Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra InŜynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Stabilność systemów sterowania – kryterium Nyquist’a
Materiały pomocnicze do ćwiczeń – termin T11
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inŜ.
Robert Piotrowski, dr inŜ.
1
Wprowadzenie
Stabilność układu jest jednym z głównych pojęć stosowanych przy analizie działania układu
dynamicznego. Zapewnienie stabilnego działania jest podstawowym wymaganiem, jakie
stawiamy układowi automatycznej regulacji. Jednym z kryteriów badania stabilności jest
kryterium Nyquist’a, które słuŜy do oceny stabilności liniowego zamkniętego układu
regulacji na podstawie znajomości charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego.
Badając otwarty układ regulacji moŜliwe są dwie sytuacje:
otwarty układ regulacji jest stabilny,
otwarty układ regulacji jest niestabilny.
Jednocześnie do analizy stabilności układów regulacji w oparciu o kryterium Nyquis’ta
moŜna wykorzystać dla rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:
amplitudowo – fazowe (charakterystyki Nyquist’a),
logarytmiczne (charakterystyki Bode’a).
Kryterium Nyquist’a z wykorzystaniem charakterystyk Nyquist’a
W zaleŜności od połoŜenia punktów przecięcia charakterystyki amplitudowo – fazowej
(charakterystyki Nyquist’a) z osią rzeczywistą, względem punktu krytycznego (– 1, j0),
charakterystyka ta dzieli się na dwa rodzaje:
charakterystyka I rodzaju – wszystkie punkty przecięcia leŜą na prawo od punktu
krytycznego (– 1, j0),
charakterystyka II rodzaju – punkty przecięcia leŜą po obu stronach punktu
krytycznego (– 1, j0).
a).
b).
Im (ω)
Im (ω)
(-1, j0)
(-1, j0)
Re (ω)
Re (ω)
Rys. 1. Przykładowe charakterystyki amplitudowo – fazowe (charakterystyki Nyquist’a): a). I
rodzaju, b). II rodzaju
a). otwarty układ regulacji jest stabilny
Warunek stabilności układu zamkniętego jest postaci:
∆ arg  1 + G (ω )  = 0 dla ω ∈ ( 0 , ∞ )
(1)
Zgodnie z kryterium Nyquist’a zachodzi (dla charakterystyk I i II rodzaju):
JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo
– fazowa (charakterystyka Nyquist’a) dla pulsacji ω ∈ (0 , ∞ ) nie obejmuje punktu (-1,
j0), to układ ten po zamknięciu będzie stabilny.
2
Im (ω)
(-1, j0)
Im (ω)
ω= ∞
(-1, j0)
ω=0
Re (ω)
ω= ∞
ω=0
Re (ω)
Rys. 2. Przykładowe charakterystyki amplitudowo – fazowe (charakterystyki Nyquist’a)
stabilnego układu regulacji
Z powyŜszego kryterium wynika, Ŝe:
Liniowy zamknięty układ regulacji jest stabilny, jeŜeli punkt (-1, j0) znajduje się w
obszarze leŜącym po lewej stronie charakterystyki amplitudowo – fazowej
(charakterystyki Nyquista) G (ω ) , przesuwając się w kierunku rosnących pulsacji ω .
b). otwarty układ regulacji jest niestabilny
Warunek stabilności układu zamkniętego jest postaci:
m
∆ arg  1 + G (ω )  = 2 π
2
dla ω ∈ ( 0, ∞ )
(2)
gdzie:
m – liczba pierwiastków równania charakterystycznego leŜących w prawej półpłaszczyźnie
zmiennej s.
Zgodnie z kryterium Nyquist’a zachodzi:
JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest niestabilny i posiada m pierwiastków w
prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to układ ten po zamknięciu będzie stabilny, gdy
charakterystyka amplitudowo – fazowa (charakterystyka Nyquista), dla pulsacji
ω ∈ (0 , ∞ ) , okrąŜa m/2 razy punkt (-1, j0) w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara).
