CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2ystr.9

Transkrypt

CYAN MAGENTA YELLOW BLACK
MG2y str. 9
10
POTĘGI
1 Potęga o wykładniku naturalnym
Spróbuj sobie wyobrazić ogromny arkusz cieniutkiej bibułki o grubości 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na pół
i jeszcze raz na pół itd.
Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby się
z dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby:
2 · 0,01 mm
Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bibułki
byłaby 2 razy większa od poprzedniej:
2 · 2 · 0,01 mm
Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby znowu 2 razy większa i wynosiłaby:
2 · 2 · 2 · 0,01 mm
Grubość bibułki po dziesiątym złożeniu to:
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 0,01 mm
W powyższych wyrażeniach występują iloczyny takich samych czynników. Takie iloczyny można zapisać krócej w postaci potęgi.
2 · 2 · 2 = 23
2 · 2 = 22
czytamy: dwa
do potęgi drugiej
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210
czytamy: dwa
do potęgi trzeciej
czytamy: dwa
do potęgi dziesiątej
ĆWICZENIE A. Zapisz za pomocą potęgi liczby 2, jaką grubość miałaby bibułka, gdybyśmy złożyli ją 23 razy, a jaką — gdybyśmy ją złożyli 50 razy.
Przypuśćmy, że możliwe byłoby złożenie bibułki 50 razy. Jak myślisz, z czym
można byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki — z długością ołówka, ze wzrostem człowieka, a może z odległością z Gdańska do
Warszawy? Okazuje się, że złożona bibułka miałaby grubość ponad 25 razy
większą niż odległość z Ziemi do Księżyca!
1 4
29 = 512
210 = 1024
211 = 2048
12
2
= 4096
1
2
= 16
2
= 32
1 5
1 6
1
1
2
= 64
2
= 128
1 7
W języku polskim słowo potęga jest równoznaczne z wielkością, siłą, mocą. Nie bez powodu wielokrotne mnożenie przez siebie takiego samego
czynnika zostało nazwane potęgowaniem.
1
Obliczając kolejne potęgi liczby 2, bardzo szybko otrzymujemy ogromne liczby. Zauważ, że obliczając kolejne
1
potęgi ułamka 2 , otrzymujemy coraz mniejsze liczby.
MG2y str. 10
POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM
Gdy n jest liczbą naturalną większą od 1, to iloczyn n jednakowych
czynników równych a oznaczamy an i nazywamy potęgą liczby a
o wykładniku n.
a n = a ·a ·a · . . . ·a
n czynników
Przyjmujemy ponadto, że:
a1 = a
a 0 = 1 dla a = 0
oraz
Uwaga. Wartość potęgi 00 nie jest określona, tzn.
zapis 00 nie oznacza żadnej liczby.
Przykłady
0,34 = 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,0081
(−2)1 = −2
1
7
9
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 24 = 16
1 3
−1 2
3
3
3
27
3
= − 2 · − 2 · − 2 = − 8 = −3 8
7
= 9
(−1,37)0 = 1
Gdy potęgujemy liczby poprzedzone znakiem minus, to potęgi te możemy zapisać w inny sposób. Na przykład:
6 6
1
1
−2 = 2
7
7
1
1
−2 = − 2
(−3)4 = 34
(−3)5 = −35
(−0,1)6 = 0,16
(−x)4 = x4
(−0,1)7 = −0,17
(−x)5 = −x5
Zwróć uwagę na to, że sposób, w jaki przekształcono te potęgi, zależy od
tego, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty.
ĆWICZENIE B. Sprawdź, że zachodzą powyższe równości.
Zadania
1. Oblicz podane potęgi:
a) 53
25
b) 06
1
3
17
(−1)4
c)
(−3)4 (−4)3
5 4
1
3
−5
2
0,26
d) (−1,1)2
(−10)0
(−0,03)3
e) −34
23
f) 3
3
1
14
1 3
−2 5
1,32
− (−1,5)3 −1,12
(−3)2
2
2
32
−53
(−3)2
MG2y str. 11
4
2
− −3
11
12
POTĘGI
2. Oblicz:
51
50
(−5)1
15
05
(−1)1
(−5)0
01
(−1)5
(−1)0
10
3. Oblicz:
a) 105
b) 1002
107
1012
1003
c) 0,13
10003
0,15
d) 0,012
0,18
0,014
0,0013
4. Zapisz w postaci potęgi liczby 10:
a) tysiąc,
b) sto tysięcy,
c) milion,
d) miliard.
5. Oblicz sumę cyfr liczby, która jest wynikiem odejmowania 10101 − 3.
6. Czy podana liczba jest dodatnia, czy ujemna?
a) (−17)5
c) (−0,9)7
e) (−8,6)20
g) −1102
i) −(−12)8
b) (−14)6
d) (−26)19
f) (−1)100
h) −1710
j) −(−3,5)11
7. Ustal bez wykonywania obliczeń, czy wynik to liczba dodatnia, czy
ujemna.
5 3
7 4
a) − 21
· − 18
b)
−184 · (−27)5
(−2,5)0
c)
− (−11)4 · (−5)7
−136 · (−12)4
8. Oto fragment zeszytu pewnego ucznia. Które obliczenia uczeń ten
wykonał błędnie?
9. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce ♦ ?
a) 2,54 ♦ 2,5
7
3
3
b) 5
♦ 5
9
5
5
c) 4
♦ 4
3/3
5
d) (0,1)8 ♦ 0,1
e) (−4)5 ♦ −4
i) 8,520 ♦ 8,530
f) (−1,2)6 ♦ −1,2
4
1
1
g) − 3
♦ −3
9
5
5
h) − 7
♦ −7
j) (−6)9 ♦ (−6)7
7
8
1
1
k) 3
♦ 3
l) (−0,2)7 ♦ (−0,2)3
MG2y str. 12
POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM
10. Ustal, dla jakich liczb naturalnych n:
a) liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000,
b) liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000.
11. Zapisz podane iloczyny i ilorazy w jak najprostszej postaci.
a) (−x)4 · (−2)2
b)
−a 2
3
c) (−10)2 · (−a)3
d)
(−x)7
(−3)2
e)
3
1
− 2 · (−b)4
f)
(−5)3
25 · (−m)5
12. Wiedząc, że 210 = 1024, oblicz podane potęgi.
(−2)10
−210
10
1
−2
ożoną można
naturalną zł
Każdą liczbę
czynu potęg
ilo
i
w postac
że
przedstawić
y wówczas,
ych. Mówim
pierwliczb pierwsz
ki
ni
yn
cz
liczbę na
rozkładamy
jak znaleźć
pokazujemy,
j
że
ni
sze. Po
erwsze.
pi
y na czynniki
3
rozkład liczb
·7 = 2 ·7
·14 = 2 · 2 ·2
·2
2
=
8
·2
2
56 =
360 2
180 2
→
2
:
360
2
180 : 2 → 90
3
90 : 2 → 45
3
15
→
45 : 3
5
15 : 3 → 5
1
→
5
:
5
2 ·5
3
360 = 2 · 3
−0,510
0−1−0−1−2
0−0−0−2−1
5−2−0−1
0−0−0−0−0−0−1−1
29
3087, 5746 i 41 503 na czynniki pierwsze, zapisz każdą z tych liczb w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych.
