analiza cyklu roboczego manipulatora o czterech stopniach swobody

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 58, ISSN 1896-771X
ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO
MANIPULATORA
O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY
Dawid Cekus1a, Dorian Skrobek1b
1
a
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
[email protected], [email protected]
Streszczenie
Niniejsza praca przybliża zagadnienia związane z modelowaniem manipulatora o czterech stopniach swobody
i wyznaczaniem obciążeń jego napędów podczas cyklu roboczego. Zaproponowany algorytm obliczeń pozwala zweryfikować poprawność dobranych napędów poszczególnych członów analizowanego obiektu. Praca została uzupełniona wynikami z przeprowadzonych przykładowych badań symulacyjnych dla zadanych wymuszeń kinematycznych.
Słowa kluczowe: cykl roboczy, manipulator, modelowanie, Matlab/Simulink
THE ANALYSIS OF DUTY CYCLE OF 4-DoF
MANIPULATOR
Summary
This paper introduces problems of the modelling of four degrees of freedom manipulator and the determination of
loads of its drives during the working cycle. The proposed computational algorithm makes it possible to verify the
correctness of selected drives of individual members of the analyzed object. The results of simulation studies carried out for given sample kinematic excitations have been presented.
Keywords: working cycle, manipulator, modelling, Matlab/Simulink
1.
WSTĘP
Manipulator jest układem ramion połączonych ze sobą
przegubami i zakończony najczęściej chwytakiem. Etapy
projektowania tego typu urządzeń są szeroko omawiane
w literaturze [1, 2, 3].
W niniejszej pracy sformułowano równania dynamiki,
które umożliwiają wyznaczenie obciążeń silników
w trakcie cyklu roboczego manipulatora. Obliczenia te
mają na celu określenie, czy zastosowane/wybrane
napędy będą spełniać założenia dotyczące ciężaru przenoszonego ładunku przyjęte we wstępnym etapie projektowania.
Rys. 1. Przyjęty schemat manipulatora (po lewej), model
manipulatora wykonany w programie SolidWorks (po prawej)
Do wykonania manipulatora zaproponowano stop aluminium PA6 ze względu na swoje właściwości takie jak:
nieduży ciężar przy dostatecznej wytrzymałości oraz
odporności na odkształcenia plastyczne (gęstość
ρ=2.79 g/cm3,
moduł
sprężystości
podłużnej
E=72500 MPa,
moduł
sprężystości
poprzecznej
G=27200 MPa). Jako napędy wykorzystano serwomechanizm
modelarski
oraz
dwa
typy
silników
Analizowany manipulator jest manipulatorem klasy 4R.
Manipulator ten składa się z pionowej, obrotowej kolumny o wysokości l1, dwóch ramion o długościach
odpowiednio l2 i l3 oraz efektora o długości l4. Strukturę
manipulatora wraz z układami współrzędnych pokazano
na rys. 1.
13
ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY
z reduktorem (motoreduktor). Napędy te zostały zamocowane w przegubach O, S, P, R. W przegubach O i P
znajdują się silniki posiadające maksymalny moment
obrotowy równy 6 Nm, w punkcie S silnik o maksymalnym momencie 20 Nm, a w punkcie R serwomechanizm
modelarski o maksymalnym momencie 6 Nm. Maksymalny zasięg manipulatora to 0.8 m, a maksymalny
udźwig to 1.2 kg.
•
•
•
2.
1
i =1  2
(1)
gdzie: mi - masy członów manipulatora, mload - przenoszona masa, vi - prędkości członów manipulatora, v5 prędkość końcówki roboczej.
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym [5] wyrażona
jest wzorem:
4
3
3
1
j =1 k =1 2
Trot (t ) = ∑∑∑ J ijk ω (t ) ω (t ) ,
ij
ik
M4 – moment na serwomechanizmie modelarskim o maksymalnym momencie 6 Nm zamocowany w stopniu swobody znajdującym się
w punkcie R.
i =1
(2)
gdzie: Ji – tensory momentów bezwładności poszczególnych członów manipulatora; ω – prędkości kątowe
członów manipulatora.
DYNAMIKA MANIPULATORA
KLASY 4R
Całkowita energia kinetyczna [5]:
T (t ) =Ttra (t ) +Trot (t ) .
Do wyznaczania wartości momentów potrzebnych do
utrzymania elementów manipulatora w zadanym położeniu zastosowano kinematykę odwrotną. Kinematyka
odwrotna pozwala wyznaczyć wszystkie dopuszczalne
położenia kątowe, które umożliwiają manipulatorowi
osiągnięcie zadanej pozycji, a także określić wszystkie
możliwe zbiory współrzędnych konfiguracyjnych, które
zmieniają się w czasie wraz z ruchem manipulatora.
W bardziej skomplikowanych przypadkach konieczne
jest zastosowanie algorytmu jakobianowego [4, 5].
(3)
Energia potencjalna [5]:
4
(
)
V (t ) = ∑ mi gz c (t ) + mload gz O (t ) ,
i =1
i
m
(4)
gdzie: g - przyspieszenie ziemskie, zci - położenie środka
ciężkości członów manipulatora wzdłuż osi z, zOm położenie środka ciężkości podnoszonego elementu
wzdłuż osi z.
W przykładowych obliczeniach przyjęto, że chwytak
manipulatora przeniesie ciężar o masie 0.5 kg z punktu
A (300,-300,150) do punktu B (60,560,420). Wykorzystując kinematykę odwrotną, wyznaczono położenia
kątowe ramion manipulatora w punkcie A i B. Pozostałe
dane, takie jak: długości członów, ich masy i momenty
bezwładności, zostały odczytane z modelu geometrycznego manipulatora wykonanego w programie SolidWorks
(rys. 1b).
Momenty na poszczególnych napędach potrzebnych do
utrzymania zadanego położenia [5, 6]:
M i (t ) =
d  ∂L 
∂L
,
−
dt  ∂q&i (t )  ∂q i (t )


