Drgania - Zakład Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji

DRGANIA
ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
(Wprowadzenie)
Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji. Przyczyna: nawet niewielkie drgania spowodowane
zmiennymi siłami w pewnych warunkach (w warunkach tzw. rezonansu) mogą wywołać bardzo groźne skutki, ze zniszczeniem
konstrukcji włącznie.
DRGANIA – wywołane obciążeniami dynamicznymi (zmiennymi
w czasie) procesy, w czasie których wielkości fizyczne opisujące konstrukcję (naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia)
zmieniają swoje wartości w czasie.
DRGANIA WŁASNE (SWOBODNE) – drgania występujące
wówczas, gdy na element (konstrukcję) wychyloną z położenia
równowagi działają jedynie wewnętrzne siły sprężystości 1 wywołane wychyleniem (odkształceniem) oraz tzw. siły masowe
(siły bezwładności).
DRGANIA WYMUSZONE – występują wówczas, gdy na element (konstrukcję) oprócz sił sprężystości i sił masowych działają również zewnętrzne siły okresowo zmienne (zależne od
czasu).
BADANIE ZACHOWANIA SIĘ KONSTRUKCJI POD WPŁYWEM OBCIĄŻEŃ DYNAMICZNYCH POZWALA NA OCENĘ
TRWAŁOŚCI KONSTRUKCJI ORAZ WPŁYWU DRGAŃ NA
WARUNKI EKSPLOATACJI.
SZCZEGÓLNIE ISTOTNE JEST BADANIE WPŁYWU DRGAŃ
NA ZDROWIE LUDZI (ERGONOMIA).
1
Wewnętrzne siły sprężystości – patrz WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW.
06 Drgania - wprowadzenie.doc
82
PRZYCZYNY DRGAŃ KONSTRUKCJI
OBCIĄŻONYCH DYNAMICZNIE
OBCIĄŻENIA OKRESOWO ZMIENNE – siły bezwładności nieprawidłowo wyważonych ruchomych części maszyn (silników,
pomp, pulsacją ciśnienia strumieni cieczy i gazów, parcie wiatru
itp. Obciążenia te charakteryzują się olbrzymią różnorodnością
form i skutków, są przyczyną licznych awarii i katastrof.
OBCIĄŻENIA UDAROWE – krótkotrwałe i zależne od właściwości konstrukcji obciążenia wywołane młotami, kafarami.
Również warunki eksploatacji mogą wywoływać obciążenia
udarowe (nierówności szyn, dylatacje, dziury w nawierzchni).
OBCIĄŻENIA KRÓTKOTRWAŁE – fale ciśnienia wywołane
wybuchami (gwałtowny wzrost ciśnienia, podciśnienie). Krótkotrwałość zależy od właściwości konstrukcji (np. 1/4 okresu
drgań własnych).
OBCIĄŻENIA RUCHOME – obciążenia wywołane przemieszczaniem się pojazdów (samochodów, pociągów, kolumn wojska) po konstrukcjach (mosty, dźwigary).
OBCIĄŻENIA SEJSMICZNE – wywołane trzęsieniami ziemi
oraz wybuchami. Ich skutki charakteryzują się znaczną zmiennością i nieuporządkowanie amplitud i częstotliwości.
Wykres zmienności punktu na powierzchni ziemi w wyniku trzęsienia
06 Drgania - wprowadzenie.doc
83
PARAMETRY OPISUJĄCE DRGANIA:
Przykład obciążenia okresowo zmiennego – powtarzalne obciążenie
okresowo sinusoidalnie zmienne, opisane zależnością P  P0 sinnt , zwane obciążeniem harmonicznie zmiennym. Związek między przemieszczeniem y oraz czasem t wyraża zależność:
y(t)  Asin( t  0 ) ,
gdzie: A
ω
0
t
– amplituda drgań,
– częstość kołowa drgań,
– kąt przesunięcia fazowego,
– czas.
Cykl drgań – fragment drgań powtarzających się i trwających w czasie T:
y(t )  y(t  T) .
Okres drgań T – najmniejsza wartość przedziału czasu po upływie którego siła obciążająca lub jej skutki (amplituda) osiągną w dowolnej chwili t
taka samą wartość.
Częstotliwość drgań – liczba cykli drgań w czasie jednej sekundy:
f
1
T
1 herc [Hz ] 
cykl
.
sekunda
Związek między częstością kołową ω a częstotliwością zachodzi zależność:
2
2
 rad 
  2  f 
 T
 s .
T

Przemieszczenie y w zależności od przemieszczenia początkowego y0
oraz prędkości początkowej v0 w chwili t = 0 wynosi:
y
v0
sin t  y 0 cos t ,

y 0  A sin 0 ,
v 0  A cos 0 .
Amplituda – maksymalne wychylenie: A  y max
06 Drgania - wprowadzenie.doc
v 02
 y  2.

