Zestaw zadań z Programowania liniowego Opracował: dr Adam

Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Zadanie 1
Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym.
Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W
procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w
kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela:
Stal
Drewno
Halabarda A
1
2
Halabarda B
2
1
Zapas [t]
20
18
Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na
każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek rudy, aby uzyskać
odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów
halabard do ościennych księstw. O ile przekroczone zostanie zużycie rudy?
Zadanie 2 (Jędrzejczyk, Kukuła)
Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł
za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny,
20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny,
10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej
48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność
przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.
Czy limit produkcji odpadów zostanie wykorzystany w całości?
Zadanie 3
Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch
rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie
odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży
wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5
tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50
dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy
tyle, co małych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych
cenach. Jaka ilość prętów stalowych pozostanie niewykorzystana?
Zadanie 4
Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do
wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został
wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania
Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników:
S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela:
Składnik
S1
S2
S3
Vitarevival
2
1
3
Komandirskaja
2
2
6
Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty zakupu.
Czy składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej, wymaganej ilości?
Zadanie 5
Warsztat rękodzielniczy przygotowuje na najbliższy kiermasz gliniane dzbany dwóch rodzajów: A i B.
Zysk ze sztuki A wynosi 60 a z 1 sztuki B 50 zł. Do wyrobu produktów używana jest glina, której zapas
wynosi 150 kg. Następnie dzbany malowane są farbą, której warsztat posiada 30 litrów. Jednostkowe
zużycie obu wymienionych surowców zawiera poniższa tabela:
1z5
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Produkt
Dzban A
Dzban B
Opracował: dr Adam Kucharski
Glina [kg/szt.]
1,5
2
Farba [l/szt.]
0,2
0,3
Należy się spodziewać, że dzbanów typu A sprzedanych zostanie co najmniej 20 sztuk.
Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży dzbanów (zakładamy, że cała
produkcja zostanie sprzedana). Czy zapas gliny zostanie wykorzystany w całości?
Zadanie 6
Kierownictwo firmy rozważa rozpoczęcie produkcji dwóch rodzajów (A i B) części do pralek. Przychód ze
sprzedaży liczony jest jako suma kosztów i marży w przeliczeniu na 1 sztukę produktu i nie powinien być
niższy niż 24 tys. zł. Części wytwarzane będą na maszynach, których limit nieprzerwanej pracy wynosi 10
godzin. Struktura zamówień ze strony odbiorców oznacza, że części A należy wyprodukować co najmniej
50 sztuk, zaś części B co najwyżej 120 sztuk. W poniższej tabeli znajdują się wartości kosztów, marży
oraz czasu wytwarzania w przeliczeniu na 1 sztukę danego wyrobu:
Rodzaj części
A
B
Koszt [zł/szt.]
80
90
Marża [zł/szt.]
20
30
Czas wytw. [min.]
3
2
Zbudować i rozwiązać liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalny przychód z produkcji. Czy
pozostanie rezerwa niewykorzystanego czasu pracy maszyn?
Zadanie 7
Dane jest następujące zadanie optymalizacyjne:
f (x) = 5x1 + 2x2 → max
3x1 + 3x2 6 18
x1 6 4
5x1 + 2x2 > 10
x1 > 0, x2 > 0
Znajdź rozwiązanie przy pomocy metody graficznej.
Zadanie 8
Dane jest następujące zadanie optymalizacyjne:
f (x) = 10x1 + 10x2 → min
2x1 + 3x2 6 60
x1 + 2x2 > 20
x2 > 10
x1 > 0, x2 > 0
Znajdź rozwiązanie przy pomocy metody graficznej.
Zadanie 9
Złotnik otrzymał zamówienie na produkcję biżuterii. Ma zamiar podzielić je na trzy rodzaje produktów:
kolie, brosze i kolczyki. Do produkcji zużywać będzie złoto, srebro i platynę. Limity (zamówienie jest
„na wczoraj” i nie ma czasu na uzupełnienie zapasów surowców) oraz wykorzystanie tychże surowców na
jedną sztukę wyrobu prezentuje tabela:
Złoto
Srebro
Platyna
Zużycie jednostkowe [g]
Kolia Brosza Kolczyki Limity [g]
3
2
3
15
2
1
2
20
2
0
4
30
2z5
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Jednostkowy zysk dla kolii wynosi 34 zł, dla broszy 20 zł, a dla kolczyków 50 zł. Złotnika interesuje
osiągnięcie jak najwyższego zysku z całego zamówienia.
B
c
Zmienne
bazowe
x3
s2
s3
x1
(kolie)
1
0
−2
x2
(brosze)
2/3
−1/3
−8/3
x3
(kolczyki)
s1
(złoto)
2/3
−2/3
−4/3
s2
(srebro)
s3
(platyna)
Wartości
zmiennych
bazowych
5
10
10
Mj
1. Uzupełnij powyższą tabelę.
2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy zapas srebra zostanie wykorzystany w całości?
