Full Text - Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 64
Politechniki Wrocławskiej
Nr 64
Studia i Materiały
Nr 30
2010
sterowanie predykcyjne, regulator prądu,
częstotliwość próbkowania
Piotr J. SERKIES*, Krzysztof SZABAT*
PORÓWNANIE WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH
NAPĘDU ELEKTRYCZNEGO Z KLASYCZNYM
I PREDYKCYJNYM REGULATOREM PRĄDU
W artykule przedstawiono zagadnienia związane z zastosowaniem predykcyjnego regulatora prądu
w strukturze sterowania napędu elektrycznego. Omówiono obiekt badań oraz przyrostowy regulator prądu typu PI. Kolejno przedstawiono podstawowe zagadnienia związane ze sterowaniem predykcyjnym.
Omówiono również strukturę regulatora predykcyjnego. Na podstawie badań eksperymentalnych porównano właściwości dynamiczne obiektu pracującego w strukturze z regulatorem PI i predykcyjnym.
Omówiono problemy występujące przy implementacji obu typów regulatorów.
1. WPROWADZENIE
Automatyka napędu elektrycznego jest dziedziną rozwijającą się dynamicznie od
wielu lat. Wynika to z faktu powszechności aplikacji napędowych, zarówno w przemyśle jak i w gospodarstwie domowym, jak również coraz większej dostępności tanich układów mikroprocesorowych i energoelektronicznych umożliwiających realizację coraz bardziej skomplikowanych algorytmów sterowania. Prowadzi to do prób
zastępowania klasycznych systemów sterowania coraz bardziej nowoczesnymi rozwiązaniami takimi jak: sterowanie ślizgowe, rozmyte czy predykcyjne.
Kaskadowa struktura sterowania, powszechnie używana w napędzie elektrycznym,
składa się z szeregowo połączonych regulatorów: nadrzędnego pozycji, podporządkowanego prędkości i podrzędnego momentu (prądu). Strukturę tą używa się niezależnie
od typu zastosowanego silnika napędowego. Najprostszym przykładem jest tu napęd
prądu stałego [1]. Ideę regulacji kaskadowej stosuje się również w przypadku napędu
z silnikiem indukcyjnym czy PMSM (DFOC) [2]. Powszechność zastosowań tej struktu__________
* Politechnika Wrocławska, Wydział Elektryczny, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych,
ul. Smoluchowskiego 19, 50-372 Wrocław, piotr.serkies@ pwr.wroc.pl; krzysztof.szabat@ pwr.wroc.pl
223
ry wynika z jej cech charakterystycznych: prostocie doboru nastaw regulatorów, szybkości eliminowania zakłóceń, łatwości przeprowadzenia dowodu stabilności.
Obwód regulacji prądu w przeważającej większości korzysta z klasycznego regulator typu PI. Regulatory tego typu są powszechnie stosowane ze względu na swoja
prostotę budowy oraz znane metody strojenia [3]. W zdecydowanej większości metod
doboru nastaw regulatora zakłada się brak nieliniowości w strukturze w której pracuje.
Założenie to jest praktycznie nieosiągalne w układach rzeczywistych, w których występuje ograniczenie maksymalnej wartości napięcia zasilającego. W takim przypadku
wartości nastaw regulatorów wyznaczone analitycznie należy poddać korekcji.
W procesie projektowania regulatorów predykcyjnych uwzględnia się model
obiektu wraz z istniejącymi ograniczeniami sygnałów sterujących (można również
ograniczyć wartości ich pochodnych) i wewnętrznych zmiennych stanu. Umożliwia to
uzyskanie optymalnych, zgodnie ze zdefiniowanym kryterium, przebiegów zmiennych
stanu sterowanego układu. Nastawy regulatora zmieniają się w zależności od aktualnego punktu pracy [4, 5] zapewniając żądane właściwości dynamiczne obiektu.
