Lista 4

Podstawy nauczania matematyki
EE I rok
Lista 4
(działania dwuargumentowe, liczby naturalne, działania na liczbach naturalnych)
Zad.4.1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy dowolną funkcję, która każdej
uporządkowanej parze (a,b) ze zbioru A2 przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru A. Zbadaj, czy
następujące zapisy są działaniami w podanych zbiorach:
1) dodawanie w zbiorze liczb jednocyfrowych;
2) dodawanie w zbiorze liczb parzystych nieujemnych;
3) odejmowanie w zbiorze liczb naturalnych;
4) dodawanie w zbiorze liczb pierwszych;
5) mnożenie w zbiorze liczb złożonych.
Zad.4.2. Przyjmijmy: h(a,b)=b dla dowolnych a,b Î N. Czy określiliśmy działanie w zbiorze N?
Zad.4.3. Weżmy pod uwagę zbiór A={0,1,2,3}. Symbol +4 oznacza dodawanie modulo 4, tzn. że każdej parze
liczb (a,b)Î A przyporządkowano resztę z dzielenia sumy liczb a i b przez 4. Na przykład: 2+43=1, bowiem
2
5=1∙4+1. Podobnie symbol ×4 oznacza mnożenie modulo 4; każdej parze liczb (a,b) Î A przyporządkowano
resztę z dzielenia iloczynu liczb a i b przez 4.
1) Oblicz 3 ×4 2, 2 ×4 4, 2+42, 3+43.
2) Sporządź tabelki działań +4 oraz ×4 w zbiorze A.
2
Zad.4.4. W zbiorze T={0,1,2,3,4,5,6} wprowadzono działanie +7 (jeżeli liczby oznaczają kolejne dni tygodnia
począwszy od niedzieli, to +7 nazywamy „dodawaniem tygodniowym”).
1) Sporządź tabelkę działania +7.
2) Dokonaj analizy rozwiązania:
Dzisiaj jest środa (piątek). Jaki dzień tygodnia będzie po upływie 10 (100, 1000) dni?
Zad.4.5. Dany jest prostokąt. Symetrię tego prostokąta względem osi poziomej oznaczmy przez Sl, symetrię
względem osi pionowej przez - Sm, obrót dookoła środka o kąt 180 (w dowolnym kierunku) przez - R, zaś
przekształcenie tożsamościowe, tj. takie, w którym wszystkie punkty prostokąta są stałe, przez I.
1) Sprawdź, czy każdej parze składanych kolejno przekształceń ze zbioru { Sl, Sm, R, I } odpowiada tylko
jedno przekształcenie tego zbioru. Oznaczając to przekształcenie przez „ o ” mamy na przykład: Sl o Sm=
R (zauważ, że zapis ten znaczy: najpierw wykonujemy przekształcenie Sm, a następnie - Sl).
Sprawdź, czy tabelka działania „ o ” jest poprawna.
I
Sl
Sm
R
o
I
I
Sl
Sm
R
Sl
Sl
I
R
Sm
Sm
Sm
R
I
Sl
R
R
Sm
Sl
I
Zad.4.6. Na zajęciach wychowania fizycznego podajemy komendy: „w prawo zwrot” (p), „w lewo zwrot” (l),
„w tył zwrot” (t), „stój” (s). Zbiór tych komend ma postać: K={p,l,t,s}. Każdej parze komend
przyporządkowujemy ich złożenia (oznaczmy je przez f), tj. pozycję osoby w stosunku do jej położenia
początkowego. Na przykład mamy: tfl=f(t,l)=p (dwie kolejne komendy „w tył” oraz „w lewo” można zastąpić
rozkazem „w prawo”).
1) Wykonaj kilka takich ćwiczeń i zapisz symbolicznie wyniki.
2) Zbuduj tabelkę działania f.
Zad.4.7. Przeczytaj uważnie poniższy opis i podaj, w jakich aspektach użyte są liczby: „Drogą szerokości 2 m
maszerowało 9 gęsi. Pierwsza i druga były białe. Trzy następne czarne. Szósta i siódma były siodłate, a 15
kroków za nimi szły pozostałe dwie i miały po trzy kokardki”.
Zad.4.8. Zapis (cn cn-1 ...c1 c0 )g oznacza pewną liczbę naturalną przedstawioną w systemie pozycyjnym o
podstawie g. Przyjmujemy, że g jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą od 1, zaś cn, cn-1,..., c1, c0
oznaczają liczby 0, 1, 2, ..., g-1 oraz cn ¹ 0.
Liczbę trzydzieści siedem zapisz w systemie:
1) dziesiątkowym; 2) dwójkowym;
3) trójkowym;
4) czwórkowym;
5) piątkowym;
6) jedenastkowym; 7) szesnastkowym; 8) dwudziestkowym.
Ile różnych cyfr ma liczba przedstawiona w każdym z tych systemów?
Zad.4.9. Posługując się metodami manipulacyjnymi (odpowiednie grupowanie elementów) przedstaw liczby:
dziewięć, dziewiętnaście, trzydzieści w systemie:
1) dwójkowym;
2) trójkowym;
3) piątkowym;
4) dziesiątkowym.
Zad.4.10. Zbuduj drzewa dla liczb: siedem, piętnaście, dwadzieścia, dwadzieścia trzy, trzydzieści trzy w
systemach:
1) dwójkowym;
2) trójkowym;
3) czwórkowym;
4) dziesiątkowym.
Zad.4.11. Sporządź drzewa dla liczb (11011)2 i (2121)3 oraz przedstaw te liczby w systemie dziesiątkowym.
