Gry w postaci ekstensywnej c.d.

Gry w postaci ekstensywnej c.d.
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 1/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
(1)
(2)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
(1)
(2)
w2 ((1), (2, 1))
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
(1)
(2)
w2 ((1), (2, 1))
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
(1)
(2)
w2 ((1), (2, 1))= 14 ·2+ 43 ·4 = 3 12
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
(1)
(2)
w̄((1), (2, 1)) =
3
1
1
4 · (2, 2) + 4 · (2, 4) = (2, 3 2 )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
(1,1) (1,2)
(1)
(2)
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(2,1) (2,2)
(2,3 12 )
w̄((1), (2, 1)) =
3
1
1
4 · (2, 2) + 4 · (2, 4) = (2, 3 2 )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Sprowadzanie do postaci normalnej
S1 = {(1), (2)},
(1)
(1,1)
(3,3)
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,2)
(3,3)
(2,1)
(2,3 12 )
(2,2)
(2,3 12 )
(2) (3 12 ,2) (1 12 ,1 12 ) (3 12 ,2) (1 12 ,1 12 )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 2/16
Po co postać norm.?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 3/16
Po co postać norm.?
wypłaty przy strategiach mieszanych
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 3/16
Po co postać norm.?
S1 = {(1), (2)},
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 4/16
Po co postać norm.?
S1 = {(1), (2)},
(1)
(1,1)
(3,3)
S2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(1,2)
(3,3)
(2,1)
(2,3 12 )
(2,2)
(2,3 12 )
(2) (3 12 ,2) (1 12 ,1 12 ) (3 12 ,2) (1 12 ,1 12 )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 4/16
Po co postać norm.?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 5/16
Po co postać norm.?
AA AB BA BB
O -1 1/2 -1/2 1
R 4/3 -2/3
1
-1
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 5/16
Po co postać norm.?
AA AB BA BB
O -1 1/2 -1/2 1
R 4/3 -2/3
1
-1
val=0
opt. σI = 47 (O) + 37 (R)
opt. σII = 13 (A, A) + 23 (A, B)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 5/16
Po co postać norm.?
AA AB BA BB
O -1 1/2 -1/2 1
R 4/3 -2/3
1
-1
val=0
opt. σI = 47 (O) + 37 (R)
opt. σII = 13 (A, A) + 23 (A, B)
jak zachować sie˛ w C1 ? w C2 ?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 5/16
Po co postać norm.?
AA AB BA BB
O -1 1/2 -1/2 1
R 4/3 -2/3
1
-1
val=0
opt. σI = 47 (O) + 37 (R)
opt. σII = 13 (A, A) + 23 (A, B)
jak zachować sie˛ w C1 ? w C2 ?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 5/16
Po co postać norm.?
AA AB BA BB
O -1 1/2 -1/2 1
R 4/3 -2/3
1
-1
val=0
opt. σI = 47 (O) + 37 (R)
opt. σII = 13 (A, A) + 23 (A, B)
jak zachować sie˛ w C1 ? w C2 ?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 5/16
Strategia mieszana –> behawioralna ?
Czy każda˛ strategie˛ mieszana˛
można „przetłumaczyć”
na behawioralna?
˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 6/16
Rozkłady pr. na liściach
gra n–osobowa
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
gra n–osobowa
prl (b̄) , prl (σ̄) – rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze
liści generowany przez układ strategii
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
gra n–osobowa
prl (b̄) , prl (σ̄) – rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze
liści generowany przez układ strategii
prl (σ̄−i ; bi ), prl (b̄−i ; σi )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
Przykład 3.
σI = 14 (P, P ) + 43 (P, L),
σII = 21 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
Przykład 3.
σI = 14 (P, P ) + 43 (P, L),
σII = 21 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
Przykład 3.
σI = 14 (P, P ) + 43 (P, L),
σII = 21 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P )
prl (σI , σII ) = 12 l3 + 41 l4 + 18 l5 +
1
12 l6
+
1
24 l7
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
Przykład 3.
σI = 14 (L, L) + 43 (P, L),
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
Przykład 3.
σI = 14 (L, L) + 43 (P, L),
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Rozkłady pr. na liściach
Przykład 3.
σI = 14 (L, L) + 43 (P, L),
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
prl (σI , bII ) = 18 l1 + 18 l2 + 38 l3 + 14 l4 + 81 l5
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 7/16
Równoważność strategii
Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi nazywamy równoważnymi,
gdy dla wszystkich ukł. strategii τ̄−i
(mieszanych/behawioralnych) przeciwników gracza i
prl (τ̄−i ; σi ) = prl (τ̄−i ; bi ).
