dyskretyzacji równania ciepła

ROZWIĄZYWANIE DWUWYMIAROWYCH USTALONYCH ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA
CIEPŁA
PRZY POMOCY ARKUSZA KALKULACYJNEGO
OPIS METODY
Do rozwiązania ustalonego pola temperatury wykorzystana jest metoda bilansów elementarnych. W
metodzie tej dokonuje się dyskretyzacji przestrzeni poprzez dokonanie podziału różnicowego obszaru na
elementy – komórki bilansowe. Dla kartezjańskiego układu współrzędnych i obszaru płaskiego
(dwuwymiarowego) komórkami tymi mogą być prostokąty o bokach ∆x, ∆y. W tej metodzie wielkością
fizyczną podlegającą bilansowaniu jest energia.
S
y
j
i
Q ji
x
x
•
Q ji =
T j − Ti
R jS + RSi
(
)
RSi =
∆x
2λ i ∆ y ⋅ 1
= k ji T j − Ti
Opory przewodzenia ciepła
R jS =
∆x
2λ j ∆ y ⋅ 1
Opory cieplne w połączeniu szeregowym sumują się i przewodność kji wyraża zależność:
1
∆ x  1
1 
=
+
k ji ∆ y  2λ j 2λ i 
Przewodność kji jest średnią harmoniczną z oporów cieplnychBilans energii przy uwzględnieniu działania
objętościowego źródła ciepła qvi wyraża dla komórki „i” równanie:
1
∑
•
•
Q ji + qVi ∆ x ∆ y⋅ 1 = 0
j
które po prostych przekształceniach prowadzi do związku między temperaturami:
Ti =
∑
•
k ji T j + qVi ∆ x ∆ y
j
∑
k ji
j
W obszarze jednorodnym (λ=idem) i bezźródłowym, dla siatki kwadratowej (∆x=∆y) temperatura w
węźle „i” jest średnią arytmetyczną z temperatur w węzłach sąsiednich.
TB − Ti
T − Ti
= B
= k B i ( TB − Ti )
∆x
RB i
I rodzaju (znana temperatura TB na brzegu)
2λ i ∆ y 1
WARUNKI BRZEGOWE
•
QBi =
1
∆x 1
=
⋅
k B i ∆ y 2λ i
gdzie
•
II rodzaju (znana gęstość strumienia ciepła q na brzegu)
•
•
Q Bi = q ∆ y ⋅1
III rodzaju (konwekcyjna wymiana ciepła z płynem o temperaturze T0 , przy współczynniku wnikania
ciepła α )
2
Q Bi =
T0 − Ti
= k 0 i ( T0 − Ti )
R0 B + RB i
gdzie
1
1
∆x
=
+
k 0 i α ∆ y ⋅ 1 2λ i ∆ y ⋅ 1
•
IV rodzaju
W przypadku styku idealnego (brak oporów cieplnych) dwu obszarów różniących się współczynnikami
przewodzenia ciepła jest uwzględniony we wzorach, gdy ich powierzchnia styku pokrywa się z granicą
komórek. Można to zapewnić przez dobór wielkości kroku przy podziale różnicowym.
PRZYGOTOWANIE ARKUSZA DO OBLICZEŃ
•
Tworzy się skoroszyt grupujący arkusze o nazwach:
T – gdzie obliczane są temperatury w komórkach obszaru i ewentualnie rysowany wykres
powierzchniowy pola temperatury,
Widoczna powyżej formuła jest skopiowana adaptacyjnie do wszystkich komórek obszaru
q – który zawiera dane o wydajności źródeł ciepła w poszczególnych komórkach,
k – gdzie znajdują się dane dotyczące współczynnika przewodzenia ciepła w poszczególnych komórkach
rozważanego obszaru (współczynnik ten może być funkcją temperatury),
l – który zawiera przewodności cieplne pomiędzy daną komórką, a komórką sąsiadującą z „lewej” strony,
g – który zawiera przewodności cieplne pomiędzy daną komórką, a komórką sąsiadującą „od góry”,
3
p – który zawiera przewodności cieplne pomiędzy daną komórką, a komórką sąsiadującą z „prawej”
strony,
d – który zawiera przewodności cieplne pomiędzy daną komórką, a komórką sąsiadującą „od dołu”.
•
Ustawia się iteracyjny tryb obliczeń
W menu programu Excel: narzędzia-opcje-przeliczanie należy ustawić opcje: iteracje (podać liczbę
iteracji) i ręczny tryb obliczeń.
•
Przeprowadza się kolejne cykle iteracyjne N (obejmujące taką samą liczbę iteracji) i notuje wartości
strumienia ciepła
•
•
QN
dla wybranego brzegu.
Wyznacza się iloraz ciągu dla przyrostów wartości strumienia
•
QN :
•
Q N + 1− Q N
pN =
•
•
•
,
QN − QN−1
•
Drogą obliczeń określa się liczbę cykli iteracyjnych N po wykonaniu których pN można uznać za stały
•
Oblicza się przybliżenie wartości dokładnej strumienia ciepła dla wybranego brzegu:
•
•
Q = QN +
•
•
QN+1− QN
1 − pN
4
Przykład obliczeniowy I
W celu zilustrowania prezentowanej metody rozwiązano przy pomocy arkusza kalkulacyjnego
ustalone zagadnienie przewodzenia ciepła w płaskim przekroju radiatora stosowanego do chłodzenia
elektronicznego układu scalonego jak na rysunku
to α
Zadany strumień ciepła
dostarczonego:
= 1250 W/m
dane do obliczeń:
to
t0 = 200C
α
α = 100 W/m2K
31 mm
Δx=Δy=0,25mm
(Liczba komórek bilansowych – 7040)
λ = 200 W/mK
izolacja
q = idem
izolacja
26 mm
12 mm
5
Przykład obliczeniowy II
t0 α
Zadana temperatura na
brzegu:
tb= 600C
dane do obliczeń
t0
t0 = 200C
α
31 mm
α = 100 W/m2K
Δx=Δy=0,25mm
λ = 200 W/mK
izolacja
tb
26 mm
6