as_5.

1
Rozdział 5
5.1. Podstawowe pojęcia filtracji
W poprzednim rozdziale podane zostały definicje przekształcenia
Fouriera, przy pomocy którego możliwe jest uzyskanie charakterystyki
widmowej sygnału. Wynikiem przekształcenia całkowego Fouriera jest widmo
amplitudowe lub widmo gęstości mocy (Rys. 5.1) będące ciągłą funkcją
częstotliwości o nieskończenie małej rozdzielczości widmowej df.
Gx( f )
f0
f
Rys. 5.1. Przykładowe widmo gęstości mocy.
W
praktyce
wyznaczanie
funkcji
widmowych
z
nieskończenie
małą
rozdzielczością df nie jest możliwe i musimy wówczas aproksymować podany
tutaj ciągły rozkład G(f ) przebiegiem „schodkowym” o szerokości pasma ∆f
(Rys. 5.1). Urządzeniem (lub algorytmem), które umożliwia uzyskanie
informacji o wartości funkcji G(f ) w paśmie o skończonej szerokości ∆f jest
filtr, którego działanie przedstawiono schematycznie na rys. 5.2. Sygnał
wejściowy x(t) „przepuszczany” jest przez filtr pasmowy, na wyjściu z którego
otrzymujemy sygnał zawierający składowe harmoniczne z przedziału będącego
szerokością pasma ∆f o częstotliwości środkowej fo. Jeżeli wyjście filtru
2
połączone zostanie z miernikiem mocy sygnału (Rys. 5.2.), wówczas dla danego
pasma częstotliwości otrzymamy moc sygnału A2( f ).
miernik mocy sygnału
filtr
(f0, f)
x( t )
x( t )
miernik
kwadrator
mocy
sygnału
integrator
x(2 t )
A(2 f )
1/T
t
t
t
f
T
f0
f
Rys. 5.2. Schemat praktycznej realizacji procesu filtracji.
Filtr ten przenosi zatem bez zniekształceń składowe harmoniczne znajdujące się
w paśmie przenoszenia o szerokości ∆f i częstotliwości środkowej fo i tłumi
całkowicie wszystkie pozostałe składowe harmoniczne.
Filtr traktować można zatem jako „czarną skrzynkę”, która przekształca
sygnał wejściowy x( t ) w inny sygnał y( t ) jak pokazano na rysunku 5.3:
x( t )
y( t )
Filtr
h( t )
Rys. 5.3. Proces filtracji w dziedzinie czasu.
Oznacza to, że filtr ma pewną charakterystykę czasową h( t ) , która spełniać
musi następujące warunki
+∞
∫− ∞ h( t ) dt < ∞
h( t ) = 0
dla
x( t ) = 0
(5.1)
(5.2)
3
Warunek (5.1) oznacza, że odpowiedź impulsowo pobudzonego filtru musi być
ograniczona w czasie, podczas gdy zależność (5.2) wymaga aby filtr dawał
niezerową odpowiedź jedynie w przypadku pobudzenia. Filtr taki nazywany jest
stabilnym, tzn. przy braku pobudzenia pozostaje on w spoczynku a odpowiedź
na pobudzenie zanika z czasem. Charakterystyka czasowa h( t ) określa w jaki
sposób odbywać się będzie przekształcenie (filtracja) sygnału wejściowego w
wyjściowy. W teorii sygnałów takie przekształcenie zapisuje się w postaci
funkcji splotu:
y( t ) = h( t ) ∗ x( t )
(5.3)
gdzie symbol (∗) oznacza operator splotu.
Dla wyjaśnienia działania filtru konieczna jest zatem znajomość zarówno
kształtu funkcji h( t ) jak i sposobu wykonywania operacji splotu. Przed
wyjaśnieniem tych dwóch istotnych zagadnień konieczne jest jednak ważne
zastrzeżenie, że opis ten będzie słuszny tylko dla pewnej klasy filtrów,
nazywanych liniowymi. Mimo, iż rozpatrywany przez nas filtr ma tylko jedno
wejście (tzn. przebieg x( t ) ) to definicję liniowości łatwiej będzie wyjaśnić na
przykładzie układu z wieloma wejściami xi ( t ) , które wpływają na wartość
chwilowej odpowiedzi y( t ) :
x1( t )
x2( t )
x3( t )
układ liniowy
y( t )
xn( t )
Rys. 5.4. Interpretacja sygnału wejściowego x(t) jako liniowej sumy sygnałów składowych
na wejściu do filtru liniowego.
Jeżeli rozpatrywany układ jest liniowy wówczas jego odpowiedź związana jest z
funkcjami wymuszenia następującym równaniem różniczkowym:
4
di y
d i −1 y
dy
a
a
+
+
K
+
+ a0 y =
−
1
i
1
dt
dt i
dt i − 1
d j x1
d j − 1 x1
dx1
b
b
= bj
+
+
K
+
+ b0 x1 +
−
j
1
1
dt
dt j
dt j − 1
d k x2
d k − 1 x2
dx2
c
c
+ ck
+
+
K
+
+ c0 x2 +
−
k
1
1
dt
dt k
dt k − 1
+K
ai
(5.4)
Równanie (5.4) jest liniowe gdyż zachodzą następujące związki między
cząstkowymi wymuszeniami i odpowiedziami układu:
a0 y = b0 x1 + c0 x2 + K
a1
dy
dx
dx
= b1 1 + c1 2 + K
dt
dt
dt
co oznacza, że sumaryczna odpowiedź układu
di y
y ( t ) = ∑ ai i
dt
i
jest liniową superpozycją odpowiedzi układu na cząstkowe wymuszenia:
d j x1
d j x2
∑ b j dt j + ∑ c j dt j + K
j
j
5.2. Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie impulsowe
Dla wyznaczenia odpowiedzi h( t ) dowolnego układu (mechanicznego,
elektrycznego itp.) stosuje się zazwyczaj jedną z dwóch metod:
• wymuszenie skokiem jednostkowym, tzn. na wejściu filtru z rys. 5.3.
wymusza się zmienną wartość x( t ) = w( t ) jak na rys. 5.5a i wówczas na
wyjściu (Rys. 5.5b) otrzymujemy sygnał y (t ) = g (t ) nazywany odpowiedzią
przejściową (transient response)
• wymuszenie impulsem jednostkowym, tzn. na wejściu filtru z rys. 5.3
wymusza się impuls δ ( t ) spełniającym warunek
+∞
∫− ∞ δ ( t )dt = 1
(5.5)
5
a)
b)
y( t )
x( t )
x( t ) = w ( t )
y( t ) = g ( t )
1
1
0
t
0
t
Rys. 5.5. Odpowiedź filtru liniowego na skok jednostkowy.
