1 31. Dwie masy wiszą na nici umieszczonej na krążku, jak na

WM-E; kier. MBM, lista zad. nr 6. pt. (z karty przedmiotu): Rozwiązywanie wybranych zagadnień z
zakresu dynamiki ruchu z wykorzystaniem pojęć: pracy mechanicznej, energii kinetycznej i potencjalnej,
twierdzenia o pracy i energii oraz zasady zachowania energii, do kursu Fizyka 1.6, r. ak. 2015/16; pod koniec
listy zadania do samodzielnego rozwiązania.
31. Dwie masy wiszą na nici umieszczonej na krążku, jak na rysunku obok po lewej
stronie. Stosując zasadę zachowania energii wyznaczyć prędkość masy
m1 w momencie, gdy masa m2 > m1 osiągnie zakreskowany poziom.
Masy krążka i nici pominąć.
32. Paciorek P ślizga się bez tarcia po pętli z drutu (patrz rysunek po
prawej stronie). Jeśli wysokość początkowa wynosi h = 5R, to jaką ma
on prędkość w punkcie A? Ile wynosi nacisk paciorka na drut w tym punkcie?
33. Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem stałej siły F =
70N skierowanej pod kątem 20o do poziomu. Blok przesunięto o s = 5,0 m, a współczynnik tarcia
kinetycznego µk = 0,30. Obliczyć pracę: (a) siły F; (b) składowej pionowej wypadkowej siły działającej
na blok; (c) siły grawitacji; (d) siły tarcia.
34. A) Z wysokości h rzucono pionowo w dół piłkę o masie m, Jaką początkową prędkość v0 należy
nadać piłce, aby po odbiciu od podłoża wniosła się na wysokość 2h? Rozważ przypadki: a) idealnie
sprężyste odbicie od podłoża, b) strata 20% energii podczas odbicia, c) uwzględnienia stałej siły oporu F0
działającej podczas całego ruchu piłki. B) W górę równi o kącie nachylenia
α = 30o i nieznanej wysokości h zostało pchnięte ciało o masie 0,1 kg z
prędkością początkową 13,5 m/s. Współczynnika tarcia ciała o równię
wynosi 0,4. Wyznacz wartości h, przy których ciało nie spadnie z równi. Jak
należałoby rozwiązywać to zadanie za pomocą II zasady dynamiki (metoda
dynamiczna)? Czy wyniki końcowe będą takie same? W czym metoda z wykorzystaniem twierdzenia o
pracy i energii jest lepsza od metody dynamicznej?
35. Kula o masie M = 0,005 kg i prędkości V = 600 m/s ugrzęzła w drewnie na głębokość D = 4 cm.
Wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej na kulę oraz czas hamowania kuli w drewnie.
36. W najwyższym punkcie kuli o promieniu R (patrz rys. po lewej stronie)
znajduje się małe ciało w położeniu równowagi chwiejnej. Przy najmniejszym
wychyleniu z tego położenia ciało zacznie się zsuwać po powierzchni kuli.
Wyznacz kąt α jaki zatoczy ciało po powierzchni kuli do miejsca oderwania
się. W jakiej odległość od punktu I ciało upadnie na poziomą płaszczyznę?
37. Współczynnik tarcia statycznego opon samochodu osobowego na powierzchni jezdni wynosi fS =
0,86, natomiast współczynniki tarcia kinetycznego (samochód hamuje mając zablokowane/nieobracające
się koła, taki ruch odbywa się z poślizgiem czemu towarzyszy efekt akustyczny: pisk opon) wynosi fK =
0,66. Oblicz różnicę dróg hamowania tego samochodu w przypadkach poprawnego działania systemu
ABS (ruch bez poślizgu) i przy wyłączonym systemie ABS, jeśli początkowe prędkości samochodów
wynosiły: 36 km/h, 72 km/h i 90 km/h. Wyniki należy zamieścić w 4-kolumnowej tabeli zawierającej
prędkości początkowe w m/s, drogi hamowania oraz różnicę dróg hamowania.
Wrocław, 3 listopada 2015
Oprac. W. Salejda
1
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
W obliczeniach przyjąć g = 10 m/s2.
