Ciała Def. 1. Pierścień przemienny (P,+,·) z jedynką nazywamy

Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
1
Ciała
Def. 1. Pierścień przemienny (P, +, ·) z jedynką nazywamy ciałem,
jeśli spełnione są następujące warunki:
• 0 6= 1, czyli ciało ma co najmniej 2 elementy,
• ∀a ∈ P (a 6= 0 ⇒ ∃b ∈ P b = a−1), to znaczy, że wszystkie
niezerowe elementy są odwracalne.
Uwaga: Wszystkie elementy poza zerem ciała tworzą grupę przemienną ze względu na mnożenie, którą nazywamy grupą multiplikatywną
ciała.
Uwaga: Każdy skończony pierścień całkowity jest ciałem.
Wniosek: Pierścień Zn jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą
pierwszą.
Def. 2. Pieścień z jedynką, który nie jest przemienny, a spełnia pozostałe warunki z definicji 1. nazywamy pierścieniem z dzieleniem.
Przykład: Pierścień kwaternionów (Hamiltona) – nieprzemienny
pierścień z dzieleniem:
W zbiorze H = C × C określamy dwa działania:
L
J
¯ ad + bc̄).
(a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac − bd,
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
2
Ważne przykłady ciał
√
√
• Ciało kwadratowe: Q[ d] = ({a + b d : a, b ∈ Q}, +, ·),
gdzie d ­ 2 - liczba naturalna
√ nie będąca kwadratem liczby
naturalnej (na przykład Q[ 2]).
• Ciało ułamków pierścienia całkowitego (P, +, ·), czyli zbiór:
FP = {[ ab ]∼ : a ∈ P, b ∈ P \ {0}},
gdzie relacja równoważności ∼ ma postać:
a
b
∼
c
d
⇔ a · d = c · b.
– Z pierścienia Z otrzymujemy Q jako ciało ułamków.
– Z pierścienia wielomianów R[x] otrzymujemy ciało funkcji
a + a x + . . . + am xm
.
wymiernych R(x), czyli zbiór wyrażeń postaci: 0 1
n
b0 + b1 x + . . . + bn x
Konstrukcja pierścieni ilorazowych
Do konstrukcji pierścieni ilorazowych używamy ideałów, tak jak do
konstrukcji grup ilorazowych używaliśmy podgrup normalnych,
gdyż ideał J w pierścieniu (P, +, ·) jest dzielnikiem normalnym w grupie
addytywnej (P, +).
Ideał J pozwala zdefiniować relację równoważności ∼ w pierścieniu P :
a ∼ b ⇔ a − b ∈ J.
Jest to relacja przystawania modulo ideał, czyli kongruencja.
Ta relacja ma następującą ważną własność:
a1 ∼ a2
b1 ∼ b