3087
1029
343
49
7
1
3
3
7
7
7
5746
2873
221
17
1
2
13
13
17
41503
5929
847
121
11
1
7
7
7
11
11
b) Każdą z podanych poniżej liczb
przedstaw w postaci iloczynu potęg
liczb pierwszych.
14. a) W tabeli obok zaszyfro-
b) Rozszyfruj liczby:
211
13. a) Korzystając z rozkładów liczb
648
wano liczby według pewnej
reguły. Zaszyfruj (zgodnie
z tą regułą) liczby: 10, 45,
16, 121 oraz twój numer
z dziennika lekcyjnego.
(−0,5)10
2800
10125
1936
Iloczyn potęg
Liczba
kolejnych
Szyfr
liczb pierwszych
2940
22 · 31 · 51 · 72
200
2 ·3 ·5
7
2 ·3 ·5 ·7
1
20
2
1
2
81
2 ·3
3
0
0
0
0
2−1−1−2
2
0
3−0−2
1
0−0−0−1
0
1
4
MG2y str. 13
0−4
13
14
POTĘGI
15. Oblicz wartości wyrażeń (pamiętaj, że potęgowanie wykonujemy przed
mnożeniem i dzieleniem).
4/3
5
1
1
e) 3 · 32 + 4 · 22
a) 25 − (−2)5
4 4
1
−1
b) 3 + 3
2
1
c) 3 · 33
f) 2 · 0,23 − 0,23
0
4
1
1
g) 3 · 2 + 8 · − 2
3 2
1
1
h) 2 : 6 − (−2)3
d) 103 · 0,12
i) (−0,1)4 · 203 − (−2)4
3
1
j) 1 2 : 0,54 + 7,40
k) 33 − (−2)2 − (−3)0
2
3
32
3
l) 5 − 5 + 52
16. Piłeczka opuszczona na posadzkę odbija się od niej na wysokość
równą 25 wysokości, z jakiej ją spuszczono. Piłeczkę opuszczono z wysokości 3 m. Jak wysoko się wzniesie piłeczka po czwartym odbiciu?
Po którym odbiciu wzniesie się na wysokość niższą niż 1 cm?
17. Ustal, jaka jest ostatnia cyfra każdej z podanych liczb.
517
1110
Gra o miliony dolarów!
Możesz zarobić duże pieniądze!
Wyślij jednego dolara osobie z numerem 1.
Przepisz ten list w 10 egzemplarzach, usuwając pierwsze nazwisko i wpisując na końcu
swoje nazwisko (z numerem 10). Wyślij przepisane listy do dziesięciu różnych osób.
1. C.Waniak POK SA 134578-749502-001
2. O.Szust OKPI Bank 782034-8263-35
3. S.P.Ryciarz Banca Credita 7265-937652
4. C.Lever Fortuna Bank 6628-8363-013
5. Ł.Obuz Karib Bank 729374-2774-972
6. Akiro Taka Wyga YAKI Bank 12346814-193-139
7. L.A.Wirant Bank Nadorski 7265-2863-0298
8. Mrs.Hope Lord’s Bank 17263-389-01
9. G.Smith WallStreet Bank 8734-20949717
10. N.A.Dziana PKS BM 1236594-23366
Już wkrótce Ty znajdziesz się na początku listy osób i otrzymasz wielką fortunę!
3625
29100
2323
∗18. Przeczytaj list zamieszczony obok.
Pan N. A. Iwniak dał się wciągnąć w tę
grę. Załóżmy, że każda osoba, która
otrzyma taki list, zastosuje się do instrukcji i wciągnie do gry 10 nowych
osób. Ile jeszcze osób musiałoby wziąć
udział w grze, aby pan N. A. Iwniak
znalazł się na początku listy?
∗19. Uzasadnij równości:
25 + 25 = 26
(−3)3 + (−3)3 + (−3)3 = −34
∗20. Ustal, ile siódemek należy dodać,
aby otrzymać liczbę:
a) 72
99
b) 73
c) 792
MG2y str. 14
ILOCZYN I ILORAZ POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH
1. Po podniesieniu liczby −2 12 do kwadratu otrzymamy:
1
1
A. 4 4
1
B. 2 4
25
C. 6 4
D. − 4
18
18
16
16
5
2
2
5
, o= 5 , p= 5 , r = 2
w kolejności
2
rosnącej otrzymamy układ liter:
2. Po ustawieniu liczb a =
A. o, p, a, r
B. r, o, p, a
C. p, o, r, a
D. o, p, r, a
3. Wynikiem działania −24 − (−3)2 · 2 jest:
A. 34
B. −34
C. −2
D. 50
4. W którym z przykładów znaku ♦ nie można zastąpić znakiem = ?
A. (−5) · (−5)0 ♦ − 5
C. 78 − (−7)0 ♦ 78 + 1
B. 26 + 26 ♦ 27
D. 15 + 05 − 50 ♦ 0
zeszyt ćwiczeń, str. 5
CD-ROM 1.1/1–10
zadania uzupełniające 1-10, str. 35–36
2 Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach
ĆWICZENIE. Zastąp symbole ♥, ♦, ♠ i ♣ odpowiednimi liczbami.
23 ·24 = 2 ·2 · 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 2♥
47 : 45 =
4 ·4 ·4 ·4 · 4 ·4 ·4
= 4♣
4 ·4 ·4 · 4 ·4
y 4 ·y 2 = y ·y ·y ·y · y ·y = y ♦
x5 : x2 =
x ·x ·x ·x ·x
= x ♠ dla x = 0
x ·x
Mnożąc lub dzieląc potęgi o tych samych podstawach, możemy korzystać z następujących równości:
am · an = am + n
Podstawa się nie zmienia,
wykładniki dodajemy.
am
= am − n dla a = 0
an
Podstawa się nie zmienia,
wykładniki odejmujemy.
Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci:
am : an = am − n
MG2y str. 15
15
16
POTĘGI
Przykłady
(−5)7 · (−5)9 = (−5)16 = 516
37 · 35 312
= 10 = 32 = 9
310
3
(−2)3 · 215 = −23 · 215 = −218
612
612
(−6)12
=
= − 10 = −62 = −36
10
10
−6
−6
6
Zadania
1. Zapisz w postaci jednej potęgi:
a) 135 · 136
d)
(−17)9
(−17)4
g)
a9 · a6
a4
b) (−123)3 · (−123)9
e)
13
1
1
13
: 13
h)
x11 · x5 · x
x18 : x9
c) 611 · 6 · 612
f)
814 · 816
815
i)
b7 · b3 : (b2 · b)
b4 · b2 : b
2. Ile razy liczba m jest większa od liczby n?
a) m = 315 , n = 312
11 /
36
n = 56 · 55
b) m = 29 , n = 32
c) m = 515 ,
b) 125 · 57 : 59
c) 64 · 29 : 210
3. Oblicz sprytnie:
a) 27 · 39 : 310
4. Zastąp gwiazdki odpowiednimi liczbami.
3
12 /
6
a) 63 · 6 · 67 = 621
c) 819 : 8 = 88
e) 25 · 5 · 125 = 510
b) 11 : 113 = 116
d) 36 · 6 = 611
f) 144 · 128 : 12 = 125
6
3 mm = 10 mm
3 m = 10 · 10
1 km = 10
↑
1m
3
5
2 dag = 10 dag
3
3
= 10 · 10
1 t = 10 kg
↑
1 kg
5. Zapisz odpowiedź w postaci potęgi
liczby 10.
a) 100 km — ile to milimetrów?
b) 1000 km — ile to decymetrów?
c) 1000 t — ile to dekagramów?
d) 100 t — ile to miligramów?
