Fizyka - Akademia Morska w Gdyni

Fizyka
Kurs przygotowawczy
na studia inżynierskie
mgr Kamila Haule
Grawitacja
Grawitacja we Wszechświecie
Planety przyciągają
Księżyce
Ziemia przyciąga Ciebie
Słońce przyciąga
Ziemię i inne planety
Gwiazdy
Galaktyki
Lokalna Grupa
Galaktyk
Supergromada lokalna
Prawo powszechnego ciążenia
Każda cząstka przyciąga każdą
inną cząstkę siłą ciężkości
(grawitacyjną) o wartości:
Stała grawitacji wynosi: G = 6 , 67 ⋅ 10
− 11
Co zrobić kiedy ciała nie są cząstkami?
TWIERDZENIE NEWTONA
„Ciało w kształcie jednorodnej powłoki
kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się
na zewnątrz powłoki tak, jak gdyby
cała masa powłoki była skupiona w jej
środku”
m 1m 2
F =G
r2
N ⋅m2
kg 2
Superpozycja (dodawanie) sił
Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Superpozycja (dodawanie) sił
Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Grawitacja w pobliżu powierzchni Ziemi
Zakładając, ze Ziemia jest jednorodną kulą o
masie M, wartość siły grawitacyjnej z jaką
Ziemia działa na masę m znajdującą się poza
Ziemią, w odległości r od jej środka, wynosi:
Masa m puszczona swobodnie będzie się poruszać
z przyspieszeniem grawitacyjnym (ziemskim):
GM
ag =
r2
Mm
F =G 2
r
F = m ⋅ ag
Czym się różni ag od g?
Ziemia nie jest
jednorodna
Przy precyzyjnych obliczeniach musimy
wziąć pod uwagę, że:
Ziemia nie jest
idealnie kulista
Ziemia ma w przybliżeniu kształt elipsoidy
obrotowej, spłaszczonej na biegunach, a
grubszej w okolicy równika. Promień Ziemi na
równiku jest o 21 km większy niż na biegunie,
stąd rzeczywiste przyspieszenie ciał będzie
większe na biegunie niż na równiku.
Ziemia obraca się
Ruch obrotowy Ziemi wnosi dodatkową
siłę dośrodkową (poza biegunami Ziemi,
przez które przechodzi oś obrotu).
g = a g − ωR 2
g – przyspieszenie spadku ciała,
ag – przyspieszenie grawitacyjne,
ω2R – przyspieszenie dośrodkowe
(największe na równiku)
Przyspieszenie grawitacyjne
Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Grawitacja wewnątrz Ziemi
TWIERDZENIE NEWTONA
Wypadkowa siła grawitacyjna, jaką ciało w kształcie powłoki kulistej działa na
cząstkę znajdującą się wewnątrz tej powłoki, jest równa zeru.
Jakim ruchem poruszałoby się ciało w
tunelu wydrążonym we wnętrzu Ziemi,
przebiegającym wzdłuż osi jej obrotu, przy
założeniu, że Ziemia jest jednorodną kulą?
4
3
M = πρ Z r
F =
4
3
3
Gm πρ Z r = kr
stały czynnik
r
r
F = −k ⋅ r
Grawitacyjna energia potencjalna
Grawitacyjna energia potencjalna układu Ziemia-cząstka maleje w miarę
zmniejszania się odległości cząstki od Ziemi. W nieskończoności jest
równa zeru.
Jest ona równa pracy wykonanej nad cząstką przez siłę grawitacji przy
przemieszczeniu cząstki z powierzchni Ziemi na bardzo dużą
(nieskończoną) odległość, albo pracy wykonanej nad cząstką przez siłę
grawitacji przy przemieszczeniu cząstki z nieskończenie dużej odległości
na powierzchnię Ziemi.
R
∞
r
r
W = ∫ F (r ) ⋅ d r
albo
r
r
W = ∫ F (r ) ⋅ d r
R
∞
Mm
E p = −G
r
związek energii
potencjalnej z siłą:
F =−
dE p
dr
Prędkości kosmiczne
Pierwsza prędkość
kosmiczna
Tzw. „prędkość satelity”. Minimalna pozioma prędkość,
jaką trzeba nadać ciału, aby mogło orbitować wokół
Ziemi lub innego ciała niebieskiego. Siłę grawitacji
traktujemy jak siłę dośrodkową satelity.
v IZ =
Druga prędkość
kosmiczna
Ek + E p =
Tzw. „prędkość ucieczki” z Ziemi. Prędkość cząstki
potrzebna, aby cząstka opuściła pole grawitacyjne Ziemi.
