(Microsoft PowerPoint - Modele nieliniowe czIV

Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych
Modele linearyzowalne - funkcja produkcji
Przykład makroekonomiczny
Merytoryczna analiza funkcji produkcji
Ogólny model produkcji:
Q = f(X1,X2,..,Xk, Z)
Q - wielkość produkcji
X1,X2,..,Xk, - czynniki decydujące o wielkości produkcji – czynniki produkcji
Z – losowe zakłócenia modelu
Klasyczne czynniki produkcji: kapitał, praca, ziemia; teraz teŜ organizacja,
technologia
Stosowane miary mogą być naturalne, umowne lub wartościowe
np. nakłady pracy Ŝywej to liczba zatrudnionych ,czas przepracowany lub
równowaŜnik pienięŜny (?), dla ziemi to areał lub jej wartość itp.
1
Merytoryczna analiza funkcji produkcji
Postulaty jakie powinna spełniać funkcja produkcji:
1. Wydajność krańcowa czynników produkcji (przyrosty krańcowe) Wi jest dodatnia:
Wi =
∂f ( X 1,X 2 ,..,X k ,0)
∆Q
=
>0
∂X i
∆X i
2. Wydajność krańcowa Wi jest malejąca:
∂Wi ∂ 2 f
=
<0
∂X i ∂X i 2
Oznacza to, Ŝe krańcowe przyrosty produkcji maleją w miarę wzrostu nakładów
Merytoryczna analiza funkcji produkcji
Postulaty jakie powinna spełniać funkcja produkcji:
3. Wydajność krańcowa jednego czynnika rośnie w miarę zwiększania nakładów
drugiego czynnika:
∂Wi
∂2 f
=
>0
∂X k ∂X i ∂X k
4. Czynniki produkcji są wzajemnie zastępowalne. Miarą ich substytucyjności jest
krańcowa stopa substytucji czynników produkcji:
Rij =
∂X i
∂f
∂f
=−
:
∂X j
∂X i ∂X j
2
Merytoryczna analiza funkcji produkcji
Jedną z funkcji spełniających te warunki jest funkcja
α
α
α
Y = α 0 X 1 1 X 2 2 ⋅...⋅ X k k e Z
zwana funkcją produkcji Cobba-Douglasa.
Model produkcji jest zatem modelem potęgowym, naleŜący do klasy modeli
linearyzowalnych
Merytoryczna analiza funkcji produkcji
Przy analizie funkcji produkcji uwzględniamy takŜe
Elastyczność produkcji
Ei =
Model
∂f ( X 1 ,X 2 ,..,X k ,0)
∂X i
α
α
⋅
Xi
f ( X 1 ,X 2 ,..,X k ,0)
=
( ∆Q / Y )
(∆X i / X i )
α
Y = α 0 X 1 1 X 2 2 ⋅...⋅ X k k e Z
jest równowaŜny modelowi log-log
lnY = ln α0 + α1 ln X1 +α2 ln X2 +...+αk ln Xk + Z
Wiemy teŜ, Ŝe elastyczności w modelu log-log są stałe i równe paramtrom modelu.
Zatem:
Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa zachodzi:
elastyczności Ei produkcji względem nakładów poszczególnych czynników Xi są
stałe i równe wykładnikowi αi >0.
3
Merytoryczna analiza funkcji produkcji
Elastyczności wykorzystujemy do obliczenia wskaźnika efektów skali.
Miernik efektów skali produkcji:
A=E1 + E2 + ...+Ek
Interpretacja wartości miernika efektów skali produkcji:
A=1 - stała wydajność produkcji,
A<1 - malejąca wydajność czynników produkcji (produkcja rośnie wolniej niŜ
nakłady i zasoby),
A>1 - rosnąca wydajność czynników produkcji
Przykład. Model wielkości produkcji sektora rolniczego gospodarki Tajwanu
Etap I: Propozycja postaci modelu.
Q = α1 L β2 Kβ3 e Z
gdzie
Q - wielkość produkcji (miliony NT$),
L - zatrudnienie - nakłady pracy Ŝywej (w milionach osobo-dniówek),
K- kapitał zgromadzony w tym sektorze (miliony NT$),.
