Zagadnienia na test poczatkowy z rachunku ró˙zniczkowego i ca

Zagadnienia na test pocza̧tkowy
z rachunku różniczkowego i calkowego
1. Pochodne cza̧stkowe i pochodna kierunkowa funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Cia̧glość, a
istnienie pochodnych cza̧stkowych.
2. Pochodna Frécheta funkcji rzeczywistej i jej zwia̧zki z pochodna̧ kierunkowa̧ i pochodnymi cza̧stkowymi. Warunek dostateczny różniczkowalności.
3. Rozszerzenie pojȩć pochodnych na przypadek funkcji wektorowych, macierz Jacobiego. Twierdzenie o pochodnej funkcji zlożonej.
4. Pochodne wyższych rzȩdów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych, przypadki szczególne.
5. Warunki dostateczne istnienia ekstremum lokalnego. Twierdzenie o przyrostach dla funkcji wielu
zmiennych.
6. Homeomorfizmy regularne i dyfeomorfizmy. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowania.
7. Twierdzenie o funkcjach uwiklanych: przypadek szczególny i ogólny.
8. Calka wielokrotna: podzialy normalne prostoka̧tów w Rm , sumy dolne i górne, cia̧gi aproksymacyjne, interpretacja geometryczna.
9. Calki iterowane, twierdzenie Fubiniego dla calki po prostoka̧cie, calka wielokrotna po zbiorach
normalnych i regularnych.
10. Twierdzenie o zamianie zmiennych w calce wielokrotnej. Wspólrzȩdne biegunowe, walcowe i sferyczne.
11. Calka krzywoliniowa zorientowana i twierdzenie o jej zamianie na calkȩ Riemanna. Calka krzywoliniowa niezorientowana i jej zwia̧zek z calka̧ zorientowana̧.
12. Wzór Greena. Niezależność calki krzywoliniowej od drogi calkowania.
13. Platy regularne, calka powierzchniowa niezorientowana i jej sprowadzenie do calki Riemanna. Calka
powierzchniowa zorientowana.
14. Zbiory normalne wzglȩdem plaszczyzny. Wzór Gaussa–Ostrogradskiego.