Algebra abstrakcyjna

Algebra i geometria
Zadania domowe z algebry abstrakcyjnej
1. W zbiorze liczb caªkowitych okre±lamy dziaªanie.
a ∗ b = a + b − 3.
(Dziaªania wyst¦puj¡ce po prawej stronie wzoru s¡ zwyklym dodawaniem i odejmowaniem.)
Czy zbiór liczb caªkowitych stanowi grup¦ wzgl¦dem tego dziaªania?
2. Czy zbiór liczb caªkowitych parzystych stanowi grup¦ wzgl¦dem zwykªego dodawania?
3. Zdeniujmy dziaªanie
a ◦ b = 3log3 a · log3 b ,
a, b ∈ R+ .
Sprawdzi¢, czy zbiór liczb rzeczywistych dodatnich wraz z dziaªaniem ◦ stanowi grup¦.
4. Rozpatrzmy grup¦ wszystkich liczb rzeczywistych róznych od zera wzgl¦dem mno»enia.
Czy tworzy podgrup¦:
√
(a) zbiór liczb postaci a+b 2, gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi, dla których a2 +b2 > 0?
(b) zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich?
√
5. Sprawdzi¢, czy zbiór liczb postaci x + y 2 : x, y ∈ Z ze zwykªym dodawaniem i mno»eniem stanowi pier±cie«.