedząc, że promienie tych okręgów
są równe: r = 5cm, R = 8cm.
Okrąg styczny do wszystkich boków wielokąta wypukłego nazywamy
okręgiem wpisanym w wielokąt wypukły. Wyznaczając środek okręgu wpisanego
- 37 -
w wielokąt wypukły wyznaczamy dwusieczne kątów wewnętrznych i szukamy ich
punktu przecięcia. Wielokąt nazywamy wówczas opisanym na okręgu.
Ćwiczenie 3.6 Wyznacz okrąg wpisany w dowolny trójkąt (graficznie).
(naszkicuj dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta)
3.4 Kąty w okręgu.
Rozróżniamy dwa rodzaje kątów: kąty środkowe i wpisane. Kąty środkowe
to kąty, których wierzchołkiem jest środek okręgu. Kąty wpisane to których
wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu a ramiona kąta to półproste zawierające
cięciwy tego okręgu. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt
wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy, jest dwa razy mniejszy od kąta
środkowego. Kąt wpisany oparty na półokręgu to kąt prosty.
Ćwiczenie 3.7 Wyznacz miarę kąta α.
Ćwiczenie 3.8 Podaj miary kątów α, β.
Ćwiczenie 3.9 Na rysunkach poniżej okręgi zostały podzielone zaznaczonymi
punktami na równe części. Podaj miarę zaznaczonego kąta.
- 38 -
Przykład 3.7 Trzy punkty A, B, C dzielą okrąg na trzy łuki o stosunku
długości 3 : 4 : 5. Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Rozwiązanie
rozpoczynamy od dodania liczb 3 + 4 + 5 = 12 i zauważenie, że można okrąg
podzielić na 12 równych części i odpowiednio dobrać punkty A, B, C aby spełniały
podany warunek. Jednej dwunastej części okręgu odpowiada kąt środkowy równy
360 0 : 12  30 0 . Trzem częściom odpowiada więc kąt środkowy
3  30 0  90 0 a kąt wpisany oparty na tym łuku ma miarę 45 0 . Czterem częściom
odpowiada kąt środkowy 4  30 0  120 0 zatem kąt wpisany oparty na tym łuku ma
miarę 60 0 . Pięciu częściom odpowiada kąt środkowy 5  30 0  150 0 zatem kąt
wpisany ma miarę 75 0 . Oczywiście trzeci kat można obliczyć wykorzystując fakt
że suma kątów w trójkącie wynosi 180 0 . Odpowiedź: Kąty wewnętrzne trójkąta
ABC wynoszą 45 0 , 60 0 i 75 0 .
Ćwiczenie 3.10 Na okręgu obrano punkty A, B, C, D, które podzieliły okrąg
na części w stosunku 3 : 6 : 5 : 4. Oblicz miarę kątów wewnętrznych czworokąta
ABCD.
Kąt między styczną a cięciwą okręgu
poprowadzoną z punktu styczności
jest równy kątowi wpisanemu
opartemu na łuku wyznaczonym
przez końce tej cięciwy.
Ćwiczenie 3.11 Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A (zobacz
rysunek) ma miarę   62 0 . Wyznacz miarę kąta środkowego ASB gdzie S jest
środkiem okręgu.
Ćwiczenie 3.12 Kąt między cięciwą AB i prostą styczną do okręgu poprowadzoną
w punkcie A wynosi 68 0 . Znajdź miary kątów wpisanego i środkowego opartych na
łuku wyznaczonym przez cięciwę AB.
Ćwiczenie 3.13 Kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku. Wyznacz
miary tych kątów wiedząc, że suma ich miar wynosi 126 0 .
- 39 -
Ćwiczenie 3.14
Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB, jest
wpisany w okrąg o środku S. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC, wiedząc, że kąt
ASB ma miarę 96 0 .
Ćwiczenie 3.15
Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC jest wpisany w okrąg
o środku S. Miara kąta SAB 20 0 . Oblicz miary katów trójkąta ABC.
Ćwiczenie 3.16 W okręgu o środku S poprowadzono cięciwę AB. Jeden z kątów
trójkąta SAB ma miarę 120 0 .Wyznacz miarę kąta zawartego między cięciwą AB
a styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie A.
Ćwiczenie 3.17 W okręgu o promieniu 12cm poprowadzono cięciwę AB. Długość
łuku wyznaczonego przez tą cięciwę wynosi 2 .Wyznacz miarę kąta zawartego
między cięciwą AB a styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie B.
Wielokąt nazywamy wpisanym w okrąg, jeśli wszystkie wierzchołki tego wielokąta
należą do okręgu. O okręgu mówimy wówczas, że jest opisanym na wielokącie.
Każdy bok wielokąta wpisanego w okrąg jest cięciwą okręgu zaś każdy kąt
wielokąta jest kątem wpisanym w ten okrąg.
Ćwiczenie 3.18
Naszkicuj trójkąt i wyznacz okrąg opisany na tym
trójkącie.(naszkicuj symetralne boków trójkąta)
Ćwiczenie 3.19
Oblicz, ile stopni ma kąt wewnętrzny: a) ośmiokąta
foremnego; b) pięciokąta foremnego ; c) dwunastokąta foremnego. Sprawdź, czy
miarę kąta wewnętrznego n- kąta foremnego można wyrazić wzorem:
n2
 180 0 .
n
3.5 Pole koła.
Pole koła o promieniu r > 0 wyraża się wzorem: P    r 2 .
Pole części koła odpowiadającej kątowi środkowemu α (wycinek kołowy)
P   r2 

