WSTĘP

WSTĘP
Prawie każdy człowiek, w większym lub mniejszym stopniu, ma do czynienia
z matematyką. Często nie zdajemy sobie sprawy, że uprawiamy matematykę, chociaż na co
dzień rozwiązujemy różnego typu łamigłówki, rebusy, krzyżówki, czy problemy życiowe.
Natrafiamy na problem, który nas nurtuje i staramy się go rozwiązać. Szukamy informacji na
interesujący nas temat, przyjmujemy często ukryte założenia i przeprowadzamy dedukcję, aż
w końcu wyciągniemy jakieś pożyteczne wnioski. Innym razem, obserwując szereg zachowań
ludzi, czy zwierząt w określonych sytuacjach, na zasadzie indukcji stwierdzamy, że
w podobnych okolicznościach dany osobnik zachowa się tak, a nie inaczej. Właśnie dedukcja
i indukcja są podstawowymi schematami rozumowania w matematyce i chociaż powszechnie
je stosujemy, to jednocześnie bardzo często stwierdzamy, że matematyka nas nie interesuje,
nie mamy do niej zdolności, jest czymś trudnym i oderwanym od rzeczywistości.
Owe stwierdzenia są jak najbardziej uzasadnione. W szkołach realizuje się programy
mające na celu wytrenowanie ucznia w posługiwaniu się abstrakcyjnymi obiektami
matematycznymi, jak na przykład liczby rzeczywiste, czy figury geometryczne. Pokazuje się
na przykładach jak ich używać w określonych sytuacjach i oczekuje, że uczeń zastosuje je
w podobny sposób. W podręcznikach nie spotyka się jednolicie opracowanych teorii
z pełnymi dowodami i bogatym repertuarem przykładów. Spotyka się jedynie przykładowe,
z reguły najłatwiejsze dowody, a pozostałe twierdzenia uczeń ma przyjąć bezkrytycznie. Nie
jest więc specjalnym zaskoczeniem fakt, że nawet zdolni uczniowie i absolwenci twierdzą, iż
nie rozumieją matematyki.
Z drugiej jednak strony matematyka jest istotnym elementem naszej kultury oraz
narzędziem poznawania i tworzenia rzeczywistości. Ludzie ciekawi świata muszą, chcąc nie
chcąc, mieć z nią do czynienia, zaś ludzie, których matematyka nie interesuje pozbawieni są
możliwości poznania ważnych aspektów otaczającego nas świata. Dlatego warto promować tę
dziedzinę wiedzy. Przedstawiać ją w sposób ciekawy, zrozumiały i dostępny dla szerokiego
kręgu odbiorców, mimo trudności z zachowaniem dostatecznej ścisłości rozumowania.
Niniejsza publikacja nie służy do nauczania kogokolwiek matematyki, lecz służy do
jej poznawania i zastanawiania nad nią oraz otaczającym nas światem. Ma inspirować
czytelnika do dalszych poszukiwań, przeżywania intelektualnej przygody i rozwoju. Treści
w niej zawarte stanowią jednak podstawowy budulec matematycznej wiedzy. Traktuje ona
bowiem o liczbach oraz podstawowych działaniach jakie na nich wykonujemy. Bez nich nie
moglibyśmy chyba mówić o matematyce.
Czytelnik w pewnym stopniu umie wykonywać działania tutaj opisywane i zna ich
podstawowe własności. Jednak jego wiedza i umiejętności mają przeważnie charakter czysto
praktyczny. Uczymy się bowiem od najmłodszych lat wykonywać działania na konkretnych
liczbach. Dodajemy, mnożymy, potęgujemy, przekonując się na przykładach o prawdziwości
reguł rządzących tymi działaniami. Tylko nieliczni poznają arytmetykę od strony
teoretycznej.
Przyjęte powszechnie w środowiskach matematyków teorie liczb naturalnych,
wymiernych, czy rzeczywistych są zbyt abstrakcyjne dla czytelnika nie posiadającego
wystarczającego przygotowania matematycznego. Różnorodność koncepcji i założeń
w tworzeniu owych teorii sprawia, że nie odczuwamy ich uniwersalnego charakteru.
Uniwersalne dla większości z nas jest jednak posługiwanie się dziesiątkowym systemem
liczbowym oraz kojarzenie liczb z odpowiadającym im zapisem cyfrowym w tym systemie.
W praktyce, wykonując na przykład dodawanie liczb sposobem pisemnym, wykonujemy
przecież operacje na cyfrach w ich zapisie. To spostrzeżenie pozwala na poznawanie liczb
i ich własności z zupełnie innej perspektywy.
7
W swojej publikacji przedstawiam arytmetykę opartą właśnie na dziesiątkowym
systemie liczbowym. Uważam bowiem, że takie podejście będzie najbardziej zrozumiałe dla
większości odbiorców i nie przeszkodzi w ewentualnym poznawaniu innych teorii
liczbowych. W swojej pracy starałem się używać języka zrozumiałego dla możliwie
szerokiego grona czytelników. Przypominam i wyjaśniam pojęcia znane ze szkoły, które
jednak mogły ulecieć z pamięci. Systematyzuję i porządkuję wiadomości, które w pewnym
stopniu już posiadamy.
W rozdziale pierwszym opisuję od podstaw działania arytmetyczne wykonywane na
liczbach naturalnych. W definicjach tych działań czytelnik rozpozna algorytmy, które zna
jako dodawanie, czy odejmowanie sposobem pisemnym. Przedstawione są jednak w sposób
ogólny, by można było dalej badać ich własności dla dowolnych liczb. Szczegółowe
dowodzenie większości z opisywanych twierdzeń zarówno w tym, jak i w kolejnych
rozdziałach służy kilku celom. Oprócz poznania konkretnych własności, ich dowodów
i powiązań z innymi twierdzeniami, pozwala czytelnikowi zapoznać się z metodyką ich
dowodzenia i nabrać odpowiedniej intuicji zanim jeszcze pozna prawa rządzące logiką
matematyczną. Pozwala czytelnikowi odczuć i przekonać się, że matematyka nie jest zbiorem
luźnych twierdzeń i definicji mniej lub bardziej użytecznych, ale stanowi strukturę wzajemnie
powiązanych elementów wynikających jedne z drugich.
W kolejnych rozdziałach omówione zostały liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste
wraz z definicjami działań i ich własnościami. Te ostatnie są jednak omówione w sposób
szczególny, na pewno wcześniej niepublikowany. Liczbę rzeczywistą utożsamiamy
z nieskończonym ułamkiem dziesiętnym. Oryginalny, wprowadzony przeze mnie, sposób
wykonywania działań na ułamkach dziesiętnych umożliwił przedstawienie liczb
rzeczywistych jako granic ciągów liczbowych zbieżnych. Opis ten jednak różni się od
popularnej konstrukcji Cantora, wykorzystującej ciągi podstawowe Couchy’ego. Mam
nadzieję, że lektura sprawi Państwu wiele przyjemności.
8