(5)
gdzie: qi - współrzędne uogólnione, odpowiednio: α(t),
β(t), γ(t), ψ(t).
W równaniach (5) jedynymi niewiadomymi pozostają:
przyspieszenie kątowe, prędkość kątowa, położenie
kątowe [7, 8].
Pierwszym krokiem przy wyznaczeniu równań dynamiki
manipulatora jest przyjęcie współrzędnych uogólnionych
qi(t): α(t), β(t), γ(t), ψ(t), które w pełni określają położenie wszystkich elementów modelu i odpowiadają:
β(t) – położeniu kątowemu silnika M2,
 1
 2
4
Ttra (t ) = ∑  miv i2 (t )  + mloadv 52 (t ) ,
M3 – moment na motoreduktorze o maksymalnym momencie 6 Nm zamocowany w stopniu
swobody znajdującym się w punkcie P,
•
ψ(t) – położeniu kątowemu serwomechanizmu
M4.
Energia kinetyczna w ruchu postępowym [5] określona
jest zależnością:
M2 – moment na motoreduktorze o maksymalnym momencie 20 Nm zamocowany w stopniu
swobody znajdującym się w punkcie S,
α(t) – położeniu kątowemu silnika M1,
•
W manipulatorach, które posiadają obrotowe stopnie
swobody, uwzględnia się dwa rodzaje energii kinetycznej:
w ruchu obrotowym i w ruchu postępowym.
M1 – moment na motoreduktorze o maksymalnym momencie 6 Nm zamocowany w stopniu
swobody znajdującym się w punkcie O,
•
γ(t) – położeniu kątowemu silnika M3,
Do wyznaczenia równań momentów poszczególnych
napędów wykorzystano równanie Lagrange’a II rodzaju.
W pracy wprowadzono następujące oznaczenia momentów poszczególnych napędów:
•
•
Do obliczenia przyspieszenia kątowego, prędkości kątowej i położenia kątowego wykorzystano funkcje: Sign,
H (HeavisideTheta) [9].
14
DAWID CEKUS, DORIAN SKROBEK
 amax 
φi
 t − t − 3t − t − t
,
φi
a
z
dφ
 ta 
i