MG2y str. 16
ILOCZYN I ILORAZ POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH
6. Nazwij inaczej liczby:
a)
b)
c)
d)
bilion milionów,
milion septylionów,
trylion trylionów,
oktylion bilionów.
7. Ile razy jest większy:
a) septylion niż bilion,
b) nonilion niż trylion,
c) oktylion niż milion?
tysiąc — 103
sekstylion — 1036
milion — 106
septylion — 1042
miliard — 109
oktylion — 1048
bilion — 1012
nonilion — 1054
trylion — 1018
decylion — 1060
kwadrylion — 1024
googol — 10100
kwintylion — 1030
centylion — 10600
8. a) Kwadrat o boku 1 m podzielono na
kwadraciki o boku 1 mm i ułożono jeden za
drugim. Jaką długość ma otrzymana linia?
b) Sześcian o krawędzi 1 m rozpiłowano na
sześcianiki o krawędzi 1 mm i ułożono jeden za drugim. Czy otrzymana linia byłaby dłuższa niż odległość z Gdańska do
Zakopanego?
9. Wskaż prawidłowy wynik.
a) 57 · (−5)3
A = 510
B = −510
C = 54
D = −54
b) (−3)6 · 34
A = 310
B = −310
C = 32
D = −32
c) 115 : (−11)3
A = 118
B = −118
C = 112
D = −112
d) (−7)8 : 75
A = 713
B = −713
C = 73
D = −73
e) a9 · (−a)5
A = −a4
B = a14
C = −a14
D = a4
f) (−x)10 : (−x)6
A = −x4
B = −x16
C = x4
D = x16
10. Zapisz krócej:
a) (−12)4 ·(−12)·125
c) (−3)5 · (−3)3 · (−3)3
e) (−x)11 · x3 · (−x)
b) (−5)17 ·53 ·(−5)0
d) 79 ·(−7)8 ·(−7)·(−7)0
f) a6 · (−a)4 · (−a)14
11. Oblicz:
a) 26 · (−2)3 : (−2)8
13 /
36
b)
57 · (−5)24
513 · 518
(−7)10
78 · (−7)
5
1
d) − 4 : 0,252
c)
e) (−0,1)3 · 0,14 : 0,12
f)
(−0,2)3 · 0,24 · (−0,2)4
−(−0,24 · 0,26 )
MG2y str. 17
17
18
POTĘGI
1. Wartość wyrażenia
A. 1
(−0,5)12
−0,5
·
wynosi:
(−0,5)6 (−0,5)3 · (−0,5)2
B. 0,25
C. −0,25
D. −0,5
2. Liczba 1720 jest większa od liczby 175 :
B. 174 razy
A. 4 razy
C. 1715 razy
D. 15 razy
3. Połowa liczby 216 to:
A. 28
B. 116
C. 215
CD-ROM 1.2/1–5
D. 18
zadania uzupełniające 11–14, str. 36
3 Potęgowanie potęgi
ĆWICZENIE. Zastąp symbole ♥ i ♦ odpowiednimi liczbami.
3
(42 ) = 42 · 42 · 42 = 4 ♥
4
(t 3 ) = t 3 · t 3 · t 3 · t 3 = t ♦
Potęgując potęgę, możemy korzystać z następującej równości:
(am )n = am·n
Podstawa się nie zmienia;
wykładniki mnożymy.
Przykłady
3 4
1
6
(−0,3)5
12
1
= 6
2
= (−0,3)10 = 0,310
7
1257 = 53 = 521
125 = 53
MG2y str. 18
POTĘGOWANIE POTĘGI
19
Zadania
a)
b)
78
9
c)
7
(−2)3
6 8
3
−4
e)
12
d) 0,57
f)
46
8 3
−63
5 15
x
g)
2 7
h)
a3
4 5
2. a) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 10.
1009
10007
100 00011
b) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 0,1.
0,014
0,0019
0,000018
3. Jakie liczby należy wpisać w kwadraciki?
a) 1 km2 = 10
2
cm
1 m = 10
2
2 cm2
2
1 m = 10
2
3 cm3
3
1 m = 10
m2
100 km2 = 10
b) 1 m2 = 10
c) 1 cm2 = 10
m2
1 m2 = 10
cm2
105 m2 = 10
mm2
mm2
d) 1 km3 = 10
cm2
1 km3 = 10
m3
cm3
4. Zastąp litery odpowiednimi liczbami:
a) 48 = 2a
c) 99 = 3c
e) 76 = e3
g) 220 = g 10
b) 83 = 2b
d) 368 = 6d
f) 56 = f 2
h) 315 = h5
5. Zapisz w postaci potęgi o podstawie mniejszej od 10:
a) 164
b) 252
c) 323
d) 276
e) 1255
6. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce symbolu ♦ ?
a) (52 )3 ♦ (53 )2
2
b) (84 )2 ♦ 84
4 5
3 6
1
1
c)
♦
2
2
d) 220 ♦ 410
g) 168 ♦ 645
e) 0,56 ♦ 0,254
8
12
1
1
f) 49 ♦ 7
h) 0,0275 ♦ 0,099
3
2
4
8
i) 9 ♦ 27
7. Uporządkuj rosnąco liczby:
8
5
12
17
a) 16 , 64 , 8 , 4
15
17
40
9
b) 27 , 9 , 3 , 81
34
43
23
32
c) 2 , 2 , 4 , 4
MG2y str. 19
15 /
36
16 /
36
20
POTĘGI
8. Przeczytaj tekst w ramce. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę
miriada, aby otrzymać liczbę 1052 ?
Wielkimi liczbami posługiwał się już
Archimedes (287 p.n.e. — 212 p.n.e.).
Oprócz znanej Grekom liczby miriada
(10000) wprowadził liczbę miriada miriad. W swoim dziele Rachmistrz piasku szacował, ile ziaren piasku jest na
plaży. Obliczał także, ile ziaren piasku
wypełniłoby wszechświat. Wynik, jaki
otrzymał Archimedes, dzisiaj zapisalibyśmy jako 1052 .
∗9. Przyjmijmy, że symbol
oznacza aa . Zapisz w postaci potęgi
liczby 2:
1. W którym przykładzie symbolu ♦ nie można zastąpić znakiem = ?
3
A. 0,36 ♦ 0,32
2
5
B. 35 ♦ 32
C.
4 3
3 4
2
− 23
♦
3
D. 810 ♦ 326
2. W kolejności rosnącej ustawione są liczby:
4 5 5 6 6 7
1
1
1
,
,
3
3
3
3 3 3
A. 22 , 32 , −42
C.
2
3
2
B. 63 , 62 , 63
D. 220 , 415 , 810
CD-ROM 1.3/1–7
4 Potęgowanie iloczynu i ilorazu
ĆWICZENIE A. Wykonaj poniższe obliczenia. Ile różnych wyników otrzymałeś?