Jeżeli czas trwania takiego impulsu, pokazanego na rys. 5.6a byłby
nieskończenie krótki (delta Diraca) wówczas dla spełnienia warunku (5.5)
amplituda δ ( t ) musiałaby dążyć do nieskończoności, co rzecz jasna byłoby
niemożliwe do realizacji. W praktyce czas trwania takiego impulsu jest
skończony i wówczas przebieg na wejściu opisany jest związkiem:
x( t ) = C ⋅ δ ( t )
(5.6)
w którym stała C ma wymiar [x / δ ] a jej wartość winna być dobrana tak, aby
spełniony był warunek (5.5). Jeżeli C = 1 , wówczas na wejściu mamy deltę
Diraca (rys. 5.6a), zaś na wyjściu otrzymujemy odpowiedź nazywaną funkcją
wagi (impulse response) oznaczoną jako h( t ) na rys. 5.6b
a)
b)
y( t )
x( t )
δ(t)
y( t ) = h ( t )
t
Rys. 5.6. Odpowiedź filtru liniowego na wymuszenie jednostkowe.
t
6
Funkcje wejścia w( t ) i δ ( t ) (patrz rys. 5.5a i 5.6a) są ze sobą związane
następującą zależnością:
δ (t ) =
d
w( t )
dt
i dla filtrów liniowych (w których nie ma znaczenia czy różniczkujemy wejście
czy też wyjście np. y& = a ⋅ x& ) funkcje odpowiedzi związane są wzorem:
+∞
g ( t ) = ∫ h( t )dt
−∞
(5.7)
5.3. Charakterystyka filtru w dziedzinie czasu
Dla naszych celów bardziej odpowiednie będzie przyjęcie, że dla filtru z
rys. 5.3 wyznaczyliśmy funkcję wagi h( t ) gdyż każdy sygnał ciągły x( t )
możemy wówczas uważać za szereg impulsów o szerokości ∆Θ jak pokazano
na rys. 5.7a. Amplituda tych impulsów będzie się zmieniać wraz ze zmianami
wartości sygnału x( t ) w kolejnych chwilach odpowiadających rozłożeniu
(dyskretyzacji) sygnału wejściowego x( t ) na poszczególne „paczki energii” czy
też impulsy x( Θ ) ⋅ dΘ . „Paczki” te możemy uważać za tzw. ważone impulsy
jednostkowe (delty Diraca)
x( t ) ⋅ δ ( t )
tzn. takie, dla których wartość stałej C w zależności (5.7) równa jest
każdorazowo wartości funkcji dla danego t . Na rys. 5.7b pokazano w jaki
sposób filtr o funkcji wagi h( t ) odpowiada na kolejne wymuszenia podawane
na wejście filtru.
Jak zobrazowano na rys. 5.7b, pierwszy pokazany tu impuls powstający po
chwili dΘ zostanie przekształcony w funkcję wagi h( t − dΘ ) , która po
przeskalowaniu proporcjonalnym do amplitudy sygnału wejściowego:
h(t − dΘ ) ⋅ x(dΘ )
7
x(t)
t
t
h(t - dΘ) x(dΘ)
Θ
dΘ
h(t - 2dΘ) x(2dΘ)
dΘ
Θ
h(t - Θ) x(Θ)
Θ
Θ
y(t)
y(t)
h(t - dΘ) x(dΘ)
h(t - 2dΘ) x(2dΘ)
h(t - Θ) x(Θ)
t
t
Rys. 5.7. Interpretacja odpowiedzi filtru na ciągły sygnał wejściowy: a) przebieg sygnału
wejściowego, b) odpowiedzi filtru na kolejne impulsy wejściowe, c) odpowiedź
filtru na sygnał wejściowy w chwili czasu t jako suma odpowiedzi na kolejne
impulsy wejściowe będące składowymi sygnału x(t).
8
wniesie wkład określony powyższą zależnością do odpowiedzi y( t ) opóźnionej
o ( t − dΘ ) . Dowolny impuls w chwili Θ (zaznaczony na rys. 5.7a jako
zakreskowane pole) wnosi do odpowiedzi filtru udział
h(t − Θ ) ⋅ x(Θ )
Odpowiedź filtru w dowolnej chwili t będzie sumą odpowiedzi na
kolejne wymuszenia, tzn. filtr ten jest układem liniowym dla którego
obowiązują reguły sformułowane wcześniej w rozdz. 5.1. Rolę poszczególnych
wejść xi ( t ) z rys. 5.7a pełnią w tym przypadku kolejne impulsy x( t ) ⋅ δ ( t ) ,
które dla stacjonarnego wymuszenia będą podawane jednocześnie na wejście
filtru (patrz rys. 5.8).
x( t )δ ( t )
x( t − dΘ )δ ( t − dΘ )
filtr liniowy
y( t )
x( t − ndΘ )δ ( t − ndΘ )
Rys. 5.8 Schemat sumowania odpowiedzi na kolejne wymuszenia impulsowe w filtrze
liniowym.
Sumując zatem odpowiedzi pochodzące od wszystkich impulsów składających
się na „historię” sygnału od chwili t do t = −∞ otrzymujemy wyrażenie na
funkcję odpowiedzi:
t
y( t ) = ∫ h( t − Θ ) x( Θ )dΘ
−∞
(5.8)
przy czym procedura dodawania elementów odpowiedzi filtru została
zilustrowana na rys. 5.6c. Warto tu zauważyć, że funkcja odpowiedzi filtru musi
spełniać warunki stabilności (5.1) i (5.2) przy czy w odróżnieniu od
transformaty Fouriera sygnał wejściowy nie musi natomiast spełniać warunku
(4.21). Funkcje wagi h( t − Θ ) mogą być uznane za odpowiedzi na impuls
jednostkowy podawany na wejście filtru poczynając od chwili t = −∞ do
9
( t − Θ ) = 0 tzn. t = Θ . Jeżeli ( t − Θ ) < 0 , czemu odpowiada Θ > t , wówczas
odpowiedź filtru musi być równa:
h(t − Θ ) = 0
gdyż filtr odpowiada jedynie na impulsy podawane na wejście przed chwilą
obserwacji. Oznacza to, że w wyrażeniu określającym odpowiedź filtru (5.8)
zmienić można granice całkowania
+∞
y( t ) = ∫ h( t − Θ ) x( Θ )dΘ
(5.9)
−∞
Podstawiając nową zmienną
τ = t −Θ
którą uważać możemy za opóźnienie czasowe między wystąpieniem impulsu i
czasem dla którego obliczamy odpowiedzi filtru musimy zmienić granice
całkowania
Θ = −∞ → τ = ∞
Θ =t → τ =0
oraz wprowadzając następujący związek
dτ = − dΘ
Funkcję odpowiedzi (5.9) można teraz przekształcić do postaci
∫
0
y (t ) = h(τ ) x(t − τ )(− dτ )
∞
lub
∫
∞
y (t ) = h(τ ) x(t − τ )dτ
0
(5.10)
Ponieważ zmienną τ interpretujemy jako opóźnienie między pobudzeniem i
odpowiedzią, stąd też dla τ < 0 funkcja wagi ma wartość
h( τ ) = 0
gdyż filtr daje zerową odpowiedź bez pobudzenia wyjścia (patrz rys. 5.7a i wzór
(5.2)). Oznacza to, że możemy po raz kolejny zmienić granice całkowania i
10
przekształcić wzór (5.10), otrzymując najczęściej spotykaną w podręcznikach
zależność opisującą odpowiedź filtru:
∫
+∞
y (t ) = h(t ) ∗ x(t ) = h(τ ) x(t − τ )dτ
(5.11)
−∞
nazywaną zazwyczaj „całką splotu”.
