EGZAMIN Z TOPOLOGII 2007 rok, I termin Punktacja: każde zadanie

EGZAMIN Z TOPOLOGII
2007 rok, I termin
Punktacja: każde zadanie 2 pkt.
1. W R2 rozważamy topologię wprowadzoną przez bazę β = {(a, ∞) × (b, ∞) : a, b ∈ R \ Q}.
Czy R2 z tą topologią
a) spełnia aksjomat II AP
b) jest przestrzenią ośrodkową
c) spełnia aksjomat T0
d) spełnia aksjomat T3 ?
2. Rozważamy X = R z topologią wyróżnionego punktu 0, Y = R z topologią zadaną przez metrykę dyskretną. W X × Y rozważamy topologię produktową. Wyznaczyć wnętrze i domknięcie
zbioru A = {(x, y) ∈ R2 : y < x + 1}.
3. Czy zbiór R \ Q jest spójny w przestrzeni R rozważanej z topologią
a) wyróżnionego punktu 0
b) zadanej przez metrykę dyskretną
c) dopełnień (co najwyżej) przeliczalnych
d) τ = {U ⊂ R : N ⊂ U ∨ Z ∩ U = ∅} ?
4. Rozważamy R2 z topologią naturalną. Czy zbiór A = (R×Q)∪(N×R) z topologią indukowaną
z R2 jest przestrzenią:
a) lokalnie spójną
b) drogowo spójną
c) zupełną
d) lokalnie zwartą ?
5. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, F podzbiorem domkniętym X. Czy prawdziwe są
następujące implikacje (w F rozważamy topologię indukowaną):
a) X lokalnie zwarta =⇒ F lokalnie zwarty
b) X spełnia aksjomat T4 =⇒ F spełnia aksjomat T4
c) X metryczna zupełna =⇒ F przestrzeń zupełna z metryką indukowaną
d) X spójny =⇒ F spójny ?
6. Podać przykład zwartego zbioru w R2 (z topologią naturalną), który nie jest lokalnie spójny i
ma 2 składowe spójne.
7. Czy funkcja f: R 3 x 7→ (x, −x) ∈ R2 jest ciągła, jeśli R rozważamy z topologią naturalną, a
R2 z topologią
a) zadaną przez metrykę rzeki R × {0}
b) zadaną przez metrykę węzła kolejowego (0, 0)
c) dopełnień skończonych
d) τ = {U ⊂ R2 : U = ∅ ∨ (0, 1) × R ⊂ U} ?
8. Czy dla dowolnych przestrzeni topologicznych X, Y i dowolnej funkcji ciągłej f: X → Y prawdziwe są implikacje
a) X spójna =⇒ f(X) spójny
b) X przestrzeń metryczna zupełna, Y przestrzeń metryczna =⇒ f(X) zupełna z metryką
indukowaną z Y
c) B ⊂ Y zwarty =⇒ f−1 (B) zwarty
d) X spełnia aksjomat T2 =⇒ f(X) spełnia aksjomat T2 ?
9. Podać przykład zbioru A ⊂ R i punktu x ∈ R \ A, dla których nie zachodzi teza lematu
Urysohna.
10. Podane niżej zbiory podzielić na grupy tak, aby dowolne dwa zbiory z tej samej grupy były
homeomorficzne, a dowolne dwa zbiory z różnych grup nie były homeomorficzne:
a) okrąg jednostkowy S1 w R2
b) odcinek [0, 1]
c) Q ∩ [0, 1]
d) {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y2 = 1 ∨ (x + 1)2 + y2 = 1}
e) N
f) {(x, cos x) ∈ R2 : x ∈ [0, π]}
Wszystkie zbiory rozważamy z topologią naturalną indukowaną z R lub R2 .
11. Pokazać na przykładzie, że teza tw. Baire’a nie zachodzi, jeśli rozważane w założeniach zbiory
są brzegowe (wszystkie inne założenia mają być spełnione).
12. Podać definicję średnicy zbioru w przestrzeni metrycznej.
13. Podać definicję topologii wprowadzonej przez metrykę.
14. Sformułować twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez pełny układ otoczeń (dokładniej:
przez rodzinę, która będzie pełnym układem otoczeń dla wprowadzanej topologii).
15. Podać definicję przestrzeni lokalnie zwartej.
16. Podać definicję przestrzeni normalnej.
17. Sformułować w języku ciągów i ich granic warunek równoważny zwartości podzbioru przestrzeni
metrycznej.