przestrzeń wektorowa

Transkrypt

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
Def. 1
(X, K, ⊕, ⊗)
⊕:X×X→X
⊗:K×X→X
X ≠ ∅, K - ciało
(⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X)
(⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X)
Strukturę (X, K, ⊕, ⊗) nazywamy przestrzenią wektorową :⇔
1) Struktura (X, ⊕) jest grupą abelową
2) ∀x,y ∈ X ∀α ∈ K: α ⊗ (x ⊕ y) = (α ⊗ x) ⊕ (α ⊗ y)
∀α, β ∈ K ∀x ∈ X : ( α ⋅ β) ⊗ x = α ⊗ (β ⊗ x)
3)
∧ (α + β) ⊗ x = (α ⊗ x) ⊕ (β ⊗ x)
4) ∀x ∈ X 1 ⊗ x = x
Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K – skalarami.
Przyjmujemy umowę:
x - wektor
X - przestrzeń wektorowa
Przykład 1
( R 3 , R , ⊕, ⊗)
Definiujemy działania:
3
R ∋ (x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2) := (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
R ∋ α⊗ (x, y, z) := (α x, α y, α z)
Sprawdzamy czy ( R 3, R , ⊕, ⊗) jest przestrzenią wektorową.
Czy ( R 3, ⊕) jest grupą abelową?
[(x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2)] ⊕ (x3, y3, z3) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ⊕
(x3, y3, z3) =(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2+y3), z1 + (z2 +z3)) = (x1, y1, z1) ⊕
[(x2, y2, z2) ⊕ (x3, y3, z3)]
wniosek: działanie ⊕ jest łączne
Z przemienności dodawania wynika przemienność działania ⊕.
Elementem neutralnym działania ⊕ jest 0 =(0, 0, 0)
Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z)
bo (x, y, z) ⊕ (-x, -y, -z) = (0, 0, 0) ∧ (-x, -y, -z) ⊕ (x, y, z) = (0, 0, 0)
Więc struktura ( R 3,⊕) jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo
sprawdzić.
Wniosek: ( R 3, R , ⊕, ⊗) – jest przestrzenią wektorową.
Przyjmujemy umowę:
Zamiast ⊕ piszemy +, a zamiast ⊗ piszemy „⋅” i przestrzeń wektorową
zapisujemy: (X, K, +, ⋅)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Def. 2
Element neutralny
oznaczamy: 0
działania
+
Przykład 2
X≠∅
F(X, R ) = {f: f: X→ R }
nazywamy
wektorem
zerowym
i
-- zb. odwzorowań
(F(X, R ), R , +, ⋅)
Definiujemy działania:
+ : F(X, R ) × F(X, R ) → F(X, R )
f, g ∈ F(X, R )
f + g = h :⇔ ∀x ∈ X : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = h(x)
α ⋅ f = g :⇔ ∀x∈X (α ⋅ f)(x) = α ⋅ f(x)
W tym przypadku wektorami są odwzorowania.
F(X, R ) ∋ 0 : ∀x ∈ X 0 (x) = 0 (Wektorem zerowym jest odwzorowanie!)
Łatwo zauważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura
(F(X, R ), R , +, ⋅) jest przestrzenią wektorową.
Def. 3
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
U ≠ ∅, U ⊂ X
Strukturę (U, K, +, ⋅) nazywamy podprzestrzenią wektorową przestrzeni X
:⇔
1) ∀x, y ∈ U : (x + y) ∈ U
2) ∀α ∈ K ∀x ∈ U : (α ⋅ x) ∈ U
Przykład 3
(R3, R, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa (patrz: Przykład 1)
a).
U := {(x, y, z)∈ R 3: x + y + z = 0}
Sprawdzamy, czy (U, R , +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni R 3.
U ≠ ∅ ponieważ np. (1, 0, 1) ∈ U
U ∋ x = (x1, y1, z1) ⇒ x1 + y1 + z1 = 0
U ∋ y = (x2, y2, z2) ⇒ x2 + y2 + z2 = 0
