Lu¹ne notatki z wykªadu J¡dro homomorfizmu Kerϕ = {x ∈ G

Lu¹ne notatki z wykªadu
i nie tylko z wykªadu
Wiesªaw A. Dudek
Dziaªanie (binarne) na zbiorze G funkcja G2 → G okre±lona dla ka»dej pary (a, b) ∈ G 2 .
Grupoid niepusty zbiór z zadanym dziaªaniem, np.
(N, +), (G, ·), ale nie (N, −).
Grupa grupoid (G, ◦) w którym
1. ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (ª¡czno±¢)
2. ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a (e element neutralny = jedno±¢)
3. ∀a ∈ G ∃a0 ∈ G a ◦ a0 = a0 ◦ a = e ( a0 element odwrotny (przeciwny) do elementu a)
W grupie istnieje tylko jeden element neutralny a ka»dy element ma tylko jeden element odwrotny.
Dziaªanie w grupie oznaczamy najcz¦±ciej kropk¡ (jak mno»enie), za± element odwrotny jako a−1 .
(a−1 )−1 = a, (a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 .
W grupie (G, ◦) ka»de z równa« a ◦ x = b, y ◦ a = b ma jednoznaczne rozwi¡zanie. Grup¦ mo»na zdeniowa¢
jako grupoid (G, ◦) w którym dziaªanie ◦ jest ª¡czne oraz ∀a, b ∈ G ∃x, y ∈ G a ◦ x = b, y ◦ a = b. Dowodzi
si¦, »e dla ka»dych a, b ∈ G istnieje tylko jedna para x, y speªniaj¡ca te równania.
Grupa przemienna (abelowa) grupa w której a ◦ b = b ◦ a dla wszystkich elementów.
Grupa multyplikatywna grupa z dziaªaniem oznaczanym kropk¡.
Grupa addytywna grupa z dziaªaniem oznaczanym +. W takiej grupie element neutralny oznaczamy jako
0, element przeciwny jako −a.
Podgrupa podzbiór grupy który sam jest grup¡ wzgl¦dem tego samego dziaªania.
Podgrupa wªa±ciwa podgrupa maj¡ca wi¦cej ni» jeden element i ró»na od caªej grupy.
Grupa i podgrupa maja ten sam element neutralny. Cz¦±¢ wspólna dwóch podgrup jest podgrup¡, suma
mnogo±ciowa podgrup mo»e nie by¢ podgrup¡.
Niepusty podzbiór H ⊂ G jest podgrup¡ grupy G ⇔ ∀a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H .
Homomorzm grup odwzorowanie jednej grupy w drug¡ zachowuj¡ce dziaªanie, tzn.
je±li (G1 , ◦) i (G2 , ∗)
s¡ grupami to odwzorowanie ϕ : G1 → G2 jest homomorzmem o ile ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b) dla dowolnych
a, b ∈ G1 . ϕ(G1 ) jest grup¡ (podgrupa grupy G2 ). Homomorzm odwzorowywuje element neutralny grupy G1
na element neutralny grupy G2 , element odwrotny w grupie G1 na element odwrotny w grupie G2 . Homomorzm zachowuje wszystkie równo±ci, ale nie zachowuje implikacji i kwantykatora ∃.
J¡dro homomorzmu Ker ϕ = {x ∈ G1 |ϕ(x) = e2 } = ϕ−1 (e2 ), gdzie e2 element neutralny grupy G2 .
Epimorzm homomorzm "na".
Endomorzm homomorzm w siebie.
Monomorzm homomorzm ró»nowarto±ciowy.
Izomorzm epiomorzm b¦d¡cy monomorzmem.
Automorzm endomorzm b¦d¡cy monomorzmem.
Automorzm wewn¦trzny automorzm postaci ϕa (x) = axa−1 , gdzie a jest ustalone.
Epimorzm jest izomorzmem ⇔ jego j¡dro ma jeden element.
Automorzmy grupy G tworz¡ grup¦ Aut(G), automorzmy wewn¦trzne jej podgrupe. Grupy izomorczne
uwa»a si¦ za identyczne.
Podzbiór S grupy G generuje podgrup¦ T
H grupy G je±li H jest najmniejsz¡ podgrup¡ grupy G zawieraj¡c¡ S .
Piszemy wtedy H = hSi. Inaczej: hSi = {P |S ⊂ P < G}.
Grupa cykliczna
grupa generowana przez jeden element. Oczywi±cie hai = ha−1 i. Grupa cykliczna jest
przemienna. Niesko«czona grupa cykliczna jest izomorczna z grup¡ (Z, +). Grupa cykliczna o n elementach
jest izomorczna z grup¡ (Zn , +n ). Innych grup cylkicznych nie ma.
