pełny tekst
Transkrypt
pełny tekst
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomica 258 (49), 177–186 Celina SKROBISZ ZASTOSOWANIE BAYESOWSKICH MODELI HIERARCHICZNYCH W MODELOWANIU NA PRZYKŁADZIE DOTYCZĄCYM MIESIĘCZNYCH DOSTAW GAZU ZIEMNEGO BAYESIAN HIERARCHICAL MODELLING FOR EXAMPLE DELIVERIES OF EARTH GAS Katedra Zastosowań Matematyki, Akademia Rolnicza ul. Monte Cassino 16, 70-466 Szczecin Abstract. The article was consecrated the bayesian modelling and forecasting on the ground the hierarchical models of time series. The principles of bayesian modeling and forecasting were put-upon to analysis of deliveries of earth gas The comparison of exactitude of prognoses' ex post was conducted fast on the ground bayesian models and classic models. In the article to building, estimation and prediction the bayesian, hierarchical models were used numerical methods Monte Carlo. Seven hierarchic models were estimated on the basis of the data of the relating deliveries of the earth gas in years 1994–1997. Słowa kluczowe: analiza Bayesowska, metody Monte Carlo, próbnik Gibbsa. Key words: Bayesian analysis, Monte Carlo methods, Gibbs sampling. ISTOTA WNIOSKOWANIA BAYESOWSKIEGO Metody Bayesowskie zaliczane są do nieklasycznych metod statystycznych. Opierają się one na warunkowym prawdopodobieństwie, zdefiniowanym za pomocą wzoru Bayesa. Ich istota oparta jest o rozkłady a priori, które odgrywają ważną rolę we wnioskowaniu. Model statystyczny scharakteryzowany jest jednoznacznie przez gęstość łącznego rozkładu prawdopodobieństwa wektora obserwowanego, wektora prognozowanego oraz wektora parametrów. Zapis analityczny tego modelu jest następujący: p ( y, y f , θ ) = p ( y f / y, θ ) p ( y / θ ) p (θ ) Estymacja parametrów modelu polega na wyznaczeniu z łącznego wektora obserwacji i wektora parametrów warunkowej gęstości dla parametrów, przy danym wektorze y, czyli gęstości rozkładu a posteriori. Wnioskowanie Bayesowskie opiera się na twierdzeniu Bayesa: p (θ / y ) = p ( y / θ ) p (θ ) ∫ p( y / θ ) p(θ )dθ θ gdzie: y − wektor obserwacji, θ − wektor parametrów, p ( y ) = ∫ p (θ ) p ( y / θ )dθ − gęstość brzegowego rozkładu wektora X, C. Skrobisz 178 p(θ) – wstępna (niezależna od obserwacji) wiedza badacza o parametrze θ, wyrażona za pomocą rozkładu a priori o gęstości p(θ), p(y/θ) – funkcja wiarygodności określająca stopień przekonania, dotyczący przyjmowanych przez badane zjawisko wartości względem hipotetycznych wartości parametru θ, p(θ/y) – wiedza badacza o parametrze θ oparta na całej dostępnej informacji (z próby i wiedzy wstępnej), wyrażona przez gęstość rozkładu a posteriori. Predykcja jest wyznaczeniem z łącznej gęstości p ( y, y f , θ ) gęstości rozkładu warunkowego dla wektora prognozowanego, przy zaobserwowanym wektorze y. Jest to tzw. gęstość rozkładu predyktywnego: p( y f / y) = p( y, y f ) p( y ) ∫ p( y, y f ,θ )dθ = ∫ p( y f / y,θ ) Θ = p( y ) Θ p ( y, θ ) dθ = ∫ p ( y f / y,θ ) p (θ / y )dθ p( y) Θ Uzyskany rozkład a posteriori p (θ / y ) i rozkład predyktywny p ( y f , y ) reprezentuje całą dostępną wiedzę o szacowanych wielkościach parametrów θ i wektorze y f w następstwie wektora y. W stosowaniu metod Bayesowskich podstawowymi problemami, z którymi należy się uporać, są problemy natury numerycznej. Wyznaczenie podstawowych charakterystyk rozkładów a posteriori i predyktywnego wymaga obliczenia całek wielokrotnych. Oznacza to, że w przypadku wielowymiarowych przestrzeni parametrów i zmiennych ukrytych, które są przedmiotem wnioskowania, praktycznie jedynymi dostępnymi metodami obliczeniowymi są symulacyjne metody Monte Carlo. W procesie symulacyjnym wykorzystywane są różne algorytmy, np. Gibbsa, algorytm Metropolisa i Hastingsa czy algorytm eliminacji. ANALIZA BAYESOWSKA HIERARCHICZNYCH MODELI SZEREGU CZASOWEGO Ogólne zapisy analityczne − zarówno modeli klasycznych hierarchicznego, jak i Bayesowskich − są takie same. Różnice i to o zasadniczym charakterze odnoszą się do sposobów estymacji, weryfikacji i budowy prognoz. Postać modelu hierarchicznego dwustopniowego można zapisać następująco: m p1 m p2 s =1 r =1 Ysrt = α 1t + α 0 + ∑ b0 s Qst + ∑ b0 sr Qsrt + U srt , ∑b s 0s = ∑ b0 sr = 0 (1) r Model 3-stopniowy wyraża się wzorem: m p1 m p2 m p3 s =1 r =1 l Ysrlt = α 1t + α 0 + ∑ b0 s Q st + ∑ b0 sr Q srt + U 2 t + + ∑ b0 srl + Qsrlt + U srlt przy warunkach: m p1 ∑b s =1 0s = m p2 ∑b r =1 0 sr = m p3 ∑b l =1 0 srl =0 (2) 179 Zastosowanie Bayesowskich modeli hierarchicznych... Zapisy analityczne modeli oraz ich zestawienie dla danych miesięcznych (m=12) podajemy za Zawadzkim (2003). W modelach (1), (2) zmienne Qkt , Qsrt oraz Qsrlt są zmiennymi zerojedynkowymi, przyjmującymi wartości równe 1 dla poszczególnych podokresów, wynoszących odpowied- m m m , oraz , gdzie p1 , p 2 , p3 są podzielnikami odpowiadającymi kolejnym stopp1 p 2 p3 nio niom hierarchii. Z kolei liczba szacowanych parametrów w modelach hierarchicznych jest równa sumie podzielników pomniejszonych o liczbę stopni hierarchii. W przypadku modelu dwuczynnikowego: L2 = ( p1 − 1) + ( p 2 − 1) = p1 + p 2 − 2 Natomiast w modelu trzyczynnikowym wyraża się wzorem: L3 = ( p1 − 1) + ( p 2 − 1) + ( p3 − 1) = p1 + p 2 + p3 − 3 Zestawienie modeli hierarchicznych przedstawiono w tab. 1. Tabela. 1. Specyfikacja regularnych modeli hierarchicznych dla danych miesięcznych Czynnik pierwszy Model Czynnik drugi Czynnik trzeci Liczba szacowanych parametrów rodzaj zmienności macierz M12 miesiąc w roku IN H26 półrocze w roku PR miesiąc w półroczu MP 6 H34 kwartał w roku K miesiąc w kwartale MK 5 H43 okres 4 miesięcy w roku CZ miesiąc w okresie czteromiesięcznym MCZ 5 H62 okres 2 miesięcy w roku D miesiąc w okresie dwóch miesięcy MD 6 H232 półrocze w roku PR 2 miesiące w półroczu PD H223 półrocze w roku PR kwartał w półroczu KP H322 okres 4 miesięcy w roku CZ 2 miesiące w okresie 4 miesięcy MDCZ rodzaj zmienności rodzaj zmienności macierz macierz 11 miesiąc