Wybrane jednowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa, ich obowiązująca
parametryzacja i najważniejsze fakty.
Przypomnienie
Rozkłady dyskretne
- rozkład dwumianowy b(n, p), p ∈ [0, 1], n = 1, 2, .. :
n
P (X = k) =
pk (1 − p)n−k , k = 0, .., n
k
EX = np,
D2 X = np(1 − p)
Jeśli zmienne losowe X i Y maja rozkłady b(n, p) i b(r, p) to zmienna Z = X + Y
ma rozkład b(n + r, p).
- rozkład Poissona π(λ), λ > 0:
λk e−λ
, k = 0, 1, ..
k!
P (X = k) =
EX = λ,
D2 X = λ
Jeśli niezależne zmienne losowe X i Y maja rozkład π(λ1 ) i π(λ2 ) to zmienna
Z=X+Y ma rozklad π(λ1 + λ2 )
Rozkłady ciągłe
- rozkład jednostajny U (a, b), a < b
f (x) =
1
1[a,b] (x)
b−a
D2 X = (a − b)2 /12
EX = (a + b)/2,
- rozkład normalny N (m, σ 2 ), σ > 0
f (x) = √
(x−m)2
1
e− 2σ2
2πσ
EX = m,
D2 X = σ2
- rozkład Gamma G(λ, β), λ > 0:
f (x) =
λβ xβ−1 e−λx
1[0,∞] (x)
Γ(β)
EX =
β
,
λ
D2 X =
β
λ2
Uwaga Oczywiście Γ jest funkcją Eulera, tj. Γ(β) =
R∞
0
xβ−1 e−x dx
Szczególne przypadki rozkładu Gamma:
a) rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0, Ex(λ), to rozkład G(λ, 1),
b) rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody χ2 (n) - to rozkład G(1/2, n/2)
Rozkład χ2 (n) jest rozkładem sumy kwadratów n niezaleznych zmiennych
losowych o rozkładach normalnych standaryzowanych (tj. N (0, 1) )
-rozkład Studenta o n stopniach swobody t(n)
Jest to rozkład zmiennej losowej
T =p
U
Y /n
gdzie zmienne losowe U i Y są niezależne, przy czym U ma rozkład N (0, 1) a Y
ma rozkład χ2 (n) Znajomość gęstości tego rozkładu nie jest obowiązkowa.
2