Jeżeli sygnały x( t ) oraz y( t ) są przebiegami ciągłymi (analogowymi),
wówczas także i charakterystyka czasowa h( t ) filtru musi być funkcją ciągła
filtr taki nazywany jest analogowym.
Wyjaśnienia powyższe pokazują zatem sposób w jaki można określić
charakterystykę czasową h( t ) (tzw. funkcję wagi) oraz algorytm obliczeń
splotu odpowiedzi filtru z sygnałem wejściowym co w efekcie pozwala dla
zadanego wymuszenia x( t ) wyliczyć funkcję odpowiedzi filtru y( t ) czyli
całkę splotu (5.11). W ten sposób możemy otrzymać pełny opis zachowania
filtru, który nosi nazwę „opisu w dziedzinie czasu”.
5.4. Odpowiedź
filtru
na
wymuszenie
harmoniczne,
charakterystyka częstotliwościowa filtru
Wyznaczenie charakterystyk filtru przeprowadzić można również poprzez
badanie jego odpowiedzi na stacjonarne wymuszenie harmoniczne.
x( t )
x( t ) = xo sin( 2π f t )
filtr liniowy
y( t )
y ( t ) = y o sin( 2π f t - Φ )
Rys. 5.9. Schemat wyznaczania charakterystyki częstotliwościowej filtru.
Jeżeli na wejście filtru liniowego podany zostanie sygnał harmoniczny o stałej
amplitudzie x0 i częstotliwości f (rys. 5.9)
x = x0 sin( 2πft )
(5.12)
11
wówczas na wyjściu otrzymamy sygnał y( t ) o tej samej częstotliwości, lecz
innej amplitudzie y0 i kącie przesunięcia fazowego Φ względem sygnału
wejściowego*
y( t ) = y0 sin( 2πft − Φ )
Stosunek amplitud
x0
y0
(5.13)
oraz wartość kąta Φ stanowi kompletną informację o
charakterystyce przenoszenia filtru dla danej częstotliwości. Zmieniając
częstotliwość sygnału z odpowiednio dobranym krokiem w całym interesującym
nas
zakresie
częstotliwości
otrzymujemy
kompletną
charakterystykę
przenoszenia filtru, składającą się z dwóch cząstkowych zestawów informacji:
• charakterystyki wzmocnienia
y 
A( f ) =  0 
 x0  f = var
(5.14)
Φ ( f ) = (Φ ) f = var
(5.15)
• charakterystyki fazowej
Obie powyższe charakterystyki nazywane są opisem zachowania filtru w
dziedzinie częstotliwości lub krócej charakterystykami częstotliwościowymi
filtru. Charakterystyki tego samego układu wyrażone w dziedzinach czasu i
częstotliwości nie są rzecz jasna od siebie niezależne, gdyż wiąże je ze sobą
transformata Fouriera, przy czym dotyczy to również funkcji wymuszenia i
odpowiedzi tzn.:
+∞
y( t ) ⋅ e − i 2πft dt
(5.16)
x( t ) ⋅ e − i 2πft dt
(5.17)
H ( f ) = ∫ h( t ) ⋅ e − i 2πft dt
(5.18)
Y( f ) = ∫
−∞
X( f ) = ∫
+∞
−∞
+∞
−∞
*
powód dla którego wprowadzono tutaj ujemny znak przesunięcia fazowego jest wyjaśniony w dyskusji wzoru
(5.24)
12
Warto przypomnieć, że istnienie powyższych zależności jest możliwe dzięki
spełnieniu następujących warunków:
• dla wymuszenia impulsowego x( t ) = δ ( t ) zachodzi związek:
+∞
∫− ∞ x( t ) dt < ∞
(5.19)
• z warunków stabilności filtru liniowego (zależność (5.1) oraz (5.2))
wynika prawdziwość następujących związków:
+∞
∫− ∞ h( t ) dt < ∞
+∞
∫− ∞ y( t ) dt < ∞
(5.1)
(5.20)
5.5. Transmitancja filtru
Przypomnijmy, że w dziedzinie czasu zachowanie filtru liniowego opisuje
funkcja splotu
y( t ) = h( t ) ∗ x( t )
(5.3)
natomiast sposób obliczania tejże funkcji określa całka splotu
+∞
y( t ) = h( t ) ∗ x( t ) = ∫ h( τ ) x( t − τ )dτ
−∞
(5.11)
Dla potrzeb dalszej analizy wykorzystamy tutaj inną postać całki splotu
+∞
y( t ) = ∫ h( t − Θ )x( Θ )dΘ
−∞
która po podstawieniu do (5.16) daje:
+∞
+∞
Y ( f ) = ∫  ∫ h( t − Θ ) x( Θ )dΘ  ⋅ e − i 2πft dt

−∞ 
 −∞
Zmiana kolejności całkowania pozwala z kolei zapisać:
+∞
x( Θ ) ∫ h( t − Θ )e − i 2πft dt  ⋅ dΘ
 − ∞

−∞
Y( f ) = ∫
+∞
a ponowne podstawienie:
τ = t −Θ
tzn. dτ = dt
(5.9)
13
daje:
+∞
x( Θ ) ∫ h( τ )e − i 2πf ( τ +Θ )dτ  ⋅ dΘ
 − ∞

−∞
Y( f ) = ∫
+∞
Odpowiednie uporządkowanie prawej strony pozwala zapisać:
+∞
+∞
Y ( f ) =  ∫ x( Θ )e − i 2πfΘ dΘ   ∫ h( τ )e − i 2πfτ dτ 
 − ∞
  − ∞

a podstawienie zależności (5.17) oraz (5.18) daje ostatecznie częstotliwościową
reprezentację funkcji splotu
Y ( f ) = H( f )⋅ X ( f )
(5.21)
przy czym przekształcenie to znane jest w literaturze jako „twierdzenie o
splocie” (Convolution Theorem). Prawdziwość tego twierdzenia* można
udowodnić wychodząc z częstotliwościowej reprezentacji splotu (5.21) oraz
stosując odwrotną transformatę Fouriera i wówczas analogicznie jak w rozdziale
4 uzyskamy pary wyrażeń określających czasową i częstotliwościową
odpowiedź filtru na wymuszenie impulsowe:
h( t ) =
1
2π
+∞
∫− ∞ H ( f )e
i 2πft
df
+∞
H ( f ) = ∫ h( t )e − i 2πft dt
−∞
(5.22)
(5.18)
Funkcja H ( f ) nazywana jest transmitancją filtru, która zawiera w sobie
informacje zarówno o charakterystyce częstotliwościowej jak i fazowej, gdyż
jako funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej f może ona być przekształcona do
postaci
A( f ) = H ( f ) =
{Re[H ( f )]}2 + {Im[H ( f )]}2
Φ ( f ) = arc tg
Im[H(f)]
Re[H(f)]
(5.23)
(5.24)
gdzie (5.23) jest charakterystyką wzmocnienia zaś (5.24) charakterystyką
fazową filtru. Porównując zależności (5.24) oraz (5.13) należy zauważyć, że
*
ścisły dowód tego twierdzenia znaleźć można w książce D. E. Newlanda „Random vibrations, spectral and
wavelet analysis”
14
przyjęto tutaj poprzednio sformułowaną konwencję, iż ujemne przesunięcie
fazowe na osi czasu (opóźnienie odpowiedzi) odpowiada dodatniemu
nachyleniu linii charakterystyki fazowej.