Pytamy, czy x + y ∈U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
x1 + x2 + y1 + y2 + z1 +z2 = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0
Teraz pytamy, czy α ⋅ x ∈ U (drugi warunek podprzestrzeni)
α ⋅ x = α⋅(x, y, z) = (αx, αy, αz)
αx + αy + αz = α(x + y +z) = α⋅0 = 0
strona 2 z 10
Wniosek: ponieważ spełnione są obydwa powyższe warunki to (U, R ,+, ⋅)
jest podprzestrzenią przestrzeni R 3
b).
V := {(x, y, z)∈ R 3 : x + y + z = 1}
Sprawdzamy, czy struktura (V, R, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni
R3 .
V ≠ ∅ ponieważ np. (1, -1, 1) ∈ V
V ∋ x = (x1, y1, z1) ⇒ x1 + y1 + z1 = 1
V ∋ y = (x2, y2, z2) ⇒ x2 + y2 + z2 = 1
Pytamy, czy x + y ∈U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
x1+x2 + y1+y2 + z1+z2 = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 1 + 1 = 2 ≠ 1
Wniosek: Ponieważ powyższy warunek nie jest spełniony to (V, R, +, ) nie
jest podprzestrzenią przestrzeni R 3 .
Twierdzenie 1
Każda podprzestrzeń przestrzeni wektorowej jest przestrzenią wektorową.
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa,
U≠∅∧U⊂X
(U, K, +, ⋅) – podprzestrzeń wektorowa przestrzeni X
T: (U, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
Własności działań w przestrzeni wektorowej.
1) ∀x ∈ X : x ⋅ 0 = 0
2) ∀α ∈ K : α ⋅ 0 = 0
3) ∀α ∈ K ∀x ∈ X : - (α ⋅ x) = (−α) ⋅ x = α ⋅ (− x)
4) ∀α ∈ K ∀x ∈ X : α ⋅ x = 0 ⇔ α = 0 ∨ x = 0
5) ∀α ≠ 0∀x, y ∈ X : α ⋅ x = α ⋅ y ⇒ x = y
6) ∀α, β ∈ K∀x ≠ 0 : α ⋅ x = β ⋅ x ⇒ α = β
Twierdzenie 2 (Warunek konieczny i wystarczający na podprzestrzeń).
U≠∅∧U⊂X
T: (U, K, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni X ⇔
∀α, β ∈ K∀x, y ∈ U : (α ⋅ x + β ⋅ y) ∈ U
Twierdzenie 3
strona 3 z 10
U≠∅∧U⊂X
T: (U, K, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni X
⇔ ∀α1, α2,..., αn ∈ K∀x1, x2,..., xn ∈ U : (α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn) ∈ U
Def. 4
x1, x2,..., xn ∈ X ∧ α1, α2,..., αn ∈ K
x = α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn
Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x1, x2,..., xn
α1, α2,..., αn - nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.
Def. 5
(X, K, +,⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X - wektory z przestrzeni X
n
Wektory x1, x2,..., xn są liniowo zależne :⇔ ∃α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn = 0 ∧ Σ α i2 > 0
i =1
Def. 6
(X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X
Wektory x1, x2,..., xn są liniowo niezależne :⇔ nie są liniowo zależne
(:⇔ α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn = 0 ⇒ α1, α2,..., αn = 0 )
Przykład 4
( R 3, R , +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
a). u = (0,1,1) v = (1,0,0) w = (1,1,1)
Sprawdzamy, czy wektory u, v, w są liniowo zależne/niezależne
Pytamy kiedy α ⋅ u + β ⋅ v + γ ⋅ w = 0
α(0,1,1) + β(1,0,0) + γ(1,1,1) = (0,0,0)
(0,α,α) + (β,0,0) + (γ,γ,γ) = (0,0,0)
(β+γ, α+γ, α+γ) = (0,0,0)
Otrzymujemy układ równań:
β + γ = 0

