Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a:N → R

Analiza matematyczna
1. Ciągi
Definicja 1.1
Funkcję a: N → R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n
nazywamy n−tym wyrazem ciągu i oznaczamy a(n) = an . Ciąg liczbowy oznaczamy
przez {an }.
Definicja 1.2
Funkcję α: N → N odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych taką, że α(n + 1) > α(n) nazywamy podciągiem ciągu liczbowego.
Uwaga 1.1
Podciąg można traktować jako złożenie funkcji a z funkcją α
(a ◦ α)(k) = a(α(k)) = an(k)
(n = α(k))
Przykład 1.1
Niech {an } = 2n + 1, czyli {an } = (3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . .) i niech α(k) = k 2 . Wtedy
(a ◦ α)(k) = 2k 2 + 1, więc wyrazy podciągu to: (3, 9, 19, 33, . . .)
Definicja 1.3 (definicja granicy ciągu)
Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu {an }, gdy spełniony jest warunek
^
_
^
|an − g| < ε
ε>0 p∈N n>p
Liczbę g nazywamy granicą ciągu {an }, jeśli dla każdej liczby dodatniej ε można tak
dobrać liczbę naturalną p, że dla wszystkich wskaźników n > p wyrazy ciągu {an }
będą należeć do przedziału (g − ε, g + ε). Gdy g jest granicą ciągu {an }, to piszemy
lim an = g
n→∞
Twierdzenie 1.1
Jeśli g jest granicą ciągu {an }, to g jest też granicą każdego podciągu an(k) .
Dowód:
Z istnienia granicy ciągu {an } mamy:
^
_
^
|an − g| < ε
ε>0 p∈N n>p
Ponieważ k → nk jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to istnieje liczba k ∗ taka,
że k ∗ > p. Gdy k > k ∗ , to nk > p (bo z własności podciągu nk > nk∗ ). Stąd mamy
^
_
^
ε>0 k∗ ∈N k>k∗
|an(k) − g| < ε
⇒
lim an(k) = g
n→∞
Twierdzenie 1.2
Każdy ciąg {an } niemalejący (an ¬ an+1 ) i ograniczony od góry jest zbieżny oraz
g = n→∞
lim = sup{an }
Dowód:
Korzystając z definicji kresu górnego mamy:
^
_
sup A − ε < x ¬ sup A
ε>0 x∈A
Przyjmijmy g = sup{an }, wtedy
^
_
g − ε < ap ¬ g < g + ε
⇔
ε>0 p∈N
^
_
(n > p ⇒ |an − g| < ε)
ε>0 p∈N
co oznacza, że granicą ciągu {an } jest liczba g.
Twierdzenie 1.3
Każdy ciąg zbieżny {an } jest ograniczony.
Dowód:
Ze zbieżności ciągu {an } mamy:
^
_
^
|an − g| < ε
ε>0 p∈N n>p
Ustalmy więc ε, wtedy |an − g| < ε dla n > p. Korzystając z własności modułów (|a| − |b| ¬ |a − b|) otrzymujemy |an | − |g| ¬ |an − g| < ε dla n > p, czyli
|an | < |g| + ε. Powyższa nierówność nie jest spełniona dla n = 1, . . . , p. Przyjmijmy
zatem M = max{|a1 |, . . . , |ap |, |g| + ε}. Wtedy |an | < M dla wszystkich n.
Twierdzenie 1.4
Jeśli g 6= 0 jest granicą {an }, to istnieją liczby ε0 , p takie, że: |an | > |g| − ε0 dla n > p
Dowód:
Ze zbieżności ciągu {an } mamy:
^
_
^
|an − g| < ε
ε>0 p∈N n>p
Ustalmy ε0 . Wtedy |an − g| ¬ |an − g| < ε0 dla n > p. Z własności modułów mamy:
|b|−|a| ¬ |b−a| = |a−b|, więc |g|−|an | ¬ |an −g| < ε0 , czyli |an | > |g|−ε0 dla n > p
Twierdzenie 1.5
Jeśli ciąg {an } ma granicę a i ciąg {bn } ma granicę b, to ciąg {an +bn } ma granicę a+b
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an } i {bn } mamy:
^
_
^
ε>0 s∈N n>s
|an − a| <
ε
2
^
_
^
ε>0 t∈N n>t
|bn − b| <
ε
2
Niech p = max{s, t}. Wtedy dla n > p oba warunki są prawdziwe jednocześnie.
