docanaliza dynamiczna mes wirnika jeffcotta z powierzchniowymi
download 
Reklamacja Transkrypt
analiza dynamiczna mes wirnika jeffcotta z powierzchniowymi
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X ANALIZA DYNAMICZNA MES WIRNIKA JEFFCOTTA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI Piotr Cupiał1a, Mateusz Kozioł1b 1 a AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Automatyzacji Procesów [email protected], [email protected] Streszczenie Zjawiska występujące w wirujących układach stanowią interesujący i trudny obszar badań w dynamice maszyn. W pracy omówiono sposób modelowania za pomocą programu Ansys wirnika Jeffcotta, początkowo bez, a następnie wraz z czujnikami piezoelektrycznymi. Modelowanie zjawisk tłumienia wewnętrznego i zewnętrznego w wirującym układzie odniesienia wymagało przygotowania szczególnego programu wewnątrz środowiska Ansys Otrzymano wyniki dla drgań wałów przy stałych prędkościach wirowania oraz przy liniowo narastającej prędkości obrotowej (przejście przez prędkość krytyczną). Poprawność analiz została zweryfikowana przez porównanie wyników z rozwiązaniami analitycznymi. Ponadto zbadano wpływ wirowania na przebiegi i wartości napięć generowanych w elementach piezoelektrycznych. Słowa kluczowe: drgania, dynamika wirników, metoda elementów skończonych, czujniki, konstrukcje inteligentne FINITE ELEMENT ANALYSIS OF A JEFFCOTT ROTOR WITH PIEZOELECTRIC PATCH SENSORS Summary The phenomena taking place in rotating systems constitute an interesting and difficult field of study in machine dynamics. The paper will discuss the modelling of a Jeffcott rotor without and with piezoelectric patches placed on its surface, using the finite element code ANSYS. To properly account for the rotating and non-rotating damping in the rotating reference frame it was necessary to develop a separate program inside the ANSYS environment, enhancing the existing possibilities. Results have been obtained for the rotor vibrations, for both a constant rotation speed and for a linearly increasing speed (the passage through resonance). The correctness of the analysis has been verified through comparison with analytical solutions. Moreover, the rotation effects on the time histories and the values of the voltage generated on the piezoelectric patches have been studied. Keywords: vibrations, rotor dynamics, finite element method, sensors, smart structures 1. WSTĘP Materiały piezoelektryczne są obecnie szeroko stosowane jako czujniki i elementy wykonawcze w układach aktywnego tłumienia drgań tzw. układów inteligentnych. Podstawowe własności tego typu układów zostały przedstawione w pracach[1, 2]. Elementy w postaci powierzchniowych czujników piezoelektrycznych wykorzystywanych zarówno jako czujniki jak i elementy wykonawcze mogą również mieć interesujące zastosowania w elemen- tach wirujących. W tym obszarze istnieje znacznie mniej wyników dostępnych w literaturze niż ma to miejsce dla układów niewirujących. Niniejsza praca jest przykładem modelowania dynamiki układów wirujących, takich jak wał. Ze względu na możliwość modelowania złożonej geometrii zdecydowano się na wykorzystanie metody elementów skończonych. 