α + γ = 0
α + γ = 0

Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
α = -t

t∈ R
β = - t
γ = t

Czyli ∃α,β,γ : α≠0 v β≠0 v γ≠0 : α ⋅ u + β ⋅ v + γ ⋅ w = 0
Np. dla t=2
strona 4 z 10
α = -2

β = - 2
γ = 2

Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo zależne.
b). u = (3,2,-1) v = (1,-2,1) w = (1,1,1)
Pytamy kiedy α ⋅ u + β ⋅ v + γ ⋅ w = 0
α(3,2,-1) + β(1,-2,1) + γ(1,1,1) = (0,0,0)
(3α+β+γ, 2α-2β+γ, -α+β+γ) = (0,0,0)
- α + β + γ = 0

2α - 2β + γ = 0
3α + β + γ = 0

α = 0

β = 0
γ = 0

Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4
Z: (X, K, + ,⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X - liniowo niezależne
T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x1, x2,..., xn to współczynniki tej
kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do
kolejności)
Czyli
Jeżeli:
x = α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn ∧ x = β1 ⋅ x1 + β2 ⋅ x2 + ... + βn ⋅ xn
to:
α1=β1∧α2=β2∧...∧αn=βn
Twierdzenie 5
x1, x2,..., xn ∈ X
T: Wektory x1, x2,..., xn są liniowo zależne ⇔ przynajmniej jeden z nich jest
kombinacją liniową pozostałych (⇔ ∃i : x i = α1x1 + ... + α i-1x i-1 + α i +1x i +1 + ... + α n x n ).
Wnioski:
1) Jeżeli wektory są liniowo niezależne to żaden z nich nie jest
kombinacją liniową pozostałych,
2) Zespół wektorów: x1, x2,..., 0 ,..., xn jest liniowo zależny.
strona 5 z 10
Def. 7
A⊂X∧A≠∅
Liniową powłoką zbioru A nazywamy zbiór:
L inA : = {x ∈ X: ∃α1 ,α 2 ,...,α n ∈ K:∃x1 ,x 2 ,...,x n ∈ A: x = α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn
Czyli:
L inA to zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A.
Twierdzenie 6
A≠∅∧A⊂X
T: ( L inA , K, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni X (czyli dla siebie
przestrzenią)
Def. 8
Z: (X, K, +, ⋅)
A≠∅∧A⊂X
T: ( L inA , K, +, ⋅) – nazywamy przestrzenią generowaną przez zbiór A
Def. 9
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa,
A≠∅
Zbiór A nazywamy bazą przestrzeni wektorowej jeżeli:
1) L inA = X (każdy wektor z X daje się przedstawić jako kombinacja liniowa
wektorów z A)
2) ∀x1 ,x 2 ,...,x n ∈ A wektory x1 ,x 2 ,..,x n są liniowo niezależne
Przykład 5
Z: ( R 3, R , +, ⋅)
A = {u = (3,2,-1), v = (1,-2,1), w = (1,1,1)}
Sprawdzamy, czy A jest bazą przestrzeni R 3.
Pytamy, czy L inA = R 3
R 3 ∋ (x, y, z) = α(3, 2, -1) + β(1, -2, 1) + γ(1, 1, 1)
(3α+β+γ, 2α-2β+γ, -α+β+γ) = (x, y, z)
- α + β + γ = z

2α - 2β + γ = y
3α + β + γ = x

α = 14 x − 14 z

1
1
1
β = 4 x − 3 y + 12 z
γ = 1 y + 2 z
3
3

strona 6 z 10
Czyli: (x, y, z) = ( 14 x − 14 z )⋅(3, 2, -1) + ( 14 x − 13 y + 121 z )⋅(1, -2, 1) +
( 13 y + 23 z )⋅(1, 1, 1)
Wniosek: L inA = R 3
Liniową niezależność wektorów u, v, w sprawdziliśmy w przykładzie 4 b).
Wniosek: A jest bazą przestrzeni R 3.
Uwaga
Każdy podzespół zespołu wektorów liniowo niezależnych jest zespołem
wektorów liniowo niezależnych (ale NIE NA ODWRÓT).
Twierdzenie 7
T: Każda niezerowa (nie złożona tylko z 0 ) przestrzeń wektorowa posiada
bazę.
Ponadto:
Jeżeli istnieje baza skończona i x 1 , x 2 ,..., x n ∈ X stanowią bazę X oraz
y1 , y 2 ,..., y n też stanowią bazę to n = k.
Def. 10
Jeżeli przestrzeń posiada bazę złożoną ze skończonej liczby wektorów to
mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa i ilość wektorów w
bazie nazywamy wymiarem przestrzeni dim X = n
Jeżeli przestrzeń posiada bazę z nieskończoną ilością wektorów to jest
nieskończenie wiele wymiarowa (dim X = +∞).
Jeżeli przestrzeń składa się tylko z wektora zerowego to przyjmujemy z
definicji: dim{0}:=0
Def. 11
Reperem bazowym (krótko: bazą) nazywamy bazę, w której ustaliliśmy
kolejność wektorów.
Def. 12
B = {e1 , e 2 ,..., e n } – reper bazowy i wektor x ∈ X przedstawiamy jako
x = α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en to
α1 , α 2 ,..., α n nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B (względem
bazy B) i stosujemy zapis x=[α1 ,α 2 ,...,α n ]B
Przykład 6
Z: ( R 3, R , +, ⋅)
A = (u = (3,2,-1), v = (1,-2,1), w = (1,1,1)) - baza R 3
Znaleźć współrzędne wektora (4, 4, 8) w bazie A.
strona 7 z 10
(4, 4, 8) = α(3, 2, -1) + β(1, -2, 1) + γ(1, 1, 1)
Korzystając z przykładu 5 mamy:
α = 14 x − 14 z