Na podstawie dwóch wybranych punktów z przestrzeni
roboczej manipulatora i przy wykorzystaniu kinematyki
odwrotnej otrzymuje się położenie kątowe członów
w tych punktach. Najkrótsza droga pomiędzy tymi
punktami to:
df i = φb − φa dla i = 1,2,3,4 ,
i
gdzie: φai - położenie kątowe członów manipulatora
tora w punkcie B.
Maksymalne przyspieszenia:
a max =
φi
v max
td
φi
dla i = 1,2,3,4 ,
t a +t z
φi
(7)
v maxφ = Sign df i v max i dla i = 1,2,3, 4 ,

td = 0
v max = 0
φi
φi

df i

= t d =
− t z − t a v max ≠ 0
φ
φi
 i v maxφi

(8)
gdzie: vmaxi - maksymalne prędkości kątowe silników.
Przyspieszenie kątowe dla pierwszego napędu
α '' (t ) = k 1acc H t − t φ  +
i 
−t φ −t a  +

i
− t φ −t a − t z  +
i

− t φ − 2t a − t z  +

i
− t φ − 2t a −t z −t d  +
φi 
i

− t φ − 3t a −t z −t d  +

φi 
i
− t φ − 3t a − 2t z − t d  +

φi 
i
− t φ − 4t a − 2t z − t d 
i
φi 

k 2acc i
k 3acc i
k 4acc i
k 5acc i
 amax
φi
= −
 ta

 amax
φi
= −
 ta

 amax
φi
=
 ta

 amax
φi
= −
 ta

(
(9)
k 1vel =
(
(
i
(
a maxφ −t + t φi + 2t a + t z
i
)
a max
φi
( −t + t
a max
φi
( −t + t
15
2
,
(22)
,
(23)
2
φi
)
+ 2t a + t d + t z
φi
,
+ 3t a + t d + t z
φi
)
,
2t a
a max
φi
( −t + t
φi
( −t + t
(25)
2
φi
+ 3t a + t d + 2t z
φi
)
2t a
a max
(24)
2
φi
(14)
i
)
(21)
2t a
i
k 8vel = −
2
2t a
(13)
k 7vel =
)
2t a
i
)
,
a maxφ −t + t φi + t a + t z
(12)
k 6vel =
)
2t a
i
)
(20)
2
i
k 5vel = −
,
(
(11)

 t − t − 2t − t − t
,
φi
a
z
dφ

i

(
i
i
)
)
a maxφ −t + t φi + t a
k 2vel = −
k 4vel =

 t − t − 2t − t ,
φi
a
z


(
2t a
(10)

 t − t − t −t ,
φi
a
z


(
i
i

 t −t −t ,
φi
a


2
(
a maxφ t − t φi
i
k 3vel = −
)
(19)
gdzie:
gdzie:

 t −t ,
φi


(18)
i
i 

+k 2vel H t − t φ − t a  +
i
i


+k 3vel H t − t φ − t a − t z  +
i
i


+k 4vel H t − t φ − 2t a − t z  +
i
i


+k 5vel H t − t φ − 2t a − t z − t d  +
i
i
φi 


+k 6vel H t − t φ − 3t a − t z − t d  +
i
i
φi 


+k 7vel H t − t φ − 3t a − 2t z − t d  +
i
i
φi 


+k 8vel H t − t φ − 4t a − 2t z − t d 
i
i
φi 


i
k 1acc i
(17)
)
(
α ' (t ) = k 1vel H t − t φ  +
Maksymalna prędkość kątowa silnika w trakcie cyklu
roboczego:
 amax
φi
=
 ta

 amax 
φi
 t − t − 4t − 2t − t
,
φi
a
z
dφ
 ta 
i


Prędkość kątowa dla pierwszego napędu:
gdzie: ta - czas rozpędzania, tz - czas hamowania.
i