61 ANALIZA DYNAMICZNA MES WIRNIKA JEFFCOTTA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI… W analizie wykorzystano komercyjny program metody elementów skończonych ANSYS v.12.1. Jednakże ze względu na fakt, iż zjawiska w układach wirujących mają złożoną dynamikę, na tym etapie analizy konieczne było przeprowadzenie szczegółowej weryfikacji możliwości i dokładności programu Ansys w zakresie analizy elementów wirujących. Weryfikację tę przeprowadzono, wykorzystując modele analityczne wirnika Jeffcotta. W szczególności zbadano wpływ tłumienia wewnętrznego (tłumienia proporcjonalnego do prędkości względnej wału w układzie obrotowym) i zewnętrznego (proporcjonalnego do prędkości w układzie stacjonarnym) na pracę wału z niewyważeniem statycznym dla stałej prędkości wirowania zarówno z zakresu podkrytycznego jak i nadkrytycznego. Zamodelowano efekt samocentrowania się wału, efekt drgań samowzbudnych wynikających z histerezy wewnętrznej materiału wału, a także efekt przejścia przez pierwszą prędkość krytyczną. Analizy te przeprowadzono zarówno w stacjonarnym, jak i obrotowym układzie odniesienia, z pewnymi zastrzeżeniami znajdującymi się w dalszej części pracy. Ostatecznie zamodelowano wał z powierzchniowymi czujnikami piezoelektrycznymi oraz podano wyniki wygenerowanych na nich napięć. W pracy nie uwzglęniono wpływu łożysk – są one modelowane jako idealne sztywne oraz działające z pominięciem tarcia. 2. 3. ANALIZOWANE MODELE 3.1 MODEL ANALITYCZNY – WIRNIK JEFFCOTTA Wirnik Jeffcotta jest modelem o 2 stopniach swobody, składającym się z masy skupionej umieszczonej na elastycznym wale, obracającym się ze stałą prędkością obrotową (rRys. 1). Masa skupiona umieszczona jest w środku długości wału. Wpływ masy wału uwzględniono jedynie poprzez jego masę zastępczą występującą w równaniu (2).Dodatkowo, model ten uwzględnia niewyważenie statyczne, tj. występuje niezerowy mimośród ε masy skupionej w stosunku do osi wału. Dla analizowanego przypadku masy skupionej umieszczonej w połowie długości wału i przy zaniedbaniu wpływu ciągłego rozkładu masy wału, efekty żyroskopowe nie występują w analizowanym modelu [3]. Sztywność zredukowaną i masę zredukowaną modelu analitycznego wyznaczono, przyjmując warunki swobodnego podparcia wału ze wzorów [4]: k= = M+ m gdzie: (1) (2) mw – całkowita masa wału. GEOMETRIA ANALIZOWANEGO WIRNIKA Do analizy przyjęto pręt o przekroju kołowym z masą skupioną umieszczoną w środku jego długości. Wymiary geometryczne oraz stałe materiałowe wykorzystywane w analizie zamieszczono w tabeli 1. Tab. 1. Wymiary geometryczne i stałe materiałowe Wielkość Symbol Wartość Jednostka długość wału L 0.3 [m] promień wału R 0.0025 [m] masa skupiona w środku długości wału M 1 [kg] moduł Younga E 200 [GPa] gęstość materiału ρ 7900 [kg/m3] współczynnik Poissona ν 0.28 - Rys. 1. Schemat wirnika Jeffcotta [1] 3.2 BELKOWY MODEL MES W analizie wykorzystano element BEAM188, który jest elementem jednowymiarowym o dwóch węzłach oraz sześciu stopniach swobody (trzy przesunięcia i trzy obroty) na węzeł. Masa skupiona została zamodelowana przy pomocy elementu MASS21 (jeden węzeł, sześć stopni swobody), przy czym przyjęto zerowe masowe momenty bezwładności względem średnicy oraz zerowy biegunowy moment bezwładności. Na warunki brzegowe składają się odebrane trzy stopnie swobody odpowiadające przemieszczeniu na jednym końcu wału oraz dwa na drugim ( pozostawiono możliwość wzdłużnego ruchu wału na drugim końcu). 62 Piotr Cupiał, Mateusz Kozioł 3.3 PRZESTRZENNY MODEL MES 4.2 MODEL MES W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA W analizie trójwymiarowej wykorzystano element SOLID185, który jest elementem przestrzennym o ośmiu węzłach i trzech stopniach swobody na węzeł. Podobnie jak w poprzednim modelu, masa była modelowana za pomocą elementu MASS21. Na węzły wału leżące w płaszczyźnie prostopadłej do jego osi i przechodzącej przez środek jego długości oraz węzeł odpowiadający masie skupionej narzucono więzy zachowujące stałe odległości, tworząc nieodkształcalną płaszczyznę, na której znajduje się masa. Zapewnia to jednakowe rozłożenie sił działających na masę skupioną, na wszystkie węzły tego przekroju wału. Warunki brzegowe ustalono podobnie jak dla modelu belkowego, odbierając odpowiednie przemieszczenia w