360 0
.
Ćwiczenie 3.20 Oblicz pole koła o promieniu a) r = 6cm ; b) r =
12  8
3 2
.
Ćwiczenie 3.21 Oblicz pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym o
przyprostokątnych 6cm i 8cm.
Ćwiczenie 3.22
Cięciwy AB i BC okręgu mają długości |AB| = 15 i |BC|=
8.Cięciwa AC jest średnicą okręgu. Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.
Ćwiczenie 3.23 Jak zmieni się pole koła o promieniu 6cm, gdy promień : a)
zwiększymy o 3cm ; b) zwiększymy trzykrotnie.
Ćwiczenie 3.24
Oblicz pole części koła odpowiadającej kątowi środkowemu
0
o mierze: a) 45 ; b) 60 0 ; c) 120 0 ; d) 150 0 i promieniu 9cm.
- 40 -
3.6 Własności trójkątów i ich zastosowanie w obliczaniu
pól trójkątów.
Suma kątów wewnętrznych trójkąta
wynosi 180 0 : α + β + γ = 180 0
Obwód trójkąta = a + b + c
Długość dowolnego boku trójkąta jest
mniejsza od sumy dwóch pozostałych
długości boków.
Z odcinków o długościach a, b, c
można zbudować trójkąt wtedy, gdy
|a – b| < c < a + b .
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają
się w jednym punkcie,. który jest
równooddalony od boków trójkąta
zatem
jest
środkiem
okręgu
wpisanego.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt
oznaczamy - r .
Symetralne boków trójkąta przecinają
się w jednym punkcie, który jest
równooddalony od wierzchołków
trójkąta zatem jest środkiem okręgu
opisanego na tym trójkącie.
Promień okręgu opisanego
trójkącie oznaczamy – R.
na
Wysokości w trójkącie czyli odcinki
łączące wierzchołek trójkąta z jego
rzutem prostokątnym na przeciwległy
bok, przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten nazywa się ortocentrum.
- 41 -
Środkowe w trójkącie czyli odcinki
łączące wierzchołek trójkąta ze
środkiem
przeciwległego
boku,
przecinają się w jednym punkcie który
jest
środkiem ciężkości trójkąta.
Punkt ten dzieli środkową w stosunku
2:1 licząc od wierzchołka trójkąta.
W trójkącie prostokątnym długości
boków
spełniają
twierdzenie
Pitagorasa:
Suma
kwadratów
przyprostokątnych
jest
równa
kwadratowi
przeciwprostokątnej
2
2
2
a  b  c . Suma kątów ostrych
jest równa     90 0 . Dwie
trójkącie
prostokątnym
wysokości trójkąta to przyprostokątne W
funkcje
zaś trzecia wysokość opuszczona jest definiujemy
trygonometryczne
kąta
ostrego:
na przeciwprostokątną i wówczas
zachodzi
następująca
zależność:
a
b
a
sin   ; cos   ; tg 
h  x  y , gdzie x + y = c.
c
c
b
Przeciwprostokątna jest średnicą
okręgu opisanego na trójkącie.
W trójkącie równobocznym
symetralne boków, dwusieczne kątów,
wysokości i środkowe pokrywają się
więc środek okręgu wpisanego jest
jednocześnie środkiem okręgu
opisanego na trójkącie oraz promień
okręgu opisanego jest dwa razy
większy od promienia okręgu
wpisanego: R = 2r.
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa
można
wyprowadzić
wzór na h  a 3 ; R  a 3 ; r  a 3
3
2
6
wysokość trójkąta równobocznego, R
i r.
H= R + r
Pole trójkąta wyraża się wzorem:
- 42 -
P
1
1
1
1
1
1
aha  bhb  chc ; P  bc sin   ac sin   ab sin 
2
2
2
2
2
2
P
abc
 r gdzie r to promień okręgu wpisanego w trójkąt
2
P
a bc
4R
P
gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie
p  ( p  a)  ( p  b)  ( p  c)
wzór Herona gdzie p 
abc
.
2
Przykład 3.8 Sprawdź, czy istnieje trójkąt o bokach długości: 5, 6, 7. Jeżeli tak to
oblicz jego pole, długości wysokości, sinus kąta leżącego naprzeciw największego
boku, długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i długość okręgu opisanego
na tym trójkącie. Znajdź pole pierścienia ograniczonego przez okręgiem wpisanym
i opisanym na trójkącie.
Sprawdzając czy istnieje trójkąt o takich bokach badamy warunek trójkąta:
(5 > 7 – 6 i 5 < 7 + 6) i (6 > 7 – 5 i 6 < 7 + 5) i (7 > 6 – 5 i 7 < 5 + 6) . Zatem taki
trójkąt istnieje. Obliczając pole trójkąta korzystamy ze wzory Herona bo znamy
długości jego boków więc najpierw obliczamy jego obwód: 5 + 6 + 7 = 18 . Dalej
p  0,5  18  9 zatem podstawiając do wzoru Herona otrzymujemy:
P  9  (9  5)  (9  6)  (9  7)  9  4  3  2  6 6 . Mając wyliczone pole
1
przystępujemy do dalszych obliczeń. I tak przekształcając wzór na pole P  ah2
2
wyznaczamy
wysokość
opuszczoną
na
każdy
bok:
2P
2P
2P
12 6
12 6
.
,
; hb 
; hc 
ha 
hb 
2 6;
a
b
c
5
6
12 6
. Chcąc obliczyć sinus kąta leżącego naprzeciw boku o długości 7,
hc 
7
1
2P
P  bc sin   sin  
korzystamy
ze
wzoru
wobec
tego
2
bc
12 6 2 6
. Pozostało wyznaczyć promienie okręgu wpisanego
sin  

56
5
ha 
i opisanego. Oczywiście do tego wykorzystamy pozostałe wzory na pole trójkąta :
abc
2P
abc
abc
r  r 
P
R
;
. Zatem
2
abc
4R
4P
567
35
35 6
12 6 2 6
R


r

,
. Pole pierścienia
24
18
3
46 6 4 6
P
- 43 -
ograniczonego
P  (
tymi
okręgami
obliczymy:
P  R 2  r 2   ( R 2  r 2 ) .
35 2  6 4  6
2907