Reprezentacja częstotliwościowa operacji splotu jest bardzo wygodna w
praktyce, gdyż proste przemnożenie prążków widma
X( f )
sygnału
wejściowego przez odpowiednie składowe częstotliwościowe transmitancji
H ( f ) pozwala uzyskać widmo odpowiedzi. Odpowiadająca temu zabiegowi w
dziedzinie czasu funkcja splotu ma znacznie bardziej złożoną postać, ale także i
ona ma swój obszar zastosowań. Jeżeli bowiem chcielibyśmy uzyskać funkcję
odpowiedzi czasowej y( t ) z reprezentacji częstotliwościowej:
Y ( f ) = H( f )⋅ X ( f )
(5.21)
wówczas po podstawieniu transformaty Fouriera funkcji wymuszenia
X( f ) = ∫
+∞
−∞
x( t ) ⋅ e − i 2πft dt
(5.17)
i wykonaniu odwrotnego przekształcenia Fouriera otrzymalibyśmy zależność:
+∞
+∞
y( t ) = ∫ H ( f ) ∫ x( t )e − i 2πft dt  ⋅ ei 2πft df
 − ∞

−∞
(5.25)
Postać ta, chociaż jest formalnym rozwiązaniem określającym sygnał wyjściowy
z filtru jest jednak niewygodna w praktycznych obliczeniach i dlatego też
obliczenia
odpowiedzi
czasowej
filtru
wykonuje
się
zazwyczaj
z
wykorzystaniem funkcji wagi h( t ) i całki splotu (5.11).
5.6.
Pasmo odpowiedzi filtru
Bardzo istotnym parametrem filtru jest szerokość pasma, przy czym
mamy tu wybór pomiędzy filtrem o stałej szerokości pasma (∆f = const) a
filtrem o stałej względnej (procentowej) szerokości pasma (∆f / f0 = const). Filtr
o stałej szerokości pasma daje jednolitą rozdzielczość na liniowej skali
częstotliwości, dzięki czemu zachowane są stałe odległości pomiędzy
15
poszczególnymi częstotliwościami środkowymi. Ten sposób ogranicza jednak
użyteczny zakres częstotliwości i dlatego stosuje się często filtry o stałej
względnej
szerokości
pasma,
która
dają
równomierną
rozdzielczość
częstotliwościową w skali logarytmicznej. Na podstawie rys. 5.10. można
zauważyć, że rozdzielczość jest większa dla niskich częstotliwości. Na rysunku
5.10 przedstawione są widma wyznaczone przy pomocy filtru o stałej szerokości
pasma (Rys. 5.10a) oraz przy pomocy filtru o stałej względnej szerokości pasma
(Rys. 5.10b)
a)
Gx( f )
b)
f
Gx( f )
f
Rys. 5.10. Schemat wzajemnych zależności między charakterystykami filtrów o stałej (a) i
stałej względnej (b) szerokości pasma.
Warto zwrócić uwagę na najczęściej stosowane w praktyce filtry o stałej
względnej szerokości pasma, tj. filtr oktawowy oraz filtr tercjowy, które znajdują
szczególne zastosowanie w pomiarach akustycznych. Filtr oktawowy cechuje
16
się tym, iż górna częstotliwość graniczna szerokości pasma jest zawsze dwa razy
większa od dolnej częstotliwości granicznej. Jeżeli przez fl oznaczymy dolną
częstotliwość graniczną (lower limiting frequency) a przez fu górną (upper
limiting frequency) możemy zapisać:
fu = 2 ⋅ fl
oraz
(5.26)
fu ⋅ fl = 2 ⋅ fl2 = 2 fl
fo =
Korzystając z zależności obowiązującej dla pasma o stałej względnej
szerokości:
∆f =
fu − fl
f
f
1
= l = l =
= 70 ,7%
fo
fo
2 fl
2
(5.27)
Łatwo zauważyć, że trzy dekady częstotliwości można objąć dziesięcioma
szerokościami pasma filtru oktawowego: od 22.5 Hz (dolna częstotliwość
graniczna pasma o częstotliwości środkowej 31.5 Hz) do 22.5 kHz (górna
częstotliwość graniczna pasma o częstotliwości środkowej 16 kHz. Filtr
tercjowy otrzymujemy poprzez podzielenie każdej oktawy zakresu na trzy
1
geometrycznie równe podobszary, zgodnie z zależnością f u = 2 3 ⋅ f l . Należy
zauważyć, iż wielkość ta jest równa jednej dziesiątej dekady, co łatwo wykazać:
( ) = 1 3 ⋅ log
log10 2
1
3
10
(2 ) = 1 3 ⋅ 0 ,3 = 0 ,1 = 110 ⋅ log10 (10 )
Postępując w sposób analogiczny jak w przypadku filtru oktawowego, określić
można procentową szerokość pasma filtrów tercjowych:
1
2 3 −1
2
1
6
= 23 ,1%
Charakterystyka częstotliwościowa filtru rzeczywistego różni się znacznie
od charakterystyki filtru idealnego, różnice pomiędzy tymi charakterystykami
zostały zobrazowane na rysunku 5.11. Szerokość pasma filtru rzeczywistego
zwana jest efektywną szerokością pasma i zdefiniowana jest jako szerokość
pasma filtru idealnego, który przenosiłby dokładnie tę samą moc z sygnału
będącego białym szumem.