Celem referatu jest zaprezentowanie wyników badań związanych z zastosowaniem
predykcyjnego regulatora prądu, jak również porównanie otrzymanych wyników z klasyczną strukturą z regulatorem PI. Przedstawiono wyniki związane z wpływem kroku
próbkowania pętli regulacji prądu na właściwości dynamiczne obu regulatorów. Opracowana struktura predykcyjnego regulatora prądu może być wykorzystywana w układach
rzeczywistych, w pracach nad strukturami sterowania prędkością i położeniem napędu
z połączeniem sprężystym.
2. ANALIZOWANA STRUKTURA STEROWANIA
Analizowane w pracy regulatory prądu dedykowane są dla napędu wyposażonego
w obcowzbudne silniki prądu stałego (możliwa jest również ich implementacja
w napędach prądu przemiennego). Silniki takie można opisać, przy uwzględnieniu
powszechnych założeń upraszczających, następującymi równaniami:
Te
dit (t )
= −it (t ) + K t ut (t ) −ψ f ω (t )
dt
me (t ) = it (t )ψ f
(
TM
)
(1)
dω (t )
= (me (t ) − mL (t ))
dt
gdzie: ut – napięcie przyłożone do zacisków obwodu twornika; it – prąd w obwodzie
twornika; me – moment elektromagnetyczny silnika; mL – moment zewnętrzny na wale
silnika; ω – prędkość kątowa silnika; ψf – strumień wzbudzenia; Te – stała elektromagnetyczna silnika; TM – stała mechaniczna.
224
A
PI
Ri
it
M
EN
B
3
itref
ω
Rys. 1. Struktura sterowania
Fig. 1. Control structure
W badanym zestawie silnik pracuje w układzie mostka H, którego strukturę
pokazano na rys. 1. Składa się on z czterech kluczy energoelektronicznych (tranzystory IGBT z diodami zwrotnymi) wraz z układami sterowania (z ustawionym czasem opóźnienia załączenia tranzystora 1μs). W sposób schematyczny w postaci
prostownika, zamieszczono na rysunku obwód pośredniczący wraz z kondensatorem, dławikami oraz prostownikiem. Układ PWM realizowany jest sprzętowo
w karcie dSpace, natomiast regulatory (zaznaczone schematyczni) w sposób programowy.
W klasycznej strukturze sterowania kaskadowego powszechnie stosuje się regulatory typu PI, bardzo często w postaci dyskretnej z ograniczeniem sygnału sterującego. Schemat blokowy rozpatrywanego regulatora przedstawiono na rys. 2. Właściwości dynamiczne układu z regulatorem pracującym w sposób dyskretny zależą
od kroku jego próbkowania. Znane z literatury kryteria nastaw regulatorów takie jak
kryterium modułu i symetrii [1], kryterium Ziglera–Nikolsa [3] zakładają brak ograniczeń nakładanych na sygnał sterujący. Istnienie ograniczenia komplikuje dobór
nastaw regulatora.
K Ri
ref
t
i
TRi
∑
∑
it
z −1
Tsi z
Ts i z
z −1
KRi
Rys. 2. Struktura przyrostowego regulatora PI
Fig. 2. Sstructure of discrete incremental PI controller
u
225
W tabeli 1 zestawiono parametry regulatora dobrane eksperymentalnie dla dwóch
kroków próbkowania.
Tabela 1. Parametry badanych regulatorów
KP
KI
Ts = 0,1 ms
53
1000
Ts = 0,5 ms
650
3000
3. REGULATOR PREDYKCYJNY
Strategia sterowania predykcyjnego polega na wyznaczeniu sekwencji sterowań
(ich ilość określona jest przez krok predykcji sterowań) na horyzoncie predykcji
wyjść, aby zminimalizować wartość funkcji celu określonej zależnością (2) przy
uwzględnieniu ograniczeń nałożonych na sygnały sterujące i wewnętrzne zmienne
stanu [4, 5].