)
.
2
9
288
24
Ćwiczenie 3.25 Kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego wynosi 100 0 .
Oblicz miary kątów przy podstawie tego trójkąta.
Ćwiczenie 3.26 Oblicz miary kątów w trójkącie, jeżeli ich wzajemny stosunek
wynosi 2 : 3 : 4.
Ćwiczenie 3.27 Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów
miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 2.
Ćwiczenie 3.28
W trójkącie równoramiennym ABC gdzie |AC|=|BC|
poprowadzono dwusieczną AD. Wiedząc, że | ADB | 750 oblicz miary kątów
wewnętrznych trójkąta ABC.
Ćwiczenie 3.29 Sprawdź, czy można zbudować trójkąt z odcinków o długościach:
a) 4, 7, 10 b) 4 , 9, 14.
Ćwiczenie 3.30 Oblicz pole trójkąta mając dane: a) długość boku b = 7cm
i wysokość opuszczoną na ten bok h = 4cm; b) dwa boki 6cm i 5cm oraz kąt leżący
między nimi równy 45 0 ; c) długości boków tego trójkąta a = 15cm, b=12cm i c =
7cm.
Ćwiczenie 3.31 Oblicz pole trójkąta równoramiennego o kącie przy wierzchołku
30 0 i ramieniu 8cm.
Ćwiczenie 3.32 Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że |AC| =
|BC| = 17cm zaś podstawa |AB| = 16cm.Wyznacz sinus kąta przy wierzchołku C
tego trójkąta oraz sinus kąta przy podstawie AB.
Ćwiczenie 3.33 Oblicz pole i wyznacz wysokości trójkąta o bokach 10, 14, 16.
Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz promień okręgu opisanego
na tym trójkącie.
Ćwiczenie 3.34 Wyznacz wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a > 0
i oblicz pole gdy a = 6cm.
Ćwiczenie 3.35 Wyznacz pole trójkąta równobocznego o wysokości 12cm.
Oblicz pole koła wpisanego w ten trójkąt i pole koła opisanego na tym trójkącie.
Oblicz pole trójkąta równobocznego, którego promień okręgu wpisanego jest równy
6cm. Oblicz pole trójkąta równobocznego, którego promień okręgu opisanego
wynosi 9cm.
Ćwiczenie 3.36 Na okręgu o promieniu 6cm opisano trójkąt równoramienny
o kącie przy wierzchołku równym 120 0 . Oblicz długości boków trójkąta oraz jego
pole.
- 44 -
Ćwiczenie 3.37 Na okręgu o promieniu 3cm opisano trójkąt prostokątny
o przeciwprostokątnej długości 17cm. Oblicz długości przyprostokątnych oraz pole
tego trójkąta.
Ćwiczenie 3.38
W trójkąt prostokąty ABC ( ACB | 90 0 ) wpisano okrąg.
Punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną D dzieli ją na odcinki o długościach:
|AD|=5cm , |BD|=12cm. Oblicz długość promienia tego okręgu.
Ćwiczenie 3.39 a) Boki trójkąta równobocznego wydłużono o 5%. O ile procent
wzrosło pole trójkąta? b) O ile procent należy wydłużyć boki trójkąta
równobocznego, aby jego pole wzrosło o 69%?
Ćwiczenie 3.40 Działkę budowlaną w kształci trójkąta równoramiennego o bokach
60m, 60m i 40m, podzielono na dwie części o równych polach płotem równoległym
do podstawy trójkąta. Oblicz z dokładnością do 1m obwód każdej z otrzymanych
działek.
Ćwiczenie 3.41 W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę
30 0 zaś jego obwód wynosi 24cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Ćwiczenie 3.42 Najdłuższy bok trójkąta ma długość 20cm , a miary jego kątów są
w stosunku 1 : 2 : 3. Oblicz pole tego trójkąta. Znajdź pole koła opisanego na tym
trójkącie.
Ćwiczenie 3.43 Przyprostokątna trójkąta prostokątnego jest równa 2,5cm a jego
obwód wynosi 15cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta oraz jego
pole. Znajdź promień i pole okręgu wpisanego w ten trójkąt.
3.7 Własności czworokątów i ich zastosowanie
w obliczaniu pól czworokątów.
Czworokątami nazywamy wielokąty o czterech bokach i czterech kątach
wewnętrznych. Wśród czworokątów wyróżniamy te, które są wypukłe i te, które nie
są wielokątami wypukłymi. Wielokąt nazywamy wypukłym, gdy odcinek łączący
dowolne dwa punkty tej figury jest w niej zawarty.
Czworokąt nie będący figurą
wypukłą – czworokąt wklęsły.
Czworokąt wypukły i jego przekątne.
Wszystkie czworokąty wypukłe dzielimy następująco :trapezoidy, trapezy,
równoległoboki, romby, prostokąty i kwadraty.
- 45 -
Deltoidy to czworokąty wypukłe
posiadające jedną oś symetrii zawartą w
jednej z przekątnych.
|BF| = |DF| ; AC  BD
P
1
 AC  BD
2
Trapezy to czworokąty wypukłe
posiadające przynajmniej jedną parę
boków równoległych. Boki równoległe
nazywamy podstawami trapezu zaś ich
odległość (długość odcinka prostopadłego
do nich) nazywamy wysokością trapezu.
Nierównoległe boki trapezu nazywamy
jego bokami. Odcinek łączący środki
ramion trapezu nazywamy jego środkową
zaś jej długość jest równa średniej
arytmetycznej podstaw trapezu. Trapez
nazywamy prostokątnym, gdy ramię jest
prostopadłe do podstaw a
równoramiennym gdy są ramiona są
równe.
Równoległoboki to czworokąty posiadające
dwie pary boków równoległych.
Przeciwległe boki są równe i równoległe.
Przeciwległe kąty są równe. Suma kątów
przyległych do boku jest równa 180 0 .
Przekątne przecinają się w punkcie, który
jest ich środkiem. Obwód równoległoboku
= 2a + 2b
Rombem nazywamy równoległobok,
którego wszystkie boki są równe.
Przekątne rombu są prostopadłe do siebie i
przecinają się w punkcie, który jest
środkiem okręgu wpisanego w romb.
Obwód rombu = 4a
P  ah  a 2 sin  
1
d1  d 2
2
- 46 -
l
ab
2
;
P
ab
h
2
P  a  ha  b  hb  ab sin 
Prostokąty to równoległoboki, których
wszystkie kąty są równe i wynoszą
90 0 .Przekątne przecinają się w jednym
punkcie, który jest środkiem okręgu
opisanego na prostokącie. Obwód
prostokąta = 2a + 2b . P = a b.
Równoległobok, którego wszystkie boki i
kąty są równe, to kwadrat. W każdy
kwadrat można wpisać okrąg i można na
nim opisać okrąg.
d a 2 ; R
1
1
1
d a 2 ;r a
2
2
2
Jeżeli na dowolnym okręgu obierzemy
cztery różne punkty i połączymy je kolejno
odcinkami, to otrzymamy czworokąt
wpisany w okrąg. Fakt ten zapisujemy w
postaci warunku: Czworokąt można wpisać
w okrąg wtedy, gdy suma przeciwległych
kątów wynosi 180 0 .(Symetralne boków
muszą przecinać się w jednym punkcie).
        180 0
Jeżeli na okręgu obierzemy dowolne cztery
punkty i poprowadzimy w nich proste
styczne, to wyznaczą one czworokąt
opisany na okręgu. Fakt ten zapisujemy w
postaci warunku: Czworokąt można opisać