To samo równanie można wykorzystać dla dowolnego
ciała niebieskiego.
1
 GMm 
mv 2 +  −
=0
2
R 

Trzecia prędkość
kosmiczna
Czwarta prędkość
kosmiczna
Ze wzrostem
odległości prędkość
orbitowania maleje!
GM Z
km
≈ 7 ,9
RZ
s
⇒
v IIZ =
2 GM
RZ
Z
≈ 11 , 2
km
s
Prędkość ucieczki z Układu Słonecznego
km
v III ≈ 16 ,7
s
Prędkość ucieczki z Drogi Mlecznej
km
v IV ≈ 330
s
Prędkości kosmiczne
Prawa Keplera
Planety i satelity: I prawo Keplera
Prawa Keplera, sformułowane początkowo dla ruchu planet wokół
Słońca, stosują się również do ruchu satelitów (naturalnych i sztucznych)
wokół ciał niebieskich o dużej masie.
I PRAWO KEPLERA
Wszystkie planety poruszają się po
orbitach w kształcie elipsy, w której
ognisku znajduje się Słońce.
a – półoś wielka elipsy,
e – mimośród elipsy (mimośród równy zeru odpowiada okręgowi)
e· a = odległość każdego z ognisk elipsy od jej środka
Planety i satelity: II prawo Keplera
II PRAWO KEPLERA
Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla
w jednakowych odcinkach czasu jednakowe
pola powierzchni w płaszczyźnie orbity.
Planeta porusza się po orbicie wolniej, gdy jest
daleko od Słońca, a szybciej gdy jest blisko.
W ruchu planet
spełniona jest zasada
zachowania momentu
pędu.
dS
= const .
dt
dS
L
=
dt
2m
Planety i satelity: III prawo Keplera
III PRAWO KEPLERA
Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny
do sześcianu półosi wielkiej tej orbity.
 4π 2
T = 
 GM
2
 3
 a

Satelity: orbity i energia
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Gdy satelita obiega Ziemię po orbicie
eliptycznej, okresowo zmienia się zarówno
jego prędkość (od której zależy jego energia
kinetyczna Ek) jak i odległość od środka Ziemi
(od której zależy jego energia potencjalna Ep).
Jednak całkowita energia mechaniczny
satelity pozostaje stała.
Satelity: orbity i energia
Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Ogólna teoria względności Einsteina
Zasada
równoważności
Skutki grawitacji i ruchu przyspieszonego są
sobie równoważne.
Zakrzywienie
czasoprzestrzeni
Einstein wykazał, że przyczyną grawitacji jest
zakrzywienie (odkształcenie) czasoprzestrzeni
powodowane przez masy.
Zadania
Zadania
1.
niżej
Zadania
2. W jakiej odległości od siebie muszą się znajdować dwie cząstki o masach
5,2 kg oraz 2,4 kg, aby siła ich przyciągania grawitacyjnego miała
wartość 2,3· 10-12 N?
3. Jeden z satelitów z serii Echo ma postać kulistego balonu aluminiowego
o średnicy 30 m i masie 2 kg. Wyobraź sobie, że meteoroid o masie
7 kg przelatuje w odległości 3 m od powierzchni tego satelity. Ile
wynosi wartość siły ciążenia, jaką działa satelita na meteoroid w chwili
ich największego zbliżenia?
4. Na Księżyc działa siła ciążenia ze strony zarówno Słońca, jak i Ziemi. Ile
wynosi stosunek tych sił FS / FZ? Załóż, że średnia odległość Księżyca
od Słońca jest równa odległości Ziemi od Słońca.
Zadania
5. Statek kosmiczny leci wzdłuż linii prostej łączącej Ziemię i Księżyc. W
jakiej odległości od Ziemi wypadkowa siła ciążenia działająca na
statek jest równa zeru?
6. W jakiej odległości od Ziemi musi znajdować się sonda kosmiczna na
prostej łączącej Ziemię i Słońce, aby siły przyciągania grawitacyjnego
działające na nią ze strony Ziemi i Słońca równoważyły się?