1. Zagadnienie egzaminacyjne. (30 pkt) Przedstaw pisemnie zasady zachowania energii mechanicznej oraz
definicje stosowanych w ich zapisie matematycznym wielkości wraz z jednostkami miar w sytuacjach
przedstawionych poniżej w części A): a) dla ciała o masie m poruszającego się z prędkością v w polu
grawitacyjnym Ziemi blisko jej powierzchni i w dużych od niej odległościach (8 pkt.); b) dla cząstki o masie m,
ładunku q, poruszającej się z prędkością v w polu elektrostatycznym ładunku punktowego +Q (4 pkt.). c) Opisz
warunki stosowalności tych zasad. (4 pkt.).
B) Z powierzchni planety (pozbawionej atmosfery gazowej) o masie M i promieniu R wystrzelono pionowo do
góry ciało o masie m z prędkością (GM/R)1/2. Napisz równanie pozwalające wyznaczyć wartość wysokości h, na
którą wzniesie się to ciało, ale nie przekształcaj równania w celu obliczenia h. (2 pkt.)
C) Z powierzchni metalowej sfery o promieniu R naładowanej ładunkiem +Q wyemitowany został pionowo w
górę elektron z prędkością [k⋅Q⋅e/(5⋅R⋅me)]1/2. Napisz równanie pozwalające wyznaczyć wartość wysokości h, na
którą wzniesie się elektron, ale nie przekształcaj równania w celu obliczenia h. (4 pkt.)
D) Z powierzchni planety (pozbawionej atmosfery gazowej) o masie M = 6⋅1024 kg, promieniu R = 6,4⋅106 m,
naładowanej ładunkiem +Q = 1C wyemitowano pionowo w górę elektron o ładunku e = –1,6 ⋅10–19 C, masie me =
9⋅10-31 kg nadając mu prędkość równą wartości drugiej prędkości kosmicznej (2GM/R)1/2. Pokaż, że wzór
h = R ⋅ G ⋅ M ⋅ me
( k ⋅ Q ⋅ e ) określa wysokość h
na jaką wzniesie się elektron ponad powierzchnię naładowanej
planety. Policz tę wartość i skomentuj otrzymany wynik. (8 pkt.)
2. Zagadnienie egzaminacyjne. Podaj treść: a) zasady zachowania energii mechanicznej;
opisz przy jakich warunkach jest spełniona; b) twierdzenia o pracy i energii kinetycznej.
2A) Dolna powierzchnia budowalnego młota kafara (zabawkowy model na zdjęciu obok) jest
odległa o h = 5,3 m od górnej powierzchni stojącego nieruchomo pionowo i wbijanego w
grunt słupa budowlanego. Środek masy spadającego pionowo w dół młota o masie
m = 120 kg przemieścił się na odległość s = 5,42 m.
2B) Z jaką średnią siłą F działał młot na słup w trakcie wbijania słupa?
2C) Jaką wartość prędkości v miał środek masy kafara w chwili, gdy młot kafara uderzał w
słup?
2D) Samochód, którego wektor prędkości początkowej ma wartość v0 = 12 m/s hamuje na drodze o długości s0.
Jeśli ten samochód jadący początkowo z prędkością v1 = 42 m/s zacznie hamować, to jaka będzie jego droga
hamowania, jeśli hamowania zachodzą na tej samej nawierzchni, a s0 = 11 m.
3. Opisz zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała wykonującego dowolny ruch. Przedstaw
warunki jej stosowalności.
3A) Zagadnienie egzaminacyjne. Przedstaw treść fizyczną twierdzenia o pracy i energii kinetycznej. Samochód,
którego wartość prędkości początkowej wynosiła 11 m/s hamuje na prostoliniowym odcinku drogi s0. Jeśli ten
samochód o prędkości początkowej 58 m/s zacznie hamować na tej samej nawierzchni, to o ile razy wzrośnie jego
droga hamowania? Podaj uzasadnienie wyniku, ponieważ jego brak zdyskwalifikuje odpowiedź.
3B) Kulkę o masie m rzucono pionowo w dół z wysokości H = 25,4 m nadając jej prędkość początkową v0 = 3,2 m/s (patrz rysunek po lewej stronie). Podczas spadku na kulkę działała jedynie siła
przyciągania grawitacyjnego Ziemi. Na jakiej wysokości h energia kinetyczna kulki była równa jej
energii potencjalnej? Podaj uzasadnienie wyniku, ponieważ jego brak zdyskwalifikuje odpowiedź.