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 8/16
Równoważność strategii
Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi nazywamy równoważnymi,
gdy dla wszystkich ukł. strategii τ̄−i
(mieszanych/behawioralnych) przeciwników gracza i
prl (τ̄−i ; σi ) = prl (τ̄−i ; bi ).
Przykład 4.
σII = 12 (a, P )+ 31 (b, L)+ 16 (b, P )
bII = (b, 23 L + 13 P )
równoważne?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 8/16
Równoważność strategii
Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi nazywamy równoważnymi,
gdy dla wszystkich ukł. strategii τ̄−i
(mieszanych/behawioralnych) przeciwników gracza i
prl (τ̄−i ; σi ) = prl (τ̄−i ; bi ).
Przykład 5.
σII = 12 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P )
bII = ( 12 a + 12 b, 32 L + 31 P )
równoważne?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 8/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 9/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Przykład 6.
bII = (A, 13 A + 23 B)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 9/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Przykład 7.
I
L
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
P
II
a
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
I
P
II
L
(2,3)
II
P
(1,2)
L
P
(−2,3) (3,3)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 9/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Przykład 7.
I
L
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
P
II
a
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
(a,L): 13 , (a,P): 16 , (b,L): 13 , (b,P):
I
P
II
L
(2,3)
1
6
II
P
(1,2)
L
P
(−2,3) (3,3)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 9/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 10/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Przykład 5.
σII = 12 (a, P ) + 31 (b, L) + 16 (b, P )
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
równoważne?
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 10/16
Własności
(RS1) Strategie bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi sa˛ równoważne, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla wszystkich ukł. strategii s̄−i ∈ S̄−i
prl (s̄−i ; σi ) = prl (s̄−i ; bi ).
Przykład 5.
σII = 12 (a, P ) + 31 (b, L) + 16 (b, P )
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
równoważne?
(RS2) bi ∈ Bi oraz σi ∈ Mi równoważne, (τ̄−i ; σi ), (τ̄−i ; bi ).
O prawd. dojścia do wierzch. drzewa.
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 10/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne.
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne.
Przykład 7. – c.d.
I
L
II
a
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
P
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
(a,L): 13 , (a,P): 16 , (b,L): 13 , (b,P):
I
P
II
L
(2,3)
1
6
II
P
(1,2)
L
P
(−2,3) (3,3)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne.
Przykład 7. – c.d.
I
L
II
a
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P )
P
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
(a,L): 13 , (a,P): 16 , (b,L): 13 , (b,P):
I
P
II
L
(2,3)
II
P
(1,2)
L
1
6
σII = 13 (a, L)+ 16 (a, P )+ 13 (b, L)+ 16 (b, P )
P
(−2,3) (3,3)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne. Uwaga!
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne. Uwaga!
Przykład 5. – c.d.
σII = 12 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P )
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 31 P )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne. Uwaga!
(RS4) Dla każdej strategii behawioralnej istnieje równoważna
jej strategia mieszana.
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Własności
(RS3) Każdej strategii behawioralnej bi odpowiada (naturalny)
rozkład pr. na Si . Jeżeli rozkład ten jest taki sam jak σi ,
to σi i bi sa˛ równoważne. Uwaga!
(RS4) Dla każdej strategii behawioralnej istnieje równoważna
jej strategia mieszana.
(RS4’) Istnieja˛ gry, w których nie dla każdej strategii mieszanej
istnieje równoważna jej strategia behawioralna.
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 11/16
Przykład 8
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 12/16
Przykład 8
σI = 12 (L, L) + 12 (R, R)
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 12/16
Gry z pami˛ecia˛ doskonała˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 13/16
Gry z pami˛ecia˛ doskonała˛
Czy to gra z pamieci
˛ a˛ doskonała?
˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 13/16
Gry z pami˛ecia˛ doskonała˛
Czy to gra z pamieci
˛ a˛ doskonała?
˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 13/16
Gry z pami˛ecia˛ doskonała˛
Czy to gra z pamieci
˛ a˛ doskonała?
˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 13/16
Twierdzenie Kuhna
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 14/16
Twierdzenie Kuhna
Twierdzenie (Kuhn 1953).
W każdej grze n−osobowej, w postaci ekstensywnej, z
pamieci
˛ a˛ doskonała,
˛ dla każdej strategii mieszanej istnieje
równoważna jej strategia behawioralna.
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 14/16
Wyznaczanie równoważnej str. beh.
Przykład 7.
σI = 18 (L, P, P, L) + 12 (L, L, P, P ) + 18 (P, L, P, L) + 41 (P, P, L, P )
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 15/16
Gry z pełna˛ informacja˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 16/16
Gry z pełna˛ informacja˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 16/16
Gry z pełna˛ informacja˛
Gry w postaci ekstensywnej c.d. – p. 16/16