dwóch węzłach, po jednym na każdym końcu wału. Podstawowym ograniczeniem w programie Ansys S dotyczącym analizy ruchu obrotowego w stacjonarnym układzie odniesienia jest wymaganie osiowej symetrii geometrii układu. Ponieważ model geometryczny z masą umieszczoną na mimośrodzie nie spełnia tego założenia, niewyważenie zamodelowano jako siłę zewnętrzną działającą na masę skupioną umieszczoną na osi obrotu wału. Wartości tej siły wnoszą: gdzie: UKŁADZIE ODNIESIENIA 4.1 RÓWNANIE MODELU JEFFCOTTA W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Analityczne równania ruchu dla modelu Jeffcotta w stacjonarnym układzie odniesienia mają postać [3]: + c +c 0 0 k 0 +Ω −c 0 k c 0 x y = 0 c +c ẋ ẏ + (5) [M] – macierz mas, [C] – macierz tłumienia, [K] – macierz sztywności, [G] – macierz żyroskopowa, [B] – macierz cyrkulacyjna, {f} – wektor węzłowych sił zewnętrznych. Dla badanych modeli macierz [G] uwzględnia efekty żyroskopowe związane z ruchem wirowym samego wału. Ze względu na przyjętą geometrię, efekty te są pomijalnie małe, czego dowodem może być porównanie wyników z modelem Jeffcotta, który tych efektów w ogóle nie uwzględnia. Macierz [B] jest macierzą cyrkulacyjną (ang. circulatory matrix [3]). Macierz ta w programie Ansys jest otrzymywana jako macierz proporcjonalna do macierzy sztywności oraz skośnie symetrycznej macierzy zawierającej składowe wektora wirowania wału (por. (8)) i w efekcie powoduje sprzężenie pomiędzy kierunkami drgań. Efektem jej działania może być pojawienie się drgań samowzbudnych, tj. wiru histerezowego o rosnącej amplitudzie, przy czym efekt ten pojawia się jedynie przy nadkrytycznych prędkościach wirowania. Mechanizm powstawania tych drgań jest dokładniej wyjaśniony w pracy [6]. ANALIZA W STACJONARNYM + F = mεΩ sin(Ω ) [M] Ü + ([G] + [C]) U̇ + ([B] + [K]){U} = {f} (6) W celu wstępnej weryfikacji modeli wyznaczono częstotliwości własne układu bez wirowania. Obliczona najniższa (podwójna) częstotliwość własna wynosi: 16.43 [Hz] dla modelu analitycznego, 16.45 [Hz] dla modelu belkowego oraz 16.34 [Hz] dla modelu trójwymiarowego. m 0 ẍ 0 m ÿ (4) Ogólne, macierzowe równanie ruchu obrotowego w stacjonarnym układzie odniesienia wykorzystywane w programie Ansys ma postać [5]: 3.4 WERYFIKACJA MODELI – ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCI WŁASNYCH NIERUCHOMEGO WAŁU 4. F = mεΩ cos(Ω ) (3) F mεΩ cos(Ωt) + F mεΩ sin(Ωt) gdzie: xC, yC – przemieszczenie środka wału, cn – współczynnik tłumienia zewnętrznego wału, cr – współczynnik tłumienia wewnętrznego wału, ε – mimośród, Ω – prędkość obrotowa wału. 4.3 MODELOWANIE TŁUMIENIA W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Dla odpowiedzi dynamicznej wirującego wału szczególnie istotna jest macierz proporcjonalna do prędkości obrotowej Ω, występująca w równaniu (3). Jej znaczenie zostanie omówione w dalszej części pracy. Aby umożliwić weryfikację badanych modeli, istotne jest ścisłe i odpowiadające sobie zdefiniowanie tłumienia we wszystkich modelach. Założono, że bezwymiarowy współczynnik tłumienia dla pierwszej formy drgań poprzecznych wynosi 1 = 0.01 oraz że stosunek współczynników tłumienia zewnętrznego i wewnętrznego modelu matematycznego cn i cr jest równy jeden. Ze 63 ANALIZA DYNAMICZNA MES WIRNIKA JEFFCOTTA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI… względu na ograniczenia programu Ansys, do modelowania tłumienia w modelach MES wykorzystano tłumienie Rayleigha, w którym : [C] = α[M] + β[K] gdzie: (7) α, – współczynniki tłumienia Rayleigha proporcjonalne odpowiednio do macierzy mas i macierzy sztywności. Macierz cyrkulacyjna [B] modeli MES wyraża się wzorem: [B] = β[K][ω] gdzie: Rys. 2. Schemat warunków brzegowych analizowanego układu Na rys. 3 i 4 zamieszczono wykresy