3
23
2
(3 · 2)2
(100 · 0,01)4
1004 · 0,014
32 · 22
3
5
5
ĆWICZENIE B. Zastąp symbole ♥ i ♦ odpowiednimi liczbami.
a) (2k)3 = 2k ·2k ·2k = 2♥ ·k ♦
c)
b) (p ·t)4 = p ·t ·p ·t ·p ·t · p ·t = p ♥ ·t ♦
d)
4
5
7
5
k
l
5
5
5
5
k
k
k
k
5♥
= 7·7·7·7 = ♦
7
k
k♥
= l ·l ·l ·l ·l = ♦
l
MG2y str. 20
POTĘGOWANIE ILOCZYNU I ILORAZU
Potęgując iloczyny lub ilorazy, możemy korzystać z następujących
równości:
(a · b)n = an · b n
n
a
b
=
an
bn
Potęga iloczynu jest równa
iloczynowi potęg.
Potęga ilorazu jest równa
ilorazowi potęg.
dla b = 0
Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci:
(a : b)n = an : bn
Przykłady
(2 · 10)6 = 26 · 106 = 64 000 000
1 4
12
4 1
3 4 4
· 1 3 = 2 · 3 = 24 = 16
0,2 3
0,008
8
1
= 27 = 27000 = 3375
3
1,63
=
−0,43
1,6
−0,4
3
3
16
= −4 = −64
Zadania
1. Podnieś do potęgi podane iloczyny i ilorazy.
19 /
36
4
−3xy 2
a) (3x)3
c) (−xy)8
e)
b) (−2a)5
d) (−ab2 )3
f) (−x2 y 3 )5
g)
h)
4
a
2
3
x
−2
j)
2. Znajdź liczby m i n.
a) (6 · 113 )5 = 6m · 11n
b)
34
5
7
c) (23 · 59 )2 = 2m · 5n
e)
d) (710 ·35 )6 = 7m ·3n
f)
3m
= 5n
i)
104
117
612
135
−a 4
2b
−3a2 b4
cd 7
5
3
10m
= 11n
3
6m
= 13n
3. Oblicz, korzystając z poznanych wzorów:
n
a) (3 · 10)4 ,
404
c) (2 · 102 )3 ,
b) (3 : 10)4 ,
0,44
d) (2 : 10)4 ,
20005
0,026
e) (6 · 10)3 ,
60002
f) (6 : 102 )2 ,
0,0063
3
4
5
6
4
64
256
1024
4096
a) 4004
c) 0,043
e) 606
6n
216
1296
7776
46656
b) 0,65
d) 0,0064
f) 0,044
n
4. Korzystając z tabeli, oblicz:
MG2y str. 21
21
22
POTĘGI
5. Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz:
20 /
36
a) 27 · 57
5
1
b) 2 · 45
c) 1610 : 810
4 4
3
1
d) 5 : 5
e) 0,23 · 103
3 3
1
1
f) − 3 : 9
g) (−0,2)9 : 0,19
3 3
4
3
h) 3 · 4
6. a) Kwadrat ma bok długości a. Jakie jest pole kwadratu, którego bok
jest 3 razy dłuższy?
b) Sześcian ma krawędź długości x. Jaka jest objętość sześcianu o krawędzi 2 razy krótszej?
7. Ile razy pole większego kwadratu jest większe od pola mniejszego
kwadratu?
8. Ile razy objętość sześcianu o krawędzi 3a jest większa od objętości
sześcianu o krawędzi
9. Oblicz sprytnie:
21 /
37
a) 45 · 56
1. Wyrażenie 2ab2
A. 8ab
5
b)
3
3
a?
2
5 6
3
5
· 3
5
c)
7 8
4
2
: 9
9
d)
5 4
4
1
19 : 43
można zapisać w postaci:
B. 8ab6
C. 2a3 b6
D. 8a3 b6
2. Wynikiem działania 0,056 · 46 jest:
A. 0,000064
B. 0,64
C. 6400
D. 64000000
3. Iloraz (−60)30 : 3030 jest równy:
A. (−2)0
B. −230
C. (−2)30
CD-ROM 1.4/1–6
D. (−2)60
zadania uzupełniające 19–21, str. 36–37
MG2y str. 22
DZIAŁANIA NA POTĘGACH
5 Działania na potęgach
Poznałeś do tej pory pięć wzorów dotyczących działań na potęgach.
Wiele na pozór skomplikowanych obliczeń można uprościć, stosując
te wzory.
Przykłady
257
(52 )7
514
= 12 = 12 = 52 = 25
512
5
5
210 ·310
(2 · 3)10
610
=
= 8 = 62 = 36
68
68
6
394
(3 ·13)4
34 ·134
34
81
=
= 4
=
=
135
135
13 ·13
13
13
55 ·54
59
53
125
= 6 6 = 6 =
106
2 ·5
2
64
ĆWICZENIE. Przeczytaj powyższe przykłady. Ustal, jakie wzory wykorzystywane były przy kolejnych przekształceniach.
Wróćmy do „problemu składanej bibułki” (zob. str. 10). Wiemy już, że
grubość bibułki po pięćdziesiątym złożeniu wynosiłaby 250 · 0,01 mm.
Oszacujemy tę liczbę, korzystając z tego, że 210 = 1024 ≈ 1000 = 103 .
5
5
1
250 · 0,01 mm = 210 · 0,01 mm ≈ 103 · 100 mm = 1013 mm
Odległość Księżyca od Ziemi wynosi około 400000 km.
400 000 km = 4 · 105 km = 4 · 105 · 106 mm = 4 · 1011 mm
Porównajmy otrzymane wyniki:
grubość bibułki
odległość Księżyca od Ziemi
≈
1013
102
=
= 25
4·1011
4
Wynika stąd, że grubość bibułki byłaby ponad 25 razy większa niż
odległość z Ziemi do Księżyca.
MG2y str. 23
23
24
POTĘGI
Zadania
1. Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej.
a = 73 · 74
4
c = 73
b = 712 : 74
3
d = 7 · 72
3
e = 74 : 72
2. a) Która z liczb (83 )5 czy 83 ·85 jest większa? Ile razy większa?
b) Która z liczb 147 : 27 czy 713 : 75 jest większa? Ile razy większa?
3. Przedstaw w postaci potęgi liczby 2:
a)
(24 )7
23 ·25
b) 4 · 28
c) (44 )3
e) (16 · 23 )4
d) 323
4. Ustal wartości m i n.
23 /
37
a) (210 · 25 · 74 )2 = 2m · 7n
b)
(34 · 57 )3
= 3m · 5n
59
4 3
1
1
: 3
9
5. Przedstaw w postaci jednej potęgi:
37
24 /
a) 34 · 92
c) 83 : 25
e)
b) 45 · 83
d) 1257 : 2510
4
1
f) 0,59 : 4
g) 0,19 : 0,0012
58
210
h) 32 · 125
6. Która z poniższych liczb jest równa połowie liczby 890 ?
490
845
2135
445
2269
∗7. Uporządkuj podane liczby rosnąco.
a) 444
444
4
(44 )4
44
b) 329
1611
658
322
8. Ustal, ile zer na końcu ma liczba:
a) 25 · 57
b) 26 · 53
c) 4 · 55
d) 48 · 755
e) 124 · 503
9. Oblicz:
26,
27 /
37
a)
5
1
1
: 8
4
2
c) 29 : (−67 : 37 )
b)
(−6)4 · (−2)4
122
d)
323
82
e)
814
275
g)
210 · 310
68
f)
252 · 47
29 · 54
h)
58 · 29
107
MG2y str. 24
DZIAŁANIA NA POTĘGACH
Liczba 10100 , którą można zapisać jako jedynkę
i sto zer, nazywa się googol (czyt. gugol). Jest to
liczba naprawdę olbrzymia — znacznie większa
niż liczba wszystkich cząstek elementarnych we
wszechświecie. Zatem do opisu wszystkich zjawisk
otaczającego nas świata wystarczą liczby mniejsze
od googola.
