Konkurs dla gimnazjalistów

Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Konkurs dla gimnazjalistów
Etap szkolny
5 grudnia 2014 roku
Instrukcja dla ucznia
1. W zadaniach o numerach od 1. do 12. są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D.
Dokładnie jedna z nich jest poprawna. Poprawne odpowiedzi do tych zadań wpisz na karcie
odpowiedzi. Karta odpowiedzi jest podana na stronie 12.
2. Rozwiązania zadań o numerach od 13. do 17. zapisz w miejscach do tego przeznaczonych .
3. W czasie konkursu nie wolno używać kalkulatora ani tablic ze wzorami.
4. Czas przeznaczony na rozwiązanie zadań wynosi 120 minut.
5. Możesz uzyskać maksymalnie 50 punktów.
6. Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań podpisz arkusz na każdej stronie u góry.
7. Arkusz liczy 12 stron w tym instrukcja i karta odpowiedzi.
Strona
1
Życzymy powodzenia`
Organizatorzy
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadania zamknięte
Zadanie 1 (2pkt.). Liczby a, b, c spełniają warunki: a  b  3 , b  c  6 i a  c  7 . Wartość
a b c
  jest równa
b c a
155
47
A.
;
B.
;
42
10
wyrażenia
C.
16
;
3
D. 4,5.
Zadanie 2 (2pkt.). Liczba cyfr liczby 645518 jest równa
A. 20;
B. 21;
C. 22;
D. 23.
Zadanie 3 (2pkt.). Po obniżce oprocentowania lokaty o 1 pkt. procentowy odsetki z tej lokaty
założonej w kwocie k zmniejszyły się o 12zł. Wynika stąd, że kwota k jest równa
A. 1000zł;
B. 1100zł;
C. 1200zł;
D. 1300zł.
Zadanie 4 (2pkt.). Na rysunku różne litery oznaczają różne cyfry. Cyfra D jest
równa
A. 5;
B. 6;
C. 7;
D. 9.
DWA
+ DWA
1AB8
Zadanie 5 (2pkt.). Liczba wszystkich takich par liczb całkowitych dodatnich, których iloczyn
jest trzy razy większy od ich sumy, jest równa
A. 1;
B. 3;
C. 5;
D. 6.
Strona
2
Brudnopis
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadanie 6 (2pkt.). Kostka do gry zbudowana jest w taki
sposób, że suma oczek na przeciwległych ścianach jest
równa 7. Po przetoczeniu kostki na pole oznaczone
końcem strzałki liczba oczek na „górnej” ścianie jest
równa
A. 1;
B. 2;
C. 3;
D. 5.
Zadanie 7 (2pkt.). Dwaj przyjaciele umówili się, że spotkają się pomiędzy godziną 15.00 i
16.00, gdy wskazówki zegara (minutowa i godzinna) będą położone jedna na drugiej. Jeden z
nich spóźnił się dwie minuty i musiał poczekać na drugiego 30 sekund. Wynika stąd, że
przyjaciele spotkali się
4
A. 17 i pół minuty po 15.00;
B. 18 minuty po 15.00;
11
19
5
C. 18
minuty po 15.00;
D. 19 minuty po 15.00.
22
11
Zadanie 8 (2pkt.). Dwa psy złapały kiełbasę. Jeśli większy ugryzie kęs i ucieknie, to wtedy
mniejszemu zostanie o 300g kiełbasy więcej niż wynosił kęs większego psa, a jeśli stanie się
odwrotnie, to większemu zostanie o 400g kiełbasy więcej niż wynosił kęs mniejszego psa.
Ilość gram kiełbasy jaka zostanie, gdy oba psy odgryzą kęs i uciekną jest równa
A. 320;
B. 330;
C. 340;
D. 350.
Strona
3
Zadanie 9 (2pkt.). Jaś zapisywał po kolei cyfry 12345678901234…… otrzymał w ten sposób
liczbę 56 cyfrową. Liczba ta nie jest podzielna przez
A. 8;
B. 9;
C. 12;
D. 48.
Brudnopis
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadanie 10 (2pkt.). Dwa wierzchołki kwadratu leżą na okręgu, a jeden jego
bok jest styczny do tego okręgu (tak jak na rysunku). Stosunek długości
okręgu do obwodu kwadratu jest równy
A.
3
;
16
B.
2
;
2
C.
5
;
16
D.
3 2
.
4
Zadanie 11(2pkt.). Szesnaście sześcianików, każdy o objętości równej 1, położono na stole
i sklejono jeden obok drugiego, tworząc w ten sposób prostopadłościan o podstawie
kwadratowej. Do tak otrzymanej figury doklejono 28 czworościanów foremnych o krawędzi
równej 1 tak, że każdy z nich jest przyklejoną jedną ze ścian. Następnie pomalowano
otrzymaną w ten sposób figurę przestrzenną. Pole pomalowanej powierzchni jest równe:
A. 32  14 3 ;
B. 48  14 3 ;
C. 32  21 3 ;
D. 48  21 3 .
Zadanie 12 (2pkt.). W trójkącie ABC o polu równym 7
C
punkty P, Q, R są środkami odcinków odpowiednio CQ, AR,
P
BP . Wtedy pole trójkąta PQR jest równe
4
;
3
C.
3
;
2
A
D. 2.
B
Brudnopis
4
B.
Strona
A. 1;
R
Q
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Strona
5
Brudnopis
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadania otwarte
Zadanie 13 (5 pkt). Wyznacz te rozwiązania równania
x2  7  y 2
w liczbach całkowitych x, y , dla których xy  0 .
Strona
6
Rozwiązanie zadania 13.
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadanie 14 (6pkt.). Na rysunku zostały zaznaczone
miary niektórych kątów. Oprócz tego wiadomo, że
C
5
HAB  3 AHB . Wyznacz  , wiedząc że miara
H