Im (ω)
ω=1
(-1, j0)
ω=0
ω=∞
Re (ω)
Układ stabilny
Rys. 3. Przykładowa charakterystyka amplitudowo – fazowa (charakterystyka Nyquist’a)
stabilnego układu regulacji
3
Kryterium Nyquist’a z wykorzystaniem charakterystyk Bode’a
a). otwarty układ regulacji jest stabilny
Zgodnie z kryterium Nyquist’a zachodzi (dla charakterystyki I rodzaju):
JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest stabilny i ma charakterystykę amplitudowo –
fazową (charakterystykę Nyquist’a) I rodzaju, to warunkiem koniecznym i
wystarczającym na to, Ŝeby liniowy zamknięty układ regulacji był stabilny, jest to, aby
dla wszystkich pulsacji ω, dla których logarytmiczna charakterystyka modułu jest
nieujemna, czyli:
L (ω ) = 20l o g G (ω ) ≥ 0
(3)
wartości logarytmicznej charakterystyki fazy nie były mniejsze od − π , czyli:
ϕ (ω ) = arg G (ω ) > − π
L (ω) [dB]
(4)
L (ω) [dB]
∆ L0 (ω) < 0
ωϕ
ωx
ωx
log ω [rad/s]
0
ωϕ
log ω [rad/s]
0
∆ L0 (ω) > 0
ϕ (ω) [rad]
ϕ (ω) [rad]
0
log ω [rad/s]
- π/4
- π/2
0
log ω [rad/s]
- π/4
- π/2
∆ ϕ 0 (ω) > 0
- 3π/4
- 3π/4
-π
-π
∆ ϕ 0 (ω) < 0
Układ stabilny
Układ niestabilny
Rys. 4. Przykładowe charakterystyki logarytmiczne (charakterystyki Bode’a) stabilnego i
niestabilnego układu regulacji
Zgodnie z kryterium Nyquist’a zachodzi (dla charakterystyki II rodzaju):
JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest stabilny i ma charakterystykę amplitudowo –
fazową (charakterystykę Nyquist’a) II rodzaju, to warunkiem koniecznym i
wystarczającym na to, Ŝeby liniowy zamknięty układ regulacji był stabilny, jest to, aby
dla wszystkich pulsacji ω, dla których logarytmiczna charakterystyka modułu jest
nieujemna, czyli:
4
L (ω ) = 20l o g G (ω ) ≥ 0
(5)
róŜnica między liczbą dodatnich i ujemnych przejść prostej −π przez logarytmiczną
charakterystykę fazy ϕ (ω ) była równa zeru.
L (ω) [dB]
L (ω) [dB]
log ω [rad/s]
0
ϕ (ω) [rad]
ϕ (ω) [rad]
0
0
log ω [rad/s]
- π/4
- π/4
- π/2
- π/2
- 3π/4
- 3π/4
-π
log ω [rad/s]
0
-
-π
+
log ω [rad/s]
-
+
-
∆ ϕ 0 (ω) < 0
Układ niestabilny
Układ stabilny
Rys. 5. Przykładowe charakterystyki logarytmiczne (charakterystyki Bode’a) stabilnego i
niestabilnego układu regulacji
Uwaga:
Przejście prostej ϕ (ω ) = −π przez charakterystykę jest ujemne, gdy krzywa ϕ (ω ) przechodzi
od wartości ϕ (ω ) > −π do wartości ϕ (ω ) < −π .
b). otwarty układ regulacji jest niestabilny
Zgodnie z kryterium Nyquist’a zachodzi:
JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest niestabilny i posiada m pierwiastków w
prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to,
Ŝeby liniowy zamknięty układ regulacji był stabilny, jest to, aby dla wszystkich pulsacji
ω, dla których logarytmiczna charakterystyka modułu jest nieujemna, czyli:
L (ω ) = 20l o g G (ω ) ≥ 0
(6)
liczba dodatnich przejść prostej −π przez logarytmiczną charakterystykę fazy ϕ (ω )
przewyŜszała m/2 razy liczbę ujemnych przejść.
5