File - Tomasz Prochenka

Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych
Semestr letni 2015
Praca domowa III
15/05/2015
Polecenie
• Zestaw składa się z trzech zadań, za każde z nich można zdobyć 10p.
• Rozwiązania do zadań należy wysłać na adres [email protected]
do 22/05/2015 do godziny 23 : 59 (liczy się czas otrzymania rozwiązania, nie wysłania). W przypadku przekroczenia tego terminu praca
nie będzie sprawdzana.
• Prace należy wykonywać w grupach maksymalnie 2 osobowych. Skład
grup nie powinien się zmieniać w trakcie semestru. Prace powinny
być wykonane przez zespoły samodzielnie, w przypadku stwierdzenia
niesamodzielności pracy dany zestaw nie będzie sprawdzany.
• Na rozwiązanie składa się plik .xls lub .xlsx z rozwiązanymi poszczególnymi podpunktów w Solverze (każdy podpunkt musi być rozwiązany w oddzielnym arkuszu), oraz plik .pdf z odpowiedziami
do zadań (odpowiedzi do zadań proszę zapisać w dowolnym edytorze
tekstu; skany pisma ręcznego nie będą akceptowane). Oba pliki powinny być spakowane do folderu skompresowanego w formacie .zip. Nazwa folderu powinna być następująca: DM BO3[ind1][ind2][nrg1][nrg2],
gdzie ind1 i ind2 to numery indeksów autorów, a nrg1 i nrg2 to numery grup autorów (zgodne ze stanem w Wirtualnym Dziekanacie).
Proszę tytułować maile zawierające rozwiązanie w następujący sposób: DM BO2015L P D3 [ind1] [ind2] (gdzie tak jak poprzednio ind1
oraz ind2 oznaczają numery indeksów autorów. W przypadku nie przestrzegania powyższych wymogów od uzyskanego wyniku może zostać
odjęte do 20% uzyskanych punktów.
1
1
Majestat
Młody książę Fortynbras obejmuje rządy w królestwie Danii. Patrząc na
niepewną przyszłość królestwa zastanawia się jakie działania podjąć, aby
jego królestwo rozkwitło. Po długich naradach jego doradcy przedstawili
mu listę możliwych działań wraz z ich konsekwencjami dla bezpieczeństwa
kraju [B], dobrostanu jego mieszkańców [D], prestiżu na arenie międzynarodowej [PM] oraz popularności wśród poddanych [P]. Każda z akcji
wiążę się z pewnym kosztem [K, w tys. monet], a budżet królestwa jest
ograniczony do 300 tys. złotych monet rocznie. Książe nie chce aby bezpieczeństwo królestwa było niższe niż 20 punktów. Żeby w przyszłości znaleźć
dobrą kandydatkę na królową, książę musi także osiągnąć wysoki prestiż
międzynarodowy, nie mniejszy niż 50 punktów. Możliwe do podjęcia akcje
przedstawia tabela 1. Każdą akcję można wykonać tylko określoną liczbę
razy [L], co jest opisane w tabeli.
Tabela 1: Lista możliwych działań
D B
budowa nowych umocnień
2 10
wysłanie ambasadorów do sprzymierzonego kraju 1 5
budowa systemu kanalizacji
5 1
rozbudowa targowisk w większych miastach
4 0
kupno statków dla floty handlowej
1 0
próba rozszerzenia uprawnień króla
2 5
prowadzenie wystawnego dworu
0 0
reforma rolna
4 0
PM
10
5
0
0
5
20
20
0
P K [w tys.]
3
10
0
10
-4
20
1
10
0
20
-4
30
-4
30
-4
40
L
3
5
1
4
2
1
1
1
a) Książe uznał, że najlepszym wskaźnikiem rozwoju kraju jest dobrostan jego poddanych. Zapisz zadanie programowania liniowego, które
umożliwi maksymalizację tego wskaźnika. Przedstaw optymalną wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [1p]
b) Po namyślę książę uznał, że wolałby jednak żeby ten dobrostan nie
był aż tak drogi. Książę chce teraz zminimalizować ponoszone koszty,
jednak nie chce aby zadowolenie poddanych spadło o więcej niż 20% w
stosunku do wyniku z podpunktu a). Zapisz odpowiednie ZPL. Przedstaw optymalną wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [1p]
c) Po kolejnych konsultacjach z doradcami uznał jednak, że bardziej interesuje go najbardziej efektywny plan działań. Tak więc chce teraz maksymalizować stosunek dobrostanu poddanych do kosztów. Zapisz od2
powiedni model optymalizacyjny i przy pomocy odpowiednich transformacji (opisz je) sprowadź problem do ZPL. Przedstaw optymalną
wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [4p]
d) Po wielu przemyśleniach książę uznał, że z powodu wrodzonej nieśmiałości nie chciałby jednak być najbardziej popularny. Przedstaw
liniową postać modelu maksymalizującego stosunek dobrostanu poddanych do popularności i procedurę otrzymania takiej postaci modelu.
