Estymacja panelowa modeli dynamicznych

Estymacja panelowa modeli dynamicznych
Jerzy Mycielski
UW
2016
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
1 / 24
Estymator pierwszych róz·nic
Za÷
oz·enia konieczne dla zgodności estymatora
E ( uit j xi , ci ) = 0 dla t = 1, . . . , T
Uz·ywamy róz·nicowania do wyeliminowania efektu indywidualnego ci
Model
yit = xit β + ci + uit
Stosujemy róz·nicowanie i otrzymujemy
∆yit = ∆xit β + ∆uit
Pierwsza obserwacja (T = 1, i = 1, . . . , N) jest pomijana
Zmienne sta÷
e w czasie wypadaja¾ z regresji
Estymator pierwszych róz·nic (FD) uzyskujemy przeprowadzajac
¾
regresje¾ na próbie wymieszanej (POLS) ∆yit na ∆xit
Estymator ten jest zgodny, poniewaz· przy przyjetych
¾
za÷
oz·eniach
0
E (∆xit ∆uit ) = 0
Przy za÷
oz·eniu, z·e E ( ∆ui ∆ui0 j xi , ci ) = σ2u IT estymator pierwszych
róz·nic jest takz·e najbardziej efektywny
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
2 / 24
Estymatory panelowe przy sekwencyjnych ograniczeniach
narzuconych na momenty
Do uzyskania zgodności estymatorów RE , FE , FD zwykle zak÷
adamy
ścis÷
a¾ egzogeniczność:
E ( uit j xi 1 , . . . , xiT )
Za÷
oz·enie to oznacza, z·e wartość oczekiwana b÷
edu
¾ czystolosowego
(uit ) nie zalez·y zesz÷
ych, obecnych i przysz÷
ych wartości zmiennych
objaśniajacych
¾
xi
Za÷
oz·ymy obecnie, z·e w modelu
yit = xit β + ci + uit ,
dla t = 1, 2, . . . , T
i za÷
oz·ymy, z·e wartość oczekiwana uit moz·e zalez·eć od przysz÷
ych
wartości xit
Równocześnie za÷
oz·ymy, z·e prawdziwe sa¾ nastepuj
¾ ace
¾ sekwencyjne
ograniczenia narzucone na momenty (sequential moment restrictions)
E ( uit j xit , xit
Jerzy Mycielski (UW)
1 , . . . , xi 1 , ci )
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
=0
2016
3 / 24
Sekwencyjna egzogeniczność
Ograniczenia te implikuja,
¾ z·e wartość oczekiwana uit nie moz·e zalez·eć
od obecnych i przesz÷
ych wartości xi
Jeśli za÷
oz·enie to jest prawdziwe mówimy o sekwencyjnej
egzogeniczności xit warunkowej wzgledem
¾
efektu indywidualnego
Liniowy model efektów nieobserwowalnych moz·na teraz sformu÷
ować
nastepuj
¾ aco:
¾
E ( yit j xit , xit
1 , . . . , xi 1 , ci )
= E ( yit j xit , ci ) = xit β + ci
Przyk÷
ad: (Wooldrodge) Dynamiczny model efektów nieobserwowalnych
yit = zit γ + ρ1 yi ,t
1
+ ci + uit
a wiec
¾ w tym przypadku xit
(zit , yi ,t 1 ). Wynika z tego, ·ze
(xit , xit 1 , . . . , xi 1 ) = (zit , yi ,t 1 , . . . , zi 1 , yi ,0 ) i sekwencyjne ograniczenia
narzucone na momenty implikuja,¾ ·
ze
E ( yit j zit , yi ,t
Jerzy Mycielski (UW)
1 , . . . , zi 1 , yi ,0 , ci )
= E ( yit j zit , yi ,t 1 , ci )
= zit γ + ρ1 yi ,t 1 + ci
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
4 / 24
Sekwencyjna egzogeniczność i zgodność estymatorów
panelowych
W przypadku, gdy sekwencyjne ograniczenia narzucone na momenty
sa¾ prawdziwe ale nie jest prawdziwe za÷
oz·enie o ścis÷
ej egzogeniczności
estymatory RE , FE , FD nie sa¾ zgodne. Na przyk÷
ad estymator
efektów sta÷
ych nie jest zgodny poniewaz·:
b
plim β
FE
"
= β+ T
1
T
∑E
t =1
x- it x- it0
#
1
"
T
1
T
∑E
#
x- it0 uit
i =1
ale E (x- it0 uit ) = E [(xit xit ) uit ] = E (xit uit ) =
T 1 ∑Ts=1 E (xis uit ) = T 1 ∑Ts=t +1 E (xis uit ) 6= 0, poniewaz· w
przypadku ograniczeń sekwencyjnych zak÷
adamy, z·e moz·e istnieć
korelacja miedzy
¾
uit a xis dla s > t.
