atom wodoru

ATOM WODORU
najprostsza budowa
jądro o Z = 1 (ładunku e+) i elektron e-
–e2/(4π
πε0r)
ε0 – przenikalność dielektryczna próżni
V dla elektronu w polu jądra wynosi:
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 8πm 
e2 
+ 2 + 2 + 2  E + ψ = 0
2
∂x
∂y
∂z
h 
r 
Rozwiązując to równanie otrzymujemy nie tylko energię E
2π 2 me 4
E=− 2 2
hn
n = 1,2,3..... – główna liczba kwantowa
ale również i moment pędu
M
h
M = l (l + 1)
2π
l = 0,1,2,3.....n-1
s,p,d,f
oraz jedną ze składowych momentu pędu wzdłuż wyróżnionego
kierunku
h
Mz = m
2π
m = -l, -l+1, ... , l-1, l
Mz
2h/2π
π
h/2π
π
0
-h/2π
π
-2h/2π
π
przestrzenne kwantowanie
momentu pędu elektronu
w atomie wodoru (l=2)
Obliczmy
M = l (l + 1)
M dla l=2:
h
2π
h
h
M = 2⋅3
= 6
2π
2π
Składowe Mz wynoszą:
h
Mz = m
2π
2h h
h
2h
,
, 0, −
, −
2π 2π
2π
2π
energia całkowita, moment pędu, składowa zetowa momentu pędu
mogą przyjmować tylko niektóre wartości - ulegają kwantowaniu
FUNKCJA FALOWA
P – prawdopodobieństwo
Ψ - funkcja falowa
P = P ( x, y , z , t ) ≈ P ( x, y , z )
P
ρ=
= ρ ( x, y , z , t ) ≈ ρ ( x , y , z )
dV
Istnieje funkcja falowa
Ψ taka, że:
ψ2 =ρ
2
ψ
∫ =1
v
Zadanie:
 r 
ψ=
exp − 
πao3
 ao 
1
ao = 53 pm
promień kulistego
elementu objętości = 1 pm
Zakładając, że element objętości jest na tyle mały, że wewnątrz
ψ= const. oblicz prawdopodobieństwo znalezienia elektronu
wewnątrz tego elementu.
(
4
dV = π pm 3
3
)
P = σdV = ψ 2 dv
A)
B)
r = ao
r =0
ψ=
1
πao3
ψ=
1
πao3
e −1
1
ψ = 3
πao
1 −2
ψ = 3e
πao
4 1
4
P= π 3 = 3
3 πao 3ao
4 1 −2
P= π 3e
3 πao
P = 8,9 ⋅10 −6
P = 8,9 ⋅10 −6 e − 2 = 1,1⋅10 −6
2
2
Ψ 1,0,0
Ψ 2,0,0
Ψ 2,1,-1
Ψ 2,1,0
Ψ 2,1,1
Ψ 3,0,0
Ψ 3,1,-1
Ψ 3,1,0
ψ 3,1,1
Ψ 3,2,-2
Ψ 3,2,-1
Ψ 3,2,0
Ψ 3,2,1
Ψ 3,2,2
Ψn, l, m (x, y, z)
1s
2s
2p
3s
3p
3d
l= 0
s
1
p
2
d
3
f
4
g
Gęstość elektronowa
1s
2s
Powierzchnia graniczna
s
gęstość
elektronowa
1s
2s
2p
3s
3p
Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do
kwadratu funkcji falowej (Ψ2): prawdopodobieństwo to jest
wyrażone przez stopień zaczernienia paska u dołu. Zauważ, że
gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jest
punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.
Ψn,l,m = Rn l(r) Θl m(θ) Φm(φ)
część radialna
część kątowa
[R(r)]2 dr
4πr2[R(r)]2dr
r
r
Radialna gęstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu 4πr2|R(r)|2
liczba maksimów = główna l.k. (n) – poboczna l.k (l)
2s
4p
2-0=2
4-1=3
4-0=4
4s
3d
3-2=1
Orbitale p
l = 1, ml = -1, 0, 1
3 orbitale, różniące się orientacją w przestrzeni
Orbitale d
d xz
z
d xy
z
d yz
x
y
x
y
d x2-y2
y
z
d z2
x
y
z
y
x
z
x
Orbitale f
l = 3, ml = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (7 orbitali)
Wybrane orbitale g
Ilustrację graficzną wszystkich orbitali znajduje się na stronie:
http://www.orbitals.com/orb/orbtable.htm#table2
WIDMO ATOMU WODORU
widma emisyjne pierwiastków
Na
H
Ca
Hg
Ne
Barwa świecących w płomieniu palnika związków litu, sodu i potasu. Nad każdym
rysunkiem podano ze zmianą jakiej liczby kwantowej wiąże się dana barwa. Proszę
zauważyć, że w trakcie zmiany energii elektronu nie zmienia się dla danego pierwiastka
główna liczba kwantowa a tylko orbitalna liczba kwantowa. Naocznie widać więc zależność
energii elektronu od liczby l.
n=2 l=1
l=0
n=3
l=1
l=0
n=4
l=1
l=0
 1 1
ν = ℜ H  2 − 2 
 n1 n2 
ℜ H = 109 677 cm −1
2πme 4  2πme 4  2πme 4  1 1 
 2 − 2 
E = E j − Ei = − 2 2 −  − 2 2  =
2
h j
h i
j 
 hi 
j >i
E = hν = h
c
λ
2π 2 me 4
ν =
h 3c
= hc
1
λ
= hcν
1 1 
⋅  2 − 2 
j 
i
W funkcji falowej można wyróżnić też zawsze pojawiającą
się liczbę którą w 1928 Dirac nazwał spinem elektronu.
Spin nie znajduje odpowiednika w mechanice klasycznej a
jego jednostka jest identyczna z jednostką momentu pędu,
potocznie nazywa się więc ją momentem pędu
elektronu i oznacza literą s. Ponieważ nie ma ta wartość
odpowiednika klasycznego należy uznać, że jest to pewna
właściwość elektronu (podobnie jak np. jego ładunek).
Wartość ta również jest kwantowana zgodnie ze wzorem:
s = h/2p
gdzie liczba s wynosi zawsze 0.5 i zwana jest spinową
liczbą kwantową.
Kwantowana jest również składowa zetowa spinu
σz = ms∙h/2π
π
gdzie liczba ms oznacza magnetyczną spinową liczbę kwantową
przyjmującą wartości:
-s ≤ ms ≤ s
czyli ms = -0.5 lub 0.5
Doświadczenie pokazujące istnienie spinu elektronu
(dwóch różnych składowych Z)
wiązka
magnez
źródło
przysłona
ekran
detektora
Zachowanie e- w atomach wieloelektronowych
analogiczne orbitale atomowe (n, l, m)
znaczenie l, więcej dozwolonych poziomów, rozszczepienie