[4p]
2
IWENT
Przedsiębiorstwo „IWENT” organizuje festiwal muzyczny z budżetem wielkości 200 jp. Na scenie zaprezentuje się 5 zespołów: Aktyw, Bilans, Czelendż, Dźwignia, Equilibrium. Każdy z nich otrzyma honoraria podane w
tabeli 2.
Tabela 2: Koszty 1 jednostki występu (30 min.)
Aktyw Bilans Czelendż Dźwignia Equilibrium
12
15
7
4
8
Jedne zespoły są bardziej znane, inne mniej, co przekłada się na to, iż
użyteczność którą będą czerpać widzowie oglądający 1 jednostkę występu
(30 min.) będzie odmienna. Zespół Bilans jest 2 razy bardziej popularny niż
zespół Dźwignia, co proporcjonalnie przekłada się na dostarczaną przez niego użyteczność. Użyteczność dostarczana przez zespół Czelendż jest o 20%
większa niż ta dostarczana przez zespół Dźwignia. Użyteczność z 30 minutowego występu zespołu Equilibrium jest o 40% mniejsza niż użyteczność
z takiego występu zespołu Dźwignia. Użyteczność 30 minutowego występu
zespołu Aktyw stanowi 75% użyteczności takiego występu zespołu Bilans
(przyjmij, że wartość użyteczności dostarczanej przez zespół Dźwignia wynosi 1). Zespół Czelendż jest zaangażowany w finansowanie projektu w
zamian za co będzie występował przez minimum dwie godziny. Koncerty będą trwać 8 godzin, a każdy zespół ma występować przez minimum
30 min. Należy pamiętać również, że zespół Equlibrium wynegocjował, iż
będzie występował minimum 2 razy dłużej niż zespół Aktyw.
a) Zapisz zadanie PL maksymalizujące użyteczność z występów zespołów. [1p]
3
b) Zaimplementuj model z punktu a) w MS Excel. Podaj wartość funkcji
celu oraz ile godzin będą trwały występy poszczególnych zespołów [1p]
c) Manager projektu stwierdził, iż lepiej będzie, gdy najmniejsza użyteczność płynąca z występu danego artysty będzie jak największa. Zapisz
zadanie PL. Zaimplementuj model w MS Excel. Podaj wartość funkcji celu oraz ile godzin będą trwały występy poszczególnych zespołów
[4p]
d) Manager zmienił zdanie, uznał, iż długość trwania poszczególnych
koncertów należy ustalić tak, aby użyteczność dostarczana przez każdy
z zespołów była jak najbardziej przybliżona do średniej użyteczności
ze wszystkich koncertów. Zapisz zadanie PL. Zaimplementuj model
w MS Excel. Podaj wartość funkcji celu oraz ile godzin będą trwały
występy poszczególnych zespołów [4p]
3
Mak
Firma Mak, produkuje aluminiowe obudowy do Mac’ów. Obecnie, Mak
planuje wymianę maszyn produkcyjnych, do wyboru ma 3 modele maszyn:
Makao 1, Makao 2 i Makao 3. Jednostkowy koszt zakupu każdej z maszyn
to odpowiednio 18 000 PLN, 25 000 PLN oraz 35 000 PLN. Firma Mak
produkuje 5 rodzajów obudów, każda z maszyn może być zaprogramowana
tak, aby produkować jeden, dowolny typ obudowy. Po zaprogramowaniu,
maszyny mogą produkować niżej (tabela 3) podaną ilość obudów na godzinę.
Tabela 3: Obudowy na godzinę
Obudowa 1 Obudowa 2 Obudowa 3 Obudowa 4 Obudowa 5
Makao 1
100
130
140
210
80
Makao 2
265
235
170
220
120
Makao 3
200
160
260
180
220
Firma Mak ma następujące cele:
• Cel 1: Wydać około 1 500 000 PLN na zakup nowych maszyn
• Cel 2: Produkować około 3 200 obudów typu 1 na godzinę
• Cel 3: Produkować około 2 500 obudów typu 2 na godzinę
• Cel 4: Produkować około 3 500 obudów typu 3 na godzinę
4
• Cel 5: Produkować około 3 000 obudów typu 4 na godzinę
• Cel 6: Produkować około 2 500 obudów typu 5 na godzinę
a) Zapisz problem minimalizacji średniego procentowego odchylenia od
celów jako zadanie programowania liniowego. Przyjmij, że wszystkie
cele są jednakowo ważne. [2p]
b) Zaimplementuj model z punktu a w MS Excel. Ile maszyn każdego z
typów należy kupić, oraz jak je zaprogramować? Jaki jest koszt całkowity koszt operacji? [3p]
c) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne z punktu b jeśli przyjmiemy,
że Cel 1 jest 4 razy ważniejszy od pozostałych celów? Ile maszyn
każdego z typów należy kupić, oraz jak je zaprogramować? Jaki jest
koszt całkowity koszt operacji? [2p]
d) Zmień model z punktu b tak, aby zminimalizować maksymalne procentowe odchylenie od celu (dla każdego z celów). Przyjmij, że wszystkie cele są jednakowo ważne. Ile maszyn każdego z typów należy kupić,
oraz jak je zaprogramować? Jaki jest koszt całkowity koszt operacji?
[3p]
5