4
Przykład. Model wielkości produkcji sektora rolniczego gospodarki Tajwanu
Dane dotyczące lat 1958-1972
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
Q
L
K
16607
17511.3
20171.2
20932.9
20406.
20831.6
24806.3
26465.8
27403.
28628.7
29904.5
27508.2
29035.5
29281.5
31535.8
192.85
274.4
269.7
267.
267.8
275.
283.
300.7
307.5
303.7
304.7
298.6
295.5
299.
288.1
17803.7
18096.8
18271.8
19167.3
19647.6
20803.5
22076.6
23445.2
24939.
26713.7
29957.8
31585.9
33474.5
34821.8
41794.3
Przykład. Model wielkości produkcji sektora rolniczego gospodarki Tajwanu
Etap II: Estymacja parametrów
Linearyzacja modelu Q = α1 L
β2
β
K 3eZ
Logarytmujemy obie strony - logarytm naturalny - otrzymujemy:
log Q = log α1 + β2 log L + β3 log K + Z
Przyjmując nowe zmienne:
log Q = LQ
log L = LL
log K =LK
i oznaczając
log α1 = β1
Otrzymujemy model liniowy:
LQ = β1 + β2 LL + β3 LK + Z
5
Przykład
Wybrane części procesu budowy modelu.
Etap II: Estymacja parametrów modelu LQ = β1 + β2 LL + β3 LK + Z
Dane:
Q
16607
17511.3
20171.2
20932.9
20406.
20831.6
24806.3
26465.8
27403.
28628.7
29904.5
27508.2
29035.5
29281.5
31535.8
Estymator MNK:
Przykład
L
1
K
192.85
274.4
269.7
267.
267.8
275.
283.
300.7
307.5
303.7
304.7
298.6
295.5
299.
288.1
17803.7
18096.8
18271.8
19167.3
19647.6
20803.5
22076.6
23445.2
24939.
26713.7
29957.8
31585.9
33474.5
34821.8
41794.3
X=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
LL
LK
5.26191
5.61459
5.59731
5.58725
5.59024
5.61677
5.64545
5.70611
5.72848
5.71604
5.71933
5.6991
5.68867
5.70044
5.66331
9.78716
9.80349
9.81311
9.86096
9.88571
9.94288
10.0023
10.0624
10.1242
10.1929
10.3075
10.3605
10.4185
10.458
10.6405
Y=LQ=
b = (XTX)-1XTY
9.71758
9.7706
9.91201
9.94908
9.92358
9.94423
10.1189
10.1836
10.2184
10.2622
10.3058
10.2222
10.2763
10.2847
10.3589
Wybrane części procesu budowy modelu
Etap II: Estymacja parametrów
b1 = 0.97 ,
b 2= 0.68 , b 3= 0.52
Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu
1. Współczynnik determinacji: R2 =0.91
Współczynnik determinacji skorygowany :
Rsk2 = R 2 −
2. Wskaźnik wyrazistości:
k −1
(1 − R 2 ) = 0.90
n−k
V = 0.6%
3. Standardowe błędy ocen parametrów:
Sb1 = 0.89 , Sb2 = 0.19, Sb3 = 0.08
6
Przykład Model produkcji w sektorze rolniczym Tajwanu
Etap III : Weryfikacja modelu - C - test serii
Reszty ( w kolejności lat):
+ - - + - - + + + + + - - - -
Liczba plusów N+=7, liczba minusów N_=8. Liczba serii Ns= 6.
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości modelu
LQ = β1 + β2 LL + β2 LK + Z
Zatem otrzymaliśmy oszacowany model:
LQ = 0.97 + 0.68 LL + 0.52 LK
(0.89) (0.19)
(0.08)
Przykład Model produkcji w sektorze rolniczym Tajwanu
β
β
Powrót do funkcji Cobba-Douglasa, tj. do modelu Q = α1 L 2 K 3 e Z
W modelu
LQ = β1 + β2 LL + β3 LK + Z
Uzyskaliśmy oszacowania:
b1 = 0.97 ,
b 2= 0.68 , b 3= 0.52
Pamiętamy, Ŝe log α1 = β1
Zatem b1 jest oszacowaniem log α1 , stąd
αˆ1 = e 0.97 ≈ 2.63
Ostatecznie otrzymaliśmy model
Q̂ = 2.63 L 0.68 K0.52
7
Uwaga. Licząc sumę kwadratów reszt w modelu Cobba - Douglasa (czyli modelu
ostatecznym na zmienną Q, a nie w modelu na na zmienną log Q), a następnie
wyliczając współczynnik korelacji wielorakiej R (zwany w tym wypadku
współczynnikiem korelacji krzywoliniowej) oraz współczynnik wyrazistości
otrzymamy:
1. Skorygowany współczynnik determinacji (krzywoliniowy): R2 =0.92
2. Wskaźnik wyrazistości w modelu nieliniowym:
V = 6%
A gdybyśmy zbudowali liniowy ?
