Liczby Fibonacciego

Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Liczby Fibonacciego
Paweł Domański
Uniwersytet im. A. Mickiewicza, Poznań
amu.edu.pl/∼domanski
Liceum Ogólnokształca̧ce Św. Marii Magdaleny
Poznań, 8 listopada 2012
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy
ur. ok. 1170 po Chr., zmarł 1250 po
Chr.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy
ur. ok. 1170 po Chr., zmarł 1250 po
Chr.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy
ur. ok. 1170 po Chr., zmarł 1250 po
Chr.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy
ur. ok. 1170 po Chr., zmarł 1250 po
Chr.
W 1202 r. opublikował Liber Abaci.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy
ur. ok. 1170 po Chr., zmarł 1250 po
Chr.
W 1202 r. opublikował Liber Abaci.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
2. Kto to był Fibonacci?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy ur. ok. 1170 po Chr.,
zmarł 1250 po Chr.
W 1202 r. opublikował Liber Abaci.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy ur. ok. 1170 po Chr.,
zmarł 1250 po Chr.
W 1202 r. opublikował Liber Abaci.
W 1240 r. Piza przyznała mu stała̧
pensjȩ.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
2. Kto to był Fibonacci?
Leonardo z Pizy ur. ok. 1170 po Chr.,
zmarł 1250 po Chr.
W 1202 r. opublikował Liber Abaci.
W 1240 r. Piza przyznała mu stała̧
pensjȩ.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
fn = fn−1 + fn−2
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
fn = fn−1 + fn−2
Definicja
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
fn = fn−1 + fn−2
Definicja
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
fn = fn−1 + fn−2
Definicja
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
f16
f17
f18
f19
f20
...
987 1597 2584 4181 6765 . . .
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
3. Co to sa̧ liczby Fibonacciego
f1 = 1, f2 = 1
f3 = f1 + f2 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
fn = fn−1 + fn−2
Definicja
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
f16
f17
f18
f19
f20
...
987 1597 2584 4181 6765 . . .
f100 = 354224848179261915075 ≈ 3 · 1020
8
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
4. Równania rekurencyjne
Liczby Fibonacciego
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
4. Równania rekurencyjne
Liczby Fibonacciego
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
Problem
Znajdź wzór na n-ta̧ liczbȩ Fibonacciego?
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
4. Równania rekurencyjne
Liczby Fibonacciego
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
Problem
Znajdź wzór na n-ta̧ liczbȩ Fibonacciego?
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1,
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2,
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 2 · g2 = 4, . . . ,
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 ,
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 ,
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . ,
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Pytanie
Czy cia̧g geometryczny może spełniać nasze równanie
rekurencyjne?
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Pytanie
Czy cia̧g geometryczny może spełniać nasze równanie
rekurencyjne?
Sprawdźmy:
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Pytanie
Czy cia̧g geometryczny może spełniać nasze równanie
rekurencyjne?
Sprawdźmy:
q n−1 · g1 = q n−2 · g1 + q n−3 · g1
| {z } | {z } | {z }
gn
gn−1
gn−2
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Pytanie
Czy cia̧g geometryczny może spełniać nasze równanie
rekurencyjne?
Sprawdźmy:
q n−1 · g1 = q n−2 · g1 + q n−3 · g1
q n−1 = q n−2 + q n−3
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Pytanie
Czy cia̧g geometryczny może spełniać nasze równanie
rekurencyjne?
Sprawdźmy:
q n−1 · g1 = q n−2 · g1 + q n−3 · g1
q n−1 = q n−2 + q n−3
q2 = q1 + 1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
5. Cia̧gi geometryczne
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (fn ) spełniaja̧ce równanie: fn = fn−1 + fn−2 .
Przykład: g1 = 1, g2 = 2 · g1 = 2, g3 = 4, . . . , gn = 2n−1 · g1
Ogólniej – cia̧g geometryczny o ilorazie q:
g1 , g2 = q · g1 , g3 = q 2 · g1 , . . . , gn = q n−1 · g1 .
Pytanie
Czy cia̧g geometryczny może spełniać nasze równanie
rekurencyjne?
