politechnika koszalińska ogłasza x edycję konkursu

XIX EDYCJA KONKURSU „BIEG PO INDEKS”
KONKURS DLA PRZYSZŁYCH STUDENTÓW POLITECHNIKI KOSZALIŃSKIEJ
ZESTAW II
Zadania ćwiczeniowe z matematyki
1. Dla jakich wartości parametru k równanie:
x 4 − 2kx 2 + k + 6 = 0
ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty?
2. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji:
f (x ) =
2x 2 + 2x + 2
.
2x 2 + 2x + 1
3. Znaleźć wszystkie pierwiastki równania:
2 x +1− x + x − 2 x + 2 = 7 .
4. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b i c. Wykazać, że jeżeli środkowe boków o długościach a i b są do siebie
prostopadłe, to a 2 + b 2 = 5c 2 .
5. Rysunek przedstawia pewien wielokąt umieszczony na siatce składającej się z kwadratów
o boku równym 1. W wyniku obrotu tego wielokąta wokół osi l otrzymano bryłę
obrotową. Obliczyć jej objętość i pole powierzchni całkowitej.
l
Zadania ćwiczeniowe z fizyki
1. W misie o sferycznym kształcie i promieniu r = 50 cm ślizga
się kostka lodu o masie 20 g oraz przetacza się kulka o takiej
samej masie. Wiadomo, że oba obiekty wykonują ruch
harmoniczny. Jaki będzie okres drgań w obydwu wypadkach?
Wskazówka: Dla znalezienia okresu drgań kulki najłatwiej
będzie skorzystać z zasady zachowania energii by znaleźć
maksymalną prędkość ruchu.
2. Kółko balansowe, będące w dawniejszych (mechanicznych) zegarach wzorcem czasu, ma okres drgań 0,25 s.
Jest ono tak zbudowane, że praktycznie cała jego masa (przyjmijmy, że wynosi 20 g) jest skupiona w obręczy
o promieniu 0,5 cm. Jaki jest kątowy współczynnik sprężystości tzw. włosa czyli sprężyny będącej składnikiem
tego układu drgającego?
3. Dwa klocki o masie m oraz sprężyna o współczynniku sprężystości k
tworzą układ drgający. Raz jeden klocek jest zamocowany a drugi
porusza się swobodnie a w drugim przypadku obydwa klocki mogą
poruszać się swobodnie. Jaka jest częstotliwość drgań w obu
wypadkach? Czy różnią się one od siebie?
4. W cząsteczce wodoru siła oddziaływania między atomami może być przybliżona wyrażeniem F = − B(r − r0 ) ,
gdzie B = 0,057 N/m , a r0 = 7,4 ⋅ 10 −11 m jest odległością między atomami w położeniu równowagi. Jaka jest
częstotliwość drgań? Wskazówka: Rozwiąż zadanie przez analogię do poprzedniego zadania.
5. Układ dwóch klocków jak na rysunku wykonuje drgania swobodne
o częstotliwości 1,5 Hz. Powierzchnia po której przesuwają się
klocki pozbawiona jest tarcia natomiast pomiędzy klockami tarcie
występuje, a jego współczynnik wynosi µ s = 0,6 . Jaka jest
maksymalna amplituda drgań przy której klocek B nie przesuwa
się jeszcze względem klocka P?
Zadania ćwiczeniowe z informatyki
1. Poniższy program powinien znajdować maksymalną liczbę, występujących pod rząd jednakowych liczb.
Niestety, tego programu nie można skompilować, ponieważ zawiera on błędy formalne (dot. struktury kodu)
oraz błędy merytoryczne. Podaj przyczynę ewentualnych błędów, które wykryje kompilator, a także wskaż
i skomentuj błędy merytoryczne w tym kodzie.
Program z błędami:
01 const
02 MAXN = 1000;
03 var
04 a: array[1..MAXN] of integer;
05 n: integer;
06 begin
07 read(n);
08 for i := 1 to n do read(a[i]);
09 l := 1;
10 max := 0;
11 for i := 2 to n do begin
12 if (a[i] = a[i - 1]) then begin
13
inc(l);
14 end else begin
15
if (l > max) then begin
16
max := l;
17
end;
18
l := 0;
19 end;
20 end;
21 writeln(max);
22 end.