1
1
1
β = 4 x − 3 y + 12 z
γ = 1 y + 2 z
3
3

Czyli:
(4,4,8) = -(3,2,-1) + 13 (1,−2,1) + 203 (1,1,1) = [−1, 13 , 203 ]B
Przykład 7
Przy założeniach z poprzedniego przykładu: znaleźć wektor, którego
współrzędne w bazie A wynoszą [1,-1,2]A.
(x, y, z) = [1,-1,2]A = 1(3,2,-1) + (-1)(1,-2,1) + 2(1,1,1) = (4,6,0)
Czyli: (x, y, z) = (4,6,0)
Przykład 8
( R 3, R , +, ⋅)
B = (e1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1))
Sprawdzamy, czy B jest bazą przestrzeni R 3.
Pytamy, czy wektory bazowe generują całą przestrzeń R 3.
(x, y, z) = α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) = (α, β, γ)
x = α

Wniosek: wektory z B generują całą przestrzeń R 3.
y = β
z = γ

Pytamy, czy wektory e1 , e 2 , e 3 są liniowo niezależne.
α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) = (0,0,0)
(α, β, γ) = (0,0,0)
α = 0

Wniosek: wektory z B są liniowo niezależne.
β = 0
γ = 0

Czyli: B jest bazą przestrzeni R 3.
Współrzędne wektora w bazie B:
(x, y, z) = [x, y, z]B – bazę taką nazywamy bazą kanoniczną.
Baza kanoniczna przestrzeni ( R n, R , +, ⋅) ma postać:
B = (e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0),..., en = (0,0,...,1))
Wnioski:
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa dim X = n
a) każdy zespół n+1 wektorów jest liniowo zależny
b) każdy zespół n wektorów które generują przestrzeń jest
liniowo niezależny
strona 8 z 10
c) każdy zespół n wektorów liniowo niezależnych generuje
przestrzeń
Uwaga
1) Jeśli znamy wymiar przestrzeni n to aby sprawdzić czy n
wektorów jest bazą przestrzeni wystarczy sprawdzić jeden z dwóch
warunków na bazę (albo liniową niezależność, albo czy generują całą
przestrzeń).
2) Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa ,
dim X = n
U ⊂ X , U – podprzestrzeń przestrzeni X
To: n ≥ dim U
dim U = n ⇔ U = X
Def. 13
(X1, K, +, ⋅), (X2, K, +, ⋅) – podprzestrzenie przestrzeni X
Sumą dwóch podprzestrzeni nazywamy zbiór
X1 + X 2 := {x ∈ X : ∃x1 ∈ X1 ∧ ∃x 2 ∈ X 2 : x = x1 + x 2 }
Twierdzenie 8
– przestrzeń wektorowa
Jeżeli: (X, K, +, ⋅)
To:
1) (X1+X2, K, +, ⋅) – jest podprzestrzenią przestrzeni X.
2) (X1∩X2, K, +, ⋅) – jest podprzestrzenią przestrzeni X
Uwaga
Unia dwóch podprzestrzeni (X1∪X2) na ogół nie jest podprzestrzenią.
Przykład 9
( R 2, R , +, ⋅)
X1={(0, y): y∈ R }
X2={(x, 0): x∈ R }
(X1, R , +, ⋅) – podprzestrzeń R 2
(X2, R , +, ⋅) – podprzestrzeń R 2
e1 ∈ X 1 e1 = (0,1) ⇒ e1 ∈ (X 1 ∪ X 2 )
e2 ∈ X 2 e2 = (1,0) ⇒ e2 ∈ (X1 ∪ X 2 )
e1 + e2 = (1,1) ∉ (X1 ∪ X 2 )
Def. 14
Sumą prostą podprzestrzeni X1⊕X2 nazywamy zbiór:
X ⊕ X := {x ∈ X : ∃!x ∈ X ∧ ∃!x ∈ X : x = x + x }
1
2
1
1
2
2
1
2
strona 9 z 10
Twierdzenie 9
Suma dwóch podprzestrzeni jest sumą prostą ⇔ częścią wspólną
podprzestrzeni jest wektor zerowy.
X ⊕ X = X + X ⇔ X ∩ X = {0}
1
2
1
2
1
2
Def. 15
X1 – podprzestrzeń przestrzeni X oraz
X2 taka podprzestrzeń przestrzeni X, że: X2: X=X1⊕X2 to
X2 nazywamy przestrzenią uzupełniającą przestrzeni X1
Twierdzenie 10
Każda podprzestrzeń posiada przestrzeń uzupełniającą.
Twierdzenie 11
1) dim (X1+X2) = dim X1 + dim X2 – dim (X1∩X2)
2) dim (X1⊕X2) = dim X1 + dim X2
Wniosek:
X = X1 ⊕ X2 ⇒ dim X = dim X1 + dim X2
strona 10 z 10

przestrzeń wektorowa

Transkrypt

Podobne dokumenty

V26P-MAP/01-France

V913MAP-Canada Vancouver Island

WVJNAM028MAP-Alaska

Wielomiany Wartości i wektory własne

CorelDraw - grafika wektorowa