Więc:
ε ε
|(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ¬ |an − a| + |bn − b| < + = ε
2 2
Twierdzenie 1.6
Jeśli ciąg {an } ma granicę a i ciąg {bn } ma granicę b, to ciąg {an −bn } ma granicę a−b
Twierdzenie 1.7
Jeśli ciąg {an } ma granicę a i ciąg {bn } ma granicę b, to ciąg {an bn } ma granicę ab
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an } i {bn } oraz z (1.3) mamy:
^
_
^
^
|an − a| < ε
ε>0 s∈N n>s
_
^
_
|bn − b| < ε
ε>0 t∈N n>t
|an | < M
M
Niech p = max{s, t}. Wtedy dla n > p mamy: |an − a| < ε oraz |bn − b| < ε. Więc
dla n > p dostajemy:
|an bn − ab| ¬ |an bn − an b| + |an b − ab| = |an ||bn − b| + |an − a||b| < M ε + ε|b| = ε∗
Twierdzenie 1.8
Jeśli ciągi {an } i {bn } mają granice a i b 6= 0, to ciąg {an }/{bn } ma granicę a/b
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an } i {bn } oraz z (1.4) mamy:
^
_
^
|an − a| < ε
ε>0 s∈N n>s
^
_
^
_ ^
|bn − b| < ε
v
ε>0 t∈N n>t
|bn | > |b| − ε
n>t
Niech p = max{s, t, v}. Wtedy dla n > p wszystkie warunki zachodzą jednocześnie.
Wówczas dla n > p mamy:
a b − ab an
a
|an − a||b| + |a||bn − b|
ε(|b| + |a|)
n
n
− = ¬
<
= ε∗
bn
b
bn b
c|b|
c|b|
gdzie c = |b| − ε
Twierdzenie 1.9 (o trzech ciągach)
Jeśli g jest granicą ciągów {an } i {bn }, to
_
^
an ¬ x n ¬ b n
⇒
v∈N n>v
lim xn = g
n→∞
Dowód:
Ze zbieżności ciągów {an } i {bn } mamy:
^
_
^
g − ε < an < g + ε
ε>0 s∈N n>s
^
_
^
g − ε < bn < g + ε
ε>0 t∈N n>t
Niech p = max{s, t, v}. Wtedy dla n > p mamy:
g − ε < an ¬ x n ¬ bn < g + ε
⇒
g − ε < xn < g + ε
⇒
lim xn = g
n→∞
Twierdzenie 1.10 (Weierstrassa)
Z każdego ograniczonego ciągu {an } można wybrać podciąg zbieżny.
Dowód:
Niech wyrazy ciągu {an } leżą w przedziału [a, b], a s1 niech będzie jego środkiem:
s1 = 12 (a + b). Rozważmy przedziały [a, s1 ] i [s1 , b].
Przynajmniej w jednym z nich leży nieskończenie wiele wyrazów {an }. Oznaczmy go
[l1 , p1 ] i weźmy z niego pewien wyraz an(1) , więc l1 ¬ an(1) ¬ p1 .
Niech s2 będzie środkiem odcinka [l1 , p1 ]. Rozważmy przedziały [l1 , s2 ] i [s2 , p1 ]. W
przynajmniej jednym z nich leży nieskończenie wiele wyrazów {an }. Oznaczmy ten
przedział [l2 , p2 ] i weźmy z niego element an(2) tak, by n2 > n1 (warunek z def. podciągu). Mamy zatem l2 ¬ an(2) ¬ p2 .
Powtarzając to postępowanie otrzymujemy podciąg an(1) , an(2) , . . . wyrazów ciągu
{an } taki, że an(k) ∈ [lk , pk ], gdzie każdy kolejny przedział [lk , pk ] jest zawarty w poprzednim, a długość przedziału [lk , pk ] wynosi (b − a)/2k .