2. Na zajęciach z matematyki uczniowie wyznaczali kolejne współczynniki dwumianu Newtona – rozwinięcia
(a+b)n. Współczynniki te można również wyznaczyć z tzw. trójkąta Pascala (rys. 1).
Rys. 1. Trójkąt Pascala – "każda z liczb jest sumą liczb stojących nad nią"
Grzegorz, zaangażowany w naukę arkuszy kalkulacyjnych postanowił opracować własną wersję tego "trójkąta".
W tym celu postanowił przygotować formułę, która w wyniku "przeciągnięcia" pozwoli uzyskać trójkąt z rys. 2.
Znajdź postać formuły, która wstawiona do komórki B2 pozwoli, w wyniku przeciągnięcia, wyznaczyć trójkąt
Pascala.
Uwagi: Komórka B1 zawiera wartość 1. Opracowana formuła powinna wypełniać tylko właściwe komórki (np.
jeśli zaczniemy od B2, to komórka D2 po przeciągnięciu powinna pozostać pusta).
Rys. 2. Trójkąt Grzegorza (Pascala) w programie MS Excel
3. Maciej, student Mechaniki i Budowy Maszyn, w konstrukcjach mechanizmów swoich robotów wykorzystuje
koła zębate o różnej liczbie zębów. Koła zębate w konstruowanych mechanizmach służą m.in. do zmniejszania
lub zwiększania prędkości obrotowej. Maciej do kontrolowania prędkości obrotowej stosuje bezwymiarowy
parametr zwany przełożeniem kół zębatych, który można opisać wzorem:
z
i = 2 , i > 0, gdzie z1 ‒ liczba zębów koła napędzającego, z2 ‒ liczba zębów koła napędzanego.
z1
W prawidłowym doborze przełożeń kół zębatych pomógłby mu program, który dla określonego przełożenia
zwróciłby wszystkie możliwe kombinacje kół, dla których wartość przełożenia będzie najbardziej zbliżona do
wartości zadanej. Pomóż w zaimplementowaniu programu wiedząc, że Maciej dysponuje dwoma identycznymi
zbiorami kół zębatych o następującej liczbie zębów: 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32,
33, 34, 35, 40, 41, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 58, 62, 100.
4. W ramach eliminacji piłkarskich ME2016 we Francji program ELME16 przygotowany przez organizatorów
generuje dokument XML z aktualnymi wynikami w poszczególnych grupach. Wygląd dokumentu dla grupy A
przedstawiono poniżej:
<grupa>
<tabela>
<pozycja><miejsce>1</miejsce><team>Polska</team><punkty>10</punkty></pozycja>
<pozycja><miejsce>2</miejsce><team>Niemcy</team><punkty>7</punkty></pozycja>
<pozycja><miejsce>3</miejsce><team>Szkocja</team><punkty>7</punkty></pozycja>
<pozycja><miejsce>4</miejsce><team>Irlandia</team><punkty>7</punkty></pozycja>
<pozycja><miejsce>5</miejsce><team>Gruzja</team><punkty>3</punkty></pozycja>
<pozycja><miejsce>6</miejsce><team>Gibraltar</team><punkty>0</punkty></pozycja>
</tabela>
</grupa>
a) Proszę przygotować program w języku Pascal, który przekształci dokument XML
(plik tekstowy) na dokument HTML, tak by wyświetlić zawarte w nim dane
w formie tabeli pokazanej obok (widok okna przeglądarki Google Chrome v. 39).
b) Proszę dołączyć do otrzymanego pliku HTML arkusz ze stylami CSS tak by
otrzymać wygląd zbliżony do pokazanego obok.
5. Polscy analitycy od dłuższego czasu analizowali pirackie strony, na których pojawiały się informacje
o nieistniejących kurortach w pewnych południowych krajach. Zauważyli, że źródła tych stron (dokumenty
HTML) zawierają dużo treści, które z reguły nie miały sensu. Odkryli, że jeżeli usunie się znaczniki to zostają
zaszyfrowane wiadomości. Kodowanie okazało się bardzo proste. Należało w pierwszym kroku wybrać
z pozostałej treści co czwarty znak. W drugim kroku należało zmienić wybraną literę na koleją, sąsiadującą z nią
w kodzie ASCII. Proszę napisać program w Pascalu, który analizuje taki kod HTML i odczytuje zaszyfrowaną
wiadomość.