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny spełniał równanie rekurencyjne
potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
∆=1+4=5
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
∆=1+4=5
Pierwiastki:
√
−b+ ∆
,
2a
√
−b− ∆
2a
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
∆=1+4=5
q1 =
√
1+ 5
2
√
√
−b+ ∆
−b− ∆
,
2a√
2a
q2 = 1−2 5 ≈ −0.618034
Pierwiastki:
≈ 1.61803,
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
q1 =
√
1+ 5
2
≈ 1.61803,
Mnóstwo rozwia̧zań:
q2 =
√
1− 5
2
≈ −0.618034
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
q1 =
√
1+ 5
2
≈ 1.61803,
Mnóstwo rozwia̧zań:
√ n
gn = 1+2 5 ,
q2 =
√
1− 5
2
≈ −0.618034
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
q1 =
√
1+ 5
2
≈ 1.61803,
q2 =
√
1− 5
2
Mnóstwo rozwia̧zań:
√ n
√ n
gn = 1+2 5 , gn = 2 · 1−2 5 ,
≈ −0.618034
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
6. Ciagi geometryczne spełniaja̧ce równanie rek.
Odpowiedź
Aby cia̧g geometryczny gn = q n−1 · g1 spełniał równanie
rekurencyjne gn = gn−1 + gn−2 potrzeba i wystarcza, aby
q 2 − q − 1 = 0.
Szukamy q - szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego:
q1 =
√
1+ 5
2
≈ 1.61803,
q2 =
√
1− 5
2
≈ −0.618034
Mnóstwo rozwia̧zań:
√ n
√ n
√ n−1
gn = 1+2 5 , gn = 2 · 1−2 5 , gn = (−1) 1+2 5
, ...
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
an +bn = an−1 +an−2 +bn−1 +bn−2 =
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
an +bn = an−1 +an−2 +bn−1 +bn−2 = (an−1 + bn−1 )
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
an +bn = an−1 +an−2 +bn−1 +bn−2 = (an−1 + bn−1 ) +(an−2 + bn−2 )
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
an + bn = (an−1 + bn−1 ) + (an−2 + bn−2 )
| {z } |
{z
} |
{z
}
cn
cn−1
cn−2
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
an + bn = (an−1 + bn−1 ) + (an−2 + bn−2 )
| {z } |
{z
} |
{z
}
cn
cn−1
cn−2
czyli cia̧g cn := an + bn też spełnia nasze równanie.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
7. Rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Problem rozwia̧zania równania rekurencyjnego
Znajdź cia̧gi (hn ) spełniaja̧ce równanie: hn = hn−1 + hn−2 .
Niech cia̧g (an ) i cia̧g (bn ) spełniaja̧ równanie rekurencyjne tzn.:
an = an−1 + an−2 ,
bn = bn−1 + bn−2
an + bn = (an−1 + bn−1 ) + (an−2 + bn−2 )
| {z } |
{z
} |
{z
}
cn
cn−1
cn−2
czyli cia̧g cn := an + bn też spełnia nasze równanie.
Morał
√ n−1
√ n−1
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
dla wszystkich liczb a i b.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
h1 = 1, h2 = 1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
√ 0
√ 0
h1 = 1, h2 = 1
h1 = a · 1+2 5 + b · 1−2 5 = 1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
√ 0
√ 0
h1 = 1, h2 = 1
h1 = a · 1+2 5 + b · 1−2 5 = 1
czyli a + b = 1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
√ 0
√ 0
h1 = 1, h2 = 1
h1 = a · 1+2 5 + b · 1−2 5 = 1
czyli a + b =
1
√ √ 1+ 5
1− 5
h2 = a ·
+
b
·
=1
2
2
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
√ 0
√ 0
h1 = 1, h2 = 1
h1 = a · 1+2 5 + b · 1−2 5 = 1
czyli a + b =
1
√ √ 1+ 5
1− 5
h2 = a ·
+
b
·
= 1 czyli a − b = √15 .
2
2
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
Rozwia̧zać układ równań
(
a+b =1
a − b = √15
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
Rozwia̧zać układ równań
(
a+b =1
a − b = √15
Rozwia̧zanie:
a=
√
1+√ 5
,
2 5
√
b=
5−1
√
2 5
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
8. Wzór Bineta
Morał
√ n−1
√ n−1
Cia̧gi hn := a · 1+2 5
+ b · 1−2 5
spełniaja̧ równanie
hn = hn−1 + hn−2 dla wszystkich liczb a i b.
Problem
Czy któryś z powyższych cia̧gów to cia̧g Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ?