Q = β1 + β 2L + β 3K + Z
Otrzymalibyśmy:
Q = −6548+ 71.2 L + 0.44 K
(4319) (17.7)
(0.07)
Współczynnik determinacji r2=0.91
Wskaźnik wyrazistości modelu V=6%
W teście serii otrzymujemy ciąg
+ - - + - - + + + + + - - - -
co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu !
Bardzo dobry model!
Który wybrać?
Prócz względów merytorycznych, moŜemy teŜ skorzystać z testów dokładniejszych niŜ
test serii
8
Test postaci funkcyjnej modelu: model liniowy vs model logarytmiczno liniowy
(model logarytmiczno liniowy jest równowaŜny potęgowemu - tu podkreślamy
postać zapisaną w hipotezie i następnie wykorzystaną w teście)
Y = β1X1+ β2X2+ ...+ βkXk + Z
Hipoteza zerowa:
Hipoteza alternatywna:
logY = γ1logX1+ γ2logX2+ ...+ γklogXk + Z
Test PE (Davidson , MacKinnon, 1981, MacKinnon, White, Davidson 1983)
Procedura testowa sprowadza się do testu istotności parametru α w modelu
Y = β1X1+ β2X2+ ...+ βkXk + αNZ+ Z
gdzie nowa zmienna NZ jest określona jako
(g1logX1+ g2logX2+ ...+ gklogXk) - log (b1X1+ b2X2+ ...+ bkXk)
co zapisujemy krótko
NZ = log(Y)-log(Y)
Test postaci funkcyjnej modelu: model logarytmiczno liniowy vs model liniowy
logY = γ1logX1+ γ2logX2+ ...+ γklogXk + Z
Hipoteza zerowa:
Hipoteza alternatywna: Y = β1X1+ β2X2+ ...+ βkXk + Z
Analogicznie jak w poprzednim przypadku testujemy istotność parametru α w modelu
logY = γ1logX1+ γ2logX2+ ...+ γklogXk + α NZ+ Z
gdzie tym razem nowa zmienna NZ jest określona jako
(b1X1+ b2X2+ ...+ bkXk) - exp(g1logX1+ g2logX2+ ...+ gklogXk)
co zapisujemy krótko
NZ = Y- exp(log(Y))
9
Przykład cd.
Linearyzacja modelu Q = α1 L
β2
β
K 3 e Z doprowadziła do postaci
log Q = γ1 + γ2 log L + γ3 log K + Z
Testujemy zatem hipotezy:
Hipoteza zerowa:
Q = β1 + β2L + β3K + Z
Hipoteza alternatywna: log Q = γ1 + γ2 log L + γ3 log K + Z
Hipoteza zerowa:
Q = β1 + β2L + β3K + Z
Hipoteza alternatywna: log Q = γ1 + γ2 log L + γ3 log K + Z
Krok 1: estymujemy obydwa modele. Otrzymujemy (juŜ to mamy):
b1 = -6548,
b 2= 71.2 ,
b 3= 0.44
g1 = 0.97 ,
g 2= 0.68 , g 3= 0.52
Krok 2: Obliczamy wartości zmiennej
NZ = log(Y)-log(Y) = (g1logX1+ g2logX2+ ...+ gklogXk) - log (b1X1+ b2X2+ ...+ bkXk) =
(0.97 + 0.68log L + 0.52 log K) - log (-6548 + 71.2 L +0.44 K)
10
Czyli
NZ = log(Y)-log( Y ) = (0.97 + 0.68log L + 0.52 log K) - log (-6548 + 71.2 L +0.44 K)
Dane:
Q
16607
17511.3
20171.2
20932.9
20406.