Dziwnie brzmiącą nazwę googol wymyślił w 1920 r.
dziewięcioletni chłopiec, siostrzeniec amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera.
W 1997 roku twórcy pewnego programu komputerowego chcieli go nazwać
googol dla zilustrowania ogromnej
liczby informacji, które przetwarzał.
Niestety, jeden z autorów programu,
rejestrując jego nazwę, popełnił pomyłkę. Właśnie dlatego jedna z najbardziej znanych wyszukiwarek internetowych na świecie nosi nazwę
Google, a nie Googol.
10. Przeczytaj powyższą ciekawostkę.
a) Zapisz za pomocą potęgi liczby dziesięć liczby: sto googoli, milion
googoli, jedna tysięczna googola i googol googoli.
b) Ile razy liczba miliard miliardów jest mniejsza od googola?
11. Szacuje się, że na świecie żyje około
1018 owadów. Ludzi na świecie jest około
6,6 mld. Zakładając, że przeciętny owad waży 0,1 g, a przeciętny człowiek 50 kg, oblicz:
a) Czy wszystkie owady razem ważą więcej
niż wszyscy ludzie?
b) Ile kilogramów owadów przypada średnio na jednego człowieka?
12. Spośród polskich jezior najwięcej wody zawiera jezioro Mamry —
ok. 1 km3 . Woda zawarta w dużej chmurze ma masę ok. 109 kg. Ile takich chmur powstałoby, gdyby wyparowała cała woda z jeziora Mamry?
13. W tabelce zamieszczono przedrostki
Przedrostek
Symbol
Wielokrotność
deka
da
10
hekto
h
102
kilo
k
103
oznaczające wielokrotności jednostek podstawowych. Dodając na przykład przedrostek giga- do słowa metr, otrzymujemy gigametr, czyli 109 metrów (1 Gm = 109 m).
mega
M
106
a) Ile dekagramów jest w megagramie?
giga
G
9
10
b) Ile dekagramów jest w eksagramie?
tera
T
1012
c) Ile hektometrów jest w gigametrze?
peta
P
1015
eksa
E
1018
d) 100 megametrów — ile to dekametrów?
e) 1000 petagramów — ile to kilogramów?
MG2y str. 25
25
26
POTĘGI
1. Trzecia część liczby 99 to:
A. 39
B. 93
2. Liczba 46
A. 649
3
D. 326
jest równa liczbie:
B. 218
3. Wynikiem działania
A. −10
C. 317
B. −9
zeszyt ćwiczeń, str. 9–10
C. 812
D. 49
(−30)11 · 0,111
jest:
39
C. −39
D. (−3)13
CD-ROM 1.5/1–4
6 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
Poznałeś już potęgi o wykładnikach naturalnych. Można również rozpatrywać potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych.
potęga, n-ta potęga liczby a, dla n > 0
iloczyn a · a·. . .·a, w którym występuje
n czynników, a każdy z nich jest równy a.
Liczbę a nazywamy podstawą potęgi,
a liczbę naturalną n – wykładnikiem potęgi. Potęgę o wykładniku n i podstawie a
(lub krócej n-tą potęgę liczby a) oznacza
się symbolem an . Przyjmuje się ponadto, że
a1 = a oraz że a0 = 1 (dla a = 0).
Powyższą deﬁnicję można uogólnić, dopuszczając także wykładniki całkowite ujemne.
Przyjmuje się mianowicie, dla a = 0:
1
1
a − 1 = a i konsekwentnie a − k = k .
a
Encyklopedia szkolna. Matematyka
ĆWICZENIE. Przeczytaj zamieszczoną
obok notkę encyklopedyczną. Zapisz
w postaci ułamków następujące liczby:
2−1
5−1
7−1
2−3
5−3
Dla a = 0 przyjmujemy, że:
1
a−1 = a
a−2 =
1
a2
a−3 =
1
a3
Ogólnie, jeżeli n jest liczbą naturalną, to dla a =
0:
a −n =
1
an
Zauważ, że a−1 to odwrotność liczby a, zaś a − n to odwrotność liczby an .
7−3
MG2y str. 26
POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM
Wykonując obliczenia na potęgach, możemy zamieniać potęgi o wykładniku ujemnym na odwrotności odpowiednich potęg o wykładnikach dodatnich.
Przykłady
1
1
5−7 · 55 = 7 · 55 = 25
5
4
7−1
=
7−5
4
1
7
1
75
=
1
· 75 = 7
74
Takie same wyniki otrzymamy, stosując reguły działań na potęgach
opisane w poprzednich rozdziałach. Okazuje się bowiem, że reguły te
obowiązują także dla potęg o wykładnikach ujemnych.
Przykłady
−7
5
·5 =5
5
−7 + 5
−2
=5
1
= 25
Korzystamy ze wzoru am · an = am + n
dla wykładników m = −7 i n = 5.
4
7−4
7−1
=
= 7 − 4 − (− 5) = 7 − 4 + 5 = 7
7−5
7−5
Stosujemy wzór (am )n = am·n dla wykładników m = −1 i n = 4, a następnie wzór
am : an = am − n dla m = −4 i n = −5.
Zadania
1. Oblicz:
a) 3−1
5−2
2−3
d) (−10)−5
7 −1
11
−2
−2
c) (2,5)−1
(0,4)−2
(1,25)−1
b)
1
3
3
4
e)
−2
2
−3
f) (−1,2)−1
(−4)−2
(−2)−3
−3
1
−5
1 −4
−3 3
(−0,1)−5
(−0,02)−4
2. Zastąp symbole odpowiednimi liczbami.
a)
−7
3
4
= ♠7
b)
−9
7
3
= ♥9
c) (0,7)−8 = ♦8
d)
1
0,1
3. Zapisz podane liczby w postaci potęg o wykładniku ujemnym.
4
1
3
3
3
8
1
75
65
7
1
24
MG2y str. 27
−3
= ♣3
27
28
POTĘGI
4. Które obliczenia wykonano błędnie?
5. Która z liczb jest większa?
a) 3−8 czy 3−7
32 /
38
33 /
38
b)
−4
1
5
czy
c)
−5
1
5
d)
5
1
4
czy 4−6
−8
1
5
czy 56
6. Oblicz:
a) 4−7 · 46 · 4−2
e)
b) 7−4 : 7−3
c)
6
1
2
czy
−6
1
2
f) (0,1)−3 czy (0,1)−4
5−4 · 53
5−2
d)
−3
1
2
· 24
7. Zapisz podane liczby w postaci potęgi liczby 10.
0,1
0,00001
1
1 000 000
0,0000001
1
0,001
10 000 000
8. Znajdź liczby x i y.
3m
00 m = 10
1 km = 10
−3
1 km = 10
1 m = 1000
km
a) 1 kg = 10x dag
c) 1 m = 10x cm
1 dag = 10y kg
1 cm = 10y m
b) 1 l = 10x ml
d) 1 t = 10x g
1 ml = 10y l
1 g = 10y t
9. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w postaci potęgi liczby 10.
a) [km] 1 mm 1 cm 10 mm
1
cm
100
b) [t] 1 kg 1 dag 0,1 dag 100 g
10. Włos ludzki ma średnicę ok. 10−4 m. Ile to milimetrów? Jak gruby
byłby włos powiększony tysiąc razy? Jaką grubość miałby włos powiększony milion razy?