Rozwiązania:
Matematyka – zestaw 2 z rozwiązaniami
Zadanie 1. Dla jakich wartości parametru k równanie :
x 4 − 2kx 2 + k + 6 =
0
ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty?.
Szkic rozwiązania:
Dokonując podstawienia x 2 = t otrzymamy równanie kwadratowe: f (t ) = t 2 − 2kt + k + 6 = 0 , którego
wyróżnikiem jest=
∆ 4(k 2 − k − 6) .
Aby spełniony był warunek zadania, otrzymane równanie kwadratowe powinno mieć przynajmniej jeden
pierwiastek nieujemny. Wystarczy zatem spełnienie jednego z warunków:
a) f (0) < 0 (równanie ma wtedy dwa pierwiastki, z których jeden jest dodatni, a drugi ujemny).
Warunek zachodzi, gdy k + 6 < 0 , czyli k < −6 .
b) f (0) = 0 (równanie ma wtedy co najmniej jeden pierwiastek, wśród nich t = 0),
Warunek zachodzi, gdy k + 6 =
0 , czyli k = −6 .
 f (0) > 0,

c)  xw > 0, (równanie ma co najmniej jeden pierwiastek – wszystkie pierwiastki dodatnie).
∆ ≥ 0.

k > −6,
k + 6 > 0,
 f (0) > 0,



⇔ k > 0,
⇔ k > 0,
⇔ k ∈ 3; +∞) .
 xw > 0,
 2
∆ ≥ 0.


k − k − 6 ≥ 0.
k ∈ (−∞; −2 ∪ 3; +∞).
Uwzględniając wszystkie warunki: k ∈ (−∞; −6 ∪ 3; +∞) .
Zadanie 2. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji :
f ( x) =
2 x2 + 2 x + 2
.
2 x2 + 2 x + 1
Szkic rozwiązania:
Zauważmy, że funkcja określona jest w całym zbiorze R, ponieważ trójmian występujący w mianowniku
nie ma pierwiastków.
Zapiszmy tę funkcję w postaci sumy:
1
f ( x) = 1 + 2
.
2x + 2x + 1
Po sprowadzeniu trójmianu występującego w mianowniku do postaci kanonicznej mamy:
1
f ( x) = 1 +
.
2
2 x + 12 + 12
(
)
Trójmian kwadratowy przyjmuje każdą wartość z przedziału:
1
2
; +∞) . Oznacza to, że ułamek przyjmuje
każdą wartość z przedziału (0;2 . Z tego wynika, że funkcja przyjmuje każdą wartość z przedziału
(1;3 .
Zadanie 3. Znaleźć wszystkie pierwiastki równania :
2 x + 1 − x + x − 2 x + 2 =7 .
Szkic rozwiązania:
t równanie można sprowadzić do postaci:
Przyjmując x − x =
−t + 1 + t + 2 =
7.
Zauważmy, że pierwszy składnik sumy występującej po lewej stronie równości jest równy t − 1 .
Równanie przybiera postać:
t −1 + t + 2 =
7.
Z interpretacji geometrycznej równania wynika, że jego rozwiązaniami są takie liczby t, dla których suma
odległości od punktów 1 i -2 wynosi 7.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 X
Z rysunku wynika, że t1 = −4 , t2 = 3 .
Mamy zatem
x−2 x =
−4 lub x − 2 x =
3,
0.
x−2 x +4=
0 lub x − 2 x − 3 =
Otrzymane równania przez podstawienie =
x a, a > 0 , sprowadzają się do równań:
a 2 − 2a + 4 =
0 , a 2 − 2a − 3 =
0.
Pierwsze z równań nie ma pierwiastków, drugie – ma dwa pierwiastki, z których tylko jeden pierwiastek
a = 3 jest dodatni.
Zatem x = 3 i ostatecznie x = 9 .