2
0
84
KRYTERIA PODZIAŁU DRGAŃ
Z PUNKTU WIDZENIA PRZYCZYN I SKUTKÓW:
(przyczyny – obciążenia dynamiczne, skutki – drgania konstrukcji).
1. Zmienność ruchu w czasie.
Powtarzalne
Okresowo
Harmoniczne
Nieokresowo
Nieharmoniczne
Zmienna
amplituda,
stała
częstotliwość
Stała
amplituda,
zmienna
częstotliwość
Zmienna
amplituda,
zmienna
częstotliwość
Niepowtarzalne
Krótkotrwałe
Przykład drgań powtarzalnych
Chwilowe
impulsy i udary
Nagłe
obciążenia
i uderzenia
Przykłady drgań jednokrotnych (niepowtarzalnych)
2. Postać odkształcenia drgającego elementu.
Postacie drgań pręta: a) podłużne, b) poprzeczne (gięte), c) skrętne
3. Liczba stopni swobody poruszającego się elementu.
W statyce ciał sztywnych stopnie swobody ustalane są dla ciał idealnie sztywnych – w dynamice należy uwzględniać właściwości sprężyste drgającej konstrukcji (jej odkształcalność).
06 Drgania - wprowadzenie.doc
85
4. Występowanie lub brak sił zewnętrznych wymuszających.
Jednokrotne, skończone wymuszenie początkowe rozpoczyna proces
drgań i nie bierze udziału w jego dalszym przebiegu. Takie drgania
zaliczane są do drgań swobodnych (własnych), zależnych od cech
geometrycznych i sprężystych konstrukcji. Drgania wymuszone trwają jedynie w czasie działania obciążenia.
5. Tłumienie.
Drganiom każdej konstrukcji towarzyszą zewnętrzne opory ruchu
(opór powietrza, cieczy, sypkiego ośrodka, tarcie) oraz opory wewnętrzne (wewnątrz materiału). Opory te powodują tłumienie drgań.
Każde drgania rzeczywiste są drganiami tłumionymi o różnym stopniu
tłumienia. Opory te powodują dyssypację energii. W obliczeniach ze
względów na złożoność często pomija się tłumienia i traktuje się takie
układy jako zachowawcze.
6. Zmienność parametrów fizycznych konstrukcji.
W drgającym układzie pewne parametry mogą być wyrażone w funkcji czasu (np. masa, sztywność).
7. Rodzaj równań opisujących drgania i metod ich rozwiązywania.
Opis drgań konstrukcji o skończonej liczbie stopni swobody wymaga
zastosowania równań różniczkowych zwyczajnych (o nieskończonej
liczbie stopni swobody – równań różniczkowych cząstkowych). W zależności od modelu – rozróżnią się drgania liniowe (liniowe zależności między siłami a przemieszczeniami) oraz drgania nieliniowe. Ścisłe rozwiązania tych równań wymagają stosowania skomplikowanych
metod matematycznych. W zagadnieniach inżynierskich stosowane
są metody numeryczne (rozwiązania przybliżone).
Uwzględnianie w różnego typu obliczeniach drgań elementów maszyn oraz całych konstrukcji stanowi poważne wyzwanie
dla inżynierów – projektantów oraz dla osób zajmujących się
eksploatacją urządzeń. Dynamiczna analiza konstrukcji jest
ważnym i wymagającym znacznej wiedzy i doświadczenia działem mechaniki. W wytrzymałości materiałów zmienne obciążenia i wywołane nimi drgania są jednym z podstawowych przyczyn zniszczenia konstrukcji wywołanych zjawiskiem zwanym
ZMĘCZENIEM MATERIAŁÓW2.
2
Patrz rozdział 14 „Zagadnienia wybrane”.
06 Drgania - wprowadzenie.doc
86