+k 2acc H t

i
+k 3acc H t
i

+k 4acc H t

i
+k 5acc H t

i
+k 6acc H t
i

+k 7acc H t
i

+k 8acc H t
i

(16)
)
(
k 8acc i = − 
w punkcie A; φbi - położenie kątowe członów manipula-
(15)
 amax 
φi
 t − t − 3t − 2t − t
,
φi
a
z
dφ
 ta 
i


k 7acc i = 
(6)
i
)
(
k 6acc i = 
,
(26)
.
(27)
2
φi
+ 4t a + t d + 2t z
φi
2t a
)
ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY
Położenie kątowe dla pierwszego napędu:
Dane przedstawione na rysunkach 2-5 oraz dane
z modelu geometrycznego (masa, długość ramion, momenty bezwładności) zostały wprowadzone do równania
(7) i na tej podstawie otrzymano wartość momentów,
jakimi są obciążone napędy w danej chwili. Obciążenie
napędów manipulatora przedstawiono na rys. 6.
i
i

+k 2 pos H t − t φ
i
i

+k 3 pos H t − t φ
i
i

+k 4 pos H t − t φ
i
i

+k 5 pos H t − t φ
i
i

+k 6 pos H t − t φ
i
i

+k 7 pos H t − t φ
i
i

+k 8 pos H t − t φ
i

i
i 
−t a  +

−t a −t z  +

− 2t a − t z  +

− 2t a − t z − t d  +
φi 

− 3t a − t z − t d  +
φi 

− 3t a − 2t z − t d  +
φi 

− 4t a − 2t z − t d 
φi 

a [rad] a' [rad/s] a'' [rad/s2]
α (t ) = φa + k 1 pos H t − t φ  +
(28)
gdzie:
k 1 pos =
i
i
)
0.4
,
6t a
i
φi
(31)
(
-0.4
)
0
,
( −t + t
φi
+ 2t a + t z + t d
φi
( −t + t
+ 3t a + t z + t d
)
20
25
30
35
,
2
(33)
1.5
φi
)
1
,
6t a
i
15
Rys. 3. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej
i przyspieszenia kątowego dla zmiennej β
3
φi
10
(32)
6t a
φi
5
t [s]
3
i
a max
0
3
6t a
a max
1.2
(30)
0.8
(
i
k 6 pos = −
,
3
a maxφ −t + t φi + 2t a + t z
k 4 pos = −
1.6
)
a maxφ −t + t φi + t a + t z
i
Rys. 2. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej
i przyspieszenia kątowego dla zmiennej α
(29)
6t a
i
k 5 pos =
,
3
(
a maxφ t − t φi − t a
i
k 3 pos = −
3
)
6t a
i
k 2 pos = −
(
a maxφ t − t φi
(34)
0.5
0
k 7 pos = −
a max
φi
( −t + t
3
φi
k 8 pos =
i
3.
φi
)
6t a
i
a max
+ 3t a + 2t z + t d
φi
( −t + t
-0.5
,
(35)
0
+ 4t a + 2t z + t d
6t a
φi
)
.
10
15
20
25
30
35
t [s]
Rys. 4. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej
i przyspieszenia kątowego dla zmiennej γ
3
φi
5
(36)
0.4
ANALIZA OTRZYMANYCH
WYNIKÓW
0
-0.4
Wykorzystując wybrane punkty z przestrzeni manipulatora o współrzędnych A (300; -300; 150), B (60; 560;
420) i kinematykę odwrotną, określono położenie kątowe
poszczególnych członów manipulatora w tych punktach
[10, 11]. Wybrane punkty przedstawiają początek
i koniec cyklu roboczego mającego na celu przeniesienie
detalu z punktu A do punktu B.
-0.8
-1.2
0
5
10
15
20
25
30
t [s]
Rys. 5. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej
i przyspieszenia kątowego dla zmiennej ψ
Wykresy przyspieszenia kątowego, prędkości kątowej
i położenia kątowego dla modelu przedstawionego na
rys. 1 zostały przedstawione na rysunkach 2-5.
16
35
DAWID CEKUS, DORIAN SKROBEK
swobody (o przegubach obrotowych) w trakcie trwania
cyklu roboczego.
S
Badania przeprowadzono, wykorzystując program SolidWorks. Zbudowano
budowano model manipulatora i odczytano
na jego podstawie niezbędne parametry oraz program
Matlab, gdzie zrealizowano obliczenia numeryczne.
Na podstawie przeprowadzonych badań można zweryfizweryf
kować poprawność dobranych napędów poszczególnych
członów analizowanego obiektu. Jeśli wartość obliczoneobliczon