20831.6
24806.3
26465.8
27403.
28628.7
29904.5
27508.2
29035.5
29281.5
31535.8
L
192.85
274.4
269.7
267.
267.8
275.
283.
300.7
307.5
303.7
304.7
298.6
295.5
299.
288.1
K
17803.7
18096.8
18271.8
19167.3
19647.6
20803.5
22076.6
23445.2
24939.
26713.7
29957.8
31585.9
33474.5
34821.8
41794.3
NZ
(0.97 + 0.68 log192.85 + 0.52 log 17803.7) –
log (-6548 + 71.2 192.85 +0.44 17803.7)
...
...
...
Otrzymujemy
NZ = log(Y)-log( Y ) = (0.97 + 0.68log L + 0.52 log K) - log (-6548 + 71.2 L +0.44 K)
Q
16607
17511.3
20171.2
20932.9
20406.
20831.6
24806.3
26465.8
27403.
28628.7
29904.5
27508.2
29035.5
29281.5
31535.8
L
192.85
274.4
269.7
267.
267.8
275.
283.
300.7
307.5
303.7
304.7
298.6
295.5
299.
288.1
K
17803.7
18096.8
18271.8
19167.3
19647.6
20803.5
22076.6
23445.2
24939.
26713.7
29957.8
31585.9
33474.5
34821.8
41794.3
NZ
0.0558093
- 0.0281489
- 0.0225327
- 0.0140917
- 0.0118722
- 0.0110174
- 0.0100776
- 0.0141015
- 0.0108986
- 0.00265431
0.00514284
0.00910119
0.0112302
0.0114796
0.00807648
11
Krok 3. Szacujemy model
Q = β1 + β2L + β3K + α NZ+ Z
16607
17511.3
20171.2
20932.9
20406.
20831.6
24806.3
26465.8
27403.
28628.7
29904.5
27508.2
29035.5
29281.5
31535.8
Q=
Estymator MNK:
X=
1
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
192.85
274.4
269.7
267.
267.8
275.
283.
300.7
307.5
303.7
304.7
298.6
295.5
299.
288.1
K
17803.7
18096.8
18271.8
19167.3
19647.6
20803.5
22076.6
23445.2
24939.
26713.7
29957.8
31585.9
33474.5
34821.8
41794.3
NZ
0.0558093
- 0.0281489
- 0.0225327
- 0.0140917
- 0.0118722
- 0.0110174
- 0.0100776
- 0.0141015
- 0.0108986
- 0.00265431
0.00514284
0.00910119
0.0112302
0.0114796
0.00807648
b = (XTX)-1XTQ
Oszacowany model :
Q = −17720 + 129.0 L – 0.245K + 88331 NZ
(5071)
t=
Istotność NZ
(23.96)
(0.085)
(29951)
a 88331
≅
≅ 2.949
S a 29951
Dla poziomu istotności 0.05
W = ( −∞,−t 0.975 ) ∪ (t 0.975 , ∞ ) = ( −∞,−2.179) ∪ ( 2.179, ∞ )
Kwantyl z rozkładu Studenta o 15-3=12 stopniach swobody
Wniosek:
Odrzucamy hipotezę o nieistotności zmiennej NZ, co jest
równoznaczne z odrzuceniem hipotezy zerowej, mówiącej, Ŝe model
jest liniowy
Uznajemy, Ŝe właściwy model to model potęgowy Cobba-Douglasa
12
Weryfikowaliśmy układ hipotez:
Hipoteza zerowa:
Y = β1X1+ β2X2+ ...+ βkXk + Z
Hipoteza alternatywna: logY = γ1logX1+ γ2logX2+ ...+ γklogXk + Z
A moŜe trzeba było w „drugą stronę”?
Hipoteza zerowa:
logY = γ1logX1+ γ2logX2+ ...+ γklogXk + Z
Hipoteza alternatywna: Y = β1X1+ β2X2+ ...+ βkXk + Z
Kiedy naleŜałoby przetestować w „drugą stronę”?
Uwagi o teście hipotez w zmienionym układzie i jeszcze raz o błędach I i II rodzaju
13