4 problemy transportowe i komiwojazera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z
przedmiotu:
Badania operacyjne
Temat ćwiczenia:
Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Opracował:
Dr inż. Artur Berliński
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki
Szczecin 2011
>17<
Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych
Zadanie 1
Dwa zakłady produkują jednorodny towar i dostarczają go do trzech odbiorców z
wykorzystaniem dwóch punktów pośrednich (magazynów). Bezpośredni transport z zakładów do
odbiorców jest niemożliwy. Koszty transportu w zł za tonę podają tabele:
Z1
Z2
M1
25
17
M2
20
15
O1
15
13
M1
M2
O2
17
21
O3
19
12
Moce produkcyjne zakładów wynoszą 50 i 80 ton, popyt odbiorców 25,25 i 40 ton, zaś
pojemność magazynów 70 i 70 ton. Zakłady nie muszą w pełni wykorzystywać swoich mocy
produkcyjnych, a magazyny nie składują nadwyżki podaży. Wiedząc, że koszty magazynowania
towaru chwilowo przechowywanego w magazynach wynoszą 30 i 37 zł na tonę, ustalić plan
przewozów minimalizujący łączne koszty.
A) Ile wynoszą całkowite koszty transportu z zakładów do magazynów?
B) Ile wynoszą całkowite koszty transportu z magazynów do odbiorców?
C) Ile wynoszą całkowite koszty magazynowania?
Zadanie 2
Trzech dostawców dostarcza towar do trzech odbiorców. Podaż dostawców wynosi 30, 40 i
30 ton, zaś popyt odbiorców odpowiednio 27, 37 i 36 ton. Jednostkowe koszty transportu podaje
poniższa tabela. Jednostkowe koszty produkcji u dostawców wynoszą odpowiednio 1 tys. zł, 2
tys. zł oraz 3 tys. zł. Należy znaleźć plan dostaw minimalizujący łączne koszty transportu i
produkcji.
Dostawcy\odbiorcy
D1
D2
D3
O2
5
10
2
O1
2
2
1
O3
4
8
1
Zadanie 3
Sześć stacji kolejowych wzajemnie przesyła sobie wagony załadowane różnymi towarami.
Wagony po wyładowaniu towarów są przeznaczone pod załadunek towarów wywożonych z
danej stacji do innych stacji. Jeżeli liczba wagonów nadchodzących jest większa od liczby
wagonów potrzebnych pod załadunek, to dana stacja wysyła puste wagony do tych stacji, w
których ujawnia się deficyt pustych wagonów. Jeżeli natomiast liczba wagonów przychodzących
jest mniejsza od liczby wagonów potrzebnych pod załadunek, to dana stacja otrzymuje puste
>18<
wagony od tych stacji, w których wystąpiła nadwyżka pustych wagonów. Tabela podaje
odległości między stacjami oraz przywóz i wywóz pełnych wagonów.
S1
S2
S3
Stacje
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Wywóz
pełnych
wagonów
S4
S5
S6
odległości (w km)
0
20
0
60
30
0
30
50
25
0
40
90
23
39
0
22
75
48
45
84
0
30
40
50
30
25
5
Przywóz
pełnych
wagonów
70
40
10
20
10
30
180
Należy ustalić taki plan przemieszczeń pustych wagonów pomiędzy stacjami. Aby łączny
przebieg pustych wagonów był możliwie najmniejszy.
¾ określić popyt na puste wagony i podaż pustych wagonów,
¾ zapisać problem w postaci makiety zamkniętego zadania transportowego.
Problem komiwojażera
Problem komiwojażera (TSP - ang. traveling salesman problem) jest zagadnieniem z teorii
grafów, polegającym na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym.
Nazwa pochodzi od typowej ilustracji problemu, przedstawiającej go z punktu widzenia
wędrownego sprzedawcy (komiwojażera): dane jest n miast, które komiwojażer ma odwiedzić,
oraz odległość pomiędzy każdą parą miast. Można rozróżnić symetryczny problem komiwojażera
(STSP), polegający na tym, że odległość pomiędzy miastami A i B jest zawsze taka sama, oraz
asymetryczny problem (ATSP), gdzie odległość od miasta A do miasta B może być inna, niż
odległość od miasta B do miasta A.
Znane są metody optymalizacyjne – przybliżone rozwiązujące problem komiwojażera
bazujące, np. na algorytmie mrówkowym. Współcześnie wobec możliwości komputerowego
wspomagania rozwiązywania problemów optymalizacji, efektywnym sposobem generowania
rozwiązań problemu komiwojażera, nawet dla złożonych problemów, może być zastosowanie
także metod dokładnych, takich jak programowanie liniowe.
Model programowania liniowego problemu komiwojażera zakłada minimalizcję funkcji
celu, wyrażającej sumę wszystkich cykli Hamiltona w grafie:
n
n
∑∑ c
i =1 j =1
i, j
⋅ xi , j → min
Przy ograniczeniach
n
∑x
j =1
i, j
= 1 ; (i = 1,2,3,..., n)
>19<
n
∑x
i =1
i, j
= 1 ; ( j = 1,2,3,..., n)
u i − u j + nxi , j ≤ n − 1 ; (i, j = 2,3,..., n; i ≠ j )
xi, j ∈ C +
gdzie:
n - liczbmiast,
ci , j - odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi miastami,
xi , j - zmienna incydencji, określająca występowanie danego zabiegu,
u i - dodatkowa zmienna ciągłości cyklu Hamiltona.
Zadanie komiwojażera można rozwiązać stosując algorytm simpleks. Dyskretyzację
zmiennych do liczb całkowitych można przeprowadzić metodą Land Doiga.
Zadanie 4
Komiwojażer ma odwiedzić klientów w czterech punktach miasta i wrócić do domu.
Mieszka w pobliżu klienta k2. Dana jest macierz odległości między tymi punktami:
K1
K2
K3
K4
K1
∞
14
10
5
K2
15
∞
3
4
K3
11
6
∞
11
K4
20
10
9
∞
A) Ustalić, o ile minimalna droga przynajmniej się wydłuży, jeżeli zamknięty zostanie odcinek
<k3,k2>.
B) Podać kolejność odwiedzania klientów.
Zadanie 5
Mechanik ma naprawić uszkodzony sprzęt w kilku miejscach, a następnie wrócić do domu.
Mieszka w pobliżu jednego z tych punktów. Dana jest macierz odległości między tymi
punktami:
P1
P2
P3
P4
P1
∞
14
9
5
P2
15
∞
3
4
P3
20
6
∞
11
P4
11
10
9
∞
A) Mechanik mieszka w pobliżu punktu P3. Jaka powinna być kolejność ich odwiedzania?
B) Ile wynosiłaby długość drogi, gdyby mechanik poruszał się w kierunku przeciwnym do
wyznaczonej trasy optymalnej? Kiedy długości obu tras (wyznaczonej i przeciwnej do
wyznaczonej) byłyby takie same?
C) Ustalić, o ile wydłuży się przynajmniej najkrótsza droga, jeżeli z powodu remontu ulicy
zamknięty zostanie odcinek <p1,p4>.
D) Ustalić długość najkrótszej drogi, gdy zablokowany zostanie odcinek <p2,p3>
>20<
Zadanie 7
Komiwojażer ma odwiedzić klientów w czterech miastach i wrócić do domu. Dana jest
macierz odległości pomiędzy miastami.
A
B
C
D
A
∞
7
9
3
B
2
∞
4
8
Podać kolejność odwiedzania klientów.
>21<
C
7
8
∞
5
D
3
5
6
∞