Nu −1
⎧⎪ N zad
2
2⎫
⎪
min ⎨
y (k + p | k ) − y (k + p | k ) +
Δu (k + p | k ) R ⎬
Q
Δu ⎪
⎪⎭
p =0
⎩ p=1
umin ≤ u (k + p | k ) ≤ umax p = 0,1," , N u
xmin ≤ x(k + p | k ) ≤ xmax p = 1,2," , N
∑
∑
(2)
gdzie: Q ≥ 0 i R > 0 są macierzami wag, y jest wektorem wyjściowym układu, Δu jest
odpowiednią sekwencją sygnału sterującego, Δumin oraz Δumax są ograniczeniami
sygnału sterującego, x jest wektorem stanu, xmin, xmax są ograniczeniami zmiennych
stanu.
W niniejszych badaniach wykorzystano metodę sterowania predykcyjnego „offline”, która zadanie optymalizacji (2) rozwiązuje poprzez rozpatrzenie wszystkich
kombinacji wektora stanu x ∈ Xf przy użyciu programowania wieloparametrycznego
[6]. Zgodnie z [7] można wykazać, że przestrzeń Xf składa się z regionów, w których optymizator jest wyrażony, jako funkcja jawna dla danych wartości wektora x.
Prawo sterowania może być traktowane, jako kawałkami ciągłe i wyrażone następująco:
U (x ) = K r x + g r ,
∀x ∈ Pr
(3)
gdzie Pr są wielościennymi zbiorami zdefiniowanymi, jako:
{
}
Pr = x ∈ ℜn | H r x ≤ d r ,
r = 1, ..., N r
(4)
226
Algorytmy projektowania wielościennych zbiorów i wyliczania prawa sterowania są
opisane szczegółowo w [7].
W rozpatrywanym przypadku rozszerzony wektor stanu obejmował trzy zmienne: prąd twornika, prędkość oraz wartość zadaną prądu twornika. Wartość sterowania została ograniczona na poziomie ±1,3 napięcia znamionowego. Wyjściem
podlegającym minimalizacji była różnica między prądem zadanym a mierzonym.
Wartości horyzontów predykcji wynosiły N = 10; Nu = 2. Wartości macierzy Q i R
zostały ustalone na Q = 0,1, R = 0,00001. Regulator ten został zaznaczony na rys.
1 jako B.
Na rysunku 3d) pokazano obszary w przestrzeni zmiennych stanu, natomiast na
rys. 3a)–c) przedstawiono obszary przy wybranych wartościach zadanego prądu twornika. Na pierwszych trzech rysunkach widoczne jest przesuwanie się obszaru wzmocnień wraz ze zmianą sygnału zadanego.
a)
ref
it =0.00
ω [p.u]
1
d)
Controller partition with 17 regions.
0
-1
-4
-2
0
it [p.u]
2
4
4
ref
it =-1.00
b)
-1
-2
ω [p.u]
c)
0
it [p.u]
2
-2
4
ref
it =1.00
1
-4
1
0
0
-1
-4
0
ref
0
-4
2
it [p.u]
ω [p.u]
1
-2
0
it [p.u]
2
4
ω [p.u]
-1
-4
-2
0
it [p.u]
2
4
Rys. 3. Obszary regulatora dla wybranych wartości sygnału zadanego: a), b), c), podział przestrzeni d)
Fig. 3. Areas for selected values of the controller setpoint: a), b), c), division of state space d)
4. BADANIA EKSPERYMENTALNE
Testy przeprowadzono na stanowisku laboratoryjnym składającym się z silnika
prądu stałego o parametrach zamieszczonych w tab. 2. Sygnał zadanego prądu modulowany był przez blok PWM z częstotliwością 12 kHz (dopuszczalna częstotliwość
przełączeń dla kluczy sterownika wynosiła 20 kHz). Algorytmy sterowania zaimplementowano na karcie z procesorem sygnałowym dSpace 1104. Do pomiaru prędkości
227
użyto enkodera o rozdzielczości 36000 impulsów na obrót. Prąd mierzony był za pomocą przetworników LEM.