Zadania
7.
niżej
Zadania
8.
poniżej
Zadania
9.
obok
Zadania
10. Wyobraź sobie, że stoisz na wadze na
chodniku przed wieżowcem w centrum Nowego
Jorku. Waga wskazuje, że twój ciężar wynosi 530 N. Następnie wjeżdżasz
na szczyt wieżowca o wysokości 410 m. O ile mniej będziesz ważył na
szczycie wieżowca (będziesz przecież nieco dalej od środka Ziemi)?
Pomiń wpływ ruchu obrotowego Ziemi.
11. Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie grawitacyjne jest
równe 4,9 m/s2?
12. a) Ile będzie ważyło na powierzchni Księżyca ciało, które na powierzchni
Ziemi waży 100 N?
b) W jakiej odległości od środka Ziemi, mierzonej w jednostkach promienia
Ziemi, należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy jego ciężarowi
na Księżycu?
Zadania
13. Model pewnej planety zakłada, że składa się ona z jądra o promieniu R
i masie M oraz warstwy zewnętrznej o promieniu wewnętrznym równym
R i zewnętrznym równym 2R oraz masie 4M. Przyjmij, że M = 4,1· 1024 kg,
a R = 6 · 106 m i oblicz przyspieszenie grawitacyjne cząstki znajdującej się
w odległości a) R oraz b) 3R od środka planety.
14. Podejrzewa się, że niektóre gwiazdy neutronowe (gwiazdy
o olbrzymiej gęstości) wirują z prędkością 1 obrotu na sekundę.
Przyjmij, że taka gwiazda ma promień 20 km i oblicz, jaka co
najmniej musi być jej masa, by materia na jej powierzchni nie
odrywała się od gwiazdy przy tak szybkim jej obrocie.
Zadania
15. Przyspieszenie grawitacyjne ciał znajdujących się
na powierzchni jednorodnej kuli o promieniu R jest
równe ag. Wyznacz dwie wartości odległości od środka
kuli, w których przyspieszenie grawitacyjne wynosi
ag/3. (Rozważ odległości zarówno większe, jak
i mniejsze od promienia kuli).
16. a) Ile wynosi grawitacyjna energia potencjalna układu dwóch cząstek
z zadania 2? Wyobraź sobie, że odległość tych cząstek zwiększono trzykrotnie.
Jaka praca została przy tym wykonana przez: b) działającą między cząstkami siłę
grawitacyjną, c) siłę powodującą zwiększenie odległości cząstek?
Zadania
17. Średnica Marsa wynosi w przybliżeniu 6,9 ·103 km, a średnica
Ziemi 1,3 · 104 km. Masa Marsa stanowi 0,11 masy Ziemi.
a) Ile wynosi stosunek średnich gęstości Marsa i Ziemi?
b) Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na Marsie?
c) Ile wynosi prędkość ucieczki z Marsa?
18. Oblicz energię potrzebną do ucieczki ciała:
a) z Księżyca
b) z Jowisza, wyrażając ją w jednostkach energii potrzebnej do
ucieczki z Ziemi.
19. Planeta Roton o masie 7 · 1024 kg i promieniu 1600 km przyciąga siłą
grawitacyjną meteoroid znajdujący się początkowo w spoczynku tak daleko od
planety, że jego odległość od planety można przyjąć za nieskończoną. Następnie
meteoroid spada na planetę. Oblicz prędkość meteoroidu w chwili dotarcia do
powierzchni Rotona, zakładając że planeta nie ma atmosfery.
Zadania
20. a) Oblicz prędkość ucieczki z kulistej planetoidy
o promieniu 500 km i przyspieszeniu grawitacyjnym
na powierzchni równym 3 m/s2.
b) Jak daleko odbiegnie od powierzchni tej planetoidy cząstka opuszczająca tę
powierzchnię z prędkością radialną równą 1000 m/s?
c) Z jaką prędkością uderzy w powierzchnię tej planetoidy przedmiot puszczony
swobodnie z wysokości 1000 km nad tą powierzchnią?
21. Rakieta o masie 150 kg oddala się radialnie od Ziemi.
W chwili, gdy znajduje się ona w odległości 200 km od
powierzchni Ziemi i ma prędkość 3,7 km/s, jej silnik
zostaje wyłączony.
a) Zaniedbując opór powietrza, wyznacz energię
kinetyczną rakiety, gdy znajdzie się ona w odległości
1000 km od powierzchni Ziemi.
b) Na jaką maksymalną wysokość nad powierzchnię
Ziemi wzniesie się ta rakieta?
Zadania
22. Średnia odległość Marsa od Słońca jest 1,52 razy większa niż średnia odległość
Ziemi od Słońca. Korzystając z trzeciego prawa Keplera oblicz, ile lat zajmuje
Marsowi jedno okrążenie Słońca.