porównujące przemieszczenia środka wału dla wszystkich trzech badanych modeli, dla nadkrytycznej prędkości wirowania z uwzględnieniem tłumienia (Jeff – model Jeffcota, Beam – model belkowy, Solid – model przestrzenny). Widoczna jest duża zgodność otrzymanych wyników, co między innymi dowodzi, że efekty żyroskopowe, uwzględnione tylko w modelach MES, są pomijalnie małe. (8) [ω ] – macierz prędkości obrotowych wału: 0 −ω ω [ω] = ω 0 −ω . (9) −ω ω 0 Porównując równanie modelu matematycznego (3) z równaniem (6), stwierdzono, że macierz proporcjonalna do prędkości obrotowej w równaniu (3) odpowiada macierzy cyrkulacyjnej oznaczonej jako [B] w równaniu (6). Zakładając, że stała prędkość ruchu obrotowego zadana jest tylko względem jednej osi oraz stosując pewne przekształcenia, można pokazać, że wzór (8) 0 odpowiada macierzy Ω występującej w modelu − 0 o 2 stopniach swobody, przy czym współczynniki cn i cr wynoszą (macierze [M] i [K] w modelu Jeffcotta są diagonalne i posiadają jednakowe elementy): c =α∙m (10) c = β∙k (11) Rys. 3. Drgania masy w kierunku osi x Zatem dla przyjętej geometrii oraz współczynników i tłumienia Rayleigha występuje ścisła odpowiedniość między wszystkimi trzema modelami. 4.4 WYNIKI SYMULACJI W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA W analizach przyjęto, że w chwili początkowej wał jest nieodkształcony (przemieszczenia równe zero) i ma zerową prędkość początkową drgań poprzecznych (występuje tylko prędkość związana z wirowaniem). Układ obciążony jest siłą zewnętrzną odpowiadającą niewyważeniu statycznemu, zgodnie z wyrażeniami (4) i (5). Na rys.2 przedstawiono schemat warunków brzegowych oraz składowe wektora przemieszczeń w układzie stacjonarnym. Rys. 4. Drgania masy w kierunku osi y Na rys. 5 przedstawiono przykład powstawania drgań samowzbudnych. Należy zwrócić uwagę na znaczną wartość prędkości obrotowej (Ω = 300 [rad/s]) przy prędkości krytycznej wynoszącej ok. 103 [rad/s]. W niższych prędkościach nadkrytycznych (do ok. 250 [rad/s]) efekt ten nie występuje, gdyż wystarczająca ilość energii jest dyssypowana przez tłumienie. 64 Piotr Cupiał, Mateusz Kozioł 5.2 MODEL MES W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Analizy czasowe w obrotowym układzie odniesienia w programie Ansys nie wymagają geometrii osiowosymetrycznej, zatem do modelowania niewyważenia statycznego wystarcza przeniesie masy skupionej poza oś obrotu wału. Jednak w układzie tym istnieje szereg innych uproszczeń, które zostaną omówione w dalszej części. W obrotowym układzie współrzędnych związanym z wirującą bryłą macierzowe równanie ruchu w programie Ansys przedstawia się następująco [5]: Rys. 5. Drgania samowzbudne [M] Ü + ([H] + [C]) U̇ + ([K] − [K ]){U} = {f}(13) Na rys. 6. przedstawiono odpowiedź układu dla liniowo narastającej prędkości wirowania wału (prędkość narasta od 0 do 300 [rad/s] w czasie 8 [s]). Oprócz niewyważenia w analizie tej zamodelowano siły bezwładności w obrotowym ruchu jednostajnie przyspieszonym. W porównaniu do (6) w równaniu tym pojawia się macierz [H] będąca macierzą Coriolisa oraz macierz [KC] odpowiadająca efektowi zmniejszenia sztywności w wyniku wirowania (Spin Softening). Efekt Spin Softening modyfikuje sztywność struktury w wyniku działania sił odśrodkowych występujących w ruchu obrotowym opisanym w wirującym układzie współrzędnych i wraz ze wzrostem prędkości kątowej zmierza on do destabilizacji układu. Porównując równania analityczne z równaniem (13), można zauważyć, że w obydwu równaniach występują analogiczne wyrazy dla efektu Coriolisa oraz dla efektu Spin Softening. W równaniu ruchu (13) wyraźnie widoczny jest brak macierzy odpowiadającej wyrażeniu 0 − Ω . Wyrażenie to w literaturze [3] nazywa się, 0 podobnie