Tabela 2. Dane znamionowe silnika napędowego
Typ
PN [W]
PZBB 22b
500
nN [obr/min]
1450
UN
[V]
220
IN
[A]
3,15
Rt
[Ω]
8,05
Lt
[mH]
800
J
[kgm2]
0,0044
Jako sygnał referencyjny (momentu zadanego) użyto wymuszenia skokowego
o amplitudzie znamionowej i zadanej częstotliwości 3 Hz. Jako pierwsze przeprowadzono testy regulatora PI próbkowanego z częstotliwością 10 kHz. Wybrane przebiegi
zmiennych stanu zaprezentowano na rys. 4.
i [p.u], ω [p.u]
a)
1
ref
it
0.5
it
0
ω
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t [s]
b)
c)
1
1
0.5
i [p.u]
ut [p.u]
0.75
0.5
ref
it
it
-0.5
0.25
0
0
0
0.5
1
t [s]
1.5
2
-1
0.65
0.66
0.67
t [s]
0.68
0.69
0.7
Rys. 4. Działanie regulatora PI próbkowanego z krokiem 0.1ms: a) przebiegi prądu i prędkości,
b) sygnał zadany dla PWM, c) przebieg prądu
Fig. 4. PI Controller operation sampled in steps of 0.1ms: a) current and speed waveforms,
b) The signal given to PWM, c) response of the current
Z zamieszczonych na rys. 4. przebiegów widać że moment elektromagnetyczny
w strukturze z regulatorem PI, w sposób bardzo dobry śledzi sygnał zadany. Czas
ustalania prądu przy pełnym „nawrocie” wynosi około 6 ms (rys. 4c). Należy podkreślić, że opóźnienie to może ulec zmniejszeniu przez zwiększenie wzmocnień regulatora momentu. Prowadzi to jednak do wzmacniania szumów w układzie regulacji
a w konsekwencji do pogorszenia właściwości statycznych układu. Jest to szczególnie
istotne w znacznie bardziej zaawansowanych strukturach wykorzystujących estymato-
228
ry niedostępnych zmiennych stanu, których sygnały wejściowe powinny mieć relatywnie mały poziom szumów.
Następnie przeprowadzono badanie układu z regulatorem PI próbkowanym z częstotliwością 2 kHz. Układ przetestowano dla innego zestawu wzmocnień regulatora.
Uzyskane przebiegi zostały zaprezentowane na rys. 5.
a)
i
1
t
i [p.u], ω[p.u]
i ref
t
0.5
0
ω
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
b)
c) 1.2
1
0.9
1
0.8
0.8
i [p.u]
0.6
t
u [p.u]
0.7
0.5
i
0.6
i ref
t
t
0.4
0.2
0.4
0.3
0
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t [s]
0.8
1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
t [s]
Rys. 5. Działanie regulatora PI próbkowanego z krokiem 0.5ms: a) przebiegi prądu i prędkości,
b) sygnał zadany dla PWM, c) przebieg prądu.
Fig. 5. PI Controller operation sampled in steps of 0.5ms: a) current and speed waveforms,
b) The signal given to PWM, c) delayed response to the current.
Zmiana parametrów regulatora (częstotliwość próbkowania, wzmocnienia) skróciła
czas narostu i ustalania momentu elektromagnetycznego. Należy jednak zwrócić uwagę na znacznie większy poziom szumów występujący w przebiegu prądu w stanie
ustalonym. Jak wynika z rys. 4 i rys. 5 w układach z regulatorem PI można uzyskać
różne przebiegi momentu elektromagnetycznego wynikające z dobranych parametrów
regulatora (i punktu pracy układu). Zwiększenie wzmocnień prowadzi do wzrostu
dynamiki odpowiedzi, zwiększa jednakże poziom szumów w odpowiedzi. Tak więc
właściwości dynamiczne układu są wynikiem kompromisu pomiędzy tymi przeciwstawnymi wymaganiami.
Kolejno przetestowano układ z regulatorem predykcyjnym próbkowanym z częstotliwością 2 kHz. Przebiegi zmiennych układu zamieszczono na rys. 6.