Wielkość asymptotycznego obcia¾z·enia maleje z szybkościa¾ T
dla paneli T jest czesto
¾ ma÷
e
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
1
ale
2016
5 / 24
Sekwencyjna egzogeniczność i zgodność estymatorów
panelowych c.d.
Jeśli xit jest stacjonarne to estymator FE jest lepszy niz· estymator FD
poniewaz· estymator FE ma b÷
ad
¾ O T 1 a dla estymatora FD b÷
ad
¾
nie zalez·y od T
Moz·liwe jest jednak znalezienie estymatorów zgodnych przy
ograniczeniach sekwencyjnych
Po zastosowaniu przekszta÷
cenia pierwszych róz·nic otrzymujemy
∆yit = ∆xit β + ∆uit ,
dla t = 2, . . . , T
Za÷
oz·enie o sekwencyjnej warunkowej egzogeniczności xi implikuje, z·e
0
E xis uit = 0,
Zauwaz·my jednak, z·e
dla s = 1, 2, . . . , t
0
E ∆xit ∆uit 6= 0
poniewaz· xit 1 moz·e być skorelowany z uit . Estymator POLS dla
modelu dla pierwszych róz·nic nie jest zgodny
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
6 / 24
Estymator zgodny dla modelu z sekwencyjnie
egzogenicznymi zmiennymi
Zauwaz·my jednak, z·e
0
E xis ∆uit = 0,
for s = 1, 2, . . . , t
1
oraz
0
E ∆xis ∆uit = 0,
for s = 1, 2, . . . , t
1
W rezultacie wektory zmiennych xoit = xit 1 , . . . , xi ,0 lub
xoit = ∆xit 1 , . . . , ∆xi ,0 (oraz kaz·da ich liniowa kombinacja czy
funkcja) moga¾ być uz·yte jako zmienne instrumentalne w równaniu na
pierwszych róz·nicach
W rezultacie równanie na pierwszych róz·nicach moz·na zgodnie
oszacować za pomoca¾ 2MNK zastosowanego do modelu na
pierwszych róz·nicach i próby wymieszanej
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
7 / 24
Estymator efektywny dla modelu z sekwencyjnie
egzogenicznymi zmiennymi
Zazwyczaj za÷
oz·enie, z·e spe÷
niony jest warunek rzedu
¾ stosowalności
0
2MNK a wiec
¾ E ∆xit ∆xit 1 = K ma sens. Uz·ycie takich
instrumentów jest jednak moz·liwe tylko, gdy T
3
Dla T = 2 moz·emy uz·yć xit 1 ale czesto
¾ korelacja miedzy
¾
∆xit i xit 1
jest ma÷
a
Estymatorem efektywnym w tym kontekście jest estymator UMM,
który wykorzystuje wszystkie sekwencyjne ograniczenia narzucone na
momenty. Jednak w÷
asności takiego estymatora w ma÷
ej próbie moga¾
być nieporzadane
¾
z racji na duz·a¾ liczbe¾ przeidenty…kowujacych
¾
ograniczeń.
Zauwaz·my, z·e dla uit nieskorelowanego w modelu oryginalnym
wystapi
¾ korelacja pierwszego rzedu
¾ dla b÷
edu
¾ losowego ∆uit w modelu
na róz·nicach. Ten problem moz·na rozwiazać
¾
stosujac
¾ odporna¾
macierz wariancji kowariancji (estymator warstwowy).
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
8 / 24
Estymator panelowy w przypadku mieszanym
Moz·e sie¾ zdarzyć, z·e
yit = zit γ + wit δ + ci + uit ,
dla t = 1, 2, . . . , T
przy czym zit jest ściśle egzogeniczny ale wit jest sekwencyjnie
egzogeniczny.