jak dla układu stacjonarnego, macierzą cyrkulacyjną. Podjęto próbę jej uproszczonego zamodelowania. Macierze te w różnych układach odniesienia nie są jednakowe (różnią się znakiem oraz rodzajem współczynnika tłumienia). Należy również wyraźnie zaznaczyć, że żaden z analizowanych modeli w obrotowym układzie współrzędnych nie uwzględnia efektów żyroskopowych [5]. Rys. 6. Przejście przez prędkość krytyczną, samocentrowanie oraz efekt drgań samowzbudnych 5. ANALIZA W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA 5.1 RÓWNANIA MODELU JEFFCOTTA W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA 5.3 MODELOWANIE MACIERZY CYRKULACYJNEJ W PROGRAMIE ANSYS W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Dokonując transformacji równań (3) do obrotowego układu odniesienia, otrzymuje się [3]: m 0 ξ̈ 0 m η̈ + + c +c 0 ξ̇ η̇ 0 0 −m + 2Ω c +c m 0 0 k 0 m 0 −Ω +Ω c 0 k 0 m F cos(Ωt) + F sin(Ωt) = mεΩ ) + F cos(Ωt) − F sin(Ωt) 0 −c 0 ξ η Ponieważ brakująca macierz ma zasadniczy wpływ (co pokazano na rys. 8 i 9) na wyniki analiz czasowych dla prędkości nadkrytycznych, zdecydowano się zamodelować wpływ macierzy cyrkulacyjnej w obrotowym układzie odniesienia jako układ sił zewnętrznych działających na masę skupioną. Wartości tych sił ustalono, odnosząc się do równania modelu Jeffcotta i w praktycznej realizacji wymagało to wyznaczenia chwilowych wartości ugięcia w każdym kroku symulacji. + = (12) gdzie: C, C – współrzędne środka wału w obrotowym układzie odniesienia. W równaniu tym pojawiają się macierze odpowiadające efektom Coriolisa, Spin Softening oraz macierz cyrkulacyjna (inna niż w układzie stacjonarnym). 65 ANALIZA DYNAMICZNA MES WIRNIKA JEFFCOTTA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI… Na rys. 9 porównano odpowiedź modelu belkowego z zamodelowanym jako siły zewnętrzne wpływem macierzy cyrkulacyjnej (UξBeamB) do odpowiedzi modelu weryfikacyjnego Jeffcotta (UξJeff). W tym przypadku otrzymano dobrą zgodność pomiędzy modelem analitycznym a modelem MES. 5.4 WYNIKI ANALIZ W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Wykorzystywane warunki brzegowe są identyczne jak w stacjonarnym układzie odniesienia. Aby zachować czytelność wyników na wykresach, przedstawiono wyniki tylko dla kierunku jednej z osi. 6. ANALIZA WIRNIKA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI Celem powyższych analiz było sprawdzenie możliwości oraz zweryfikowanie poprawności rozwiązań dla ruchu wirowego wału, tak aby otrzymać miarodajne wyniki dla wału z elementami piezoelektrycznymi. Ponieważ geometria wału z czujnikami nie jest osiowosymetryczna, a także czujniki i ich elektrody wirują wraz z wałem, dlatego analiza takiego układu możliwa jest jedynie w obrotowym układzie współrzędnych. Uzasadnione staje się również zbudowanie i przeanalizowanie modelu przestrzennego, gdyż tylko w takim modelu mogą zostać dołączone powierzchniowe czujniki piezoelektryczne. Rys. 7. Schemat warunków brzegowych oraz obrotowy układ współrzędnych Na rys. 8 porównano odpowiedź układu na niewyważenie statyczne analizowane w obrotowym układzie odniesienia dla modelu Jeffcotta (UξJeff) oraz modelu belkowego bez dodatkowego modelowania macierzy cyrkulacyjnej (UξBeamNoB). Ze względu na jej brak w modelu MES, otrzymany tą metodą przebieg jest niestabilny. 