go momentu przekracza maksymalny moment przenoprzen
szony przez silnik lub
b niebezpiecznie zbliża się do jego
maksymalnej wartości, można zastosować przeciwwagi [12] lub
ub zredukować masę manipulatora np. poprzez
zmianę materiału lub wycięcia odpowiedniego kształtu w
jego ramionach. Jednak, aby otrzymać model w pełni
funkcjonalny, powyższe obliczenia numeryczne, należy
poprzeć wynikami analizy statycznej i częstotliwościowej
wykonanej w jednym z programów CAE. Ponadto
weryfikację modelu można wykonać na podstawie badań
eksperymentalnych na obiekcie rzeczywistym.
Rys. 6. Wykres momentów poszczególnych napędów
apędów analizowaanalizow
nego modelu manipulatora
Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że
proponowane napędy zostały dobrane poprawnie.
W celu zmniejszenia kosztów konstrukcji manipulatora
można zastosować napędy o mniejszym momencie obroobr
towym, ale nie mniejsze niż pokazane na rys.
rys 6.
4.
PODSUMOWANIE
Wykorzystując pokazane w niniejszej pracy równania
(1 - 36), opracowano algorytm umożliwiający wyznaczawyznacz
nie obciążeń napędów manipulatora o czterech
czterec stopniach
Literatura
1.
Uhl T., Bojko T., Mrozek Z., Petko M., Szwabowski W., Korendo Z., Bogacz M.: Wybrane problemy projektoprojekt
wania mechatronicznego. Kraków: Wyd. Katedry Robotyki i Dynamiki Maszyn, AGH, 1999.
1999 ISBN 83-913104-1-8.
2.
Buratowski T.: Teoria robotyki. Kraków: Wyd. AGH, 2012.
3.
Kozłowski K., Dutkiewicz P., Wróblewski W.: Modelowanie i sterowanie
sterow
robotów.. Warszawa: Wyd. Nauk.
PWN, 2012.
4.
Skrobek D.: Projekt manipulatora o czterech stopniach swobody. Praca inżynierska.. Częstochowa:
Częstoch
Pol. Częstoch., 2013.
5.
Siciliano B., Sciavicco L. Villani L., Oriolo G.: Robotic – modelling, planning and control.
ontrol. London: Springer, ,
6.
Chaturvedi D.K.: Modeling and simulation
imulation of systems using Matlab and Simulink.CRC Press, 2010. ISBN 978-
2009. ISBN 978-1-84628-641-4.
143980672.
7.
Gran R.J.: Numerical computing
omputing with Simulink.
Simulink Vol. I : Creating simulation.
imulation. Society for Industrial and Applied
Mathematics, Philadelphia, 2007. ISBN 9780898716375.
8.
Lombard M.: SolidWorks 2010 bible.
ible. Indiana: Wiley Publ. Inc. Indianapolis, 2010. ISBN 978-0-470-55481-4.
978
9.
Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink:
Simulink poradnik użytkownika. Gliwice: Helion, 2004. ISBN 83-7361-486-9.
10. Skalik A., Skrobek D., Waryś P., Cekus D.: Kinematic analysis of four degrees of freedom
freed
manipulator. Solid
State Phenomena, Vol. : Mechatronic Systems and Materials VI, 2015, p. 277-282. ISBN 978-3-03835-227-3.
978
11. Waryś P., Skrobek D., Cekus D.: Modeling and simulation research
esearch of 4DOF manipulator. “Machine Dynamics
Research” 2014, Vol. 38, No 1, p. 5-11.
5
12. Yuwen L., Jinsong W., Xin-Jun
Jun L., Li-Ping
Li Ping W.: Dynamic performance comparison and counterweight optimizaoptimiz
tion of two 3-DOF
DOF parallel manipulators for a new hybrid machine tool.
tool “Mechanism
Mechanism and Machine Theory”
Theory
2010, Vol.45, Iss. 11, p. 668-1680.
Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa
zastrzeżone na rzecz autorów.
Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/
17