na okręgu wtedy, gdy sumy długości
przeciwległych boków są równe.
(Dwusieczne kątów wewnętrznych
przecinają się w jednym punkcie).
a+c=b+d
Ćwiczenie 3.44 a) Oblicz pole kwadratu o przekątnej długości 10dm. b) Oblicz
pole kwadratu wiedząc, że promień koła wpisanego jest równy 3cm. c) Oblicz pole
koła opisanego na kwadracie o polu 25. d) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat
o polu 8.
Ćwiczenie 3.45 Wykaż, że pole koła opisanego na kwadracie jest dwa razy większe
od pola koła wpisanego w ten kwadrat.
Ćwiczenie 3.46 Pole koła opisanego na kwadracie jest równe 18π. Oblicz pole
kwadratu i pole koła wpisanego w ten kwadrat.
Przykład 3.9 Wysokość rombu o obwodzie 64cm, jest dwa razy mniejsza od
długości jego boku. Oblicz pole tego rombu. Rozwiązanie: Szkicujemy romb
- 47 -
oznaczając długość boku przez a oraz wysokość h. Dobrze jest zapisać iż a > 0 oraz
h > 0. Z treści zadania wynika, że 4a = 64 zatem a = 16 oraz h = 2a czyli h = 32.
Stąd
P  a  h  P  16  32  P  512 Odpowiedź: Pole rombu wynosi
2
512cm .Korzystając z przykładu rozwiąż zadanie:
Ćwiczenie 3.47 Wysokość rombu o obwodzie 40cm, jest dwa razy mniejsza od
długości jego boku. Oblicz pole tego rombu.
Ćwiczenie 3.48 Pole rombu wynosi 16 , a jedna przekątnych ma długość 8. Oblicz
długość boku i wysokość rombu.
Ćwiczenie 3.49 Oblicz pole rombu o boku 8cm i kącie ostrym równym 30 0
Oblicz promień okręgu wpisanego w ten romb.
Ćwiczenie 3.50 Dany jest romb o kącie ostrym 60 0 i krótszej przekątnej długości
6cm. Znajdź : a) pole rombu, b) długość wysokości rombu, c) długość drugiej
przekątnej rombu, d) pole koła wpisanego w ten romb.
Ćwiczenie 3.51 Pole rombu, którego przekątne różnią się od siebie o 4, jest równe
96. Oblicz długość boku rombu.
Ćwiczenie 3.52 Iloraz długości boków prostokąta jest równy 2:3. Oblicz jego pole
wiedząc, że obwód jest równy 50cm .
Ćwiczenie 3.53 Pole koła opisanego na prostokącie wynosi 40π. Jeden z boków
prostokąta jest trzy razy dłuższy od drugiego. Oblicz obwód tego prostokąta.
Ćwiczenie 3.54 Oblicz obwód i pole prostokąta, którego przekątna ma długość
12cm a krótszy bok wynosi 4cm.
Ćwiczenie 3.55 Przekątna prostokąta ma długość 8cm i tworzy z dłuższym bokiem
kąt 30 0 . Oblicz jego obwód i pole.
Ćwiczenie 3.56 Przekątne prostokąta mają długość 9cm i przecinają się pod kątem
60 0 . Oblicz obwód i pole prostokąta.
Ćwiczenie 3.57 Na prostokącie, w którym długości boków są w stosunku 3: 4,
opisano okrąg o promieniu 10.Oblicz obwód i pole tego prostokąta.
Ćwiczenie 3.58 Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540m 2
. Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o 9m.
Ćwiczenie 3.59 W prostokącie połączono środki sąsiednich boków i otrzymano
romb, którego obwód jest równy 20, a pole 24. Oblicz długości boków prostokąta.
Ćwiczenie 3.60
W prostokącie różnica odległości punktu przecięcia się
przekątnych od boków równa się 2, a obwód prostokąta jest równy 28. Oblicz pole
tego prostokąta.
Ćwiczenie 3.61 Państwo Kamińscy kupili prostokątną działkę pod budowę domu
i ogrodzili ją. Zamówili metalową bramę o szerokości 5m i furtkę o szerokości 1m.
- 48 -
Na pozostałą część zużyli 122m siatki. Oblicz a) wymiary działki, wiedząc, że
stosunek sąsiednich boków działki jest równy 3 : 5. b) obwód działki.
Ćwiczenie 3.62 Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 5cm i 7dm oraz
kącie ostrym o mierze 45 0 .
Ćwiczenie 3.63 Boki równoległoboku mają długości 7cm i 12cm, a kąt ostry ma
miarę α. Oblicz pole tego równoległoboku, jeżeli: a) sin  
3
2
b) cos   .
5
5
Ćwiczenie 3.64 Oblicz pole równoległoboku o boku 3cm i wysokości opuszczonej
na ten bok równej 7cm.
Ćwiczenie 3.65 Oblicz obie wysokości równoległoboku, wiedząc, że boki tego
równoległoboku mają długości 8 oraz 11 a jego pole jest równe 44 .
Ćwiczenie 3.66 Odległość punktu przecięcia przekątnych równoległoboku od boku
o długości 12cm wynosi 4cm. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.
Ćwiczenie 3.67 Kąt rozwarty równoległoboku ma miarę 120 0 .Odległości punktów
przecięcia przekątnych od jego boków są równe 4 3 i
tego równoległoboku.
3 . Oblicz pole i obwód
Ćwiczenie 3.68 Oblicz obwód równoległoboku o pole 48cm 2 i wysokościach
długości 3cm i 8cm.
Ćwiczenie 3.69 Oblicz obwód i pole trapezu równoramiennego, w którym
podstawy mają długość 8cm i 14cm zaś ramię 5cm.
Ćwiczenie 3.70 W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 10cm i 4cm
zaś kąt ostry ma miarę 45 0 . Oblicz pole i obwód tego trapezu.
Ćwiczenie 3.71 Oblicz pole trapezu równoramiennego, gdy: a) kąt między
przekątną długości 8cm a dłuższą podstawą długości 7cm wynosi 60 0 ; b) przekątne
przecinają się pod kątem 120 0 a podstawy mają długości 24 i 12; c) punkt przecięcia
prostopadłych do siebie przekątnych, dzieli przekątną na odcinki długości 6cm
i 2cm.
Ćwiczenie 3.72 W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i wysokość mają
długość równą 8cm zaś ramię 10cm. Oblicz obwód i pole trapezu.
Ćwiczenie 3.73 W trapezie prostokątny o wysokości 4 3cm i dłuższej podstawie
16cm kąt ostry ma miarę 60 0 . Oblicz pole i obwód tego trapezu.
Ćwiczenie 3.74 W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt
prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz
obwód i pole tego trapezu.
- 49 -
Ćwiczenie 3.75 Trapez równoramienny ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu
25cm. Podstawy AB i CD tego trapezu mają odpowiednio długości 40cm i 14cm.
Oblicz obwód i pole trapezu.
Ćwiczenie 3.76 Dłuższe ramię trapezu ma długość 6 2 , natomiast krótsza
przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Oblicz obwód
i pole tego trapezu.
Ćwiczenie 3.77 W trapezie ABCD: podstawa |AB| = 11cm zaś |AD| = |BC| = |CD| =
5cm. Oblicz obwód i pole trapezu.
Ćwiczenie 3.78 W trapezie równoramiennym przekątna długości 10cm tworzy
z dłuższą podstawą kąt 30 0 i jest prostopadła do ramienia tego trapezu. Oblicz
obwód i pole tego trapezu.
Ćwiczenie 3.79 Dany jest trapez równoramienny, w którym długość krótszej