23. Satelita Marsa Phobos obiega planetę po
orbicie niemal kołowej. Znając promień tej
orbity, równy 9,4 · 106 m, i okres obiegu,
wynoszący 7 godzin i 39 minut, wyznacz
masę Marsa.
24. Wyznacz masę Ziemi, wiedząc że promień orbity Księżyca
r jest równy 3,82 · 105 km, a okres obiegu T wynosi 27,3 doby.
Przyjmij, że środkiem orbity Księżyca jest środek Ziemi, a nie
środek masy układu Ziemia-Księżyc.
Zadania
25. Satelita został umieszczony na okołoziemskiej
orbicie kołowej o promieniu równym połowie
promienia orbity Księżyca. Oblicz okres ruchu tego
satelity w miesiącach księżycowych (miesiąc księżycowy jest to okres obiegu
Księżyca wokół Ziemi).
26. a) Ile wynosi prędkość liniowa satelity Ziemi na
orbicie kołowej odległej od powierzchni Ziemi o 160 km?
b) Ile wynosi okres obiegu Ziemi przez tego satelitę?
27. Środek Słońca znajduje się w jednym z ognisk orbity Ziemi. Ile wynosi
odległość drugiego ogniska tej orbity od Słońca, wyrażona:
a) w metrach,
b) w jednostkach promienia Słońca, równego 6,96 · 108 m?
Mimośród orbity Ziemi wynosi 0,0167, a jej półoś wielka jest równa 1,5 · 1011 m.
Zadania
28. Pewien satelita znajduje się przez cały czas nad
określonym miejscem na równiku Ziemi (która obraca
się wokół swej osi). Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi znajduje się ten
satelita (jego orbitę nazywamy geostacjonarną)?
29. Satelita o masie 20 kg znajduje się na orbicie kołowej o promieniu 8 · 106 m
wokół planety o nieznanej masie. Okres obiegu wynosi 2,4 h, a wartość
przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni planety jest równa 8 m/s2.
Ile wynosi promień tej planety?
30. Planetoida o masie stanowiącej 2 · 10-4 masy Ziemi obiega Słońce po orbicie
kołowej o promieniu dwa razy większym od odległości Ziemi od Słońca.
a) Wyznacz okres ruchu planetoidy w latach.
b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej tej planetoidy do energii
kinetycznej Ziemi?
Zadania
31. Jednym ze sposobów zaatakowania satelity na orbicie
okołoziemskiej jest umieszczenie na tej orbicie roju ziarenek śrutu, poruszających
się po tej orbicie w kierunku przeciwnym niż satelita. Załóżmy, że satelita znajduje
się na orbicie kołowej na wysokości 500 km nad powierzchnią Ziemi i zderza się
z ziarnkiem śrutu o masie 4 g.
a) Ile wynosi tuż przed zderzeniem energia kinetyczna ziarnka śrutu w układzie
odniesienia związanym z satelitą?
b) Ile wynosi stosunek tej energii kinetycznej do energii kinetycznej pocisku
o masie 4 g mającego u wylotu z lufy
nowoczesnego karabinu wojskowego
prędkość 950 m/s?
Zadania
32. Okres obiegu Słońca przez kometę Halleya
wynosi 76 lat. W roku 1986 kometa ta przeszła przez
peryhelium, tzn. punkt największego zbliżenia do
Słońca. Odległość tego punktu od Słońca wynosi
8,9 · 1010 m (punkt ten znajduje się między orbitami Merkurego i Wenus).
a) Ile wynosi największa odległość komety od Słońca, odpowiadająca aphelium
orbity?
b) Ile wynosi mimośród orbity komety Halleya?
33. Planetoida zbliża się wzdłuż prostej
przechodzącej przez środek Ziemi. Jej
prędkość względem Ziemi wynosi 12 km/s,
gdy jej odległość od środka Ziemi jest równa
10 promieniom Ziemi. Pomiń obecność
atmosfery ziemskiej i oblicz prędkość
planetoidy w chwili jej dotarcia do
powierzchni Ziemi.
Dziękuję
Akademia Morska w Gdyni
ul. Morska 81 – 87
81 – 225 Gdynia
(+48) 58 690 12 74
(+48) 58 690 12 74
[email protected]
www.am.gdynia.pl
facebook.com/Akademia.Morska.w.Gdyni