17
1.0
3 dB
∆f
f
Rys. 5.11. Porównanie charakterystyki filtru idealnego i rzeczywistego.
Przy porównaniu charakterystyki filtru rzeczywistego oraz filtru idealnego na
podstawie rysunku 5.11, łatwo zauważyć, że spełnienie tego warunku jest
możliwe jeżeli pola pod krzywymi charakterystyk są równe dla obu filtrów.
Taka definicja pasma jest szczególnie użyteczna w przypadku analizy sygnałów
losowych, ponieważ oszacowanie widma mocy G(f) idealnego sygnału
losowego (tj. białego szumu) przy pomocy filtru rzeczywistego dałoby ten sam
wynik jaki uzyskalibyśmy przy pomocy filtru idealnego. Kolejną stosowaną w
praktyce miarą szerokości pasma filtru jest tzw. pasmo 3 dB, które określane jest
jako szerokość pasma filtru rzeczywistego mierzona 3 dB poniżej nominalnego
(jednostkowego) wzmocnienia. W przypadku mocy (amplituda2) 3 dB poniżej
wzmocnienia jednostkowego oznacza tłumienie o połowę. Miara ta może być
najbardziej użyteczna gdy analizujemy sygnały deterministyczne, ponieważ daje
ona informacje o tym jak dokładnie możemy odfiltrować składowe
harmoniczne. Zazwyczaj szerokość pasma 3 dB jest bliska bądź równa
efektywnej szerokości pasma a ponieważ wyznaczenie szerokości pasma 3 dB
jest łatwiejsze w praktyce, stąd też jest to miara częściej używana.
Szerokość pasma przenoszenia filtru jest miarą jego zdolności do
wydzielenia składowych widma o porównywalnych wartościach. Selektywność
18
jest cechą filtru wskazującą na jego zdolność do wyodrębnienia składowych o
znacznie różnych poziomach wartości. Najbardziej podstawowym parametrem
określającym selektywność filtru jest „współczynnik kształtu”, który jest
definiowany jako stosunek szerokości pasma filtru przy tłumieniu 60 dB do
szerokości pasma 3 dB. Dla filtrów o gorszych parametrach, tj. takich które nie
zapewniają tłumienia na poziomie 60 dB współczynnik kształtu definiowany
jest jako iloraz szerokości pasma przy tłumieniu 40 dB do szerokości pasma 3
dB. Współczynnik kształtu jest miarą używaną dla filtrów o stałej szerokości
pasma,
których
charakterystyka
jest
symetryczna
na
liniowej
skali
częstotliwości, ale może być stosowany bardziej ogólnie tj. dla filtrów o stałej
względnej szerokości pasma. Jednakże, dla filtrów o stałej względnej szerokości
pasma, których charakterystyki są symetryczne w logarytmicznej skali
częstotliwości, częściej używaną miarą jest tzw. „Selektywność Oktawowa”.
Określa ona tłumienie charakterystyki filtru jednej oktawy po każdej stronie
częstotliwości środkowej (Rys. 5.12)
B3
0
0
3 dB
20 dB
20 dB
Octave
Selectivity
B40
40 dB
40 dB
B60
60 dB
60 dB
f
1 Octave
1 Octave
f
Rys. 5.12. Ilustracja wyznaczania szerokości pasma przy różnych stopniach tłumienia filtru
do obliczania „współczynnika kształtu” pasma przenoszenia.
19
5.7. Praktyczna realizacja procesu filtracji
Na wstępie niniejszego rozdziału określiliśmy filtr jako urządzenie
fizyczne lub algorytm posiadający wejście i wyjście, który realizuje pewne
przekształcenie sygnału wejściowego w sygnał wyjściowy. Założyliśmy, że filtr
jest urządzeniem mającym za zadanie „wycinanie” pewnych pasm spektrum
sygnału w celu określenia energii przez nie przenoszonej. Taki typ filtrów
nazywany jest filtrem pasmowym. W ogólnym przypadku filtry projektuje się
jako filtry dolnoprzepustowe, tzn. takie których charakterystyka idealna
przedstawiona jest schematycznie na Rys. 5.13 a.
a)
b)
|H(f)|
|H(f)|
1
1
0
f
fg
0
c)
f
fu
f
d)
|H(f)|
|H(f)|
1
1
0
fg
fl
fu
f
0
fl
Rys. 5.13. Schematyczne charakterystyki filtrów idealnych: a) dolnoprzepustowego, b)
górnoprzepustowego,
c)
środkowoprzepustowego
(pasmowego),
d)
środkowozaporowego.
Filtr taki „przepuszcza” składowe harmoniczne sygnału o częstotliwości
mniejszej od częstotliwości granicznej f g . W zależności od potrzeb poprzez
odpowiednią transformację filtru dolnoprzepustowego skonstruować można filtr
górnoprzepustowy, środkowoprzepustowy (pasmowy) lub środkowozaporowy,
których charakterystyki przedstawione są odpowiednio na Rys. 5.13 b, 5.13 c,
20
5.13
d.
Filtr
górnoprzepustowy
przenosi
składowe
harmoniczne
o
częstotliwościach wyższych od częstotliwości granicznej f g , działanie filtru
pasmowego omówione zostało w rozdziale poprzednim, natomiast filtr
środkowozaporowy działa w odwrotny do filtru pasmowego sposób tzn., z
widma sygnału wycinane są składowe harmoniczne o częstotliwościach
zawartych pomiędzy granicznymi częstotliwościami f l i f u .
Wszystkie
z
wymienionych
powyżej
typów
filtrów
mogą
być
zrealizowane na kilka sposobów. Pierwszy z nich (schematycznie przedstawiony
na Rys. 5.14) przekształca sygnał ciągły, który podawany jest na wejście filtru w
taki sposób, że na wyjściu otrzymujemy również sygnał ciągły. Ten typ filtracji
nazywamy filtracją analogową, a urządzenie filtrem analogowym.
x(t)
y(t)
Rys. 5.14. Uproszczony schemat filtra analogowego.