podstawy jest równa długości ramion a dłuższa podstawa trapezu jest od nich dwa
razy większa. Oblicz: a) kąt ostry tego trapezu; b) kąt pod jakim przecinają się
przekątne tego trapezu.
Ćwiczenie 3.80 Długości podstaw trapezu są równe 6cm i 4cm. Kąty ostre tego
trapezu mają miary 30 0 i 60 0 . Oblicz długość wysokości trapezu oraz jego pole.
Ćwiczenie 3.81 Podstawy trapezu mają długości 4cm i 10cm zaś ramiona tworzą
z dłuższą podstawą kąty o mierze 45 0 i 60 0 . Oblicz obwód i pole tego trapezu.
Ćwiczenie 3.82 W deltoidzie przeciwległe kąty wynoszą 60 0 i 120 0 .Oblicz obwód
i pole deltoidu, jeśli krótsza przekątna ma długość 6cm.
Ćwiczenie 3.83 Oblicz obwód i pole deltoidu, w którym punkt przecięcia
przekątnych dzieli je na odcinki o długościach 2cm , 6cm oraz 3cm i 3cm.
Ćwiczenie 3.84 Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód
trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz
długość przekątnej BD.
Ćwiczenie 3.85 Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków
( n ≥ 3) wyraża się wzorem:
n(n  3)
. a) Ile przekątnych ma dwudziestokąt.
2
b) Ile boków ma wielokąt, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od
liczby boków?
Ćwiczenie 3.86 a) Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości 8cm.
b) Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym wynosi 16 . Oblicz pole
sześciokąta. c) Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9 . Oblicz
długość boku sześciokąta. d) Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten
sześciokąt wpisano okrąg. Pole otrzymanego pierścienia wynosi 4 . Oblicz pole
tego sześciokąta.
- 50 -
Ćwiczenie 3.87 W sześciokącie foremnym połączono środki sąsiednich boków
otrzymując sześciokąt foremny. Oblicz stosunek pola otrzymanego w ten sposób
sześciokąta do pola wyjściowego sześciokąta.
Ćwiczenie 3.88 W sześciokącie foremnym o boku 6cm połączono co drugi
wierzchołek. Oblicz pole i obwód otrzymanego trójkąta. Wyznacz pole koła
wpisanego w ten trójkąt..
3.8 Zadania krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi.
Ćwiczenie 3.89 Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 i 8.
Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
Ćwiczenie 3.90
Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę
a przeciwprostokątna ma długość 16. oblicz długości przyprostokątnych.
60 0 ,
Ćwiczenie 3.91 Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 5cm.
Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
2.
Ćwiczenie 3.92 Pole trójkąta prostokątnego jest równe 12, a promień okręgu
opisanego na tym trójkącie wynosi 3. Oblicz wysokość trójkąta opuszczoną na
przeciwprostokątną.
Ćwiczenie 3.93
W okrąg o promieniu 2 wpisano trójkąt równoramienny
rozwartokątny o podstawie 2 3 . Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na jego
podstawę.
Ćwiczenie 3.94 W trójkącie równoramiennym ramię o długości 12cm jest
nachylone do podstawy pod kątem 30 0 . Oblicz pole tego trójkąta.
Ćwiczenie 3.95 Na kwadracie o boku 2 opisano okrąg. Oblicz pole kwadratu
opisanego na tym okręgu.
Ćwiczenie 3.96 Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD .
Udowodnij, że  AED   BAE   CDE .
Ćwiczenie 3.97 Ramiona trapezu mają długości 5 i 10, a jego wysokość jest równa
3. Oblicz pole tego trapezu wiedząc, że jego obwód jest równy 25.
Ćwiczenie 3.98 Wysokość trapezu jest równa 4cm , a dłuższa podstawa jest równa
10cm. Punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2. Oblicz pole
trapezu.
Ćwiczenie 3.99 Obwód rombu jest równy 32cm. Oblicz pole rombu wiedząc, że
jedna z jego przekątnych jest równa bokowi.
Ćwiczenie 3.101 Pole równoległoboku jest równe 24, a jeden z jego boków ma
długość 6. Oblicz długość drugiego boku, jeśli kąt ostry równoległoboku ma miarę
30 0 .
- 51 -
Ćwiczenie 3.102 W pewnym rombie kąt rozwarty jest dwa razy większy od kąta
ostrego. Oblicz długość boku i wysokość rombu wiedząc, że krótsza przekątna ma
długość 8cm.
Ćwiczenie 3.103 W trójkącie równoramiennym ABC , |AC| = |BC| = 8 kąt przy
wierzchołku C ma miarę 30 0 . Oblicz długość wysokości opuszczonej na ramię BC.
Ćwiczenie 3.104 Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 4
a promień okręgu opisanego na nim 13. oblicz pole trójkąta.
Ćwiczenie 3.105 Stosunek pól trzech kół parami stycznych zewnętrznie wynosi 1:
4 : 9. Pokaż, że środki tych kół są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Ćwiczenie 3.106 W trójkąt równoramienny wpisano okrąg. Każde ramię trójkąta
zostało podzielone przez punkt styczności na odcinki o długościach 3 i 2 (licząc od
wierzchołka trójkąta). Oblicz pole tego trójkąta oraz promień okręgu wpisanego.
Ćwiczenie 3.107 Obwód trapezu równoramiennego jest równy l a jego pole jest
równe P . Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.
Ćwiczenie 3.108 W trapezie równoramiennym ABCD (AB || CD), w którym kąt
ostry wynosi 45 0 , przekątna długości 2 tworzy z dłuższą podstawą kąt 30 0 . a)
Oblicz obwód i pole tego trapezu. b) Wykaż, że długości promieni okręgów
wpisanych w trójkąty ABC i ACD są równe długości ramienia trapezu.
Ćwiczenie 3.109 Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 4,
a ramiona mają długość 8. a) Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
i promień okręgu opisanego na nim. b)Oblicz stosunek pól figur, na które
symetralna boku AC dzieli trójkąt ABC.
- 52 -
Rozdział 4.
Zostań mistrzem geometrii analitycznej.
Geometria analityczna to dział geometrii badający własności figur metodami
algebraicznymi. Jako początek tego działu przyjmuje się datę okazania ksiązki
Kartezjusza „Geometrie”, w której wprowadził kartezjański układ współrzędnych.
Kartezjusz (Rene Descartes) uważa się za twórcę tego działu geometrii.
Wprowadzenie na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnych pozwala na
przyporządkowanie punktom płaszczyzny dokładnie jednej pary liczb zwanej
współrzędnymi punktu.
4.1 Odległość punktów. Środek odcinka.
Dane są punkty:
A( x1 ; y1 ) i B( x2 ; y 2 ) AB 
x2  x1 2   y2  y1 2
 x1  x2 y1  y 2 
;