Zad.4.12. Poniżej przedstawiono pary liczb w systemie rzymskim. Porównaj je, a następnie zapisz w systemie
dziesiątkowym używając cyfr arabskich, cyfr indyjsko-arabskich i wschodnio-indyjsko-arabskich:
1) IV i VI ;
2) X i IX ;
3) XL i LXX ;
4) CIII i CV ;
5) CXL i CLX ;
6) XCI i XCII ;
7) MDCCLX i MDCCXLII ; 8) MCMLXXXVII i MM ;
9) XXXIII i XXIX ; 10) CCVIII i CCX ; 11) DCX i DXC ;
12) MCDXLI i MDCLXI .
Wskazówka:
Cyfry arabskie
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cyfry indyjskoarabskie
۰ ۱ ۲ ۳ ٤ ٥ ٦ ۷ ۸ ۹
Cyfry
wschodnioindyjsko-arabskie
۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Zad.4.13. Zapisz w systemie rzymskim i systemie Majów liczby:
1) 101 ;
2) 297 ;
3) 333 ;
4) 1988 ;
5) 2010 ;
6) 3479 ;
7) rok swego urodzenia.
Wskazówka:
1) System rzymski
1
5
10
50
100
500
1000
I
V
X
L
C
D
M
2
3
4
5
6
2) System Majów
0
1
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Zad.4.14. Dzieci chciały zapisać na tablicy wszystkie liczby naturalne większe od 10 i nie większe od 100.
Oblicz, ile napiszą cyfr. Ile razy użyta będzie każda cyfra?
Zad.4.15. Oblicz, ile jest liczb dwucyfrowych większych od 5, a mniejszych od 55.
Zad.4.16. Z książki wypadła środkowa kartka o numerach stron 19 i 20. Ile stron liczyła książka? Ile miała
kartek?
Zad.4.17. Korzystając z definicji odejmowania dla liczb naturalnych oraz z podstawowych własności działań,
uzasadnij równości:
1) (76+17)-17=76;
2) (43+19)-3=(43-3)+19;
3) (79-13)-16=79-(13+16).
Zad.4.18. Z jakich własności działań korzystamy przy obliczaniu:
1) 57-38;
1) 148+38;
3) 78-39;
4) 197+197;
5) 36∙7;
6) 16∙23;
7) 102∙38?
Wskaż kilka sposobów obliczeń i wybierz najprostszych z nich.
Zad.4.19. Korzystając z własności działań na liczbach naturalnych, uzasadnij równości:
1) (54+42):6=54:6+42:6;
2) (48∙9):8=(48:8)∙9;
3) (132:6):2=132:(6∙2).
Zad.4.20. Oblicz w pamięci, uzasadniając postępowanie:
1) 146+878-46+122;
2) 1987+2354+13+46;
3) 465∙7∙2;
4) 125∙174∙4∙2.
Zad.4.21. Za pomocą grafów strzałkowych oraz drzew przedstaw wyrażenia:
1) (16+4) ∙5+12;
2) (4∙13+8) ∙5-15;
3) (3+7) ∙17-7+14-3;
4) 4∙11-4∙7;
5) 49:7-3∙2;
6) 7∙ (2∙3+3∙8)-7.
Zad.4.22. Wykonać sposobem pisemnym następujące działania:
1)
189
;
+ 267
2)
870
;
- 458
3)
35
;
´ 57
4)
Zad.4.23. Wykonać sposobem pisemnym następujące działania:
1)
42 5
+ 35
2)
1012
+ 110 2
3)
2046
+ 336
7836 : 6 .
4)
7)
10)
315
- 45
,
1103
+ 2103
148
´ 78
5)
,
8)
,
11)
13) 12013 : 2 3 ,
1448
6)
- 458
2013
,
9)
,
12)
- 112 3
235
´ 42 5
14) 10012 : 112 ,
1005
- 145
50 0 6
- 15 5 6
34 6
´ 436
,
,
,
15) 1252 6 : 14 6 .
Zad.4.24. Przeprowadzić obliczenia związane z czasem:
1) 22 11' 48' '+6 52' 25' ' ,
h
h
h
2) 4 × 2 h 29' 25' ' ,
3) 30 49'13' ' : 18 .
Zad.4.25. Kwadratem magicznym nazywamy taki kwadrat liczbowy, w którym sumy liczb w wierszach,
kolumnach oraz na przekątnych tabelki są równe. Poniższy rysunek przedstawia kwadrat magiczny o sumie 12.
5
0
7
6
4
2
1
8
3
Sprawdź, czy z kwadratu przedstawionego na rysunku otrzymamy znów kwadrat magiczny, jeżeli:
1) do każdej z liczb dodamy tę samą liczbę ( na przykład 3);
2) odbijemy kwadrat względem przekątnej;
3) odbijemy kwadrat względem osi symetrii (poziomej lub pionowej);
o
o
4) obrócimy kwadrat o kąt 90 (lub o 270 ) w lewo lub w prawo;
5) pomnożymy każdą z liczb przez tę samą liczbę naturalną dodatnią (na przykład 4).
Spróbuj uzasadnić podane własności kwadratu magicznego.
Zad.4.26. Poniższe tabelki uzupełnij tak, aby przedstawiały one kwadraty magiczne:
1)
10
8
4
6
30
5
2)
0
20
10
Sprawdź, czy dodając do siebie (odejmując) liczby na odpowiednich polach kwadratów a) i b) otrzymamy nowe
kwadraty magiczne.