Filtr analogowy jest rzeczywistym układem fizycznym, który wykonywany jest
przy pomocy elementów elektronicznych takich jak kondensatory, cewki,
rezystory. Kolejnym sposobem realizacji filtru jest filtr cyfrowy, który w
odróżnieniu od filtru analogowego nie jest układem fizycznym a algorytmem
(schematycznie proces filtracji przedstawiono na Rys. 5.15).
x(t)
A/C
xi
Algorytm
filtracji
cyfrowej
yi
C/A
y(t)
Rys. 5.15. Uproszczony schemat filtru cyfrowego.
Na wejście filtru podawany jest sygnał ciągły, który w przetworniku A/C
przekształcany jest w dyskretny ciąg danych liczbowych. Ciąg ten przy pomocy
21
odpowiedniego algorytmu zostaje przekształcony w ciąg danych wyjściowych,
który poprzez przekształcenie C/A może znów zostać przetransformowany w
sygnał ciągły, podobnie jak to miało miejsce w przypadku filtracji analogowej.
Proces filtracji cyfrowej realizowany jest zatem poprzez odpowiedni algorytm
(program), który zazwyczaj utożsamia się z filtrem cyfrowym.
Ostatnim sposobem realizacji filtrów są metody hybrydowe łączące w sobie
cechy obu wymienionych wcześniej metod tj. filtracji analogowej i cyfrowej.
Szybki wzrost mocy obliczeniowej maszyn cyfrowych sprawił, iż filtracja
cyfrowa jest tańsza i łatwiejsza w realizacji, ponadto filtry cyfrowe mogą mieć
znacznie lepsze charakterystyki niż filtry analogowe, z tego też względu metoda
filtracji cyfrowej jest znacznie bardziej popularna. Z tego powodu w dalszej
części omawiać będziemy problematykę filtracji cyfrowej a jedynie przy
wyjaśnianiu niektórych pojęć odwoływać się będziemy do filtracji analogowej.
5.8. Filtracja cyfrowa
Jak wspomniano wcześniej filtracja cyfrowa jest operacją dokonywaną na
szeregu dyskretnych danych wejściowych, w której dane wyjściowe zależą od
szeregu wejściowego i charakterystyki filtru cyfrowego. Filtr cyfrowy jest
algorytmem, który może być stosowany do wygładzania sygnałów dyskretnych
zarówno w dziedzinie czasu jak również w dziedzinie częstotliwości oraz do
wyodrębniania interesujących pasm widma analizowanego sygnału dyskretnego.
Analogicznie do filtru analogowego (patrz rozdz. 5.3 oraz 5.4), filtr cyfrowy
może być opisywany zarówno przy pomocy charakterystyk czasowych oraz
charakterystyk częstotliwościowych.
Filtry cyfrowe można podzielić na dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe
oraz pasmowe i pod tym względem nie różnią się one od filtrów analogowych,
filtry cyfrowe mają jednak pewne właściwości, które nie są możliwe do
zrealizowania na drodze analogowej, gdyż filtry cyfrowe nie muszą być
realizowane fizycznie i nie podlegają ograniczeniom technik analogowych.
22
Najogólniej filtr cyfrowy opisać można równaniem różnicowym:
yl =
P
∑
bk yl − k +
k =1
M
∑h x
(5.28)
k l −k
k =1
w którym P i M są nieujemnymi liczbami całkowitymi a hk i bk są
współczynnikami rzeczywistymi. W przypadku gdy M = 0 równanie (6.1)
opisuje filtr autoregresyjny, natomiast w przypadku gdy P = 0 równanie (6.1)
opisuje filtr zwany filtrem bez pamięci lub filtrem nierekursywnym. W
przypadku gdy M ≠ 0 oraz P ≠ 0 filtr taki nazywany jest rekursywnym lub
filtrem z pamięcią.
5.9. Filtr cyfrowy nierekursywny
Zgodnie z warunkami omówionymi powyżej równanie (5.28) określa
równanie odpowiedzi cyfrowego filtru nierekursywnego gdy P = 0:
yl =
M
∑h x
(5.29)
k l −k
k =1
Łatwo zauważyć, że wyrażenie (5.29) jest dyskretnym odpowiednikiem
splotu określonego dla funkcji ciągłych równaniem (5.11). Filtr nierekursywny
określony jest poprzez stałe współczynniki wagowe hk, zaś proces filtracji przy
pomocy tego filtru sprowadza się do wyznaczenia sumy M wyrażeń postaci
hk xl − k dla każdej wartości sygnału wejściowego yl.
Amplituda
okres uśrednienia
hk
k
xl
t
l-k
Rys. 5.16. Filtracja jako obliczanie średniej ruchomej .
l
23
W filtracji analogowej realizujemy splot dwóch ciągłych funkcji, natomiast
cyfrowy filtr nierekursywny jest dyskretną realizacją splotu tzn. wartości splotu
wyznaczane są tylko w chwilach próbkowania. Przebieg wejściowy i
charakterystyka filtru dane są jako ciągi wartości na Rys. 5.16, wyznaczanie
kolejnych wartości yl można zinterpretować jako przesuwanie wykresu
współczynników wagowych hk wzdłuż osi czasu co oznacza, że proces filtracji
przy pomocy filtru nierekursywnego może być traktowany jako obliczanie
wartości średniej ruchomej. Warto zauważyć, iż w przeciwieństwie do
charakterystyk rzeczywistych układów fizycznych (tzn. filtrów analogowych),
charakterystyka filtru cyfrowego nie musi być równa zero dla t < 0 .
Charakterystyka częstotliwościowa nierekursywnego filtru cyfrowego
może być wyznaczona zgodnie z zależnością (5.21), jednak ze względu na
dyskretny charakter procesu wykorzystać tu należy dyskretną postać
transformaty Fouriera:
M
Y( f ) = X( f )
∑h e
k
− i 2πfT
(5.30)
k =−M
gdzie T jest okresem próbkowania. Charakterystyka częstotliwościowa filtru
określona jest wówczas zależnością:
M
Y( f )
H( f ) =
=
hk e − i 2πfT
X ( f ) k =−M
∑
(5.31)
ponieważ H ( f ) jest wielkością zespoloną, zatem:
H ( f ) = A( f ) cos Φ ( f ) + iA( f ) sin Φ ( f )
(5.32)
W zależności powyższej A( f ) oznacza wzmocnienie filtru, natomiast Φ ( f ) przesunięcie
fazowe.