2 
 2
Środek odcinka AB – S ma współrzędne: S 
Przykład 4.1 Dane są punkty A(-1;4) i B(-3;6). Oblicz |AB| i znajdź współrzędne
środka odcinka AB.
|AB| =
 3  12  6  42
 4  4  8  2 2 środek S =(
1 3 4  6
)
;
2
2
S(-2; 5). Odpowiedź: |AB| = 2 2 zaś środek odcinka AB ma współrzędne (-2; 5).
Ćwiczenie 4.1 Oblicz odległość między punktami: a) A (2;-6) i B(-3;6) b) C(5;0)
i D(7;1) c) E( -6; -2) F(0;4) d) G( 3  2 ;0) H( 3  3 ; 2 6 ).
Ćwiczenie 4.2 Oblicz obwód: a) trójkąta o wierzchołkach A(4;2), B(1;-2) i C((3;1) b) czworokąta o wierzchołkach A(0,3) , B(-4;0), C(-1;-3) i D(3;1).
Ćwiczenie 4.3 Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach A,B,C jest równoboczny,
równoramienny czy prostokątny, gdy: a) A(-3;-3) , B(5;3) i C(2;7)
b) A(2;1),
B(0;5) i C(-2;3) c) A(-1;-2), B(-3; 2 3  2 ) i C(1; 2 3  2 ).
Ćwiczenie 4.4 Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach A,B gdy: a) A(2;4) i B(0; -2) b) A(5;-3) i B(-3;7) c) A(0,5; -2) i B(-3,5; -8).
Ćwiczenie 4.5 Dany jest punkt A(1;3). Znajdź współrzędne punktu B odcinka AB
mając dane współrzędne środka tego odcinka : a) S(0;-2) , b) S(-3; 5) c) S(7; -5).
Ćwiczenie 4.6 Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach: A(2;2), B(-2;4) i C(-6; -4).
a) Oblicz obwód trójkąta ABC ; b) znajdź współrzędne środków boków trójkąta
ABC – punktów M,N,P. c)Oblicz długości odcinków, których końcami są środki
boków trójkąta ABC; d) Jakie są ilorazy długości boków trójkąta ABC i trójkąta
MNP. Czy trójkąty są podobne?
- 53 -
Ćwiczenie 4.7 Dane są punkty A( -3; 4), B(-1;-1), C(3;3)oraz K(0,-2), L(2;3)
i M(6;-1). Czy trójkąty ABC i KLM są przystające?
Ćwiczenie 4.8
Dane są punkty A(-1;1), B(1;2), C(4;-2) oraz K(4;0), L(0;-2)
i M(-6;6). Czy trójkąty ABC i KLM są podobne?
Ćwiczenie 4.9 Punkty A(-1;-1), B(2;0), C(3;3) i D(0;2) są wierzchołkami rombu.
Oblicz obwód tego rombu oraz długości jego przekątnych. Wyznacz pole rombu
a następnie jego wysokość oraz sinus kąta ostrego.
Ćwiczenie 4.10 Punkty A(-2;-2), B(1;0), C(2;4) i D(-1;2) są wierzchołkami
równoległoboku ABCD. Oblicz: a) obwód równoległoboku; b) długości jego
przekątnych; c) współrzędne punktu przecięcia przekątnych.
4.2 Równania prostej na płaszczyźnie.
Równanie kierunkowe prostej : y = ax + b , gdzie a  R i b  R . Współczynnik
a zwany jest współczynnikiem kierunkowy a  tg zaś α to kąt nachylenia prostej
do osi OX; b informuje o rzędnej punktu wspólnego prostej i osi OY. Proste o tym
samym współczynniku kierunkowym są do siebie równoległe. Proste, których
iloczyn współczynników kierunkowych jest równy -1 są do siebie prostopadłe.
Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0 gdzie A, B, C  R to współczynniki przy
czym współczynniki A i B nie mogą być równocześnie równe zero.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty A( x1 ; y1 ) ,
B( x2 ; y 2 ) o różnych odciętych :
y  y1 
y 2  y1
 x  x1 
x2  x1
Przykład 4.2 Sprawdź, czy podane punkty należą do prostej o równaniu 3x – 2y + 4
= 0: a) A(0;2) ; b) B(-1; 3).
Chcąc sprawdzić, czy punkt A należy do podanej prostej sprawdzamy, czy jego
współrzędne spełniają równanie prostej tzn. podstawiamy jego współrzędne do
równania: 3  0  2  2  4  0  4  4  0
A należy do podanej prostej; B:
3  (1)  2  3  4  3  6  4  5  0 zatem B nie należy do podanej prostej.
Przykład 4.2 Napisz równanie prostej: a) przechodzącej przez punkty A(-2; 3)
i B(3;5) ; b) równoległej do osi OX przechodzącej przez punkt C(0;20); c)
równoległej do osi OY przechodzącej przez punkt D(-3;7); d) równoległej do
prostej o równaniu 2x – y + 3 = 0 ; e) prostopadłej do prostej 3x – 2y +7 = 0
i przechodzącej przez punkt F(-6; 5). Rozwiązując kolejne punkty postępujemy
następująco: a) korzystamy z równania prostej przechodzącej prze dwa różne
punkty:
y 3 
53
( x  (2)) czyli
3 2
y
2
4
x3
równanie kierunkowe
5
5
a równanie ogólne 2x – 5y +19 = 0. b) prosta równoległa do OX ma postać y = b
więc gdy przechodzi przez (0,20) , to y = 20; c) prosta równoległa do osi OY ma
postać x = const więc, gdy przechodzi przez punkt (-3;7) jej równanie ma postać:
- 54 -
x = - 3 ; d) wszystkie proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy
(gdy nie są równoległe do OY) więc równanie ogólne przekształcamy do równania
kierunkowego zatem y = 2x + 3 to równanie kierunkowe danej prostej. Wszystkie
proste równoległe do niej mają postać y = 2x + b gdzie b  R ; e) Chcąc wyznaczyć
równanie prostej prostopadłej przekształcamy dane równanie do postaci
kierunkowej
i
skorzystać
z
warunku
prostopadłości:
3
7
x  . Współczynnik kierunkowy a = 1,5 ; z warunku
2
2
2
prostopadłości a1  a2  1 wynika, ze szukany współczynnik jest równy a   .
3
2
Szukana prosta ma równanie y   x  b przechodzi przez punkt (-6;5) więc
3
2
5    (6)  b czyli b = 1 . Odpowiedź: równanie prostej
3
2
y   x  1  2x  3 y  3  0 .
3
3x  2 y  7  0  y 
Ćwiczenie 4.11 Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M(3;-4)
i równoległej a) do osi OX ; b) do osi OY .
Ćwiczenie 4.12 Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M(3;-4) i przez
początek układu współrzędnych.
Ćwiczenie 4.13 Sprawdź, czy punkty P(1;3), Q(-3;4), R(0;6), S(-1,5;5) należą do
prostej o równaniu 2x – 3y +18 = 0.
Ćwiczenie 4.14 Na prostej 2x – 3y – 18 = 0 znaleźć punkt: a) o odciętej 3; b)
o rzędnej 5; c) leżący na osi OY ; d) leżący na osi OX ; e) punkt, którego odcięta i
rzędna są równe.
Ćwiczenie 4.15 Napisz równanie kierunkowe prostej o równaniu ogólnym:
a) 3x – 2y + 6 = 0 ; b) x + y + 1 = 0 ; c) x – y + 3 = 0 ; d) 3x – y – 6 = 0 ;
e) 2y – 6 = 0 .
3x  y  2  0 do osi OX.
b) Napisz równanie prostej tworzącej z osią OX kąt   450 i przechodzącej przez
Przykład 4.3
a) Znajdź kąt nachylenia prostej
punkt (0;-4). Rozwiązanie: a) chcąc znaleźć kąt nachylenia prostej do osi OX należy
przekształcić równanie ogólne do postaci kierunkowej y  3x  2 zatem a  3
stąd tg  3 więc   60 0 . b) Gdy   450 , to tg  1 czyli a = 1. Punkt (0;4) należy do osi OY czyli b= -4 stąd równanie prostej ma postać y = x – 4 .
Ćwiczenie 4.16 Znajdź kąt nachylenie prostej o podany równaniu, do osi OX, gdy :
a) x – y + 2 = 0 ; b) 3 y – 7 = 0 ; c) x  3 y  3  0 .
- 55 -
Ćwiczenie 4.17 Napisz równanie prostej wiedząc, że tworzy z osią OX kąt
  60 0 i przechodzi przez punkt R(0;7) .
Ćwiczenie 4.18 Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty:
a) A(4;2) i B(-1;3) b)A(0;1) i B(1;0) c) A(-3;-2) i B(-1;0) d) A(-4;1) i B(-4;3); e)
A(-1;3) i B(4;3); f) A(-1;3) i B(-2;6); g) A(3;-3) i B(-3;3).
Ćwiczenie 4.19 Napisz równanie prostej równoległej do prostej l przechodzącej
przez punkt M, gdy: a) l: 2x – y – 3 = 0 i M(0;2) ; b) l: 3x – 2y + 5 = 0 i M(1;3) ;
c) l: y = 0,4x + 8 i M(9;-11) ; d) x + 7 = 0 i M(3;-2); e) 3y – 6 = 0 i M(-7;6).
Ćwiczenie 4.20 Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej l i przechodzącej
przez punkt K, gdy: a) l: x + y – 9 = 0 i K(0;5); b) l: 3x + 2y = 0 i K(2;4) ; c) l: y
= - 0,5x + 7 i K( -3; 0) ; d) l: 2x + 6 = 0 i K(-2;-1) ; e) l: y – 9 = 0 i K(3;5).
Ćwiczenie 4.21 Dane są wierzchołki trójkąta: A(1;-2), B(--3;4) i C(2;3). Napisz
równania prostych zawierających boki tego trójkąta.
Przykład 4.4 Znajdź punkt przecięcia prostych danych równaniami: 2x + 3y = 6
oraz x – y – 8 = 0. Rozwiązanie: aby wyznaczyć punkt wspólny prostych
 2x  3y  6
który
x  y  8  0
rozwiązujemy układ złożony z równań danych prostych: 
można rozwiązać metodą przeciwnych współczynników mnożąc drugie równanie
 2x  3y  6
;5x =30 ; x = 6 Obliczoną
3x  3 y  24
przez 3 i dodając stronami równania: 
wartość x podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy y. 12+3y =6 czyli 3y = 6 zatem y = -2. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych x = 6 i y = -2.
Ćwiczenie 4.22 Dane są równania prostych zwierających boki trójkąta: x = y – 2 =0
, 3x – 5y – 14 = 0 i x – y – 2 = 0. a) Wyznacz współrzędne wierzchołków tego
trójkąta. b) Znajdź równania prostych zawierających środkowe tego trójkąta i ich
długości. c) Napisz równania symetralnych boków tego trójkąta.
d) Napisz
równania prostych zawierających wysokości tego trójkąta.
Ćwiczenie 4.23 Dane są równania prostych zawierających dwa sąsiednie boki
równoległoboku: y = x + 1 i y = 2x + 3 oraz punkt C(2;4) tego równoległoboku.
Znajdź współrzędne pozostałych jego wierzchołków.
4.3 Odległość punktu od prostej.
Odległość punktu P(a;b) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 wyraża się
wzorem: d 
Aa  Bb  C
A B
2
2
.
- 56 -
Przykład 4.5 Znajdź odległość punktu N(2;-3) od prostej y = -2x + 8.
Rozwiązanie: y= -2x + 8 przekształcamy do postaci 2x + y – 8 = 0 i korzystamy ze
wzoru: d 
2  2   3  8