Wzór Bineta
1
fn = √
5
√ !n
1+ 5
−
2
√ !n !
1− 5
2
24
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
f10
55
f11
89
f3 ,
f12
144
f13
f14
233 377
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
f10
55
f11
89
f3 , f6 ,
f12
144
f13
f14
233 377
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
f10
55
f11
89
f12
144
f3 , f6 , f9 , . . .
f13
f14
233 377
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Hipotezy
f10
55
f11
89
f12
144
f3 , f6 , f9 , . . .
f13
f14
233 377
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 ,
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 ,
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
Liczby podzielne przez 5 = f5 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
Liczby podzielne przez 5 = f5 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
f5 ,
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
Liczby podzielne przez 5 = f5 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
f5 , f10 ,
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
Liczby podzielne przez 5 = f5 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
f5 , f10 , f15 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
Liczby podzielne przez 2 = f3 :
Liczby podzielne przez 3 = f4 :
Liczby podzielne przez 5 = f5 :
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
f3 , f6 , f9 , . . .
f4 , f8 , f12 , . . .
f5 , f10 , f15 , . . .
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
fm dzieli siȩ przez f5 = 5 ⇔ 5 dzieli m tj. m = 5k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
fm dzieli siȩ przez f5 = 5 ⇔ 5 dzieli m tj. m = 5k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
9. Cechy podzielności
Liczby Fibonacciego
f1
1
f2
1
f3
2
f4
3
f5
5
f6
8
f7
13
f8
21
f9
34
f10
55
f11
89
f12
144
f13
f14
233 377
Hipotezy
fm dzieli siȩ przez f3 = 2 ⇔ 3 dzieli m tj. m = 3k.
fm dzieli siȩ przez f4 = 3 ⇔ 4 dzieli m tj. m = 4k.
fm dzieli siȩ przez f5 = 5 ⇔ 5 dzieli m tj. m = 5k.
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k.
f15
610
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p
dzieli siȩ przez fp ?
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
fp+2 = fp+1 + fp
=1 · fp + 1 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp
=1 · fp + 1 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
fp+3 = fp+2 + fp+1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
fp+3 = fp+2 + fp+1
= 3 · fp + 2 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
fp+3 = fp+2 + fp+1
fp+4 = fp+3 + fp+2
= 3 · fp + 2 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
fp+3 = fp+2 + fp+1
= 3 · fp + 2 · fp−1
fp+4 = fp+3 + fp+2
= 5 · fp + 3 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
fp+1 =
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
fp+3 = fp+2 + fp+1
= 3 · fp + 2 · fp−1
fp+4 = fp+3 + fp+2
= 5 · fp + 3 · fp−1
fp+5 =
= 8 · fp + 5 · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
10. Jak dowieść wielkiej hipotezy?
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Przypadek szczególny: czy f2p = fp+p dzieli siȩ przez fp ?
=1 · fp + 1 · fp−1
fp+1 =
fp+2 = fp+1 + fp = fp + fp−1 + fp = 2 · fp + 1 · fp−1
fp+3 = fp+2 + fp+1
= 3 · fp + 2 · fp−1
fp+4 = fp+3 + fp+2
= 5 · fp + 3 · fp−1
fp+5 =
= 8 · fp + 5 · fp−1
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Czy fp dzieli f3p ?
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Czy fp dzieli f3p ?
f3p = fp+2p
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Czy fp dzieli f3p ?
f3p = fp+2p = f2p+1 fp + f2p fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Czy fp dzieli f3p ?
f3p = fp+2p = f2p+1 fp + f2p fp−1
Czy fp dzieli fkp ?
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Czy fp dzieli f3p ?
f3p = fp+2p = f2p+1 fp + f2p fp−1
Czy fp dzieli fkp ?
fkp = fp+(k−1)p
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Czy fp dzieli f2p ?
f2p = fp+p = fp+1 fp + fp fp−1
Czy fp dzieli f3p ?
f3p = fp+2p = f2p+1 fp + f2p fp−1
Czy fp dzieli fkp ?
fkp = fp+(k−1)p = f(k−1)p+1 fp + f(k−1)p fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
11. Przypadki szczególne
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Dal każdego p i k naturalnego liczba fp dzieli fkp .