Jeżeli
założymy
hk = h− k
dla
k = 0,K, M ,
częstotliwościowa odpowiedź filtru jest funkcją rzeczywistą daną związkiem:
H ( f ) = ho +
M
∑h
k
k =1
cos( fkT )
(5.33)
24
Powyższa zależność określa nierekursywny filtr cyfrowy o przesunięciu
fazowym równym zero. Jeżeli założymy hk = − h− k , H ( f ) staje się funkcją
urojoną i określa nierekursywny filtr sinusowy o przesunięciu fazowym
π
2
:
M
H( f )
= 2 hk sin( fkT )
i
k =1
∑
(5.34)
Filtry cyfrowe nierekursywne charakteryzują się zatem możliwością uzyskania
stałego lub zerowego przesunięcia fazowego, co bywa niekiedy cechą pożądaną.
5.10. Filtr cyfrowy rekursywny
Cyfrowe filtry nierekursywne charakteryzują się prostotą opisujących je
formuł, co stanowi ich niewątpliwą zaletę. Z drugiej jednak strony wymagają
one dużej liczby współczynników hk dla dobrego przybliżenia zadanej
charakterystyki amplitudowej, co zwiększa nakłady obliczeniowe oraz wymaga
dużych obszarów pamięci maszyny cyfrowej. Alternatywnym rozwiązaniem
może być zastosowanie filtrów rekursywnych, zmniejszających o rząd wielkości
czas obliczeń i wymagany obszar pamięci. Filtry rekursywne są jednak
układami o bardziej złożonej strukturze, gdyż ich sygnał wyjściowy stanowi
sumę
ważoną
elementów
sygnału
wejściowego
i
wyjściowego,
co
przedstawiono schematycznie na Rys. 5.17. Filtr rekursywny opisany jest
zależnością (5.28) dla M ≠ 0 oraz P ≠ 0, mimo iż formuła ta wydaje się bardziej
złożona, dla uzyskania żądanej charakterystyki potrzebna jest mniejsza liczba
współczynników. Dzięki małej liczbie współczynników filtry rekursywne
wymagają mniejszego nakładu obliczeniowego, co ma ogromne znaczenie przy
analizie sygnałów w czasie rzeczywistym.
Filtry rekursywne mają niezerową charakterystykę fazową, co nie ma istotnego
znaczenia w większości zastosowań, chociaż w pewnych przypadkach
25
xl
hk
yl
bP
b2
∆t
b1
∆t
y l-P
∆t
y l-2
y l-1
Rys. 5.17. Schemat blokowy prostego filtru rekurencyjnego.
niezerowa charakterystyka fazowa może znacznie zniekształcić filtrowany
przebieg.
Transmitancja liniowego filtru rekursywnego może być wyznaczona w sposób
identyczny jak dla filtru nierekursywnego:
M
H( f ) =
Y( f )
=
X( f )
∑h e
k
− i 2πfkT
k =0
P
1−
∑b e
k
(5.35)
− i 2πfkT
k =0
funkcja H ( f ) jest wymierną względem funkcji cos(kfT ) oraz sin( kfT ) .
Najprostszym przykładem filtru cyfrowego rekursywnego jest filtr
rekursywny pierwszego rzędu. Filtr tego typu opisany jest zależnością:
yl = αyl −1 +
M
∑h x
k l −k
= αyl −1 + g ( xl )
(5.36)
k =1
Transmitancję tak określonego filtru wyrazić można równaniem:
H( f ) =
G( f )
1 − αe − i 2πfT
(5.37)
Filtr cyfrowy nazywany jest stabilnym, wówczas gdy wszystkie pierwiastki
mianownika transmitancji filtru mają dodatnie części urojone.
Jako przykłady filtrów rekursywnych pierwszego rzędu rozpatrzone zostaną
filtry dolnoprzepustowe i górnoprzepustowe pierwszego rzędu.
26
Cyfrowy filtr rekursywny, dolnoprzepustowy pierwszego rzędu dany jest
równaniem:
yl = αyl −1 + (1 − α ) xl
(5.38)
tzn., za funkcję g ( xl ) w równaniu (5.36), podstawiono (1 − α ) xl . W tym
przypadku transmitancja filtru określona jest równaniem:
H( f ) =
1−α
1 − αe − i 2πfT
(5.39)
Podnosząc do kwadratu moduł transmitancji filtru:
(1 − α ) 2
H( f ) =
1 − 2α cos(2πfT ) + α 2
2
i wstawiając za f odpowiednio: 0 i
(5.40)
1
można określić wartości kwadratu
2T
modułu funkcji przejścia dla częstotliwości granicznych ( f = 0
oraz
f = 0.5 f p ):
2
1−α 
 1 
H

 =
1+α 
 2T 
2
H (0) = 1 oraz
2
Cyfrowy filtr rekursywny, górnoprzepustowy pierwszego rzędu określony
jest podobną do dolnoprzepustowego zależnością:
yl = βyl −1 + (1 + β ) xl
(5.41)
Funkcja przenoszenie dla tego filtru opisana jest równaniem:
H( f ) =
1+ β
1 − βe − i 2πfT
(5.42)
Na podstawie zależności (5.42) postępując w sposób analogiczny do opisanego
na przykładzie filtru dolnoprzepustowego, określić można wartości funkcji
przenoszenia dla częstotliwości granicznych, które wynoszą odpowiednio:
1+ β 
H ( 0) = 

−
β
1


2
2
2
oraz
 1 
H
 =1
 2T 
27
Na podstawie powyższych zależności wynika, iż moduł transmitancji osiąga
wartość maksymalną dla górnej częstotliwości granicznej, wynik ten jest
odwrotnym do uzyskanego poprzednio, czego należało się spodziewać
analizując filtr dolno i górnoprzepustowy.
Kolejną rozważaną grupą filtrów są cyfrowe filtry rekursywne drugiego
rzędu. Filtr taki w ogólnym przypadku dany zależnością:
yl = b1 yl −1 + b2 yl − 2 + g ( xl )
(5.43)
Funkcja przenoszenia filtru dana jest w tym przypadku zależnością:
H( f ) =
G( f )
1 − b1e
− b2 e − i 4πfT
(5.44)
− i 2πfT
Zagadnienie stabilności filtru drugiego rzędu jest nieco bardziej skomplikowane
aniżeli w przypadku filtru pierwszego rzędu i dotyczą one stałych wartości b1 i
b2 . Graficznie warunki stabilności przedstawione zostały na Rys. 5.18, na
którym wykreślony jest trójkąt przedstawiony w układzie b1 , b2 .
b 2 Zewnętrze trójkąta jest
Filtr stabilny,
współczynniki
rzeczywiste
-2
obszarem niestabilności
1
b2 = 1 - b 1
1
-1
Filtr stabilny,
współczynniki zespolone
b 21
b2 =
4
2
b1
-1
Rys. 5.18. Warunek stabilności filtru II rzędu jako funkcja współczynników b1 i b2.