2 2  12
438
4 1

7
5

7 5
.
5
Przykład 4.6 Wyznacz wysokość trójkąta o wierzchołkach A(-2;3), B(3;-2)
i C(2;2) opuszczoną z wierzchołka A na bok BC. Rozwiązanie rozpoczynamy od
wyznaczenia równania prostej BC:
y 3 
22
( x  2)  y  4 x  11
32
postać ogólna: 4x + y – 11 = 0 Następnie obliczamy odległość punktu A od tej
prostej
:
d
wysokość h =
4  (2)  3  11
4 2  12

 8  3  11
16  1

 16
17

16 17
. Odpowiedź
17
16 17
.
17
Ćwiczenie 4.24 Oblicz odległość punktu K od prostej l, gdy: a) l: 4x + 3y – 1 = 0
i K(0;0); b) l: 2x + 7 = 0 i K( -2; -3); c) l: 5y – 12 = 0 i K (7; -12).
Ćwiczenie 4.25 Punkty A(6;4), B(-3;7) i C(-2;0) są wierzchołkami trójkąta ABC.
Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka B na bok BC.
4.4 Równania okręgu na płaszczyźnie.
Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny P(x;y) należących do okręgu o środku S(a;b)
i promieniu r > 0 można opisać równaniem x  a    y  b  r 2 .
2
2
Przykład 4.7 Sprawdź, czy punkty A(1;1) ; B(0;0) C(1;-1) D(2;2) należą do
okręgu o równaniu x  3  ( y  4) 2  25 . Rozwiązanie: Aby sprawdzić, czy
punkt należy do okręgu sprawdzamy, czy współrzędne punktu spełniają równanie
2
1  32  (1  4) 2  4 2  (3) 2  16  9  25
okręgu, zatem A:
A należy do
okręgu: B: 0  3  (0  4) 2  32  4 2  9  16  25 B należy do okręgu; C:
2
1  32  (1  4) 2  4 2  (5) 2  16  25  41  25 C nie należy do okręgu; D:
 2  32  (2  4) 2  1  4  5  25 D nie należy do okręgu.
Ćwiczenie 4.26 Napisz równanie okręgu o promieniu 4 i o środku w punkcie
a) S(2;3)
b) S(-3;2) c) S(0; -3) d) S(4;0) e) S(-7;-9).
Ćwiczenie 4.27
x  1
2
Sprawdź, czy punkt G należy do okręgu o równaniu
 ( y  2)  8 , gdy: a) G(0;2)
2
b) G(-1; 0) c) G(3;-3) d) G(3;0).
Ćwiczenie 4.28 Napisz równanie okręgu o środku S(-3;4) przechodzącego przez
punkt a) A(1;1) b)A(-4;7) c) A(6;-2)
d) A(-3;-3)
e)A(0;0).
- 57 -
Ćwiczenie 4.29
x  1
2
Podaj współrzędne środka i promień okręgu o równaniu: a)
  y  3  9
2
Przykład
b) x  1   y  5  1
2
2
c) x  3   y  6  6
2
2
Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu
x  y  2 x  8 y  9  0 . Chcąc wyznaczyć współrzędne środka i promień
okręgu o podanym równaniu przekształcamy je do postaci kanonicznej:
x 2  2 x  1  y 2  8 y  16  16  1  9 (uzupełniamy wyrazy z x i z y do
kwadratu sumy lub różnicy) dalej pierwsze trzy składniki zapisujemy jako kwadrat
2
4.8
2
sumy i następne trzy składniki również:
x  12   y  42  8
stąd środek to
punkt S(-1;-4) zaś r = 2 2 . Innym sposobem rozwiązania jest wykorzystanie
postaci równania: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 ,gdzie c  a 2  b 2  r 2 . Wówczas
porównując współczynniki otrzymujemy: -2a = 2 i -2b = 8 zatem a = -1 i b = - 4 .
Teraz obliczamy r: r 2  (1) 2  (4) 2  9  1  16  9  8 .
Przykład 4.9 Prosta o równaniu x – 2y + 2 = 0 przecina okrąg o równaniu
x 2  y 2  6 x  16  0 w punktach A i B. a) Oblicz długość cięciwy AB. B) Napisz
równanie symetralnej cięciwy AB. c) Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie S jest
środkiem danego okręgu.
Rozwiązanie rozpoczynamy od wyznaczenia
współrzędnych punktów A i B rozwiązując układ złożony z równania prostej
x  2y  2  0

i okręgu: 
2
 x  y  6 x  16  0
2
.Układ ten rozwiązujemy metodą podstawiania
wyznaczając x z pierwszego równania i podstawiamy do drugiego równania
otrzymując równanie stopnia drugiego z jedną niewiadomą: 5 y 2  20 y  0 ,
którego rozwiązaniem są liczby y = 0 oraz y = 4. Otrzymane wartości podstawiamy
od pierwszego równania otrzymując x = -2 oraz x = 6. Zatem współrzędne
szukanych
punktów
to:
A(-2;0)
i
B(6;4).
Długość
cięciwy
AB  8 2  4 2  64  16 zatem AB  4 5 . Równanie symetralnej można
wyznaczyć wyznaczając środek odcinka AB i współczynnik kierunkowy cięciwy
AB aby następnie skorzystać z warunku prostopadłości. Środek AB = P to:
26 0 4
;

 Więc
2 
 2
P(2;2).
zawierającej cięciwę AB: y  0 
Następnie
wyznaczamy
równanie
prostej
40
1
( x  2)  y  x  1  x  2 y  2  0
62
2
Korzystając z warunku prostopadłości otrzymujemy współczynnik kierunkowy
symetralnej a   2 .Równanie symetralnej: y = -2 ( x – 2) + 2 więc y = -2x + 6
lub 2x + y – 6 = 0. Chcąc obliczyć pole trójkąta ABS obliczamy wysokość trójkąta
opuszczona z wierzchołka S korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej.
Oczywiście najpierw trzeba znaleźć współrzędne środka okręgu S:
x 2  6 x  9  y 2  9  16  x  3  y 2  25 .
2
- 58 -
Zatem
S(3;0)
r
=
5.
hd 
P
3 20  2
1 2
2
2

