I egzamin poprawkowy z matematyki dyskretnej M Id Zestaw A 06.09
Transkrypt
I egzamin poprawkowy z matematyki dyskretnej M Id Zestaw A 06.09
I egzamin poprawkowy z matematyki dyskretnej M Id Zestaw A 06.09.2010 5 Z. 1. Ile liczb spośród 1, 2, . . . , 10 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5, ani przez 7? Od wszystkich odejmujemy te, ktore dzielą się przez 2, lub przez 5, lub przez 7 i dalej z zasady włączaniawyłączania. Z. 2. Pewna cząsteczka porusza się w kierunku poziomym i w każdej sekundzie pokonuje odległość równą podwojonej odległości pokonanej w sekundzie poprzedzającej. Niech an oznacza pozycję cząteczki po n sekundach. Podać rekurencyjną zależność dla an , wiedząc, że a0 = 3, zaś a3 = 10. a0 = 3, a1 = a0 + x, a2 = a1 + 2x, a3 = a2 + 4x, czyli 10 = a3 = a0 + 7x, skąd x = 1. Rekurencyjna zależność może być: a0 = 3, a1 = 4, an = an−1 + 2(an−1 − an−2 ), n 2 (pozycja po n sekundach, to pozycja po n − 1 sekundach plus podwojona różnica pomiedzy sekundą n − 1 a n − 2). Może też być a0 = 3, an = an−1 + 2n−1 , n 1. 5 Z. 3. Korzystając z tożsamości rekurencyjnej obliczyć . 3 Tożsamość rekurencyjną (nie wzór jawny) należało stosować do momentu otrzymania liczb Stirlinga typu k k = 1 lub = 1. k 1 Z. 4. 8 kul białych, 4 czarne i 5 zielonych wkładamy do czterech ponumerowanych pudełek. Na ile sposobów możemy to zrobić, jeśli chcemy, aby w każdym pudełku była przynajmniej jedna kula biała? Najpierw wkładamy po jednej kuli białej 1 sposób Później do każdego pudełka (jest 4+4−1 - kule są jednakowe). 4+4−1 5+4−1 resztę kul białych wkładamy na kule czarne na , a zielone na sposobów. 4 sposobów, 4 5 5+4−1 4+4−1 Wszystkich możliwości jest więc 4+4−1 · · . 4 4 5 Z. 5. Ile razy musimy rzucić dwiema różnokolorowymi kostkami do gry, aby mieć pewność, że co najmniej 5 razy otrzymamy ten sam wynik? A jeśli kostki są takie same? Dla kul różnokolorowych wynik jest dwuelementowym ciągiem, dla jednakowych multizbiorem utworzonym ze zbioru 6-elementowego. Czyli wyników jest odpowiednio 62 i 6+2−1 . Musimy więc rzucić co najmniej 2 6+2−1 2 4 · 6 + 1 (odpowiednio 4 · + 1) razy. 2 Z. 6. Mamy talię 52 kart. Na ile sposobów można wylosować dwie z nich kolejno tak, aby a) pierwszą kartą był król, a drugą nie była dziesiątka, 4 · 47 – króla wybieramy jednego z czterech, a z pozostałych 51 kart odrzucamy 4 dziesiątki i wybieramy drugą kartę b) pierwszą była karta koloru pik, a drugą nie była dziesiątka? 1 · 48 + 12 · 47 – pierwszą wybieramy albo 10 pik i wtedy odrzucamy jeszcze 3 dziesiątki i wybieramy drugą albo innego pika i wtedy odrzucamy 4 dziesiątki i wybieramy drugą. Z. 7. Na ile sposobów możemy ustawić 8 jednakowych wież na szachownicy tak, aby każda stała w innym wierszu i innej kolumnie? A jeśli są trzy wieże białe i pięć czarnych? W pierwszym wierszu wybieramy kolumnę na 8 sposobów, w drugim na 7, itd., czyli jest 8! mozliwości (tyle ile bijekcji ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} na zbiór {a, b, c, d, e, f, g, h}). Gdy mamy trzy wieże białe, musimy z tych miejsc wybrać trzy, na których je postawimy (oczywiście na pozostałych 5 stawiamy czarne). Wtedy jest 8! · 83 . jnk n − 1 Z. 8. Wykazać, że dla każdego n ∈ N. 2 2 Wystarczy rozważyć n parzyste i nieparzyste. Z. 9. Do turnieju szachowego zgłosiło się 30 graczy. Turniej będzie rozgrywany systemem każdy z każdym. Ile bedzie rozegranych partii? A na ile sposobów można turniej rozpocząć? (Zakładamy, że na początku rozgrywa się równolegle możliwie największą liczbę partii.) Tyle będzie partii, ile możemy utworzyć par wśród zawodników, czyli 30 2 . Tyle bedzie sposobów rozpoczęcia turnieju, ma ile zbiór 30 zawodników możemy podzielić (równocześnie) na pary nieuporządkowane, czyli 30 30! 2,2,...,215! = (2!)2 15! Z. 10. Na parterze dziesięciopiętrowego wieżowca wsiadło do windy jadącej na ostatnie piętro 8 osób. Na ile sposobów mogą oni opuścić windę? A jeśli każda z osób wysiada na innym piętrze? Gdy osoby mają zupełną dowolność, to każda z osób ma do wyboru 10 pięter, czyli możliwości jest 108 . Gdy każda musi wysiąść na innym piętrze, to pierwsza ma 10 pięter do wyboru, druga 9, itd., ósma 3, czyli 10! możliwości jest 10 · 9 · · · · · 3 = (10−2)! . Część teoretyczna: P. 1. Podać definicję i przykład ciągu określonego rekurencyjnie. P. 2. Podać zasadę szufladkową i przykład jej zastosowania. P. 3. Co to jest współczynnik dwumianowy? Podać jego wartość liczbową i interpretację kombinatoryczną. P. 4. Co to jest permutacja? Ile możemy utworzyć permutacji w zbiorze n-elementowym? P. 5. Niech X i Y będą zbiorami takimi, że |X| = n and |Y | = m. Ile jest funkcji różnowartościowych odwzorowujących X w Y ? A ile jest funkcji „na”?