Wartości współczynników b1 i b2 odpowiadające wnętrzu trójkąta określają
filtr stabilny, natomiast wartości odpowiadające obszarowi poza wnętrzem
trójkąta określają filtr niestabilny. Obszar wyznaczony przez wartości b1 i b2
odpowiadające brzegom trójkąta określają filtry na granicy stabilności.
28
Przyrównując do zera mianownik równania (5.44) i podstawiając z = ei 2πfT ,
otrzymujemy:
1 − b1 z −1 − b2 z −2 = 0
(5.45)
Mnożąc obustronnie przez z 2 uzyskujemy równanie (5.45) w postaci:
z 2 − b1 z − b2 = 0
(5.46)
Filtry stabilne drugiego rzędu podzielić można na dwie grupy, kryterium
podziału w tym przypadku są wartości pierwiastków równania (5.46). Jeżeli
wyróżnik
równania
(5.46)
b12 + 4b2 ≥ 0 ,
to
pierwiastki
są
liczbami
rzeczywistymi, natomiast w sytuacji gdy wyróżnik b12 + 4b2 < 0 , pierwiastki są
liczbami zespolonymi. Dla przykładu rozważymy przypadek, w którym
pierwiastki równania (5.46) są liczbami rzeczywistymi, wówczas podstawiając
odpowiednio za b1 = α + β , b2 = αβ równanie (5.43) przybiera postać:
yl = (α + β ) yl −1 + αβyl − 2 + g ( xl )
(5.47)
Transmitancja tak określonego filtru dana jest zależnością:
H( f ) =
G( f )
G( f )
=
− i 2πfT
− i 4πfT
− i 2πfT
1 − (α + β )e
− αβe
(1 − αe
)(1 − βe − i 2πfT )
(5.48)
Obydwa pierwiastki funkcji przenoszenia zapisać można równaniem:
 i
0 <α <1
 2πT ln α
fα = 
i

[ln α + iπ ] − 1 < α < 0
 2πT
(5.49)
Dla dodatnich wartości parametru α równania (5.47) i (5.48) określają filtr
dolnoprzepustowy, dla ujemnych α
filtr górnoprzepustowy. W wyniku
kombinacji dodatnich i ujemnych wartości parametrów α i β można uzyskać
filtry mieszane.
Filtry cyfrowe wyższych rzędów realizuje się jako szeregowe, równoległe
lub mieszane, najbardziej interesującym jest filtr mieszany, którego równanie
ma postać:
29
M
∑
yl =
bm yl − m +
m=0
K
∑h x
(5.50)
k l −k
k =1
Taki filtr określony jest jednoznacznie wówczas, gdy znane są ciągi wartości
{bm } i {hk }. Funkcja przenoszenia filtru rzędu M dana jest związkiem:
K
∑h e
k
− i 2πfkT
k =0
M
H( f ) =
1−
∑b e
m
(5.51)
− i 2πfmT
m =0
Jak wspomniano we wcześniejszych fragmentach tego rozdziału
zagadnienia związane z filtrami dolnoprzepustowymi stanowią bazę dla
projektowania
innego
typu
filtrów.
Najprostszym
rodzajem
filtru
dolnoprzepustowego jest sinusowy filtr Butterwortha, którego kwadrat modułu
funkcji przenoszenia określona jest zależnością:
2
H( f ) =
1+
1
(
(5.52)
)
sin πTf 2 K
sin πT∆f
Jakość tego rodzaju filtrów określić można przy pomocy miary określającej
wartość tłumienia przy częstotliwości f k =
1
− ∆f . Wstawiają tę zależność do
2T
równania (5.52), otrzymujemy:
2
H( f ) =
1
 sin[πT ( − ∆f )]

1 + 
sin
π
T
f
∆


1
2T
2
=
1
1 + ctg πT∆f
2K
≈ tg 2 K πT∆f
(5.53)
Przybliżenie to zachodzie jedynie dla małych wartości ∆f , w dalszych
uproszczeniach z korzystamy z tego, że tg x ≈ x , co pozwala zapisać równanie
(5.53) w postaci:
2
H ( f ) = (πT∆f ) 2 K
(5.54)
a w postaci logarytmicznej:
2
10 lg H ( f ) = 20 K lg πT∆f
(5.55)
30
Z równia (5.55) wynika, iż tłumienie przy częstotliwości f k wyrażone w
decybelach jest proporcjonalne do liczby biegunów filtru oraz logarytmu πT∆f .
Filtr
dolnoprzepustowy
Czebyszewa
jest
kolejnym
przykładem
praktycznej realizacji filtru cyfrowego rekursywnego. Kwadrat modułu funkcji
przenoszenia wyraża się wzorem:
1
2
H( f ) =
1 + εTK2
(
sin πTf
sin πT∆f
)
(5.56)
w którym TK2 ( x ) jest wielomianem Czebyszewa stopnia K , które wygenerować
można przy pomocy równania rekurencyjnego:
TK +1 ( x ) = 2 xTK ( x ) − TK −1 ( x )
(5.57)
Postępując analogicznie jak w poprzednim przypadku można określić tłumienie
filtru Czebyszewa przy częstotliwości f k , otrzymujemy zatem wyrażenie:
1
2
H( f ) =
1+ ε
(5.58)
πT∆f
TK2ctg
Ponieważ dla dużych wartości x zachodzi przybliżenie:
TK ( x ) ≈ 2 K −1 x K
(5.59)
można zależność (5.58) przedstawić w następujący sposób:
2
H ( f ) ≈ ε −1 2 − ( 2 K − 2 ) tg 2 K πT∆f
(5.60)
Następnie korzystając z wprowadzonego w poprzednim przypadku przybliżenia,
że dla małych wartości x: tg x ≈ x (jest to możliwe dlatego, iż funkcja tg x jest
odwrotną do funkcji ctg x), zależność (5.60) można przedstawić w postaci
2
H ( f ) ≈ ε −1 2 − ( 2 K − 2 ) (πT∆f ) 2 K
(5.61)
Postać logarytmiczna równania (5.61) dana jest wyrażeniem:
2
10 lg H ( f ) ≈ −10 lg ε − 6( K − 1) + 20 K lg πT∆f
Porównując
zależność
określającą
współczynnik
tłumienia
(5.62)
dla
filtru
Buterwortha (5.55), z zależnością opisującą współczynnik tłumienia dla filtru
Czebyszewa można w łatwy sposób zauważyć, że współczynnik ten jest dla
31
filtru Czebyszewa większy przy danej częstotliwości
[10 lg ε + 6( K − 1)].
fk
o wartość