5
5
 5.
Wobec
P
tego
1
AB h
2
1
 4 5  5  10 . Odpowiedź: AB  4 5 ; 2x + y – 6 = 0 ; P = 10 .
2
Ćwiczenie 4.30 Wyznacz współrzędne środka i promień r okręgu o równaniu: a)
b) x 2  y 2  4 y  5  0
c) x 2  y 2  4 d)
x 2  y 2  2x  1  0
x 2  y 2  6x  2 y  1  0
e) x 2  y 2  4 x  6 y  5  0
f) x 2  y 2  9  0
g) x 2  y 2  4 x  2 y  20  0 .
Ćwiczenie 4.30 Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdy
a) A(2;6) i B(-2;4) b) A(-3;-3) i B(5;7) c) A(0;2) i B(3;0).
Ćwiczenie 4.31 Określ wzajemne położenie prostej i okręgu o podanych
x  12   y  32  4 i x  42   y  12  9 ; b)
x  12   y  32  9 i x  22   y  12  4 ; c) x 2  y 2  2 x  0
2
i x 2  y 2  12 x  24 y  36  0 ; d) x 2   y  2  1
równaniach: a)
i x 2  y 2  2 x  6 y  1  0 ; e) x 2  y 2  2 i x 2  y 2  6 x  8 y  24  0 .
Ćwiczenie 4.32 Określ wzajemne położenie okręgu i prostej o podanych
równaniach obliczając odległość środka okręgu od danej prostej, gdy : a)
x  32   y  12  25
i 2x – y + 1 = 0; b) x 2  y 2  2 x  2 y  2  0 i x + y
– 5 = 0; c) x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 i 4x + 3y – 5 = 0.
Ćwiczenie 4.33 Napisz równanie okręgu o środku S(1;1) stycznego do prostej
o równaniu: a) 2x + 3y +8 = 0 ; b) 3x + 4y – 7 = 0 c) y = 2x + 9.
Ćwiczenie 4.34 Dane są punkty A(1;3) , B(-2; -1) i C(0;5). Sprawdź, czy trójkąt
ABC jest prostokątny. Jeżeli trójkąt ABC jest prostokątny, to napisz równanie
okręgu opisanego na tym trójkącie.
Ćwiczenie 4.35 Punkty A(-3;-1) oraz C(1;5) są przeciwległymi wierzchołkami
kwadratu. Napisz równanie okręgu opisanego na tym kwadracie.
Ćwiczenie
okręgu
o
równaniu
Napisz równanie osi symetrii okręgu
x  y  4 x  6 y  4  0 i prostopadłej do prostej x + 2y – 1 = 0.
o
równaniu
x  3
2
Napisz
równanie
osi
symetrii
  y  2  9 równoległej do prostej 3x – y + 6 = 0 .
Ćwiczenie
2
4.36
2
4.37
2
Ćwiczenie 4.38 Odcinek AB jest średnicą okręgu o równaniu x 2   y  5  10
i A(1;-2). Oblicz współrzędne punktu B.
2
- 59 -
Ćwiczenie 4.39 Napisz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu
x  12   y  32  4 i równoległych: a) do osi OY
; b) do osi OX.
4.5 Zadania krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi
z geometrii analitycznej.
Ćwiczenie 4.40 Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (− 2;2) i B
= (2;10) .
Ćwiczenie 4.41
Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu
x 2  y 2  4 x  6 y  4  0 , równoległych do osi rzędnych układu współrzędnych.
Ćwiczenie 4.42 Wyznacz równanie okręgu o środku S = (4,− 2) przechodzącego
przez punkt (0,0) .
Ćwiczenie 4.43 Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = (3,8) , B = (1,2) , C = (6,7)
jest prostokątny.
Ćwiczenie 4.44 Punkty A = (− 1,− 5),B = (1,1),C = (− 3,5),D = (− 7,− 7) są
wierzchołkami trapezu. Oblicz długość krótszej przekątnej tego trapezu.
Ćwiczenie 4.45 Punkty A = (4,− 3) i B = (− 2,9) są wierzchołkami trójkąta
równobocznego ABC . Oblicz obwód tego trójkąta. Oblicz pole koła opisanego na
tym trójkącie.
Ćwiczenie 4.46
x  3
2
Wykaż, że prosta l : y = − 2x − 1 jest styczna do okręgu
  y  2  5 .
2
Ćwiczenie 4.47 O ile procent pole koła o promieniu długości 8 jest większe od pola
koła wyznaczonego przez okrąg o równaniu x 2  y 2  6 x  5  0 .
Ćwiczenie 4.48 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (2,5) i C =
(6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD .a) Wyznacz równanie
prostej BD. b) Napisz równanie okręgu opisanego na tym kwadracie.
Ćwiczenie 4.49 Dla jakiej wartości m proste o równaniach: (2m + 5)x – y – 1 = 0
i (m + 3)x – y + 2 = 0.
Ćwiczenie 4.50 Na prostej o równaniu x − y − 4 = 0 znajdź punkt P , którego
kwadrat odległości od punktu A(1,1 ) jest najmniejszy.
Ćwiczenie 4.51 Dany jest okrąg
x  22   y  12  3 .
Oblicz pole rombu
opisanego na tym okręgu, jeśli kąt ostry rombu ma miarę 60 0 .
Ćwiczenie 4.52 Dane są punkty A = (− 2,− 7),B = (− 1,− 4),C = (4,11) . Wykaż, że
punkty te są współliniowe.
Ćwiczenie 4.53 Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(2,− 3) , stycznego do
osi OX.
- 60 -
Ćwiczenie 4.54 Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta, którego boki zawarte
są w prostych o równaniach x − 2y − 2 = 0 , 3x + y − 6 = 0 , x + 5y − 16 = 0 . .
Ćwiczenie 4.55 Określ wzajemne położenie: a) okręgu x  1  y 2  2 i prostej
2
x – y – 1 =0; b) okręgów o równaniach x  2   y  3  25 i x 2  y 2  9 .
2
2
Ćwiczenie 4.56 Punkty B = (4,1) i D = (2,7) są przeciwległymi wierzchołkami
rombu ABCD . Wyznacz równanie przekątnej AC tego rombu.
Ćwiczenie 4.57 W kwadracie ABCD dane są wierzchołek A = (1,− 2) i środek
symetrii S = (2,1) . Oblicz pole kwadratu ABCD .
Ćwiczenie 4.58 Punkty A = (2,11 ),B = (8,23 ),C = (6,14) są wierzchołkami
trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB
w punkcie D . Oblicz współrzędne punktu D .
Ćwiczenie 4.59 Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC |
oraz A = (2,1) i C = (1,9) . Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej 1 y =
2x . Oblicz współrzędne wierzchołka B .
Ćwiczenie 4.60 Punkty B = (4,1) i D = (2,7 ) są przeciwległymi wierzchołkami
rombu ABCD . Wyznacz równanie przekątnej AC tego rombu.
Ćwiczenie 4.61 Okrąg o środku w punkcie S = (3 ,7) jest styczny do prostej
o równaniu y = 2x − 3 . Oblicz współrzędne punktu styczności.
Ćwiczenie 4.62 Punkty A = (− 1,2) i C = (2,28) są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego, w którym AC = BC . Prosta zawierająca wysokość opuszczoną
z wierzchołka C ma równanie 2y + x = 58 . Oblicz pole trójkąta ABC .
Ćwiczenie 4.63 Dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A = (− 3,1),
B = (6,− 2),C = (10,1),D = (1,4) . a) Napisz równania prostych, w których zawarte są
przekątne równoległoboku. b) Oblicz obwód równoległoboku. c) Znajdź długość
wysokości opuszczonej z wierzchołka A . d) Oblicz pole tego równoległoboku.
Ćwiczenie
x  1
2
4.64
Prosta
y
=
x
+
4
przecina
okrąg
o
równaniu
  y  2  25 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B,
2
a następnie oblicz obwód trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.
Ćwiczenie 4.65 Punkt C = (1;2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego
ABC, w którym |AC| = |BC| = 5. Bok AB zawiera się w prostej o równaniu 2x + y +
1 = 0.a) Znajdź współrzędne wierzchołków A i B. b) Oblicz pole trójkąta ABC.
- 61 -
- 62 -