Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 9 Dziaªania na relacjach
Transkrypt
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 9 Dziaªania na relacjach
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 9 Dziaªania na relacjach Na poprzednim wykªadzie wprowadzili±my poj¦cie funkcji odwrotnej oraz poj¦cie skªadania funkcji. Podobne poj¦cia mo»na zdeniowa¢ dla dowolnych relacji (nie b¦d¡cych funkcjami). Def. 9.1 Niech R⊂X ×Y b¦dzie relacj¡. Relacj¦ R−1 ⊂ Y × X, okre±lon¡ zwi¡zkiem ( ) ∀, x ∈ X ∀ y ∈ Y : ⟨y, x⟩ ∈ R−1 ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ R nazywamy relacj¡ odwrotn¡ (lub przeciwn¡) do relacji Def. 9.2 R⊂X ×Y i nazywamy zªo»eniem relacji R R. S ⊂ Y × Z. Relacj¦ R ◦ S ⊂ X × Z, okre±lon¡ zwi¡zkiem ( ) ∀, x ∈ X ∀ z ∈ Z : ⟨x, z⟩ ∈ R ◦ S ⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ S) Niech i S. Uwaga. Prosz¦ zwróci¢ uwag¦ na inn¡ konwencje przy zapisie skªadania ogólnych relacji (od lewej do prawej) i funkcji (od prawej do lewej). Lemat 9.1 Niech R⊂X ×Y i S ⊂Y ×Z ( R◦S b¦d¡ relacjami. Wówczas )−1 = S −1 ◦ R−1 . Dowód Dla dowolnych x∈X i z∈Z: ( )−1 (1) ( ) (2) ⟨z, x⟩ ∈ R ◦ S ⇔ ⟨x, z⟩ ∈ R ◦ S ⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ S) (3) ⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨y, x⟩ ∈ R−1 ) ∧ (⟨z, y⟩ ∈ S −1 ) (4) (5) ⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨z, y⟩ ∈ S −1 ) ∧ (⟨y, x⟩ ∈ R−1 ) ⇔ ⟨z, x⟩ ∈ S −1 ◦ R−1 , gdzie równowa»no±ci (1) i (3) wynikaj¡ z denicji 9.1, równowa»no±ci (2) i (5) z denicji 9.2, za± równowa»no±¢ (4) jest realizacj¡ prawa przemienno±ci dla koniunkcji. Relacje s¡ zbiorami, mo»emy wi¦c dla nich deniowa¢ tak»e zwykªe operacje mnogo±ciowe. Def. 9.3 Niech R, R1 , R2 ⊂ X × Y 1. Relacj¦ b¦d¡ relacjami R1 ∪ R2 = {⟨x, y⟩ ∈ X × Y : ⟨x, y⟩ ∈ R1 ∨ ⟨x, y⟩ ∈ R1 } nazywamy sum¡ relacji R1 i R2 . R1 ∩ R2 = {⟨x, y⟩ ∈ X × Y : ⟨x, y⟩ ∈ R1 ∧ ⟨x, y⟩ ∈ R1 } R1 i R2 . 2. Relacj¦ relacji 1 nazywamy cz¦±ci¡ wspóln¡ 3. Relacj¦ R′ = {⟨x, y⟩ ∈ X × Y : ¬(⟨x, y⟩ ∈ R)} nazywamy dopeªnieniem relacji X = Y = R. Sum¡ okre±lonych na R2 ≡ R × R relacji > i = relacji > i 6 jest relacja =; dopeªnieniem relacji > jest relacja 6. Dla przykªadu: niech cz¦±ci¡ wspóln¡ R. jest relacja >; Relacja równowa»no±ci Przypomnijmy teraz: Def. 6.4 R O relacji okre±lonej na zbiorze • zwrotna, gdy • symetryczna, gdy • przechodnia, gdy Def. 9.4 Relacj¦ X ×X mówimy, »e jest ∀ x ∈ X : ⟨x, x⟩ ∈ R, ∀ x, y ∈ X : ⟨x, y⟩ ∈ R ⇒ ⟨y, x⟩ ∈ R, ∀ x, y, z ∈ X : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ R) ⇒ ⟨x, z⟩ ∈ R. R ⊂ X ×X nazywamy relacj¡ równowa»no±ci, gdy jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia. Tw. 9.1 P (X) Niech X b¦dzie zbiorem i niech okre±lamy relacj¦ R P (X) oznacza zbór wszystkich podzbiorów X. Na P (X) × zwi¡zkiem ∀ A, B ∈ P (X) : ⟨A, B⟩ ∈ R ⇔ istnieje bijekcja A → B. Tak zdeniowana relacja jest relacj¡ równowa»no±ci na P (X) × P (X). Dowód R jest zwrotna, bo dla ka»dego zbioru R jest symetryczna, je±li bowiem bijekcja ze zbioru Wreszcie, je±li B w zbiór A⊂X f : A→B funkcja to»samo±ciowa IA : A → A jest bijekcj¡. jest bijekcj¡ to (na mocy twierdzenia 8.6) f −1 jest A. f : A→B ig: B→C s¡ bijekcjami, to g◦f : A→C tak»e jest bijekcj¡ (prosty dowód tego faktu jako ¢wiczenie). Notacja. b¦dziemy R jest relacj¡ równowa»no±ci pisa¢ x ∼R y lub po prostu x ∼ y. Je±li na zbiorze X ×X to dla x, y ∈ X zamiast ⟨x, y⟩ ∈ R Przykªady relacji równowa»no±ci 9.1 Niech m, n ∈ N. Relacja m ∼ n ⇔ 2|(m + n) (suma liczb m i n jest liczba parzyst¡) jest relacj¡ równowa»no±ci. 9.2 Niech x, y ∈ R. Relacja x ∼ y ⇔ x−y ∈ Z (przez relacj¡ równowa»no±ci. 2 Z oznaczamy zbiór liczb caªkowitych) jest 9.3 Niech L ℓ1 , ℓ2 ∈ R b¦dzie zbiorem prostych na pªaszczy¹nie. Dla deniujemy relacj¦ równowa»- no±ci wzorem ℓ1 ∼ ℓ2 ⇔ ℓ1 ∥ ℓ2 9.4 Niech E (proste ℓ1 i ℓ2 s¡ równolegªe). b¦dzie zbiorem wektorów zwi¡zanych na pªaszczy¹nie (przez wektor zwi¡zany rozumiemy ⃗ℓp = ⟨p1 , p2 ⟩, ⃗ℓ′ = ⟨p′ , p′ ⟩. Niech wreszcie w p 1 2 pewnym ukªadzie wspóªrz¦dnych punkt p1 ma wspóªrz¦dne ⟨x1 , y1 ⟩ punkt p2 wspóªrz¦dne ⟨x2 , y2 ⟩, ′ ′ ′ ′ ′ ′ punkt p1 wspóªrz¦dne ⟨x1 , y1 ⟩ za± punkt p2 wspóªrz¦dne ⟨x2 , y2 ⟩. Relacj¦ równowa»no±ci na E × E uporz¡dkowan¡ par¦ punktów pªaszczyzny). Oznaczmy deniujemy zwi¡zkiem ⃗ℓp ∼ ⃗ℓ′ ⇔ p 9.5 Niech X ( ) ( ) x2 − x1 = x′2 − x′2 ∧ y2 − y1 = y2′ − y1′ . b¦dzie dowolnym zbiorem. Przykªadem relacji równowa»no±ci na ∀ x, y ∈ X : Def. 9.5 Niech ∼ abstrakcji) elementu jest ( ) x∼y ⇔ x=y . b¦dzie relacj¡ równowa»no±ci na zbiorze a∈X X ×X X. Klas¡ równowa»no±ci (lub klas¡ nazywamy zbiór [a] = {x ∈ X : x ∼ a}. Dowolny element x ∈ [a] nazywamy reprezentantem klasy [a]. W przykªadzie 9.1 powy»ej mamy dwie klasy abstrakcji: [1] = {1, 3, 5, . . .} i [2] = {2, 4, 6, . . .