Definicja 1 (anihilator). x ∈ M, Definicja 2. AnnM = ⋂ Stwierdzenie 1

Piotr Suwara
Algebra II*: 27 lutego 2012
Twierdzenie 1. M
1
sko«czenie generowany A-moduª, A DIG, wtedy
.
.
M ' A ⊕ . . . ⊕ A ⊕ A (ps11 ) ⊕ . . . ⊕ A (psnn ) ,
gdzie p1 , . . . , pn elementy pierwsze.
Mo»na te» zamieni¢ ps11 , . . . , psnn na r1 |r2 | . . . |rk .
Denicja 1 (anihilator). x ∈ M, Ann x = {a ∈ A : ax = 0} C A
\
Denicja 2. Ann M =
Ann x
x∈M
Denicja 3 (no±nik moduªu). Supp M = {p ∈ Spec A : Mp 6= 0}
.
Przykªad 1. Ann Z (ps ) = (ps ),
Supp M = {(p)}
Stwierdzenie 1.
ϕx
1. 0 → I → A −→ M → 0, ϕx (1) = x, tj. M generowany przez x ∈ M
oraz I = Ann x =⇒ Supp M = V (I) = {p ∈ Spec A : p ⊃ I}.
2. M =
P
i∈J
Mi =⇒ Supp M =
S
i∈J
Supp Mi .
3. 0 → L → M → N → 0 =⇒ Supp M = Supp L ∪ Supp N .
4. M sko«czenie generowany A-moduª =⇒ Supp M = V (Ann M ).
5. p ∈ Supp M =⇒ V (p) ⊂ Supp M .
Denicja 4 (ideaª stowarzyszony). M A-moduª. Ideaªem stowarzyszonym moduªu
. M
na-
zywamy taki ideaª pierwszy p ∈ Spec A, »e M zawiera podmoduª izomorczny z A p .
Ass M to zbiór wszystkich ideaªów stowarzyszonych moduªu M .
Uwaga 1. p ∈ Ass M =⇒ p ⊂ Ann M = m∈M Ann m
Uwaga 2. Ideaª jest stowarzyszony wtw, gdy jest pierwszy i jest anihilatorem pewnego x ∈ M :
ϕx
0 → Ann x → A −→ M .
T
Stwierdzenie 2.
1. x ∈ M takie,»e .Ann
x = p pierwszy, wtedy 0 6= y ∈ Ax ⊆ M =⇒
A
Ann y = p, inaczej mówi¡c Ass
p = {p}.
2. M ustalony A-moduª, S zbiór wszystkich ideaªów postaci Ann x, 0 6= x ∈ M . Je±li
istnieje maksymalny element w S , to jest on pierwszy, czyli nale»y do Ass M .
3. Je±li A nötherowski, M 6= 0, to Ass M 6= ∅.
4. 0 → L → M → N → 0 =⇒ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass L.
Wniosek 1. A nötherowski, M A-moduª, dzielnikiem 0 dla M
w A nazwamy
a ∈ A takie,
[
»e ax = 0 dla pewnego 0 6= x ∈ M . Wtedy dzielniki zera dla M w A to
p.
p∈Ass M
Twierdzenie 2. A nötherowski, M
sko«czenie generowany A.
-moduª, wtedy
. istnieje ªa«cuch
podmoduªów 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M taki, »e Mi Mi−1 ' A pi , pi ∈ Spec A.
Ponadto Ass M ⊆ {p1 , . . . , pn }, w szczególno±ci Ass M jest sko«czony.
Piotr Suwara
Algebra II*: 27 lutego 2012
2
Poni»sze nie zostaªy udowodnione na wykªadzie.
Twierdzenie 3. M A-moduª, wtedy Ass M ⊆ Supp M . Je±li A nötherowski, to minimalny
element p ∈ Supp M jest w Ass M .
Wniosek 2. A nötherowski, wtedy Supp M =
raj¡ce Ann M . Ka»dy pi ∈ Ass M .
Sn
i=1
V (pi ), gdzie pi ideaªy pierwsze zawie-