4. Czy należy wyprodukować wszystkie rodzaje biżuterii?
Zadanie 10
Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego
krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210
zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść
obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki
i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela:
Herbata 1
30
15
Czas w komorze [min]
Zawartość garbnika [mg/100g]
Herbata 2
60
14
Herbata 3
60
20
Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance
znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający
minimum kosztów.
cB
Zmienne
bazowe
s1
s2
x3
Mj
x1
x2
25
−0,25
0,75
0
0,3
0,7
x3
s1
(koszt)
s2
(czas, h)
s3
(garbnik)
15
0,05
−0, 05
t3
Wartości
zmiennych
bazowych
2750
182,5
17,5
1. Uzupełnij powyższą tabelę.
2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy należy kupić wszystkie gatunki herbaty?
4. Czy faktycznie poniesione koszty zakupu będą niższe od zakładanych o 2750 zł?
Zadanie 11
Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy,
że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji
pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce
U1 i U2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży, czasu pracy i zużycia
surowców podaje tabela:
3z5
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Produkt
A
B
C
Koszt (zł )
11
8
15
Opracował: dr Adam Kucharski
Marża (zł )
3
2
2
U1 (kg)
8
2
5
U2 (l )
5
5
5
Czas (min)
5
10
6
Zapas surowca U1 wynosi 3,4 t zaś U2: 20 hl. Dostępny limit czasu dla maszyn wynosi 50 godzin nieprzerwanej pracy.
x1
(A)
3
1
−1
Zmienne
bazowe
s1
x3
s3
cB
x2
(B)
−3
1
4
x3
(C)
s1
(U1)
s2
(U2)
−1
0,2
−1,2
s3
(czas)
Wartości
zmiennych
bazowych
1400
400
600
Mj
1. Uzupełnij powyższą tabelę.
2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy wykorzystane zostanie 2000 kg surowca U1?
4. Czy dostępny czas pracy będzie wykorzystany w całości?
Zadanie 12
Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m2 , druga 550 m2 a trzecia
530 m2 . Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m2 terenu. Negocjacje prowadzono oddzielnie
z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1 m2 wynoszące dla odpowiednich działek: 200,
180, 170 zł, przy czym możliwe jest wykupienie po tej cenie tylko części danej działki. Opracować plan
wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu był jak najmniejszy.
cB
Zmienne
bazowe
x2
s2
s3
x3
Mj
x1
x2
x3
1
1
−1
0
s1
(łącznie)
−1
0
1
0
s2
(dz. 1)
s3
(dz. 2)
s4
(dz. 3)
−1
0
1
1
t1
Wartości
zmiennych
bazowych
510
80
530
174 700
1. Uzupełnij powyższą tabelę.
2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy konieczny jest zakup wszystkich działek?
4. Czy zostanie wykupione 480 m2 działki 2?
Zadanie 13
Zakład mechaniczny „MECHANIK” otrzymał zamówienia na wykonanie kół zębatych, drążków sterowniczych, kół zamachowych. Zakład ten składa się z trzech oddziałów: frezarni, tokarni, montowni. Czas
(w godzinach) potrzebny tym działom na wykonanie poszczególnych wyrobów zawiera tabela:
Frezarnia
Tokarnia
Montownia
Koła zębate
1
2
1
Drążki sterownicze
5
2
1
4z5
Koła zamachowe
4
3
2
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Maksymalny czas pracy dla oddziałów to: 200 godzin dla frezarni i tokarni i 300 godzin dla montowni.
Wiedząc, że jednostkowy zysk na kołach zębatych wynosi 10 zł, na drążkach 20zł, a na kołach zamachowych 18 zł należy wyznaczyć taki plan produkcji, aby zysk osiągany przez warsztat był maksymalny.
Zmienne
bazowe
B
c
x1
(zębate)
x1
x2
(drążki)
1
0
0
x3
(zamach.)
5/8
7/8
1/2
s1
(frez.)
1/4
−1/4
0
s2
(tok.)
−1/8
5/8
−1/2
s3
(mont.)
0
0
1
Wartości
zmiennych
bazowych
25
Mj
200
1250
1. Uzupełnij powyższą tabelę.
2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy czas pracy montowni zostanie wykorzystany w całości?
4. Czy któraś z części nie powinna być produkowana?
Zadanie 14
Poniżej znajduje się model decyzyjny dla pewnego zadania optymalizacyjnego:
XA – liczba zamontowanych elementów typu A [szt.]
XB – liczba zamontowanych elementów typu B [szt.]
f (x) = 5XA + 6XB → min
(czas montażu [sek.])
5XA + 6XB 6 28800
XA > 1000
XA − 2XB > 0
0,1XA + 0,15XB 6 100
XA > 0, XB > 0
(czas montażu [sek.])
(wielkość produkcji A [szt.])
(proporcja A do B [szt.])
(zużycie wody [l])
cB
Zmienne
bazowe
s1
XA
XA
XB
s1
(czas)
6
0
2
0,15
s2
(prod.)
5
−1
−1
0,1
s3
(propor.)
0
0
1
0
s4
(woda)
0
0
0
1
Mj
t2
t3
5-M
M
1. Uzupełnij powyższą tabelę.
2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy należy montować obie części?
4. Czy woda zostanie zużyta w maksymalnej dopuszczalnej ilości?
5z5
Wartości
zmiennych
bazowych
23800
1000
1000
0