Pobierz

Zadania z termodynamiki (I i II zasada).
Odcinek 3.
3. Dany jest odwracalny cykl termodynamiczny przedstawiony na rysunku, który wykonują
2/R mole He (traktować jako gaz doskonały). Znane parametry stanu zamieszczone są
w tabeli 1. Obliczyć pozostałe parametry stanu (uzupełnić tabelę 1) oraz obliczyć wartości
w, q, ∆u, ∆h i ∆s dla kolejnych przemian (A, B, C, D), czyli wypełnić tabelę 2. Cykl
przedstawić (narysować) w układzie P=f(V).
Stan
1
2
3
4
P [Pa]
T [K]
375
250
V [m3]
0,01
0,02
Przemiana
A
B
C
D
Cykl
q
w
∆u
∆h
∆s
Rozwiązanie:
Najlepiej rozpocząć od ustalenia, jakiego rodzaju przemianami są A, B, C i D, co powinno pomóc w naszkicowaniu cyklu w układzie współrzędnych P=f(V). Przemiany A (1→2) i C (3→4)
to niewątpliwie izotermy, zatem uzupełniamy
tabelę 1 o T2 i T4. Dla przemian B (2→3) i D
(4→1) widzimy, że: V2/V3 = T2/T3 i V4/V1 = T4/T1
(obie leżą na prostej T = k·V, przechodzącej
przez 0), a zatem są to izobary (przecież jeśli pamiętamy, że P2V2=nRT2 i P3V3=nRT3, to po
podzieleniu stronami i przegrupowaniu wyjdzie nam, że P2/P3 = 1, a to samo jest oczywiście
prawdziwe dla P4 i P1).
Możemy uzupełniać kolejne pozycje tabelki 1. Rozpoczniemy od obliczenia P1 = P4 =
nRT1/V1 = 2/R·R·380/0,01 = 75000 Pa oraz P2 = P3 = nRT2/V2 = 2/R·R·375/0,02 = 37500 Pa.
V4 = V1·T4/T1 =
Brakujące
objętości:
V3 = V2·T3/T2 = 0,02·250/375 = 1,33·10–2 m3;
0,01·250/375) = 6,67·10–3 m3. Znamy więc wszystkie parametry gazu we wszystkich czterech
stanach.
Możemy przystąpić do obliczania zmian funkcji termodynamicznych.
Przemiana A:
∆uA = 0 i ∆hA = 0, ponieważ ∆TA = 0
Przemiana jest odwracalna, zatem: wA = nRTAln(V1/V2) = 2·375·ln0,5 = –519,86 J
Z I zasady termodynamiki wynika, że: qA = –wA = 519,86 J.
1
Pozostaje obliczenie ∆s.
Z definicji entropii: ds = dq/T = (du – dw)/T = (du – PdV)/T
Ponieważ dwa dowolne stany na płaszczyźnie P-V (w poniższym wyprowadzeniu indeksy 2, A
i B mają inne znaczenia niż w całym zadaniu) zawsze można połączyć jedną izochorą i jedną
izotermą (od TpVpPp do TkVpP2 drogą A i od TkVpP2 do TkVkPk drogą B) dla 1 mola gazu doskonałego:
∆S = S k − S p =
∫
∩
AB
Tk
∫
Tp
R
R
R
 CV

C

C

dT + dV  = ∫  V dT + dV  + ∫  V dT + dV  =

V
V
V
 T
 ∩ T
 ∩ T

A
B
V
k
V
T
CV
R
dT + ∫ dV = C V ln k + R ln k
Vp
Tp
V
T
V
p
Zaś dla dowolnej liczby moli:

T
V 
∆ s = s k − s p = n ∆ S = n  C V ln k + R ln k 

Tp
V p 

Zatem, wracając do zadania, dla przemiany A (izotermy):
∆sA = nRln(V2/V1) = 2·ln2 = 2·0,69315 = 1,3863 J/K
Przemiana B:
∆uB = nCv∆TB = 2/R·3/2·R(T3 – T2) = 3(250 – 375) = –375 J
∆hB = nCp∆TB = 2/R·5/2·R(T3 – T2) = 5(250 – 375) = –625 J
wB = –PB(V3 – V2) = –37500·(4/3·10–2 – 6/3·10–2) = –37500(–2/3·10–2) = 250 J
qB = ∆uB – wB = –375 – 250 = –625 J (to z I zasady) lub qB = ∆hB = –625 J (bo izobara)
∆sB = n[CVln(T3/T2)+Rln(V3/V2)] = 2/R[3/2·Rln(250/375)+Rln(2/3)] = 2/R[5/2·Rln(2/3)] =
5·ln(2/3) = 5·–0,405465 = –2,0273 J/K
Przemiana C:
∆uC = 0 i ∆hC = 0, ponieważ ∆TC = 0
wC = nRTCln(V3/V4) = 2·250·ln2 = 346,57 J
qC = –wC = –346,57 J
∆sC = nRln(V4/V3) = 2·ln0,5 = 2·–0,69315 = –1,3863 J/K
Przemiana D:
∆uD = nCv∆TD = 2/R·3/2·R(T1 – T4) = 3(375 – 250) = 375 J
∆hD = nCp∆TD = 2/R·5/2·R(T1 – T4) = 5(375 – 250) = 625 J
wD = –PD(V1 – V4) = –75000·(3/3·10–2 – 2/3·10–2) = –75000(1/3·10–2) = –250 J
qD = ∆uD – wD = 375 – (–250) = 625 J (to z I zasady) lub qD = ∆hD = 625 J (bo izobara)
∆sD = n[CVln(T1/T4)+Rln(V1/V4)] = 2/R[3/2·Rln(375/250)+Rln(3/2)] = 2/R[5/2·Rln(3/2)] =
5·ln(3/2) = 5·0,405465 = 2,0273 J/K
Po wpisaniu wszystkich wyników w tabelę 2 i zsumowaniu dla cyklu widać, że I zasada jest
spełniona także dla całego cyklu, a funkcje stanu, zgodnie z ich definicją, dla cyklu nie zmieniają się (ich zmiany są równe zeru).
Stan
1
2
3
4
P [Pa]
75000
37500
37500
75000
T [K]
375
375
250
250
V [m3]
0,01
0,02
0,0133
0,00667
Przemiana
q [J]
A
519,86
B
–625
C
–346,57
D
625
Cykl
173,29
2
W [J]
–519,86
250
346,57
–250
–173,29
∆u [J]
0
–375
0
375
0
∆h [J]
0
–625
0
625
0
∆s [J/K]
1,3863
–2,0273
–1,3863
2,0273
0
Ostatecznie przeniesienie wykresu cyklu do układu współrzędnych P=f(V) wygląda następująco:
© W.Chrzanowski 2005
3