2 
⇒
a1 + b1 ∼ a2 + b2
a1 · b1 ∼ a2 · b2









.
Dzięki temu mamy dobrze określone działania na klasach abstrakcji
relacji ∼ (nie zależą od wyboru reprezentantów).
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
3
Definiujemy pierścień ilorazowy P/J :
P/J = {[a]∼ : a ∈ P } = {a + J : a ∈ P }
Jest to zbiór warstw względem podgrupy normalnej J w (P, +)
z działaniami indukowanymi:
[a]∼ + [b]∼ = [a + b]∼ oraz
[a]∼ · [b]∼ = [a · b]∼
równoważnie na warstwach
(a + J) + (b + J) = (a + b) + J
i
(a + J) · (b + J) = (a · b) + J.
Przykład 1. P = Z, J = h10i = 10Z, wtedy Z/10Z ∼
= Z10.
Przykład 2. P = R[x], J = hx2 + 1i = (x2 + 1)R[x].
Ideał J składa się z wielomianów podzielnych przez (x2 + 1).
Elementy P/J są reprezentowane przez reszty z dzielenia wielomianów z
R[x] przez (x2 + 1), czyli wielomiany co najwyżej pierwszego stopnia.
Każdy wielomian można przedstawić w postaci:
w(x) = (x2 + 1)q(x) + bx + a, więc [w] = [a + bx].
Działania w P/J :
dodawanie klas: [a + bx] + [c + dx] = [a + c + (b + d)x],
mnożenie klas: [a + bx] · [c + dx] = [ac − bd + (ad + bc)x].
Zauważmy, że w podobny sposób dadaje się i mnoży liczby zespolone.
Mamy więc R[x]/hx2+1i ∼
= C, izomorfizm jest następujący:
ϕ([a + bx]) = a + bj.
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
4
Przykład 3. Konstrukcja ciała 4-elementowego.
P = Z2[x], J = hx2 + x + 1i
Elementami P/J są klasy reprezentowane przez wielomiany co najwyżej
pierwszego stopnia nad Z2 (reszty z dzielenia wielomianów z Z2[x] przez
(x2 + x + 1)), czyli P/J = {[0], [1], [x], [1 + x]}.
Tabelki działań w Z2[x]/hx2+x+1i:
+
[0]
[1]
[x]
[1+x]
·
[0]
[1]
[x]
[1+x]
[0]
[0]
[1]
[x]
[1+x]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[1]
[0]
[1+x]
[x]
[1]
[0]
[1]
[x]
[1+x]
[x]
[x]
[1+x]
[0]
[1]
[x]
[0]
[x]
[1+x]
[1]
[x]
[1]
[0]
[1+x]
[1]
[x]
[1+x] [1+x]
[1+x] [ 0 ]
Ten skończony pierścień ilorazowy nie ma dzielników zera, bo wielomian
x2 + x + 1 jest nierozkładalny w Z2[x], więc jest on ciałem.
Def. 3. Różny od zera element a pierścienia (P, +, ·) nazywamy
rozkładalnym, jeśli daje się on przedstawić w postaci iloczynu dwóch
nieodwracalnych elementów tego pierścienia.
Def. 4. Różny od zera nieodwracalny element a pierścienia (P, +, ·)
nazywamy nierozkładalnym, jeśli dla dowolnych b, c ∈ P z równości a = bc wynika, że b lub c jest elementem odwracalnym w P .
Uwaga: W ciele nie ma elementów nierozkładalnych.
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
5
Ciała Galois
Analogiczną konstrukcję jak w przykładzie 3. powtarzamy dla P = Zp[x]
(p - liczba pierwsza) i J = hw(x)i, gdzie w - wielomian nierozkładalny
stopnia n w Zp[x].
Wtedy P/J będzie ciałem p n-elementowym, które oznaczamy GF (p n)
i nazywamy ciałem Galois rzędu p n. Konstrukcja taka jest możliwa na
mocy następujących faktów:
Tw. 1. Jeżeli wielomian f ∈ Zp[x] jest nierozkładalny, to pierścień
ilorazowy Zp[x]/hf i jest ciałem. Ciało to ma p n elementów, gdzie n stopień wielomianu f .
Tw. 2. Dla każdej liczby pierwszej p i naturalnej n istnieje w pierścieniu Zp[x] nierozkładalny wielomian stopnia n.
Wniosek: Dla każdej liczby postaci p n, gdzie p jest liczbą pierwszą,
istnieje ciało mające p n elementów.
Uwaga: Grupa multiplikatywna ciała GF (p n) jest cykliczna.
Ogólne własności ciał, ideałów i pierścieni ilorazowych
Tw. 3. Każde dwa ciała skończone o tej samej liczbie elementów są
izomorficzne.
Tw. 4. Niezerowy pierścień P przemienny z jedynką jest ciałem
wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi ideałami w P są {0} i P .
Uwaga: Podpierścień ciała nie musi być ciałem (na przykład Z ⊆ Q).
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
6
Uwaga: Iloczyn prosty dwóch lub więcej ciał nigdy nie jest ciałem, gdyż
posiada dzielniki zera.
Def. 5. Podzbiór L ⊆ K jest podciałem ciała (K, +, ·), jeśli (L, +L, ·L)
jest ciałem.
Def. 6. Ciało, które nie zawiera żadnego podciała właściwego,
nazywamy ciałem prostym.
Tw. 5. Każde ciało proste jest izomorficzne z Q lub Zp dla pewnej
liczby pierwszej p.
Uwaga: Ciało GF (p n) zawiera podciało izomorficzne z Zp.
Def. 7. Ideał J w pierścieniu P nazywamy maksymalnym, jeśli
J 6= P i każdy ideał T ⊇ J jest równy J lub P .
Przykład: W pieścieniu Z maksymalne są ideały kZ, gdzie k jest liczbą
pierwszą.
Def. 8. Ideał J w pierścieniu P nazywamy ideałem pierwszym,
jeśli dla dowolnych a, b ∈ P zachodzi: a 6∈ J ∧ b 6∈ J ⇒ a · b 6∈ J,
czyli zbiór P \ J jest zamknięty ze względu na mnożenie.
(Równoważny warunek: a · b ∈ J ⇒ a ∈ J ∨ b ∈ J).
Przykład: W pierścieniu Z ideały pierwsze są postaci kZ, gdzie k jest
zerem lub liczbą pierwszą.
Tw. 6. Pierścień ilorazowy P/J nie ma dzielników zera wtedy i tylko
wtedy, gdy J jest ideałem pierwszym w P .
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 10 – Ciała i pierścienie ilorazowe
7
Tw. 7. Niech P - pierścień przemienny z jedynką, a J - ideał w P .
Pierścień ilorazowy P/J jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy J jest
ideałem maksymalnym.
Wniosek: Jeśli ideał J w pierścieniu P jest maksymalny, to jest on
ideałem pierwszym.
Informacje dodatkowe
Fakt 1: Jeśli K jest ciałem, to K[x] jest pierścieniem ideałów głównych.
Przykłady: R[x], Q[x], C[x].
Fakt 2: Jeśli pierścień całkowity P nie jest ciałem, to P [x] nie jest dziedziną ideałów głównych. (Na przykład Z[x])
Fakt 3: Jeśli K[x] jest pierścieniem ideałów głównych, to każdy niezerowy ideał pierwszy w K[x] jest ideałem maksymalnym.
Uwaga: Ideał pierwszy łatwo rozpoznać w dziedzinie ideałów głównych,
sprawdzając, czy generator ideału jest elementem nierozkładalnym.