W takim przypadku estymujemy za pomoca¾ 2MNK równanie
∆yit = ∆zit γ + ´wit δ + ∆uit ,
wykorzystujac
¾ jako instrumenty zit , wit
ich liniowa¾ kombinacje.
¾
for t = 2, . . . , T
1 , . . . , wi ,0
albo jakakolwiek
¾
Typowym zastosowaniem tej metody jest estymacja modelu
yit = zit γ+ρ1 yit
Jerzy Mycielski (UW)
1
+ ci + uit
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
9 / 24
Estymator panelowy w przypadku równoczesnej
endogeniczności
Moz·e sie¾ zdarzyć, z·e wystepuje
¾
równoczesna korelacja miedzy
¾
zmiennymi objaśniajacymi
¾
a b÷
edem
¾
czystolosowym.
W takim przypadku E (zis0 uit ) = 0 dla wszystkich s, t ale
dopuszczamy, z·e wit wykazuje równoczesna¾ korelacje¾ z uit
W takim przypadku estymujemy model na pierwszych róz·nicach przy
uz·yciu zmiennych instrumentalnych pochodzacych
¾
spoza modelu (ale
0
moz·emy takz·e uz·yć zi i wit 2 , . . . , wi 0 jako instrumenty).
Jeśli w modelu nie wystepuj
¾ a¾ zmienne opóźnione moz·emy takz·e uz·yć
przekszta÷
cenia efektów sta÷
ych a nastepnie
¾
2MNK dla zmiennych
przekszta÷
conych.
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
10 / 24
Modele z indywidualnymi wspó÷
czynnikami
model losowego trendu
Najprostszym modelem tego typu jest model losowego trendu
yit = ci + gi t + xit β + uit
Stopa wzrostu w takim modelu (w przypadku modelu logliniowego)
jest róz·na dla poszczególnych jednostek
Za÷
oz·enie o ścis÷
a egzogeniczności wyglada
¾ w tym przypadku
nastepuj
¾ aco:
¾
E ( uit j xi 1 , . . . , xiT , ci , gi ) = 0
a model ma nastepuj
¾ ac
¾ a¾ postać:
E ( yit j xi 1 , . . . , xiT , ci , gi ) = E ( yit j xit ,ci , gi ) = ci + gi t + xit β
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
11 / 24
Modele z indywidualnymi wspó÷
czynnikami
model losowego trendu c.d.
Jednym z podejść do estymacji jest zastosowanie przekszta÷
cenia
pierwszych róz·nic:
∆yit = gi + ∆xit β + ∆uit , dla t = 2, . . . , T
i oszacowania uzyskanego modelu za pomoca¾ estymatora FE lub FD
Do zastosowania róz·nicowania musimy mieć T
zastosowania FE lub FD potrzebujemy T
3
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2, dla późniejszego
2016
12 / 24
Modele z indywidualnymi wspó÷
czynnikami
przypadek ogólny
Ogólna postać modelu z indywidualnymi wspó÷
czynnikami
yit = zit ai +xit β + uit
Za÷
oz·enie o ścis÷
ej egzogeniczności
E ( uit j zi , xi , ai ) = 0 dla t = 1, . . . , T
Model ten moz·na zapisać w formie macierzowej
yi = Zi ai +Xi β + ui
1
Zde…niujmy macierz Mi = IT Zi (Zi0 Zi ) Zi0 i pomnóz·my obie
strony równania z lewej strony przez ta¾ macierz
Mi yi = Mi Zi ai +Mi Xi β + Mi ui
| {z }
0
- i β + Mi ui
y- i = X
- i sa¾ resztami z regresji yi , Xi na Zi
gdzie y- i , X
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
13 / 24
Modele z indywidualnymi wspó÷
czynnikami
przypadek ogólny c.d.