MG2y str. 28
POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM
Przedrostek
Symbol
Ułamek
decy
d
10−1
centy
c
10−2
mili
m
10−3
mikro
µ
10−6
nano
n
−9
10
piko
p
10−12
11. Tabelka przedstawia przedrostki oznaczające części jednostek podstawowych. Oblicz:
a) ile nanogramów jest w miligramie,
b) ile pikometrów jest w decymetrze,
c) ile mikrometrów jest w centymetrze,
d) ile mililitrów jest w centylitrze,
e) ile nanolitrów jest w centylitrze.
12. Zapisz w postaci potęgi liczby 10.
a) 1 m2 — ile to kilometrów kwadratowych?
b) 1 mm2 — ile to metrów kwadratowych?
3
c) 1 cm — ile to kilometrów sześciennych?
d) 100 cm2 — ile to metrów kwadratowych?
1 cm = 10 −2
m
1 cm 2 = 10 −2 2
m2
1 cm 3 = 10 −2 3
m3
e) 1000 m3 — ile to kilometrów sześciennych?
1. Która z poniższych liczb nie jest równa 2 14
A.
2
4
9
B.
−4
−2
?
2
1
C. 4 2
3
2
1 −1
D. 5 16
2. Liczba 3−14 jest od liczby 3−12 :
A. 9 razy większa
C. 9 razy mniejsza
B. 3 razy większa
D. 3 razy mniejsza
3. Znak nierówności wstawiono błędnie w przykładzie:
A.
−6 −7
1
1
< 2
2
B.
−7 −7
1
1
< 3
2
C. 3−5< 6−5
D. 9−5< 9−4
4. Która z poniższych równości jest prawdziwa?
A. 1 km3 = 103 m3
2
−4
B. 1 mm = 10
m
C. 1 cm = 10−2 mm
2
D. 1 dm2 = 10−8 km2
CD-ROM 1.6/1–8
zadania uzupełniające 29–33, str. 37–38
MG2y str. 29
29
30
POTĘGI
7 Notacja wykładnicza
ĆWICZENIE A. Oblicz:
a) 4 ·103
2,5 · 105
3,5 ·106
b) 7 · 10−3
4,8 ·10−4
2,6 · 10−5
ĆWICZENIE B. Zastąp kwadraciki odpowiednimi liczbami.
500 000 = 5 · 10
0,0007 =
7
10
= 7 · 10
Przy zapisywaniu bardzo dużych i bardzo małych liczb dodatnich wygodnie jest posługiwać się tzw. notacją wykładniczą.
n
a · 10
niająca
liczba speł
warunek
1 ≤ a < 10
y 10
potęga liczb
ku
ni
d
ła
yk
ow
całkowitym
Polega ona na zapisywaniu liczb w postaci iloczynu, w którym pierwszy czynnik jest liczbą większą od 1 lub równą 1
i mniejszą od 10, a drugi jest potęgą
liczby 10.
Notację wykładniczą nazywamy też notacją
naukową.
Przykłady
Zapisz w notacji wykładniczej:
360000000 = 3,6 · 108
8 cyfr
wykładnik równy 8
0,0000576 = 5,76 · 10−5
5 cyfr
po przecinku
Liczba 3,6 spełnia warunek 1 ≤ 3,6 < 10.
5,76
1
0,0000576 = 105 = 5,76 · 105
wykładnik równy −5
MG2y str. 30
NOTACJA WYKŁADNICZA
Wykonując obliczenia dotyczące dużych i małych liczb zapisanych
w notacji wykładniczej, możemy korzystać z poznanych własności
działań na potęgach.
Przykład
Zapisz w notacji wykładniczej:
25,7 · 107 = 2,57 · 10 · 107 = 2,57 · 108
0,064 · 10−8 = 6,4 · 10−2 · 10−8 = 6,4 · 10−10
Przykład
Masa Słońca wynosi około 2 · 1030 kg, a masa Ziemi około 6 · 1024 kg. Ile
razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi?
2 · 1030 106 10
=
·105 ≈ 3,3 · 105
=
6 · 1024
3
3
Odp. Masa Słońca jest ok. 3,3 · 105 (330000) razy większa od masy Ziemi.
Przykład
Teren w okolicach Elbląga obniża się o 8 · 10−11 metrów w ciągu sekundy.
O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat?
100 lat = 100 · 365 · 24 · 3600 s =
= 315360 · 104 s ≈ 3,15 · 109 s
Zamieniamy 100 lat na sekundy.
1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny,
1 godzina = 3600 sekund
3,15 · 109 · 8 · 10−11 = 8 · 3,15 · 10−2 =
= 25,2 · 10−2 [m]
Obliczamy, o ile metrów obniżył się
teren w ciągu 3,15 · 109 s.
25,2 · 10−2 m = 25,2 cm
10−2 m = 1 cm
Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elbląga obniżył się o ok. 25 cm.
Przykład
W jeziorze Mamry jest 1,01 · 1012 litrów wody, a w jeziorze Śniardwy —
6,6 · 1011 litrów. Ile litrów wody jest w obu tych jeziorach razem?
1,01 · 1012 + 6,6 · 1011 = 10,1 · 1011 + 6,6 · 1011 = 16,7 · 1011 = 1,67 · 1012
Odp. W obu tych jeziorach jest razem 1,67 · 1012 litrów wody.
MG2y str. 31
31
32
POTĘGI
Zadania
1. Zapisz podane niżej odległości między obiektami astronomicznymi,
stosując notację wykładniczą.
• średnia odległość Księżyca od Ziemi — 380000 km
• średnia odległość Ziemi od Słońca — 150000000 km
• najmniejsza odległość Ziemi od Marsa — 55000000 km
• odległość Słońca od Gwiazdy Polarnej — 4070000000000000 km
• odległość Słońca od Alfa Centauri — 41500000000000 km
2. Na podstawie rysunku i tabelki dopasuj symbole planet do ich nazw.
Odległość od
Słońca [w km]
Symbol
planety
5,79 · 107
1,083 · 108
1,496 · 108
⊕
2,8696 · 10
2,279 · 108
4,4966 · 109
9
1,427 · 10
9
7,776 · 108
3. Przedstaw podane wielkości w notacji wykładniczej:
• średnica tułowia ameby — 0,00062 m
• prędkość, z jaką rośnie bambus — 0,000012 m/s
• masa wirusa ospy — 0,000000000007 g
• masa ziarenka maku — 0,0005 g
• masa atomu wodoru — 0,000000000000000000000001674 g
4. Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej.
a) 57 · 105
c) 265 · 108
e) 38 · 10−4
g) 23,5 · 10−11
b) 0,03 · 102
d) 33,6 · 1010
f) 0,06 · 10−5
h) 0,8 · 10−5
5. Ustal, co jest większe:
a) 2,5 · 103 kg czy 3,6 · 106 g
c) 6,7 · 10−8 t czy 7,6 · 102 mg
b) 3,5 mm czy 3,5 · 10−6 m
d) 2,4 · 10−4 cm czy 2,5 · 10−8 m
MG2y str. 32
NOTACJA WYKŁADNICZA
33
6. Zapisz w notacji wykładniczej:
a) 465 m — ile to milimetrów?