1
Podgrupy grupy cyklicznej s¡ grupami cyklicznymi, ale z tego, »e wszystkie podgrupy wªa±ciwe grupy G s¡
cykliczne nie wynika i» grupa G jest cykliczna.
Rz¡d grupy ilo±¢ elementów grupy.
Rz¡d elementu w grupie rz¡d najmniejszej podgrupy zawieraj¡cej ten element = rz¡d podgrupy cyklicznej
generowanej przez ten element = najmniejsza liczba naturalna n (o ile istnieje) taka, »e an = e. Je±li takiej
liczby nie ma to rz¡d elementu jest niesko«czony. Rz¡d elementu i rz¡d podgrupy s¡ dzielnikami rz¦du grupy.
Je±li liczba pierwsza p dzieli rz¡d grupy G to w G istnieje element (i podgrupa) rz¦du p.
Warstwa lewostronna grupy G wzgl¦dem podgrupy H to zbiór aH = {ah | h ∈ H}, za± warstwa prawostronna
to zbiór Ha = {ha | h ∈ H}. Jedn¡ z warstw jest podgrupa H = eH = He. Warstwy lewostronne (prawostronne)
sa równe lub rozª¡czne: aH = bH ⇔ b−1 a ∈ H ⇔ a−1 b ∈ H . Wszystkie warstwy s¡ równoliczne z podgrup¡
która je wyznacza.
Indeks podgrupy H
w grupie G ilo±¢ warstw lewostronnych (prawostronnych) wzgledem H .
Dzielnik normalny podgrupa H
grupy
G taka, »e aH = Ha dla ka»dego a ∈ G. Oznaczenie: H C G.
H C G ⇔ ∀g ∈ G ∀h ∈ H ghg −1 ∈ H . W grupie przemiennej wzystkie podgrupy s¡ dzielnikami normalnymi.
Istniej¡ te» grupy nieprzemienne o tej wªasno±ci.
J¡dro ka»dego homomorzmu grup jest dzielnikiem normalnym i ka»dy dzielnik normalny jest j¡drem
pewnego homomorzmu. Podgrupa H grupy G jest jej dzielnikiem normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
ϕa (H) = H dla ka»dego automorzmu wewn¦trznego grupy G.
Grupa prosta grupa bez wªa±ciwych dzielników normalnych.
grupy cykliczne rz¦du p, gdzie p liczba pierwsza.
Jedynymi przemiennymi grupami prostymi s¡
Grupa ilorazowa G/H = {aH | a ∈ G} z dziaªaniem aH · bH = (ab)H , gdzie H C G.
Homomorzm kanoniczny (naturalny) odwzorowanie η : G → G/H,
η(a) = aH .
Je±li ϕ jest homomorzmem grupy G na grup¦ G0 , to istnieje izomorzm
ψ : G/Ker ϕ → G0 taki, »e ϕ(a) = ψ(η(a)) dla ka»dego a ∈ G. Wniosek: |G| = |ϕ(G)| · |Ker ϕ|.
Twierdzenie o homomorfi¹mie.
Suma prosta grup produkt kartezja«ski grup z dziaªaniem po wspóªrz¦dnych. Inaczej: je±li (A, ∗), (B, ◦)
grupy to A × B z dziaªaniem (a1 , b1 ) ⊕ (a2 , b2 ) = (a1 ∗ a2 , b1 ◦ b2 ) jest grup¡ nazywan¡ sum¡ prost¡ grup A i
B . Oznaczenie: A ⊕ B lub A × B . Grupy A ⊕ B oraz B ⊕ A s¡ izomorczne, grupy A ⊕ {e} i A te», ale z faktu
A ⊕ B u A ⊕ C nie wynika B u C . Mamy |A ⊕ B| = |A| · |B|.
Je±li A i B s¡ podgrupami grupy G takimi, »e (1) A ∩ B = {e}, (2) ∀g ∈ G ∃a ∈ A, b ∈ B g = ab, (3)
ab = ba dla wszystkich a ∈ A, b ∈ B , to G u A ⊕ B .
Suma prosta sko«czonych grup cyklicznych jest grup¡ cykliczn¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ich rz¦dy s¡
wzgl¦dnie pierwsze.
Sko«czona grupa przemienna jest izomorczna z sum¡ prost¡ grup cyklicznych, których rz¦dy s¡ pot¦gami
liczb pierwszych. Np. przemienna grupa rz¦du 8 jest izomorczna z jedn¡ z grup: Z2 × Z2 × Z2 , Z2 × Z4 , Z8 .
Ci¡g dalszy nast¡pi.
2