Matematyka - Wydział Matematyczno

Wydział Matematyczno-Przyrodniczy. Szkoła Nauk Ścisłych UKSW
Kierunek "Matematyka"
Zestaw pytań na egzamin licencjacki w roku akademickim 2015/16
PYTANIA OGÓLNE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Podaj definicję równoliczności zbiorów oraz przykład dwóch zbiorów nieskończonych, które nie są równoliczne.
Relacja równoważności oraz klasy abstrakcji relacji równoważności, przykłady.
Granica ciągu liczbowego, granica i ciągłość funkcji, przykłady.
Kryteria zbieżności szeregów liczbowych, przykłady.
Twierdzenia Cauchy'ego i Lagrange'a o wartości średniej dla pochodnych.
Twierdzenia o całkowaniu i różniczkowaniu granic ciągów jednostajnie zbieżnych funkcji ciągłych.
Podaj definicję całki oznaczonej Riemanna. Przedstaw związek pomiędzy całką oznaczoną a nieoznaczoną.
Podaj definicje i przykłady pochodnych kierunkowych i cząstkowych funkcji wielu zmiennych oraz różniczki
odwzorowania. Jaki jest związek pomiędzy tymi pojęciami?
Podaj warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych. Przykłady.
Równanie różniczkowe liniowe, metody rozwiązywania.
Sformułuj twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego.
Zliczanie elementów sumy mnogościowej zbiorów skończonych. Zasada włączeń i wyłączeń.
Grupa, homomorfizm grup, przykłady.
Twierdzenie o grupach skończonych abelowych.
Zwartość. Podprzestrzenie zwarte przestrzeni euklidesowych.
Ciągłość funkcji. Niezmienniki przekształceń ciągłych.
Różniczkowalność w sensie zespolonym. Równania Cauchy’ego-Riemanna.
Twierdzenie Cauchy'ego dla funkcji holomorficznych. Wzór całkowy Cauchy'ego.
Metody rozwiązywania układu równań liniowych. Interpretacja geometryczna zbioru rozwiązań.
Działania algebraiczne na wektorach. Baza i wymiar przestrzeni liniowych.
Definicja wyznacznika macierzy. Metody obliczania. Interpretacja geometryczna wyznacznika.
Podaj definicję prawdopodobieństwa warunkowego. Sformułuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej, własności i metody obliczania.
Przedziały ufności. Przykłady konstrukcji.
Estymatory największej wiarygodności.
PYTANIA SPECJALNOŚCIOWE
Matematyka informatyczna
1. Co to jest system ekspercki? Jakie są elementy składowe takiego systemu? Jakie są zastosowania systemów
eksperckich?
2. Wymień rodzaje tablic w C. Jak i kiedy są one alokowane?
3. Obszary zastosowań reprezentacji obrazów - rastrowej i wektorowej
4. Podaj przykłady algorytmów sortowania.
5. Modelowanie krzywych i powierzchni w grafice komputerowej.
Matematyka finansowa
1. Zdefiniuj funkcję użyteczności, funkcję popytu oraz funkcję produkcji.
2. Zdefiniuj pojęcie elastyczności oraz podaj różnice między elastycznością cenową i dochodową i ich wpływ na
charakterystykę dóbr.
3. Procent prosty, składany i ciągły - definicje podstawowe wzory, własności i przykłady zastosowań.
4. Podaj definicję wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji oraz sformułuj twierdzenie o jej istnieniu i jednoznaczności.
5. Plany spłaty długu. Raty malejące i annuitetowe.
Matematyka interdyscyplinarna
1.
2.
3.
4.
5.
Grupa izometrii na płaszczyźnie
Twierdzenia Cevy i Menelausa.
Inwersja.
Schemat konstruowania programu nauczania pracy z uczniem uzdolnionym matematycznie.
Metody i formy pracy z uczniem uzdolnionym matematycznie.