każdego kąta wewnętrznego każdego trójkąta
zamieszczonego na rysunku jest liczbą całkowitą, różną
od liczby pierwszej.
Uwaga. Rysunek jest poglądowy, kąty figur mogą nie
być odwzorowane wiernie.
G

B

F

E
A
D
Strona
7
Rozwiązanie zadania 14.
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadanie 15 (5 pkt.). Dwaj murarze pracując razem w ciągu 6 dni wybudowali mur z cegieł.
Gdyby jeden z nich pracował samodzielnie, to wtedy na wykonanie całej pracy
potrzebowałby 12 dni, a drugi pracując samodzielnie zakończyłby pracę w 10 dni. Pracując
razem ich wydajność spadła, gdyż część czasu poświęcali na rozmowę, w konsekwencji
dziennie układali o 100 cegieł mniej. Z ilu cegieł składał się cały mur?
Strona
8
Rozwiązanie zadania 15.
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadanie 16 (5 pkt.). Cyfrę 2, która jest cyfrą jedności liczby sześciocyfrowej n, przesunięto
na początek tej liczby, tzn. ta cyfra po przesunięciu jest cyfrą setek tysięcy nowopowstałej
liczby k. Wyznacz liczbę n, jeśli n  3k .
Strona
9
Rozwiązanie zadania 16.
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Zadanie 17 (5 pkt.). W stożek wpisano półkulę w taki sposób, że leży
ona na podstawie stożka oraz powierzchnia tej półkuli jest styczna do
powierzchni bocznej stożka. Wysokość i promień stożka mają różne
3
1
, a druga jest równa
(nie wiemy która z
2
2
nich oznacza wysokość, a która promień stożka). Wyznacz promień
półkuli wpisanej w stożek.
długości. Jedna z nich to
Strona
10
Rozwiązanie zadania 17.
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Strona
11
Brudnopis
Imię i nazwisko……………………………………………………………………
Instrukcja
Odpowiedzi do zadań zamkniętych (A, B, C lub D) wpisz tylko do poniższej tabeli w
pierwszym wierszu pod numerem odpowiedniego zadania. Jeśli się pomyliłeś, to przekreśl
błędną odpowiedź i napisz poprawną odpowiedź w wierszu poniżej.
25.
A
Np. Jeśli pomyliłeś pisząc
to możesz dokonać poprawki
25.
A
C
Każdą z odpowiedzi możesz poprawić tylko jeden raz.
Życzymy powodzenia.
Karta odpowiedzi
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
12
2.
Strona
1.