36
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
12. Kolejne liczby
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
d dzieli też fn−1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
fn = fn−1 + fn−2
d dzieli też fn−1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
d dzieli też fn−1
fn = fn−1 + fn−2
d dzieli też fn−2
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
d dzieli też fn−1
fn = fn−1 + fn−2
d dzieli też fn−2
Powtarzamy to rozumowanie: d dzieli też f1 !
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
d dzieli też fn−1
fn = fn−1 + fn−2
d dzieli też fn−2
Powtarzamy to rozumowanie: d dzieli też f1 !
Ale f1 = 1 zatem d = 1.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
12. Kolejne liczby
Problem
Znajdź wspólny dzielnik dwóch kolejnych liczb Fibonacciego.
Załóżmy, że liczba d dzieli dwie kolejne liczby fn i fn+1 .
fn+1 = fn + fn−1
d dzieli też fn−1
fn = fn−1 + fn−2
d dzieli też fn−2
Powtarzamy to rozumowanie: d dzieli też f1 !
Ale f1 = 1 zatem d = 1.
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
fm = fpq+r
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
fm = fpq+r = fr +1 fpq + fr fpq−1
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
fm = fpq+r = fr +1 fpq + fr fpq−1
fp dzieli fr
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
fm = fpq+r = fr +1 fpq + fr fpq−1
fp dzieli fr ale fr < fp ,
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
fm = fpq+r = fr +1 fpq + fr fpq−1
fp dzieli fr ale fr < fp , sprzeczność.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
13. Dowód konieczności wielkiej hipotezy
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Piȩkny wzór
fp+k = fk+1 · fp + fk · fp−1
Twierdzenie
Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
Załóżmy, że fp dzieli fm .
Czy p może nie dzielić m?
Gdyby p nie dzieliło m to m = pq + r , gdzie 0 < r < p.
fm = fpq+r = fr +1 fpq + fr fpq−1
fp dzieli fr ale fr < fp , sprzeczność.
Czyli p musi dzielić m.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
14. Podsumowanie
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
14. Podsumowanie
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
14. Podsumowanie
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Twierdzenie o NWD
NWD(fp , fm ) = fNWD(p,m)
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
14. Podsumowanie
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Twierdzenie o NWD
NWD(fp , fm ) = fNWD(p,m)
Wzór Bineta
1
fn = √
5
√ !n
1+ 5
−
2
√ !n !
1− 5
2
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
14. Podsumowanie
Wielka Hipoteza
fm dzieli siȩ przez fp ⇔ m dzieli siȩ przez p tj. m = p · k .
Twierdzenie o NWD
NWD(fp , fm ) = fNWD(p,m)
Wzór Bineta
1
fn = √
5
√ !n
1+ 5
−
2
√ !n !
1− 5
2
Algorytm rozwia̧zywania równań rekurencyjnych
...
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
15. I co dalej...
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Fibonacci Quarterly
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Fibonacci Quarterly
Ciekawe zagadki
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Fibonacci Quarterly
Ciekawe zagadki
Zadanie
Pewna firma maluje domy na kolor niebieski i czerwony wg.
nastȩpuja̧cych reguł:
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Fibonacci Quarterly
Ciekawe zagadki
Zadanie
Pewna firma maluje domy na kolor niebieski i czerwony wg.
nastȩpuja̧cych reguł:
każda kondygnacja pomalowana jest jednym kolorem;
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Fibonacci Quarterly
Ciekawe zagadki
Zadanie
Pewna firma maluje domy na kolor niebieski i czerwony wg.
nastȩpuja̧cych reguł:
każda kondygnacja pomalowana jest jednym kolorem;
żadne dwie sa̧siednie (w pionie) kondygnacje nie sa̧
pomalowane na czerwono.
Wstȩp
Jak wyliczać liczby Fibonacciego?
Dzielniki liczb Fibonacciego
Podsumowanie
15. I co dalej...
Fibonacci Association: www.mathstat.dal.ca/fibonacci —
linki do wielu ciekawych stron
Fibonacci Quarterly
Ciekawe zagadki
Zadanie
Pewna firma maluje domy na kolor niebieski i czerwony wg.
nastȩpuja̧cych reguł:
każda kondygnacja pomalowana jest jednym kolorem;
żadne dwie sa̧siednie (w pionie) kondygnacje nie sa̧
pomalowane na czerwono.
Ile różnych wersji pomalowań maja̧ budynki o n piȩtrach?