Kliknij tutaj - Wydawnictwa PTM

112
Laureaci nagród
Jakub Gismatullin
laureat Międzynarodowej Nagrody Stefana Banacha
Doktor Jakub Gismatullin, laureat Międzynarodowej Nagrody Stefana Banacha PTM w roku 2010,
odnosił sukcesy już wcześniej. W szkole średniej
trzykrotnie startował w Olimpiadzie Matematycznej: raz był wyróżniony, dwukrotnie był laureatem
(w III i IV klasie). Brał też udział w związanych
z Olimpiadą międzynarodowych zawodach matematycznych. W czasie studiów matematycznych na
Uniwersytecie Wrocławskim w latach 2000–2005, w grudniu 2002 uzyskał nagrodę Fundacji na rzecz Uniwersytetu Wrocławskiego za wyniki
w nauce, otrzymywał też stypendium Ministra. W roku 2005 zdobył
nagrodę I stopnia w Konkursie im. J. Marcinkiewicza za pracę na temat
kombinatorycznych pregeometrii w ciałach algebraicznie domkniętych.
Była to jego praca magisterska. Później została opublikowana w Bulletin
of the London Mathematical Society [1].
Punktem wyjścia tej pracy było pytanie, czy odpowiednie pregeometrie w ciele liczb zespolonych C i ciele liczb rzeczywistych R
są izomorficzne. Autor odpowiedział na to pytanie negatywnie. Oparł
się tu na wynikach z dwóch prac Evansa i Hrushovskiego z lat dziewięćdziesiątych. Są to trudne prace, opisuje się w nich maksymalne
płaszczyzny rzutowe pojawiające się w algebraicznych pregeometriach
w ciałach algebraicznie domkniętych oraz ich ciała koordynatyzacji.
Gismatullin zauważył, że wiele z wyników Evansa i Hrushovskiego
z tych prac przenosi się na przypadek ciał, które nie są algebraicznie
domknięte. Scharakteryzował w ten sposób pewne maksymalne płaszczyzny rzutowe pojawiające się w takich ciałach i związane z nimi ciała
koordynatyzacji. Okazało się, że dla liczb rzeczywistych i liczb zespolonych są to różne ciała, stąd wynika natychmiast negatywna odpowiedź
na powyższe pytanie.
W latach 2005–2009 Gismatullin odbywał studia doktoranckie w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Wrocławskiego, zakończone doktoratem w roku 2009, którego byłem promotorem. W czasie studiów
doktoranckich spędził rok na uniwersytecie we Fryburgu Bryzgowijskim.
Laureaci nagród
113
Jego rozprawa doktorska związana jest z trudnym problemem konstrukcji nowych przykładów teorii nie-G-zwartych. Pojęcie teorii G-zwartej wprowadził Daniel Lascar w roku 1982 w pracy [8]. Lascar rozważał relacje równoważności określone na modelu teorii T, niezmiennicze
względem automorfizmów modelu i z ograniczoną liczbą klas abstrakcji. Najdrobniejsza z tych relacji zwana jest równością silnych typów
Lascara. Pojęcie to znalazło zastosowanie w latach dziewięćdziesiątych
XX wieku w przypadku teorii prostych. Tam równość silnych typów
Lascara jest typowo definiowalna, tzn. relacja ta jest definiowalna przy
pomocy koniunkcji pewnej liczby formuł. Wtedy właśnie mówimy, że
teoria jest G-zwarta. Pierwszy i dotychczas w zasadzie jedyny przykład
teorii nie-G-zwartej podał Martin Ziegler z uniwersytetu we Fryburgu
w artykule [7]. Struktura silnych typów Lascara została w dużej mierze
wyjaśniona w pracy [9].
Jakub Gismatullin powiązał konstrukcję nowego przykładu teorii
nie-G-zwartej z innym otwartym problemem teorii modeli: konstrukcją
grupy G, w której typowo spójna składowa G00 jest większa od niezmienniczo spójnej składowej G∞. Przez G00 i G∞ oznaczamy najmniejsze
podgrupy grupy G ograniczonego indeksu, które są odpowiednio: typowo
definiowalne i niezmiennicze na automorfizmy modelu.
Gismatullin odkrył oryginalną i obiecującą drogę konstrukcji grupy
G, gdzie G00 6= G∞, uzyskując na tej drodze istotny postęp. Zaproponowana przez niego metoda konstrukcji opiera się na planie konstrukcji grupy z niezmienniczo spójną składową generowaną w nieskończenie wielu krokach. Gismatullin wprowadził i zbadał kilka własnych oryginalnych kombinatorycznych pojęć związanych z grupami,
takich jak na przykład absolutna spójność. W ten sposób zredukował
problem z teorii modeli do problemu z algebry. Warto podkreślić, że
przy okazji wzmocnił znacznie niedawny wynik Shelaha na ten temat.
Mianowicie Shelah udowodnił w artykule [10], że w przypadku grup
abelowych z teorią z własnością NIP , niezmienniczo spójne składowe takich grup istnieją. Gismatullin udowodnił to samo, ale bez założenia abelowości. Wynik ten wzbudził żywe zainteresowanie wśród
specjalistów.
Gismatullin zbadał też szczegółowo szereg przypadków konkretnych
grup (takich jak pewne grupy algebraiczne, grupy pojawiające się w geometrii) pod kątem rozważanych przezeń własności kombinatorycznych.
Wyniki z rozprawy doktorskiej zostały opublikowane w killku pracach
[2, 4, 6]. Powstały też kolejne prace w tym kierunku [3, 5].
114
Laureaci nagród
Od jesieni 2010 roku Jakub Gismatullin przebywa na uniwersytecie
w Leeds, na stypendium Marii Curie. Z ośrodkiem tym związana jest
silna grupa specjalistów z teori modeli, z Dugaldem Macphersonem
i Anandem Pillayem na czele.
Ludomir Newelski (Wrocław)
Cytowane prace laureata
[1] Combinatorial geometries of field extensions, Bull. Lond. Math. Soc. 40
(2008), no. 5, 789–800.
[2] Model theoretic connected components of groups, przyjęta (sierpień 2009)
do Israel Journal of Mathematics.
[3] Boundedly simple groups of automorphisms of trees, wysłana (wrzesień
2009).
[4] Absolute connectedness of the classical groups, wysłana (luty 2010).
[5] Bounded simplicity and absolute connectedness of isotropic groups, wysłana.
[6] G-compactness and groups, Arch. Math. Logic 47 (2008), no. 5, 479–501
(współautor: L. Newelski).
Cytowane prace innych autorów
[7] E. Casanovas, D. Lascar, A. Pillay, M. Ziegler, Galois groups of first order
theories, J. Math. Log. 1 (2001), no. 2, 305–319.
[8] D. Lascar, On the category of models of a complete theory, J. Symbolic
Logic 47 (1982), no. 2, 249–266.
[9] L. Newelski, The diameter of a Lascar strong type, Fund. Math. 176 (2003),
no. 2, 157–170.
[10] S. Shelah, Minimal bounded index subgroup for dependent theories, Proc.
Amer. Math. Soc. 136 (2008), no. 3, 1087–1091 (electronic).