4. Zagadnienie egzaminacyjne. (18 pkt.) Piłeczka pingpongowa została upuszczona z dużej
wysokości w ziemskim polu grawitacyjnym i atmosferze ziemskiej. Na piłeczkę spadającą
pionowo w dół działała siła oporu zależna od prędkości v o wartości F = Cρv2S/2, gdzie ρ – gęstość powietrza, S –
pole przekroju prostopadłego ciała w stosunku do wektora prędkości, C – bezwymiarowy współczynnik.
A) Opisz** siły działające na spadającą piłeczkę. (2 pkt.)
B) Opisz rodzaje ruchu**, jakie wykonała spadająca piłeczka. (2 pkt.)
C) Wyprowadź** wzór pozwalający, po podstawieniu wartości wielkości h, C, ρ, S, g, m obliczyć prędkość z jaką
upuszczona piłeczka uderzy o grunt (powietrze jest nieruchome). (4 pkt.)
D) Geostacjonarny satelita Ziemi orbituje w płaszczyźnie równika w odległości R od jej środka z prędkością
kątową równą prędkości kątowej ω obracającej się Ziemi wokół osi północ-południe.
2
D1) Podaj dla Ziemi liczbowe wzory* pozwalające wyznaczyć (ale nie obliczaj) wartość ω oraz wartość średniej
prędkości kątowej Ω Ziemi na orbicie okołosłonecznej wymieniając wielkości, których wartości są niezbędne są do
obliczenia Ω. (4 pkt.)
D2) Pokaż**, że R3 = GMZ/ω2, gdzie MZ – masa Ziemi. (4 pkt.)
E) Nieznaną masę MP dowolnej planety Układu Słonecznego można określić znając promień orbity RK oraz
okres TK obiegu wokół tej planety jej księżyca. Oszacuj wartość masy Ziemi wiedząc, że średnia odległość
Księżyca od Ziemi wynosi 3,85ˑ108 m a okres obiegu jest równy 27,3 dni; wartość stałej grawitacji przyjmij 6,7ˑ1011
Nm2/kg2. (6 pkt.)
4. (23 pkt.) A) Przedstaw i opisz** zasady:
A1) dynamiki Newtona, (6 pkt.)
A2) zachowania, które poznałaś/poznałeś w trakcie kursu (10 pkt)
podając warunki stosowalności oddzielnie dla A1) i A2).
B) W wahadło balistyczne o masie M uderzył i utkwił w nim pocisk o masie m lecący ze znaną prędkością
początkową v0, co ilustruje rys. obok. W wyniku zderzenia wahadło wraz z
pociskiem wzniosło się na nieznaną wysokość h. Wyprowadź wzór* na h. (4 pkt.)
C) Wyjaśnij dlaczego momenty pędów wszystkich planet Układu Słonecznego są
stałe w czasie**? (3 pkt.)
5. Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo
do góry z prędkością V0 = 5 m/s. Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem)
wyniosła |Vk| = 5V0. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H nad
powierzchnię ziemi wzniosło się ciało?
Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość początkową V0 = 5m/s. Ciało uderzyło o ziemię
z prędkością Vk = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało rzucone? Jaką prędkość V1 miało to ciało w chwili, gdy
przebyło drogę s1 = H/6? Ile sekund trwał ruch ciała?
6. Zagadnienie egzaminacyjne. [26 pkt.] A) Przedstaw pisemnie zasady dynamiki
Newtona (8 pkt.), definicje użytych w zapisie matematycznym tych zasad pojęć,
symboli, wielkości fizycznych wraz z ich jednostkami miar. (4 pkt.) W jakich układach
odniesienia można, a w jakich nie można tych zasad stosować? (2 pkt.)
B) Rysunek po lewej stronie przedstawia ciało o masie m wciągane siłą F1 ze stałą
prędkością. Dla jakiej wartości siły F1 (patrz rys. ) ciało to może wykonywać taki ruch?
Przyjąć za dane: m, g, współczynnik tarcia µ oraz kąt α. (6 pkt.)