6.1 MODELOWANIE MES POWIERZCHNIOWYCH CZUJNIKÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH Elementy piezoelektryczne wymagają zdefiniowania własności piezoelektrycznych materiału w zależności od ich polaryzacji. Wykorzystano elementy typu SOLID226, które posiadają dodatkowy stopień swobody – potencjał elektrostatyczny. Następnie, po przypisaniu tym elementom własności piezoelektrycznych, konieczne jest zdefiniowanie elektrod. W tym celu dokonano sprzężenia stopni swobody odpowiadających potencjałowi elektrostatycznemu węzłów tworzących elektrody. Ponieważ potencjał elektrostatyczny jest określany z dokładnością do dowolnej stałej, potencjał powierzchni elektrod stykających się z wirnikiem zadano jako równy 0 [V]. Jako model materiału elementów piezoelektrycznych przyjęto PZT-4 o polaryzacji w kierunku radialnym, na zewnątrz od osi obrotu wału. Przyjęte do analiz stałe piezoelektryczne materiału PZT-4 zamieszczono w tabeli 2 (dla kierunku polaryzacji 3)[7]. Model MES wirnika z powierzchniowymi czujnikami piezoelektrycznymi przedstawiono na rys. 10. Rys. 8. Modelu belkowy bez macierzy cyrkulacyjnej oraz model Jeffcotta, prędkość nadkrytyczna, obrotowy układ odniesienia, oś ξ Rys. 9. Model belkowy z siłami zewnętrznymi odpowiadającymi efektowi cyrkulacji oraz model Jeffcotta, prędkość nadkrytyczna, obrotowy układ odniesienia, oś ξ 66 Piotr Cupiał, Mateusz Kozioł Stała ρ Tab. 2. Stałe materiałowe PZT-4 Wartość Jednostka 7500 [kg/m3] d31 −1,23 ∙ 10 [m/V] d33 2,89 ∙ 10 [m/V] d15 4,96 ∙ 10 [m/V] sE11 −1,23 ∙ 10 [m2/N] sE33 1,55 ∙ 10 [m2/N] sE12 −4,05 ∙ 10 [m2/N] sE13 −5,31 ∙ 10 [m2/N] sE44 3,9 ∙ 10 [m2/N] Rys. 11. Ugięcie środka wirnika 6.2 WYNIKI ANALIZ MES WIRNIKA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI Warunki początkowe, brzegowe oraz niewyważenie statyczne nie zostały zmienione. Jedyna modyfikacja pomiędzy wcześniej analizowaną geometrią polega na dołączeniu piezoelementów. Rys. 12. Wygenerowane napięcia na elektrodach na górnego i dolnego czujnika piezoelektrycznego (kierunek ξ) 7. PODSUMOWANIE Głównym celem pracy było otrzymanie przebiegu napięć na elektrodach czujników piezoelektrycznych zamocowanych na obracającym się wirniku Jeffcotta. W analizie wykorzystano program metody elementów skończonych Ansys. Ze względu na wpływ wielu czynników na odpowiedź układów wirujących, przeprowadzono szczegółową weryfikację dokładności wyników otrzymywanych przy pomocy tego programu dla układów wirujących. Zasymulowano i zweryfikowano wpływ tłumienia wewnętrznego i zewnętrznego zarówno w stacjonarnym jak i obrotowym układzie odniesienia. Duża zgodność wyników otrzymanych metodą MES w porównaniu z modelami analitycznymi dowodzi poprawności analiz. Przedstawiono wyniki dotyczące drgań wałów zarówno przy stałych prędkościach oraz przy liniowo narastającej prędkości (przejście przez prędkość krytyczna). Przedstawione wyniki analiz stanowią bazę do dalszych badań symulacyjnych jak również doświadczalnych zmierzających do wykorzystania elementów piezoelektrycznych w układach wirujących. Rys. 10. Model MES wirnika z elementami piezoelektrycznymi Na następnych rysunkach przedstawiono wyniki przemieszczenia i generowanych napięć na elektrodach czujników piezoelektrycznych. Przemieszczenia w kierunku osi ξ oscylują wokół wartości około -2 [mm], co powoduje, że wykresy napięć również są przesunięte o pewną dodatnią lub ujemną wartość, w zależności od położenia elementów. 67 ANALIZA DYNAMICZNA MES WIRNIKA JEFFCOTTA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI… Literatura 1. Preumont A.: Vibration control of active structures. 2nd Edition. Amsterdam: Kluwer Academic Publ., 2002. 2. Cupiał P.: Coupled electromechanical vibration problems for piezoelectric distributed-parameter systems. Monografia 362. S.”Mechanika”. Krakow: Pol. Krak., 2008. 3. Genta G.: Dynamics of rotating systems. New York: Springer, 2005. 4. Kaliski S. (red): Drgania i fale.W: Mechanika Techniczna, t. III. Warszawa: PWN, 1986. 5. Ansys V12.1 Mechanical APDL Help. 6. Hartog, J. P. den: Drgania mechaniczne. Warszawa: PWN, 1971. 7. http://www.efunda.com/materials/piezo/material_data/matdata_output.cfm?Material_ID=PZT-4. 68