465 mm — ile to metrów?
c) 326 kg — ile to gramów?
326 g — ile to kilogramów?
b) 40 000 km — ile to centymetrów?
40 000 cm — ile to kilometrów?
d) 550 t — ile to gramów?
550 g — ile to ton?
7. Oblicz a · b i
a
b
34 /
38
36 /
38
, wynik zapisz w notacji wykładniczej.
a) a = 2,4 · 1015
b = 2 · 107
b) a = 4 · 1023
b = 5 · 1019
c) a = 3,2 · 10−4
b = 8 · 10−6
8. Masa protonu wynosi ok. 1,7 · 10−27 kg, a masa elektronu 9,1 · 10−31 kg.
Ile razy proton jest cięższy od elektronu?
9. Oblicz i zapisz w notacji wykładniczej:
a) Ile razy powierzchnia Księżyca jest większa od powierzchni Polski?
b) Ile razy powierzchnia Księżyca jest mniejsza od powierzchni Ziemi?
10. Z Wisły do Bałtyku wpływa w ciągu 1 godziny około 3,4 · 106 m3 wody,
a z Odry — około 1,9 · 106 m3 . Zapisz w notacji wykładniczej:
a) Ile razem wody wpływa do Bałtyku z obu tych rzek w ciągu godziny?
b) O ile więcej wody wpływa z Wisły niż z Odry w ciągu godziny?
c) Ile kilometrów sześciennych wody wpływa z Wisły do Bałtyku w ciągu doby?
11. Oblicz a + b i a − b , wynik zapisz w notacji wykładniczej.
a) a = 3,7 · 105
b) a = 1,2 · 1013
b = 5,2 · 104
b = 9,8 · 1012
c) a = 7,875 · 103
b = 5 · 10−2
12. Jedna z największych chmar szarańczy pojawiła się w Kenii w 1954
roku i liczyła 10 miliardów owadów. Jeden osobnik szarańczy waży
około 2,5 g. Zapisz w notacji wykładniczej, ile ton ważyła ta chmara
szarańczy.
MG2y str. 33
34
POTĘGI
13. Włosy człowieka rosną z przeciętną szybkością 4 · 10−4 metra na
dobę. Najdłuższe włosy miała Hinduska Mata Jagdambo. Miały one długość 4,23 m. Oszacuj, ile czasu Mata
Jagdambo nie ścinała włosów.
14. Rok świetlny to odległość, którą pokonuje światło w ciągu roku. Prędkość światła to ok. 3 · 108 m/s.
a) Ile kilometrów ma rok świetlny?
b) Od bitwy pod Grunwaldem minęło 600 lat. Ile kilometrów od Ziemi
musiałaby się znajdować planeta, do której dotarłby teraz sygnał świetlny wysłany z Ziemi 600 lat temu? Przyjmij, że rok to 3,15 · 107 sekund.
1. 500 mm to:
A. 5 · 10−8 km
B. 5 · 10−4 km
C. 5 · 108 km
D. 5 · 10−6 km
B. 2 · 105 mg
C. 2 · 109 mg
D. 2 · 108 mg
2. 2000 kg to:
A. 2 · 106 mg
3. Prawdziwa jest nierówność:
A. 2,5 · 10−5 kg < 25 mg
C. 3,6 · 103 cm < 4,1 · 10−3 km
B. 4 · 105 mm < 4,2 · 10−2 km
D. 9,8 · 106 dag < 9 · 102 t
4. Ziemia, obiegając Słońce, porusza się ze średnią prędkością około 30 km/s.
Pokonuje wówczas drogę równą około:
A. 9,5 · 108 km
B. 10 950 km
C. 1,6 · 107 km
D. 2,6 · 106 km
MG2y str. 34
POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE
Potęga o wykładniku naturalnym
1. a) Przedstaw każdą z podanych liczb
w postaci potęgi o podstawie 2 lub 3.
8
32
27
1
128
W stosowanym przez nas systemie dziesiątkowym używa się dziesięciu cyfr (od
0 do 9) i potęg liczby 10.
243
b) Przedstaw każdą z poniższych liczb
w postaci potęgi o wykładniku 3 lub 4.
16
64
216
81
0
305 = 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100
7204 = 7 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100
625
W informatyce często stosowany jest
system dwójkowy, w którym używa się
dwóch cyfr (0 i 1) oraz potęg liczby 2.
2. Która z podanych liczb jest większa?
a)
b)
2
2
5
7
1
7
czy 5
22
c)
−26
czy
36
2
d)
−29
czy
−99
czy 77
2
6
2
9
−3
−9
1101(2) = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 13
liczba zapisana
w systemie
dwójkowym
liczba zapisana
w systemie
dziesiątkowym
3. Uporządkuj rosnąco liczby:
a) a = 57
b = (−7)8
110(2) = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 10
c = (−5)8
W ten sam sposób można zapisywać
liczby w systemie trójkowym, czwórkowym itd. W systemie trójkowym używa
się trzech cyfr 0, 1, 2 i potęg liczby 3,
a w systemie czwórkowym – cyfr 0, 1,
2, 3 i potęg liczby 4.
b) a = −24 b = (−2)4 c = −38
8
11
15
2
2
2
c) a = − 9
b = −9
c= 9
5
2
d) a = 3
5
3
b= 2
10
2
c= 3
6. a) Liczby 100(2) , 1100(2) , 111110(2) za-
4. Oblicz:
pisz w systemie dziesiątkowym.
1
a) 2 · [(−1)8 + (−1)8 ]
3 2
1 3
1
1
b) −3 3 · 0,34 − − 2 · 1 3
3 2
1
3 2
1
c) 1 3 · −3 4 : 3 − 3
2
1
d) (−0,3)2 : 0,1 − 0,23 · 2 2
3
1
e) (−0,1)4 · 203 + 1 2 : (−0,3)2
b) Liczby 15, 24, 30, 100 zapisz w systemie dwójkowym.
∗ 7. a) Liczby 201 , 111 , 10121 za(3)
(3)
(3)
pisz w systemie dziesiątkowym.
b) Liczby 8, 25, 45 zapisz w systemie
trójkowym.
∗ 5. Które z podanych ułamków nie przedstawiają liczb naturalnych?
1
10354 + 8
9
4
6
2
10111 + 5
6
10123 − 4
6
7
10101 + 9
9
5
6123 + 44
10
3
10454 − 1
9
10321 + 2
6
8
9140 − 1
10
8. Oblicz:
a)
3
22
b)
2
(−1)3
c)
0
54
d)
05
117
∗ 9. Każdą z poniższych liczb zapisano
za pomocą czterech dwójek. Ustal, która
z tych liczb jest największa, a która najmniejsza.
2222
2
222
22
22
MG2y str. 35
22
22
35
36
Potęgowanie potęgi
15. Każdą z podanych liczb przedstaw
Największa liczba zapisana za po9
mocą trzech cyfr to 99 . Zapisanie jej
w systemie dziesiątkowym zapełniłoby 33 książki po 800 stron i 14000
cyfr na stronie.
w postaci potęgi o podstawie 2, 3 lub 5.
643
275
325
99
2511
1257
169
16. Zapisz poniższe liczby w kolejności
rosnącej.
1620
10. Czy w zapisie dziesiętnym liczby
10
1010
występuje więcej niż milion zer?
