Lista nr 2

ZADANIE. 1 (5 pkt) Na długiej papierowej taśmie podzielonej na kwadraty
wpisujemy w pierwszą kratkę liczbę 0, w drugą kratkę liczbę 1, w trzecią kratkę
liczbę 1. W następne kratki wpisujemy kolejno najmniejszą z tych liczb
całkowitych nieujemnych, które nie wystąpiły w trzech kratkach poprzednich.
Jaka liczba będzie wpisana w 99 kratkę?
Rozwiązanie: W kratkę o numerze 99 będzie wpisana liczba 1.
Wynika to stąd, że począwszy od trzeciej kratki wpisuje się okresowo
czteroelementowe bloki 1203.
Początkowy fragment taśmy ma postać:
011203120312031203... ,
a ponieważ liczba 99 jest równa 2  4  24  1 , to w kratkę o numerze 99 wpisujemy
pierwszą cyfrę bloku.
ZADANIE. 2 (5 pkt) Aby ugotować jajko na miękko, Kasia wkłada je do wrzącej
wody i gotuje przez 3 minuty. Dziś zepsuł się jej zegarek, ale ma do dyspozycji
dwie klepsydry, którymi można odmierzyć 6 minut i 7 minut. Jak Kasia odmierzy
czas potrzebny do ugotowania jajka na miękko?
Rozwiązanie: Oznaczając klepsydrę sześciominutową przez A oraz klepsydrę
siedmiominutową przez B, możemy rozwiązanie problemu opisać w następujący
sposób: uruchamiamy jednocześnie obie klepsydry; gdy A odmierzy czas 6 minut,
natychmiast ją odwracamy; gdy B odmierzy czas 7 minut również ją odwracamy.
Następnie odwracamy klepsydrę A, kiedy odmierzy ona 12 minut oraz klepsydrę
B, gdy ta odmierzy 14 minutę. Kiedy klepsydra A odmierzy 18 minutę, wkładamy
jajka do wrzącej wody i gotujemy do chwili, w której klepsydra B odmierzy czas
21 minut.
ZADANIE. 3 (5 pkt) W kryptogramie
TRZY
+ TRZY
SZEŚĆ
różnym literom odpowiadają różne cyfry. Podać rozwiązanie, w którym liczba
„SZEŚĆ” jest największa z możliwych.
Rozwiązanie: Rozwiązanie kryptogramu przedstawiono poniżej:
9382
+ 9382
18764
ZADANIE. 4 (5 pkt)
Andrzej obiecał, że pierwszego dnia przeczyta 1 stronę książki, a każdego
następnego dnia 2 razy tyle stron co poprzedniego.
a) Ile stron książki przeczyta przez 9 dni?
b) Ile dni zajmie mu przeczytanie 200 stronicowej książki?
Rozwiązanie:
a) Andrzej przeczyta:
pierwszego dnia - 1 stronę,
drugiego dnia – 2 strony,
trzeciego dnia – 4 strony,
...
ósmego dnia – 128 stron,
dziewiątego dnia – 256 stron.
Sumując liczbę stron przeczytaną każdego dnia otrzymujemy 511 stron w ciągu 9
dni.
b) Na podstawie podpunktu a) łatwo sprawdzić, że Andrzej potrzebuje 8 dni.
ZADANIE. 5 (5 pkt) Dzieląc pewną liczbę przez 3 otrzymano liczbę o 18 od
niej mniejszą oraz resztę 2. Co to za liczba?
Rozwiązanie:
x - szukana liczba
Z treści zadania wiemy, że:
x : 3  ( x  18)reszta2 ,
zapisując w innej postaci otrzymujemy
x  3( x  18)  2 .
Rozwiązaniem równania jest liczba 26.