Zadanie 4. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b i c. Wykazać, że jeżeli środkowe boków o
długościach a i b są do siebie prostopadłe, to a 2 + b 2 =
5c 2 .
Szkic rozwiązania:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
AB = C , BC = a , AC = b .
Oznaczmy środki boków BC i AC odpowiednio przez M i N,
a punkt przecięcia się środkowych przez P.
Przyjmijmy
PM = x , PN = y .
Z własności środkowych w trójkącie wynika, że
AP = 2 x , BP = 2 y .
Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkątów prostokątnych APN
oraz BPM otrzymamy:
b2
a2
x2 + 4 y 2 =
4 x2 + y 2 =
4 oraz
4 .
Dodając stronami oba równania kolejno mamy:
a 2 + b2
,
5x2 + 5 y 2 =
4
a 2 + b2
.
x2 + y 2 =
20
Ponieważ trójkąt ABP jest prostokątny, to =
c 2 4 x 2 + 4 y 2 i tym samym c 2 =
a 2 + b2
.
5
Ostatecznie
a 2 + b2 =
5c 2 .
Zadanie 5.
Rysunek przedstawia pewien wielokąt umieszczony na siatce składającej
się z kwadratów o boku równym 1. W wyniku obrotu tego wielokąta
wokół osi l otrzymano bryłę obrotową. Obliczyć jej objętość i pole
powierzchni całkowitej.
l
Szkic rozwiązania:
Niech F1 i F2 będą bryłami obrotowymi przedstawionymi na rysunku.
F1
5
F2
2 2
5
Zauważmy, że objętość otrzymanej bryły obrotowej jest równa podwojonej objętości bryły F1 .
Zatem
1
1
 28
V = 2 ⋅  π ⋅ 22 ⋅ 4 − π ⋅ 12 ⋅ 2  = π .
3
3
 3
Pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest podwojoną sumą pól powierzchni bocznej brył F1 oraz
F2 .
(
)
(
)
Pc = 2 ⋅  π ⋅ 2 ⋅ 2 5 − π ⋅ 1 ⋅ 5 + π ⋅ 2 ⋅ 2 2  = π 6 5 + 4 2 .


Informatyka – zestaw 2 z rozwiązaniami
Rozwiązanie 1
1. Błędy formalne: brak deklaracji zmiennych i, l, max.
2. W linii 18 zmienna l, przechowująca bieżącą długość grupy identycznych liczb, jest zerowana.
Poprawnie byłoby przypisywać tej zmiennej wartość 1, ponieważ do bieżącej grupy jednakowych
wartości występujących pod rząd zawsze należy minimalnie choć jedna liczba reprezentująca tę grupę
wartości. Z powodu tego błędu aplikacja potrafi czasem zwrócić liczbę o 1 mniejszą od poprawnej
odpowiedzi.
3. Po wyjściu z pętli (linia 20) w zmiennej l przechowywana jest długość ostatniej grupy identycznych
liczb. Wartość ta nie jest uwzględniana przy obliczeniu maksimum.
Poprawiony program:
01
const
02
MAXN = 1000;
03
var
04
a: array[1..MAXN] of integer;
05
n, i, l, max: integer;
06
begin
07
read(n);
08
for i := 1 to n do read(a[i]);
09
l := 1;
10
max := 0;
11
for i := 2 to n do begin
12
if (a[i] = a[i - 1]) then begin
13
inc(l);
14
end else begin
15
if (l > max) then begin
16
max := l;
17
end;
18
l := 1;
19
end;
20
end;
21
if (l > max) then begin
22
max := l;
23
end;
24
writeln(max);
25
end.