Iloczyn i iloraz potęg
o jednakowych podstawach
a) 25 · 53 · 50
c)
9 · 39 · 27
37 : 34
7
1
1
1
b) 81 · 9 · 3
d)
71 : 49
74 · 73
1
6415
3217
260
450
∗ 17. Zastąp litery odpowiednimi liczbami.
a 2
1
1
310
a)
= 64
d)
d = 3
2
27
b)
163
=8
e)
c) 642 = c 6
f)
2b
125e
= 55
54
2 f
81
: 9 = 36
∗ 18. Uporządkuj poniższe liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
2500
12. Jakimi liczbami należy zastąpić
3400
4300
5200
kwadraciki?
· 81 = 310
a) 9 · 3
Potęgowanie iloczynu i ilorazu
b) 2 · 16 = 27
5 1
1
1
c) 2 : 2
· 2 =1
d) (−125) · (−5) · (−5)
19. Wykonaj potęgowanie:
a)
= 58
b)
3ab2
3
1 2 3
a b
2
c)
4
d)
2ab5
c2
a5 b6
3x2
2
5
a)
20. Oblicz:
1000 · (−10)8
109
a)
b) 81 · (−3)5 · (−27)
c)
1
− 32
1
· 16 ·
6
1
2
36 · (−6)7 · (−6)8
d)
614 : (−6)
c)
e)
6 6
2
· 7
(−6,5)3
(−0,13)3
1
42
1
22
3 3
2
· − 3 ·(−2)3
4
b) 510 + 510 + 510 + 510 + 510
c) 3 · (315 + 315 + 315 )
3
14
4
2
b) (0,8)4 : 2 3
d)
a) 27 + 27
f)
1 4
·0,64 · − 15
2 4
0,34 · 2 3
(−4)4
MG2y str. 36
21. Oblicz sprytnie:
27. Oblicz:
a) 1,54 · 25
8 10
7
3
c) 3 · 7
a)
55
104
d)
46 ·86
325
b) 0,46 · 55
d) 1,25 : 0,66
b)
444
223
e)
(−3)9 ·59
158
c)
642 ·362
63 ·27
f)
28 ·57
0,14 ·1006
Działania na potęgach
22. Ustal, jakim znakiem: < , = czy >
należy zastąpić kwadracik?
27 · 315
a) 11
3 · 24
b)
23 · 35
58 · 32 · 37
39 · 57
5
28. W 1859 r. sprowadzono do Australii
814
c) 9 9
6 :2
29 · 492
144
d)
27
26
Przypuśćmy, że liczba królików podwajała się co rok; oszacuj, ile — przy takim
założeniu — mogło być królików w Australii pod koniec 1887 roku.
23. Ustal wartość m i n.
a) 4 ·
b)
c)
73
52
23
34
10
=
2m
3n
3 4
53
5m
·
= n
5
7
pierwsze 22 króliki. Znalazły tu one doskonałe warunki do życia. Już w 1887 r.
było ich tak dużo, że rząd postanowił przyznać nagrodę temu, kto wymyśli
sposób zmniejszenia ich populacji.
Wskazówka. Przyjmij, że 210 ≈ 1000.
7
3
16 4
5
2n
· 8 = m
25
5
24. Która z poniższych liczb jest równa
czwartej części liczby 8100 ?
825
2100
225
896
2298
większa? Ile razy większa?
Potęga o wykładniku
całkowitym ujemnym
a) a = 1210 , b = 245
29. Zastąp litery liczbami.
25. Która z podanych dwóch liczb jest
b) a = 6416 , b = 1664
1
26. Oblicz:
a) 27 · 37 : 65
3 4
1
1
b) − 2 · − 2 · 27
c) 0,18 · 0,28 : 0,026
12
e) (−2)e = − 32
c) (0,1)c = 1000
g) 1000g = 0,0013
1 h
h) 25−2 = 625
d) (0,2)d = 25
f) 0,25f = 16
30. Oblicz:
d) (−0,2) · 5 · (−1)
3 3
1
1
e) 1 2 : 2 4 · 33
12
1
a) 2a = 4
b
1
b) 3 = 27
−13
f) 0,56 · (−0,5)7 : 0,0513
a)
−1
1
7
1
b) −1
1
7
c)
−1 −1 −1
1
7
−1 −1 −1
d)
1
1
7
MG2y str. 37
37
38
31. Oblicz:
36. Oblicz, zapisując wyniki w notacji
−1 −2
1
1
a) 5 + 5
wykładniczej:
b)
c)
1
1
−2
3
1
1
−5
3
−1
−3 1
1 −3
: 5+3
a) 2,3 · 10−3 · 4 · 10−5
c)
2 · 104
5 · 10−2
b) 4,2 · 10−6 · 5 · 108
d)
3,5 · 10−2
7 · 10−5
37. Największa odległość między Zie32. Zapisz podane liczby w kolejności
od największej do najmniejszej.
a) 75 7−5 7−3 7−7
−13 15 −1 0
1
1
1
1
b) 5
5
5
5
−3
−6
1
1
4
5
−3
c) − 3
(−3)
(−3)
33. Oblicz:
−4
1
a) (−6)−2 · 6
−2
2−5 · 2−3
b)
2−7
c)
mią a Księżycem wynosi ok. 4 · 105 km.
Czy Jowisz zmieściłby się między Ziemią a Księżycem? Czy wszystkie planety
Układu Słonecznego (bez Ziemi) ustawione obok siebie zmieściłyby się między Ziemią a Księżycem?
Nazwa
planety
Średnica
(w tys. km)
Nazwa
planety
Średnica
(w tys. km)
Merkury
5
Saturn
121
Wenus
12
Uran
51
Mars
7
Neptun
50
Jowisz
143
38. W 1983 roku za pomocą szliﬁerki
3−6 · (3−2 : 3)−1
34 : (32 · 36 )
Notacja wykładnicza
34. Zapisz w notacji wykładniczej:
a) 13 km — ile to centymetrów?
b) 13 cm — ile to kilometrów?
c) 2400 kg — ile to miligramów?
d) 2400 mg — ile to kilogramów?
diamentów Large Optics Diamonds rozdzielono wzdłuż ludzki włos na 3000
części. Zapisz w notacji wykładniczej,
jaka była średnia grubość każdej części.
Przyjmij, że grubość włosa jest równa
około 10−4 m.
39. Przeciętnie w organizmie człowieka
jest 2 · 1013 czerwonych krwinek. Każda
z nich ma średnicę około 7,5 · 10−6 m.
Wyobraź sobie, że ustawiamy obok siebie
wszystkie te krwinki w szeregu jedna za
drugą. Jaką długość miałby ten szereg?
35. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w notacji
wykładniczej.
a) [m 2 ]
12 km2
30 cm2
b) [cm2 ]
29 m2
c) [dm3 ]
183 cm3
d) [km3 ]
192 000 m3
1,4 · 103 mm2
400 m3
7,5 · 1020 dm3
MG2y str. 38

CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2ystr.9

Transkrypt

Podobne dokumenty

Drukarka HP Color LaserJet 2600n

Drukarka HP Color LaserJet 3800n

Praca domowa 08_10_2013

Spis treści

Przykładowe zadania otwarte-grudzień_2014

1. Oblicz. a) (−6) b) −2 c) (−1,1) d) −0,1 e) − (−0,2) 2. Oblicz. a) b) c

Komputer

Potęgi