ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

Lech Górniewicz
Roman Stanisław Ingarden
ANALIZA MATEMATYCZNA
DLA FIZYKÓW
Wydanie piąte
Toruń 2012
SPIS TREŚCI
WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE
INGARDENIE (Miłosz Michalski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
PRZEDMOWA DO WYDANIA PIĄTEGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Rozdział 1. LICZBY RZECZYWISTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
§ 10.
§ 11.
Oznaczenia logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zbiory. Odwzorowania zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ciągi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Granica ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Warunek Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Granica górna i dolna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Szeregi bezwzględnie zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Szeregi o wyrazach dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
7
13
14
21
23
25
30
34
36
Rozdział 2. PRZESTRZENIE METRYCZNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§
§
§
§
§
§
§
§
§
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Podzbiory przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odwzorowania ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykłady funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przestrzenie zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przestrzenie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przestrzenie spójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
47
54
57
62
64
69
73
75
658
Spis treści
Rozdział 3. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§
§
§
§
§
21. Dalsze wiadomości o przestrzeniach zwartych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22. Przestrzeń funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23. Ciągi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24. Szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
82
87
90
93
Rozdział 4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY
FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Geometryczne podejście do pojęcia pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Interpretacje fizyczne pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Twierdzenia Lagrange’a i Cauchy’ego oraz ich zastosowania . . . . . 113
Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Zastosowania fizyczne drugiej pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Twierdzenie Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Zastosowania pochodnych wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
Całka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Całka jako funkcja górnej granicy całkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Technika wyznaczania całki nieoznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych:
szeregi trygonometryczne i szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§ 39. Całka niewłaściwa; jej związek z szeregami liczbowymi . . . . . . . . . . 163
§ 40. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Rozdział 5. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
I CAŁKOWEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§
§
§
§
§
§
§
§
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Krzywe płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Asymptoty; badanie przebiegu zmienności krzywych . . . . . . . . . . . . . 177
Krzywizna krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Przybliżone metody wyznaczania pierwiastków równań . . . . . . . . . . 180
Długość łuku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Obliczanie pól i objętości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Przykłady zastosowań całki oznaczonej w fizyce . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W PRZESTRZENIACH
BANACHA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
§ 49.
Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Spis treści
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
50.
51.
52.
53.
54*.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
659
Odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Przestrzenie unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Szeregi wektorów w przestrzeni unormowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Ciągłe odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach liniowych . . . . . . . . . . . . . . 211
Ciągłe odwzorowania wieloliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Różniczkowanie w przestrzeniach Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Słaba pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Twierdzenie o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Przypadek, gdy E = Rn , E = Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań. . . . . . . . . . . . . . . . .233
Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Wzór Taylora. Ekstrema lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Rozdział 7. ELEMENTY TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
ZWYCZAJNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
§
§
§
§
§
64.
65.
66.
67.
68.
§
§
§
§
§
§
§
69.
70.
71.
72.
73.
74*.
75*.
§ 76.
Całkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni Banacha . . . 261
Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego . . . 269
Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy’ego . . . . . . . 278
Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy’ego od warunków
początkowych oraz od parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Twierdzenie Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy’ego . . . . . . . . . 294
Równanie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów . . . . . . . 309
Układy dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
Dowody twierdzeń Lasoty–Yorke’a oraz Schaudera o punkcie
stałym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Rozdział 8. TEORIA MIARY I CAŁKI LEBESGUE’A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
§
§
§
§
§
§
§
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
Miara abstrakcyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Generator miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Funkcje mierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Miara Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Całka względem miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Całka Lebesgue’a; porównanie z całką Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Twierdzenie Fubiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
660
§
§
§
§
84.
85*.
86*.
87.
Spis treści
Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a . . . . . . . . . . 383
Całka Lebesgue’a–Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Przestrzenie funkcji całkowalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Rozdział 9. FORMY RÓŻNICZKOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
§
§
§
§
§
§
§
§
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
§ 96.
§ 97.
§ 98.
§ 99.
§ 100*.
§ 101*.
§ 102.
Przestrzeń tensorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Iloczyn zewnętrzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Formy różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Lemat Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418
Całkowanie from różniczkowych po łańcuchach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Rozmaitości zanurzone w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429
Pola wektorowe na rozmaitościach (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitościach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
Formy różniczkowe na rozmaitościach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach . . . . . . . . . . . . . . 448
Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia
Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
Ogólne pojęcie rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Twierdzenie Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Rozdział 10. FUNKCJE HOLOMORFICZNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
§
§
§
§
§
§
§
§
103. Wiadomości wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
104. Różniczkowalność w sensie zespolonym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485
105. Przykłady funkcji holomorficznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
106. Całka funkcji zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
107. Wzór całkowy Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
108. Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
109. Residua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
110. Przekształcenie Laplace’a i jego zastosowanie do równań
różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
§ 111*. Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej . 544
§ 112. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
Rozdział 11. WSTĘPNE POJĘCIA TEORII DYSTRYBUCJI . . . . . . . . . . . . 553
§ 113. Przestrzenie liniowo-topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .553
§ 114. Podstawowe klasy funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
Spis treści
§
§
§
§
661
115. Dystrybucje i ich pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
116. Dystrybucje temperowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
117. Przekształcenie Fouriera na S i S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
118. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
Rozdział 12. ELEMENTY TEORII PRZESTRZENI HILBERTA . . . . . . . . . 577
§
§
§
§
§
§
119.
120.
121.
122.
123.
124.
Pojęcie przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Twierdzenie o rzucie prostopadłym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .587
Odwzorowania liniowe przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
Analiza widmowa operatorów samosprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
Dodatek 1. ELEMENTY TOPOLOGII OGÓLNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
§ A. Przestrzenie topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
§ B. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . .608
§ C. Aksjomaty oddzielania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
§ D. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
§ E. Przestrzenie parazwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .615
§ F. Twierdzenia o zanurzaniu przestrzeni metrycznych oraz o przedłużaniu odwzorowań ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
Dodatek 2. ALGEBRY BANACHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
§ A. Podstawowe pojęcia i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
§ B. Widmo elementu w algebrze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
§ C. Charaktery algebr Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
Dodatek 3. CAŁKOWANIE W PRZESTRZENIACH HILBERTA . . . . . . . . 629
§ A.
Miara spektralna; twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
§ B. Konstrukcja miary w przestrzeniach Hilberta za pomocą funkcjonału charakterystycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
SKOROWIDZ NAZW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643