Dynamiki 2

Dynamiki 2
22 października 2013
Zadania
[KI] Autostrady na Euro Twoim zadaniem będzie zbudowanie autostrady na Euro (lepiej późno niż wcale).
Autostrada ma mieć długość n ≤ 1 000 000 kilometrów. Do pomocy zgłosiło się m ≤ 1 000 000 firm, a i-ta
z nich zaoferowała, że zrobi pewien odcinek [ai , bi ] za cenę ci . Jeśli jednak oferty dwóch odcinków się
częściowo pokrywają, to za tę część wspólną trzeba będzie i tak zapłacić dwa razy. Jakie oferty wybrać,
aby zbudować całą autostradę jak najmniejszym kosztem?
[KI] Krasnale Krasnale do codziennej wieczerzy siadają przy długim, jednostronnym stole. Miejsca są ponumerowane od 1 do n, gdzie numer 1 jest najbliżej kuchni, a n najdalej. Z tego powodu, miejsce miejscu nie
jest równe – te lepsze miejsca mają mniejsze numery. Zdarza się, że jakiś krasnal uważa się za fajniejszego
od innego krasnala – wtedy ten fajniejszy krasnal musi koniecznie zająć miejsce o mniejszym numerze.
Znając niektóre zależności między krasnalami (który jest fajniejszy od którego), znajdź liczbę różnych
usadzeń krasnali przy stole. Ograniczenie: n ≤ 19.
[CF CROC-MBTU 2012, ER] Queries for Number of Palindromes Jest dane słowo s o długości nie
większej niż 5 000. Dla q ≤ 1 000 000 zapytań postaci pary liczb (a, b), odpowiedz ile podsłów słowa
sa sa+1 . . . sb to palindromy.
[KI] Zachłanny wąż Wąż porusza się po planszy o wymiarach n × m (1 ≤ n, m ≤ 50). Z dowolnego pola
może się przemieszczać w górę, w prawo, w lewo lub w dół pod warunkiem, że nie wyjdzie poza planszę.
Wąż chce wykonać trzy przejścia:
1. od lewego górnego rogu do prawego dolnego, poruszając się tylko w prawo lub w dół
2. od prawego dolnego rogu do lewego górnego, poruszając się tylko w górę lub w lewo
3. od lewego górnego rogu do prawego dolnego, poruszając się tylko w prawo lub w dół
Kiedy wąż odwiedzi jakieś pole, to zabiera skarb, który się na nim znajduje. Natomiast jeśli wejdzie na
jakieś pole po raz kolejny, to nie zbiera skarbu, bo już go tam nie ma. Znając wartości skarbów w każdym
polu, powiedz zachłannemu wężowi, jaki maksymalny łup może zebrać.
[KI] Basen Basen jest podzielony na n ≤ 400 torów i obecnie pływa na nim s ≤ 1 500 ludzi. Aby spełnić
przepisy BHP pływalni, ratownik Piotrek musi tych ludzi poprzemieszczać tak, aby liczby ludzi na sąsiednich torach różniły się nie więcej niż o 1. Piotrek może kazać konkretnej osobie przepłynąć na konkretny,
sąsiedni tor. Jeśli chce tę osobę przenieść gdzieś dalej, to musi wydać wiele poleceń. Znając dokładne
rozmieszczenie ludzi po torach, stwierdź, ile minimalnie poleceń Piotrek musi wydać, aby przepisy nie były
naruszone.
[ONTAK 2010] Monopolista Na płaszczyźnie jest n ≤ 100 000 wieżowców, do których trzeba doprowadzić
Internet. Masz do dyspozycji dowolnie wiele kabli o długości c ≤ 1 000 000 000. Możesz zatem połączyć
dwa dowolne budynki wtedy i tylko w tedy, gdy starczy między nimi kabla, czyli odległość między tymi
budynkami jest nie większa niż c. Odległość to nie jest jednak długość odcinka łączącego wieżowce. Taki
kabel przechodziłby przez miasto, więc trzeba go położyć wzdłuż ulic, które są izotetyczne1 , czyli, aby
połączyć dwa wieżowce o współrzędnych (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), trzeba zużyć |x1 − x2 | + |y1 − y2 | kabla. Jeśli
położysz kabel między każdą parą wieżowców, dla której da się to uczynić, to ile spójnych składowych
powstanie i jaki będzie rozmiar tej największej?
1 izotetyczny
- równoległy do jednej z osi układu współrzędnych