C) Masz do swojej dyspozycji płaską, wycyklinowaną drewnianą deskę, sześcienny
kawałek miedzi o boku 5 cm, płaski poziomy stół, kątomierz, przymiar (pokazane
po prawej stronie), tablicę wartości funkcji trygonometrycznych, kalkulator. Opisz
i uzasadnij metodę doświadczalnego wyznaczania, przy zastosowaniu wybranych – wyżej
opisanych przyrządów, tablicy lub kalkulatora – statycznego współczynnika tarcia
miedź/drewno. (6 pkt.)
7. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością V, a punkt B 
leżący 3m wyżej niż punkt A — z prędkością 12V. Oblicz: (a) prędkość V; (b) maksymalną wysokość wzniesienia
się kamienia ponad punkt B.
8. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1m jego prędkość była równa V = 7,6i + 6,1j.
Jaka jest maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem)
kamienia?
9. Sterowiec porusza się na wysokości H = 2000m w kierunku poziomym z prędkością U = 20 m/s. Ze sterowca
wyrzucono kulkę metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową V = 5m/s (względem sterowca) w chwili,
gdy przelatywał on nad wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie. Jak daleko od masztu
upadła kulka? Wyznaczyć wektor prędkości V1 i wysokość H po czasie t = 3 s od momentu jej wyrzucenia ze
sterowca. Opory powietrza zaniedbać.
10. Wartość prędkości początkowej pewnego pocisku wyrzuconego ukośnie jest pięć razy większa od jego
prędkości w punkcie maksymalnego wzniesienia. Pod jakim kątem wystrzelono pocisk?
11. Klocek został pchnięty w górę wzdłuż idealnie gładkiej równi pochyłej o kącie 30o z prędkością początkową
12 m/s. Jak daleko wzniesie się klocek wzdłuż równi? Ile czasu zajmie mu wzniesienie się na największą
wysokość?
12. Człowiek o masie M = 65 kg wsiada do windy, która rusza w górę i jedzie przez 4 s ze stałym przyspieszeniem
1,5 m/s2, potem ze stałą prędkością i zbliżając się do piętra 10. porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym o
wartości opóźnienia 2,5 m/s2. Obliczyć nacisk człowieka na windę na poszczególnych etapach ruchu windy.
3
Rozwiąż to zadanie w spoczywającym (inercjalnym) układzie odniesienia oraz w (nieinercjalnym) układzie
związanym z windą. W obliczeniach przyjąć g = 10 m/s2.
13. Człowiek o masie 70 kg wsiada do windy, która rusza w dół i jedzie przez 3 s ze stałym przyspieszeniem 1,7
m/s2, następnie jedzie ze stałą prędkością i zbliżając się do parteru porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym o
wartości opóźnienia 2,1 m/s2. Obliczyć siłę z jaką człowieka działa na windę na poszczególnych etapach ruchu
windy. Rozwiąż to zadanie w spoczywającym (inercjalnym) układzie odniesienia oraz w (nieinercjalnym) układzie
związanym z windą. Ile wynosiłaby siła nacisku, gdyby przyspieszenie ruszającej windy byłoby równe g? W
obliczeniach przyjąć g = 10 m/s2.
14. Największy i najmniejszy „ciężar” człowieka stojącego na wadze umieszczonej w windzie wynosi odpowiednio
591N i 391N. Zakładając, że przyspieszenie podczas ruszania i hamowania windy jest takie samo, wyznaczyć: (a)
ciężar rzeczywisty człowieka i jego masę; (b) przyspieszenie windy.
15. Rakieta V-2 o masie m = 120 kg porusza się przy powierzchni Ziemi na stałej wysokości ze stałą prędkością V
= 250 m/s. Obliczyć wartość siły Coriolisa FC działającej na rakietę w chwili, gdy, wektor prędkości leży w
płaszczyźnie południka zerowego i rakieta znajduje się na szerokości geograficznej północnej 45o.
16. Ciało o masie M = 0,4 kg ślizga się po poziomym torze w kształcie koła o promieniu R = 1,5 m. Jego prędkość
początkowa wynosi V = 8 m/s. Po jednym pełnym obrocie jego prędkość, wskutek działania tarcia, zmniejszyła się
do V1 = 6 m/s. Wyznaczyć stratę energii na pracę nad siłami tarcia. Obliczyć współczynnik tarcia kinetycznego. Ile
obrotów wykona to ciało zanim się zatrzyma?
17. Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem stałej siły F = 70N
skierowanej pod kątem 20o do poziomu. Blok przesunięto o s = 5,0 m, a współczynnik tarcia kinetycznego µk =
0,30. Obliczyć pracę: (a) siły F; (b) składowej pionowej wypadkowej siły działającej na blok; (c) siły grawitacji;
(d) siły tarcia.
18. Przy rozciąganiu sprężyny o 0,1 m wykonano pracę W1 = 4,0 J. Obliczyć pracę przy rozciągnięciu sprężyny do
0,2 m.
19. Do sufitu wagonu poruszającego się po poziomym torze z przyspieszeniem a = 3 m/s2 podwieszono na nici
ciało o masie M = 0,5 kg. Wyznaczyć kąt odchylenia nici od pionu i jej naprężenie.
20. Współczynnik tarcia statycznego między torem a oponami samochodu Formuły I wynosi 1,2. Z jaką
maksymalną prędkością samochód ten może pokonać poziomy zakręt o promieniu 300 m?
21. Współczynnik tarcia między drewnianą kłodą o masie M = 3 kg a powierzchnią kołowej poziomej platformy
wynosi 0,4. Platforma rozpoczyna ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem kątowym 0,7
rad/s2 wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. Po jakim czasie kłoda zacznie ślizgać się po powierzchni
platformy, jeśli znajduje się w odległości: a) 0,5 m; b) 1,2 m od osi obrotu?
22. Jaką prędkość początkową v0 trzeba nadać ciału o masie m, aby wjechało na szczyt równi o długości d i kącie
nachylenia α, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f? Oblicz czas t trwania ruchu. Przyspieszenie ziemskie g − dane.
Wykonać rysunek.
23. Klocek o masie m = 0,7 ześlizguje się z równi pochyłej o długości 6 m i kącie nachylenia 30o, a następnie
zaczyna poruszać się po poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia na równi i poziomej powierzchni wynosi f =
0,2. Jaka jest prędkość klocka na końcu równi oraz po przebyciu drogi 1 m po poziomej powierzchni? Jaką
odległość przebędzie klocek do momentu zatrzymania się?
24. Auto o masie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 m/s w czasie 3 sekund. Obliczyć: a)
pracę wykonaną nad autem; b) średnią moc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c) moc chwilową dla t = 2
sekundy.
25. Ciało o masie 0,5 kg ślizga się po poziomym szorstkim torze kołowym o promieniu 2 m. Jego prędkość
początkowa wynosiła 8 m/s, a po jednym pełnym obrocie spadła do wartości 6 m/s. Wyznaczyć pracę sił: a) tarcia,
b) dośrodkowej. Obliczyć współczynnik tarcia. Po jakim czasie ciało to się zatrzyma? Ile wykona obrotów do
zatrzymania się?
26. Współczynnik tarcia miedzy masą m (patrz rys. po prawej stronie) a podłożem wynosi 0,2.
Jeśli początkowo oba ciała spoczywają ruszą, to ile wynosi prędkość obu mas po przebyciu
przez M drogi 0,6 m? Masę nici i krążka zaniedbujemy. Nitka ślizga się po krążku bez tarcia.
27. Jaką pracę wykonał silnik pociągu elektrycznego o masie 100 ton, który poruszając się
ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie 15 s uzyskał prędkość 108 km/h. Współczynnik
tarcia wynosił 0,05; przyspieszenie ziemskie przyjąć 10 m/s2.
28. Ciało o masie 2kg zsuwa się po równi pochyłej ze stałą prędkością 0,25 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,5.
Oblicz moc siły zsuwającej ciało.
29. Sanki ześlizgują się z pagórka, którego zbocze ma długość 10 m i jest nachylone pod kątem 30o do poziomu.
Jaką odległość x przebędą sanki na odcinku poziomym po zjechaniu ze zbocza, jeżeli na całej drodze współczynnik
tarcia wynosi 0,2?
Wrocław, 3 listopada 2015
W. Salejda
4