229
i [p.u], ω [p.u]
a)
1
it
ref
it
0.5
ω
0
-0.5
-1
0
b)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t [s]
c)
1
0.6
0.4
0.2
0
0.7
0.8
0.9
1
1
0.8
i [p.u]
t
u [p.u]
0.8
0.6
ref
it
0.6
it
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.002
t [s]
0.004
0.006
0.008
0.01
t [s]
Rys. 6. Działanie regulatora predykcyjnego próbkowanego z krokiem 0,5 ms:
a) przebiegi prądu i prędkości, b) sygnał zadany dla PWM, c) przebieg prądu
Fig. 6. Predictive Controller operation sampled in steps of 0.5 ms: a) current and speed waveforms,
b) The signal given to PWM, c) response of the current
Z analizy przebiegów zamieszczonych na rys. 6 wynika że układ regulacji charakteryzuje się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi i statycznymi. Czas narostu
momentu wynosi około 2,5 ms (rys. 6c). Poziom szumów w odpowiedzi układu jest
bardzo mały. Wynika to ze zmiany parametrów regulatora. Posługuje się on dużymi
wzmocnieniami w zakresie dużych błędów regulacji, które stopniowo zmniejsza dochodząc do punktu pracy ustalonej zapobiegając tym samym powstaniu przeregulowań.
5. PODSUMOWANIE
W artykule przedstawiono zagadnienia związane z doborem parametrów regulatora
prądu w napędzie DC. Omówiono pętlę regulacji momentu, opartą o dyskretny regulator PI oraz o dyskretny regulator predykcyjny. Na podstawie przeprowadzonych
badań symulacyjnych można sformułować następujące wnioski końcowe:
– Dobór nastaw klasycznego regulatora prądu typu PI jest kompromisem pomiędzy
właściwościami statycznymi i dynamicznymi, przyjęcie mniejszych wzmocnień
prowadzi do wydłużenia czasu narostu odpowiedzi układu, większe wartości
nastaw powodują wzmacnianie szumów pomiarowych.
– Dynamika narostu odpowiedzi układu w strukturze z regulatorem predykcyjnym zależy od wartości współczynników przyjętych w funkcji celu i może być
zmieniana w szerokim zakresie.
230
– Regulator predykcyjny przez zmianę wartości wzmocnień dopasowuje się
w sposób optymalny do aktualnego punktu pracy obiektu. Jest on tym samym
w stanie zapewnić znacznie lepsze właściwości dynamiczne i statyczne obiektu
niż klasyczny regulator PI o stałych wzmocnieniach.
– Implementacja regulatora predykcyjnego w wersji off-line w znacznym stopniu
upraszcza jego implementację praktyczną.
Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach projektu
N N510 352936 (2009–2011).
LITERATURA
[1] TUNIA H., KAZIMIERKOWSKI M., Automatyka napędu przekształtnikowego, PWN, 1987.
[2] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Bezczujnikowe układy napędowe z silnikami indukcyjnymi, Oficyna
Wydawnicza PWr., Wrocław 2003.
[3] BRÓZKA J., Regulatory i układy automatyki, MIKOM, 2004.
[4] MACIEJOWSKI J.M, Predictive Control with Constraints, Prentice Hall, UK, 2002.
[5] TATJEWSKI P., Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych, struktury i algorytmy, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, 2002.
[6] KVASNICA M., GRIEDER P., BAOTI´C M., MORARI M., Multi-Parametric Toolbox (MPT), in
HSCC (Hybrid Systems: Computation and Control), 2004, 448–462.
[7] BEMPORAD A., MORARI M., DUA V., PISTIKOPOULOS E.N., The explicit linear quadratic
regulator for constrained systems, Automatica, Vol. 38, No. 1, (2002), 3–20.
A COMPARISON OF DYNAMIC PROPERTIES OF THE ELECTRICAL DRIVE
WITH CLASSICAL AND PREDICTIVE CURRENT CONTROLLERS
In the paper the issues related to the application of a different type of current controller in the control
structure of the drive system are discussed. The model of the drive system and the incremental PI controller are presented. Then the fundamental concerning predictive control are introduced. The structure of
the predictive controller is shown. The dynamic and static characteristics of the object working with
different controller are compared. The application problems of the analysed controllers are discussed.