Jeśli prawdziwe jest za÷
oz·enie o ścis÷
ej egzogeniczności, to
0 u ) = 0 i POLS zastosowany do przekszta÷
X
conego równania da
(
E i i
estymator zgodny
- 0X
Warunek rzedu
¾ E (X
i i ) = K moz·e zawieść jeśli sa¾ elementy xit ,
które nie zmieniaja¾ sie¾ w czasie
Jest moz·liwe uzyskanie zgodnych estymatorów wartości oczekiwanej
losowych wspó÷
czynników α = E (ai ), poniewaz· α jest równe
h
i
1 0
α = E Zi0 Zi
Zi (yi Xi β)
a zatem moz·e być oszacowana nastepuj
¾ aco:
¾
N
Jerzy Mycielski (UW)
b
α=
∑
i =1
h
Zi0 Zi
1
b
Zi0 yi Xi β
FE
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
i
2016
14 / 24
Modele z indywidualnymi wspó÷
czynnikami
przypadek ogólny c.d.
Nieobcia¾z·one ale niezgodne estymatory wspó÷
czynników moz·na
uzyskać ze wzoru:
b
ai = Zi0 Zi
Jerzy Mycielski (UW)
1
b
Zi0 yi Xi β
FE
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
15 / 24
Estymator Hausmana-Taylora
Czesty
¾ problem przy estymacji modelu za pomoca¾ estymatora efektów
sta÷
ych niemoz·liwe oszacowanie wspó÷
czynników, przy zmiennych
sta÷
ych w czasie
Za÷
óz·my, z·e model ma nastepuj
¾ ac
¾ a¾ postać:
yit = zi γ + xit β + ci + uit
Za÷
oz·enie o ścis÷
ej egzogeniczności:
E ( uit j xi 1 , . . . , xiT , ci ) = 0
Przekszta÷
cenie FE i FD eliminuja¾ zi i w konsekwencji γ
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
16 / 24
Estymator Hausmana-Taylora
najprostszy przypadek
Jeśli jednak E (zi0 ci ) = 0, to moz·na oszacować γ uz·ywajac
¾ faktu, z·e
= y i xi β
γ = E zi0 (y i xi β)
zi γ+ci + u i
E
zi0 zi
a wiec
¾ estymatorem γ jest
"
γ= N
Jerzy Mycielski (UW)
1
N
∑
i =1
zi zi0
#
1
"
N
1
N
∑
zi0
i =1
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
yi
b
xi β
FE
#
2016
17 / 24
Estymator Hausmana-Taylora
przypadek ogólny
Przypadek ogólny: zi = (zi ,1 , zi ,2 ), xit = (xit,1 , xit,2 ) i zak÷
adamy, z·e
zi 1 , xit,1 sa¾ nieskorelowane ci .
Konieczny warunek identy…kacji TK1 J2 , gdzie K1 jest liczba¾
zmiennych w xi 1t , J2 jest liczba¾ zmiennych w zi 2
Estymator Hausmana-Taylora wyliczany jest nastepuj
¾ aco:
¾
1
2
3
4
Przeprowadzamy regresje¾ 2MNK na próbie wymieszanej uz·ywajac
¾ jako
instrumentów (zi ,1 , x- it,1 , xoit,1 )
gdzie xoit1 = xoit,1 , xoit 1,1 , . . . , xoi1,1
b
b2c , σ
b2u i λ
Liczymy σ
Przeprowadzamy pseudo-odśrednianie zmiennej niezalez·nej, zmiennych
niezalez·nych oraz instrumentów
Przeprowadzamy regresje¾ 2MNK na zmiennych pseudo-odśrednionych
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
18 / 24
Testowanie stacjonarności w przypadku paneli
Model statystyczny
yit = ρi yit
odejmujac
¾ obu stron yit
1
1
+ zit γi + uit
otrzymujemy
∆yit = φi yit
1
+ zit γi + uit
yit jest niestacjonarne jeśli ρi = 1 (lub równowaz·nie φi = 0) dla
i = 1, . . . , N
zit zawiera elementy deterministyczne n.p. sta÷
a i trend zit = [1, t ]
Opracowano szereg testów stacjonarności, które róz·nia¾ sie¾ za÷
oz·eniami
dotyczacymi
¾
sta÷
ości ρi (lub równowaz·nie φi ), γi oraz w÷
asnościami
asymptotyczymi
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
19 / 24
Testowanie stacjonarności w przypadku paneli c.d.