Zauważmy, że ciągi {lk },{pk } (lewych i prawych końców tych przedziałów) są ograniczone ([lk , pk ] ⊂ [a, b]) i monotoniczne
(lk+1 = lk ∧ pk+1 ¬ pk )
∨
(lk+1 ¬ lk ∧ pk+1 = pk )
Ciąg {lk } jest niemalejący, a ciąg {pk } jest nierosnący, więc oba ciągi są zbieżne na
mocy (1.2). Stąd istnieją granice l i p tych ciągów, przy czym l ¬ k. Ponieważ zaś
b−a
2k
to na mocy tw. o trzech ciągach mamy, że {pk − lk } → 0, czyli l = p = g.
Ponieważ lk ¬ an(k) ¬ pk i znów z tw. o trzech ciągach dostajemy {an(k) } → g
0 ¬ pk − lk ¬
Rozpatrzymy teraz istnienie granicy
1 n
lim 1 +
n→∞
n
Pokażemy, że powyższy ciąg jest niemalejący. Skorzystamy z nierówności Bernoulli’ego: (1 + x)n > 1 + nx, n ∈ N, n > 1, x > 1 podstawiając x = −n−2 . Wtedy
1
1− 2
n
n
1
­1−
n
⇔
1
1−
n
n 1
1+
n
1 n
1 −(n−1)
n
⇔
1+
­ 1−
=
n
n
n−1
Ponadto ciąg ten jest też ograniczony
1
1+
n
n
!
!
!
n
n−1
­1−
1
n
⇔
1
= 1+
n−1
!
n−1
!
n
n 1
n 1
n
1
n 1
=
+
+
+ ... +
+
=
2
n−1
0
1 n
2 n
n−1 n
n nn
n(n − 1) 1
n(n − 1) . . . 3 · 2
1
n(n − 1) . . . 3 · 2 · 1 1
· + ... +
·
+
·
2
n−1
n
2!
n
(n − 1)!
nn
n!
Ponieważ wszystkie ułamki są mniejsze od jedności to
=2+
1+
1
n
n
¬2+
1
1
1
+ ... +
+
<3
2!
(n − 1)! n!
Pokazaliśmy, że badany ciąg jest monotoniczny i ograniczony, a zatem jest zbieżny.
Granica tego ciągu jest nazywana liczbą Eulera i oznaczana literą e.
1
lim 1 +
=e
n→∞
n
Definicja 1.4
Mówimy, że ciąg {an } spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli
^
_
^
|an − am | < ε
ε>0 p∈N n,m>p
Twierdzenie 1.11
Jeśli ciąg {an } spełnia warunek Cauchy’ego, to jest ograniczony.
Dowód:
Ustalmy ε0 . Wtedy
_
^
|an − am | < ε0
p∈N n,m>p
Ustalmy m0 ∈ N . Wówczas |an − am(0) | < ε0 dla n > p. Z własności modułów mamy
|an | − |am(0) | ¬ |an − am(0) | < ε0
⇔
|an | − |am(0) | < ε0
⇒
|an | < |am(0) | + ε0
Powyższej nierówności nie spełniają wyrazy a1 , . . . ap . Przyjmijmy więc
M = max{|a1 |, . . . |ap |, |am(0) | + ε0 }
Wówczas dla wszystkich n ∈ N mamy |an | < M .
Twierdzenie 1.12
Jeśli ciąg {an } spełnia warunek Cauchy’ego, to jest zbieżny.
Dowód:
Z założenia twierdzenia oraz z twierdzenia (1.11) mamy
^
_
^
|an − am | < ε
ε>0 p∈N n,m>p
_
|an | < M
M ∈N
Ciąg {an } jest ograniczony. Wybierzmy z niego podciąg zbieżny do pewnej liczby
a∈R
^ _ ^
|an(k) − a| < ε
(∗)
ε>0 p∈N k>p
Pokażemy, że {an } → a. Niech n > p i k > p. Wtedy nk > p. Niech m = nk . Wtedy
|an − an(k) | < ε oraz |an(k) − a| < ε, dla n, k > p. Wówczas
|an − a| < |an − an(k) | + |an(k) − a| < 2ε = ε0
Copyright
c
Grzegorz Gierlasiński
⇒
lim an = a
n→∞