Rozwiązanie 2
Przykładem formuły dla komórki B2 (MS Excel 2007) jest:
=JEŻELI(ORAZ(A1<>""; B1<>"");A1+B1;JEŻELI(LUB(A1<>""; B1<>"");1;""))
Rozwiązanie 3
#include "stdafx.h"
#include "iostream"
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{const int zk[] = { 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 40, 41, 44, 45, 46,
48, 49, 50, 52, 54, 55, 58, 62, 100 };
double i;
const int liczbakol = sizeof(zk) / sizeof(*zk);
do
{
std::cout << "Podaj wartość przełożenia i (i>0): ";
std::cin >> i;
}
while (i<=0);
std::cout << "Dla zadanego przełożenia najlepiej zastosować koła zębate z następującą liczbą zębów:\n";
if (i == 1)
{
for (int iz2 = 0; iz2 < liczbakol; iz2++)
std::cout << zk[iz2] << ":" << zk[iz2] << ", ";
}
else
{
double blad[liczbakol][liczbakol];
double minblad = 0;
int iz1, iz2;
for (iz2 = 0; iz2 < liczbakol; iz2++)
{
for (iz1 = 0; iz1 < liczbakol; iz1++)
{
blad[iz2][iz1] = abs(((double)zk[iz2] / (double)zk[iz1] - i) / i);
if (iz2 == 0 && iz1 == 0)
minblad = blad[iz2][iz1];
else if (minblad>blad[iz2][iz1])
minblad = blad[iz2][iz1];
}
}
for (iz2 = 0; iz2 < liczbakol; iz2++)
for (iz1 = 0; iz1 < liczbakol; iz1++)
if (iz2 != iz1 && blad[iz2][iz1] == minblad)
std::cout << zk[iz2] << ":" << zk[iz1] << ", ";
}
system("pause");
return 0;
}
Rozwiązanie 4
a) Program w Pascalu, konwertujący plik XML do HTML:
xml:='C:/FPC/me2016.xml'; //plik źródłowy
html:='C:/FPC/me2016.html'; //plik wynikowy
assign(plik1,xml);
reset(plik1); //otwarcie pliku do odczytu
assign(plik2,html);
rewrite(plik2); //otwarcie pliku do zapisu
writeln(plik2,'<html><body><table border=1>');
//dodanie do pliku treści początku dokumentu html
repeat //początek pętli odczytującej liniami dokument xml
readln(plik1,linia); //odczytywanie kolejnych linii dokumentu xml
wyraz:=copy(linia,pos(linia,'<'),9);
if wyraz='<pozycja>' then //sprawdzenie czy znaleziono znacznik <pozycja>
begin
write(plik2,'<tr>'); //i utworzenie dla niego wiersza
for i:=1 to 3 do // a następnie utworzenie 3 kolumn z kolejnymi danymi
begin
//miejsce, team i punkty
Delete(linia,1,pos('>',linia)); //usunięcie znaczników
Delete(linia,1,pos('>',linia));
wyraz:=copy(linia,1,pos('<',linia)-1);
write(plik2,'<td>',wyraz,'</td>'); //zapis w pliku zawartości znacznika
end;
writeln(plik2,'</tr>');//zapis w pliku zamknięcia wiersza
end;
until eof(plik1);//koniec pętli odczytującej liniami dokument xml
writeln(plik2,'</table></body></html>');//dodanie do pliku treści
//końca dokumentu html
close(plik2);
close(plik1);
b) Arkusz ze stylami CSS:
table {font-size: 16px; color: blue; border: none} //określenie wyglądu tabeli m.in. wielkości i koloru
czcionki
tr {text-align: center; padding-right: 2px; background-color: silver} //określenie wyglądu wiersza m.in.
koloru tła
td{border: 1px solid black; padding-right: 2px; border-radius: 10px} // określenie wyglądu komórki m.in.
zaokrąglenia
Rozwiązanie 5
Program w Pascalu, analizujący kod HTML:
repeat //początek pętli odczytującej liniami dokument html
readln(plik1,linia);//odczyt z piku jednej lini
while ((pos('<',linia)>0) and (pos('>',linia)>0)) do //dopóki istnieją < >
begin
i:=pos('<',linia);j:=pos('>',linia)+1; //znajdź tag
delete(linia,i,j-i);
//i usuń go
end;
if length(linia)>0 then insert(linia,wynik,length(wynik)+1);
// jeżeli oprócz znaczników istniał tekst to zostaje on wstawiony do wyniku
until eof(plik1);//koniec pętli odczytującej liniami dokument html
close(plik1);
for j:=1 to length(wynik) div 4 do
begin
writeln(chr(ord(wynik[4*j])+1)); //odczyt co czwartego znaku
end