Nr wniosku: 166180, nr raportu: 18792. Kierownik (z rap.): dr Bartosz

Nr wniosku: 166180, nr raportu: 18792. Kierownik (z rap.): dr Bartosz Maria Walczak
W projekcie tym zajmowaliśmy się analizą pewnych gier kombinatorycznych na grafach. Jako motywację rozważmy
następujący „z życia wzięty” problem. Ala i Robert dzielą się okrągłą pizzą. Oboje chcą wziąć jak najwięcej pizzy dla
siebie, ale też nie chcą, żeby ta druga osoba czuła się pokrzywdzona. Dlatego zdecydowali się postąpić następująco:
najpierw Robert pokroi pizzę promieniście na pewną liczbę kawałków (niekoniecznie takiej samej wielkości), wtedy Ala
wybierze dowolny kawałek dla siebie, a następnie Robert i Ala na zmianę będą wybierać dla siebie po jednym z dwóch
kawałków znajdujących się na końcach części pizzy, która jeszcze pozostała do zjedzenia (w ostatnim „ruchu” jest to
tylko jeden kawałek). Jeżeli Robert pokroi pizzę na parzyście wiele równych kawałków, to oboje wezmą dokładnie
połowę bez względu na to, jak to dalej rozegrają. Czy Robert może pokroić pizzę w taki sposób, żeby jednak zapewnić
sobie więcej niż połowę? Okazuje się, że tak — Robert może sprawić, że Alicja weźmie nie więcej niż 4/9 pizzy, mimo że
to ona wybiera pierwszy kawałek.
Przedstawiony problem jest przykładem gry kombinatorycznej — dwoje graczy dąży do osiągnięcia przeciwnych celów,
wykonując ruchy na zmianę zgodnie z ustalonymi zasadami. Dla konkretnej takiej gry zwykle chcemy dowiedzieć się,
jaki jest wynik rozgrywki, jeżeli gracze wykonują optymalne (najlepsze możliwe) ruchy. W przedstawionym przykładzie
wynik gry wynosi 4/9 dla Ali i 5/9 dla Roberta. Typowe gry kombinatoryczne nie służą rozrywce, lecz raczej
modelowaniu konkurencyjnych procesów. Na przykład problemy szeregowania zadań można modelować jako gry
pomiędzy algorytmem, który stara się optymalnie (według pewnej miary) i na bieżąco przydzielać zadaniom zasoby
(procesory, pamięć itp.), a adwersarzem, który próbuje popsuć działanie algorytmu, wysyłając mu zadania według
najmniej korzystnego scenariusza — chcemy wówczas tak zaprojektować algorytm, żeby wynik gry był dla niego jak
najkorzystniejszy.
W przedstawionym przykładzie Ala i Robert grają na pewnym zbiorze elementów (kawałków pizzy), które mają
przypisane wagi (wielkości kawałków) i ustawione są w cykl. Projekt dotyczył gier, w których struktura ustawienia
elementów opisywana jest przez inne, bardziej złożone grafy. Rozważaliśmy dwa rodzaje takich uogólnień, w których
obowiązują dwie różne zasady gry. Pierwsza zasada mówi, że gracz może wziąć tylko taki element, który połączony jest
w grafie z elementem zabranym już wcześniej (nie dotyczy to pierwszego ruchu, w którym można wziąć dowolny
element). Udowodniliśmy, że jeżeli wszystkich elementów jest nieparzyście wiele oraz struktura grafu spełnia warunek
tzw. zabronionego minora topologicznego, to pierwszy gracz może sobie zapewnić pewną stałą proporcję łącznej wagi
bez względu na rozkład wag i na grę drugiego gracza. Wspomniany strukturalny warunek spełniony jest na przykład dla
grafów planarnych, czyli wtedy, gdy graf można narysować na płaszczyźnie jako zbiór punktów połączonych liniami,
które się nie przecinają. Ponadto uzyskaliśmy efektywny algorytm wyboru najlepszego ruchu w przypadku, gdy graf jest
drzewem — w tej wersji gry po wykonaniu pierwszego ruchu każdy element staje się dostępny dokładnie wtedy, gdy
zabrany zostaje pewien konkretny inny element. Druga zasada gry, jaką rozważaliśmy w projekcie, mówi, że elementy
należy tak zabierać, żeby nie „rozspójnić” pozostałej części grafu. Dla tej drugiej gry w przypadku, gdy graf jest
drzewem, zaproponowaliśmy efektywny algorytm wyboru kolejnych ruchów; wierzymy, że algorytm ten jest optymalny
(w szczególności daje on optymalne wyniki na wszystkich analizowanych przykładach), ale nie potrafimy tego
udowodnić.
Badania motywowane grami kombinatorycznymi często wychodzą poza świat samych gier, prowadząc do teoretycznych
postępów w poznaniu i zrozumieniu fundamentalnych matematycznych struktur. W tym projekcie odkryliśmy nieznane
wcześniej strukturalne własności grafów związane z tzw. spójnymi separatorami. Ponadto lepsze zrozumienie
strukturalnych własności grafów pozwoliło nam rozwiązać pewne otwarte problemy związane z tzw. wymiarem
częściowych porządków.