}. Zauwa»my, »e klasa abstrakcji ma t¦ sam¡ posta¢ niezale»nie od tego, którego z jej reprezentantów u»yjemy, aby ja wyznaczy¢: [1] = [3] = [5] = . . . oraz [2] = [4] = [6] = . . . W przykªadzie 9.2 klasa abstrakcji wyznaczona jest przez liczb¦ rzeczywist¡ z przedziaªu [0, 1). Na przykªad [0] = {0, ±1, ±2, . . .} = [1] = [−1] = [2] = [−2] = . . . , [1] {1 1 } [ ] [ ] [ ] [ ] 1 = = 13 + 1 = 31 − 1 = 13 + 2 = 31 − 2 = . . . , 3 3 , 3 ± 1, 3 ± 2, . . . [π − 3] = {π, π ± 1, π ± 2, π ± 3 . . .} = [π] = [π + 1] = [π − 1] = [π + 2] = [π − 2] = . . . ℓ stanowi zbiór wszystkich prostych na pªaszczy¹nie przez prost¡ ℓ. W przykªadzie 9.3 klas¦ równowa»no±ci prostej równolegªych do ℓ, czyli kierunek wyznaczany W przykªadzie 9.4 o klasie abstrakcji wektora ⃗ℓp mo»emy my±le¢ jak o wektorze swobodnym, nieza- czepionym w »adnym punkcie pªaszczyzny, którego rzuty na osie warto±¢ jak rzuty wektora Wreszcie, w przykªadzie 9.5, klasa abstrakcji ka»dego samego xiy pokrywaj¡ maj¡ tak¡ sam¡ ⃗ℓp . x, ∀ x ∈ X : [x] = {x}. 3 x ∈ X jest jednoelementowa i skªada si¦ z Obserwacja, »e posta¢ klasy abstrakcji nie zale»y od tego, którego z jej reprezentantów u»yjemy, aby klas¦ zdeniowa¢, jest wa»na. Precyzyjniej ujmiemy j¡ w Tw. 9.2 [a1 ] i [a2 ] b¦d¡ klasami abstrakcji [a1 ] ∩ [a2 ] = ∅, albo [a1 ] = [a2 ]. Niech Wówczas albo relacji równowa»no±ci ∼ okre±lonej na zbiorze X. Dowód [a1 ] ∩ [a2 ] = ∅, b ∈ [a1 ] ∩ [a2 ]. Z faktu, Je±li [a1 ] ∩ [a2 ] ̸= ∅ i b ∈ [a1 ], wi¦c b ∼ a1 to twierdzenie jest prawdziwe. Zaªó»my wi¦c, »e »e i z symetryczno±ci relacji b ∈ [a2 ] wynika, »e b ∼ a2 ; podobnie, poniewa» ∼, mamy a1 ∼ b. Poniewa» relacja ∼ jest przechodnia, niech sk¡d, wi¦c (a1 ∼ b) ∧ (b ∼ a2 ) ⇒ a1 ∼ a2 . Niech teraz x b¦dzie dowolnym elementem zbioru [a1 ]. Z przechodnio±ci relacji ∼: (x ∼ a1 ) ∧ (a1 ∼ a2 ) ⇒ x ∼ a2 ⇒ x ∈ [a2 ] gdzie druga implikacja wynika z denicji klasy abstrakcji ∀x ∈ X : równowa»n¡ inkluzji [a1 ] ⊂ [a2 ]. ( [a2 ]. Wykazali±my implikacj¦: ) x ∈ [a1 ] ⇒ x ∈ [a2 ] Dowód inkluzji [a2 ] ⊂ [a1 ] jest analogiczny. Klasy abstrakcji mog¡ posiada¢ wªasno±ci, których elementy zbioru X nie maj¡. Na nast¦pnym wykªadzie poka»emy jak wychodz¡c od pewnej relacji równowa»no±ci zdeniowanej na zbiorze par liczb naturalnych zdeniowa¢ (jako klasy abstrakcji) liczby caªkowite, jak zdeniowa¢ liczby wymierne jako klasy abstrakcji relacji równowa»no±ci okre±lonej na zbiorze par liczb caªkowitych oraz podamy konstrukcje liczb rzeczywistych jako klas abstrakcji na zbiorze ci¡gów Cauchy'ego liczb wymiernych. 4