W÷
asności asymptotyczne wia¾z·a¾ sie¾ g÷
ownie z pytaniem, czy test jest
zgodny dla N ! ∞ i T sta÷
ego, dla T ! ∞ i N ma÷
ego, czy tez· dla
jakiejś kombinacji tych za÷
oz·eń
Przy wyborze testów znaczenie ma takz·e za÷
oz·ony model trendów
deterministycznych
Testy (STATA)
Levin–Lin–Chu test
Harris–Tsavalis test
Breitung test
Im–Pesaran–Shin test
Fisher-type tests
Hadri LM test
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
20 / 24
Testowanie stacjonarności w przypadku paneli
W÷
asności testów
Test
LLC
LLC
LLC
HT
HT
HT
Breitung
Breitung
Breitung
IPS
IPS
IPS
Fisher
Hadri LM
Hadri LM
Trend
bez sta÷
ej
trend
bez sta÷
ej
trend
bez sta÷
ej
trend
trend
opóźnienia
trend z opóźnieniami
trend
Jerzy Mycielski (UW)
Asymptotyka
p .
N T
N T !0
N T !0
N ! ∞, T sta÷
e
N ! ∞, T sta÷
e
N ! ∞, T sta÷
e
(T , N ) !seq ∞
(T , N ) !seq ∞
(T , N ) !seq ∞
N ! ∞, T sta÷
e
(T , N ) !seq ∞
(T , N ) !seq ∞
T ! ∞, N sta÷
e
(T , N ) !seq ∞
(T , N ) !seq ∞
ρi dla H 1
ρi = ρ
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
ρi
=ρ
=ρ
=ρ
=ρ
=ρ
=ρ
=ρ
=ρ
6 = ρj
6 = ρj
6 = ρj
6 = ρj
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
Panel
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
niezbilansowany
niezbilansowany
niezbilansowany
niezbilansowany
zbilansowany
zbilansowany
2016
21 / 24
Testowanie kointegracji w przypadku paneli
Test Westerlunda
Proces Generujacy
¾ dane
pi
pi
∆yit = δi0 dt + αi (yi ,t
1
βi xi ,t
1 ) + ∑ αij ∆yi ,t
j+
∑
αij ∆xi ,t
j
+ εi
j = qi
j =1
gdzie wektor dt jest wektorem elementów deterministycznych
Przekszta÷
cajac
¾
∆yit = δi0 dt + αi yi ,t
1
λi0 xi ,t
pi
1
+ ∑ αij ∆yi ,t
pi
j
+
j =1
∑
αij ∆xi ,t
j
+ εit
j = qi
gdzie λi0 = αi βi
Jeśli αi = 0, to nie ma korekty b÷
edem
¾
i tym samaym nie zachodzi
kointegracja, jeśli αi < 0, to dla jednostki i kointegracja zachodzi
W zwiazku
¾
z tym hipoteza zerowa o braku kointegracji moz·e zostać
sformu÷
owana nastepuj
¾ aco:
¾
H0 : αi = 0 dla i = 1, . . . , N
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
22 / 24
Testowanie kointegracji w przypadku paneli c.d.
Hipoteza alternatywna moz·e być sformu÷
owana na dwa sposoby:
jeśli za÷
aoz·ymy, z·e dla poszczególnych jednostek panelu αi moga¾ być
róz·ne
H1 : αi < 0 dla pewnego i
(*)
jeśli za÷
oz·ymy, z·e dla wszystkich jednostek panelu αi sa¾ identyczne
H1 : αi = α < 0 dla i = 1, . . . , N
(**)
Statystyki otrzymywane dla (*) nazywamy statystykami grupowymi
(group-mean)
Statystyki otrzymywane dla (**) nazywamy statystykami panelowymi
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
23 / 24
Testowanie kointegracji w przypadku paneli c.d.
W procesie liczenia statystyki szacuje sie¾ metodami
nieparametrycznymi d÷
ugookresowa¾ macierz wariancji kowariancji
W obu przypadkach moz·emy zastosować statystyke¾ oparta¾ na
statystyce t (oznaczona¾ odpowiednio Gτ , Pτ ) lub na T b
α (oznaczone
jako Gα , Pα )
Wybór konkretnej statystyki zalez·y od analizowanego problemu
badawczego
Westerlund wyprowadzi÷rozk÷
ad asymptotyczny tych statystyk dla
(T , N ) !seq ∞
Jerzy Mycielski (UW)
Estymacja panelowa modeli dynamicznych
2016
24 / 24