w okresie dwóch miesięcy miesiąc w kwartale miesiąc w okresie dwóch miesięcy TMD 4 MK 4 MD 4 Źródło: Zawadzki (2003). Do szacowania parametrów Bayesowskich modeli hierarchicznych zostanie wykorzystany algorytm Gibbsa, będący jednym ze skuteczniejszych narzędzi symulacyjnych metod Monte Carlo. Procedura Gibbsa umożliwia losowanie z rozkładu wielowymiarowego poprzez losowanie z pełnych rozkładów warunkowych i jest następująca: Mając dany wektor (q) (q) (q) (q) (q) (q) (θ1 , θ 2 ,..., θ p , h1 , h2 ,..., hm ) , będący wynikiem q-tego losowania (lub wektor startowy, gdy q=0), wektor: (θ1 θ1 ( q +1) losujemy z p (θ1 /θ 2 (q) ( q +1) ,θ 2 ( q +1) ,..., θ p (q) (q) (q) (q) , θ 3 ,..., θ p ( q +1) , h1 ( q +1) , h2 ( q +1) ,..., hm , h (q) , y) ( q +1) θ2 θ p −1 losujemy z p (θ 2 / θ1 ( q +1) (q) , θ 3 ,...,θ p losujemy z p (θ p −1 / θ1 ( q +1) ,θ 2 ( q +1) , h (q) , y) … ,..., θ p − 2 ( q +1) ,θ p (q) , h (q ) , y) ( q +1) ) , otrzymujemy: 180 θp h1 C. Skrobisz ( q +1) losujemy z p (θ p / θ1 ( q +1) ,θ 2 (q) ( q +1) losujemy z p (h1 / θ ( q+1) , h2 ( q +1) losujemy z p (h2 / θ ( q +1) , h1 h2 hm −1 hm ( q +1) ( q +1) ( q +1) (q) ( q +1) , h (q ) , y) (q) , h3 ,..., hm , y ) ( q +1) losujemy z p (hm −1 / θ ( q +1) , h1 losujemy z p (hm / θ ( q +1) , h1 ,..., θ p −1 (q) (q) , h3 ,..., hm , y ) … ( q +1) ( q +1) (q) (q) (q) , h2 ,..., hm − 2 , hm , y ) (q) (q) , h2 ,..., hm −1 , y ) Wygenerowanie jednej realizacji wektora losowego składa się z p+m kroków i jest to jeden pełny cykl Gibbsa. Powtarzając tę procedurę losowania, otrzymamy ciąg (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) θ1 ,θ 2 ,..., θ p , h1 , h2 ,..., hm ) , θ1 , θ 2 ,..., θ p , h1 , h2 ,..., hm ) … (s) (s) (s) (s) (s) (s) θ1 ,θ 2 ,...,θ p , h1 , h2 ,..., hm ) , θ1 (θ1 (S + N ) ,θ 2 (S +N ) ,..., θ p (S +N ) , h1 (S + N ) , h2 (S + N ) ( s +1) ,θ 2 ,..., hm ( s +1) (S +N ) ,..., θ p ( s +1) , h1 ( s +1) , h2 ( s +1) ,..., hm ( s +1) )… ) … realizacji łańcucha Markowa, które- go rozkładem stacjonarnym jest rozkład a posteriori. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY Dotychczasowe rozważania zostaną zilustrowane przykładem empirycznym dotyczącym miesięcznych dostaw gazu ziemnego w ciągu trzech lat. Wybór okresu związany był z przeprowadzeniem analizy porównawczej prognoz ex post otrzymanych na podstawie modeli Bayesowskich oraz modeli klasycznych. Wyniki zastosowania modeli klasycznych zaprezentowane zostały w pracy Zawadzkiego (2003).⋅ Rysunek 1 przedstawia kształtowanie się miesięcznych dostaw gazu ziemnego. 500 400 . –3 [MJ m ] 450 350 300 250 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 Miesiąc Rys.1. Kształtowanie się dostaw gazu ziemnego w latach 1994–1997 Tabela 2. Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori parametrów siedmiu modeli hierarchicznych Model Parametr Y1 H26 H26 H43 H43 H34 H34 H62 H62 H223 H223 H232 H232 H322 H322 wartość oczekiwana odchylenie standardowe wartość oczekiwana odchylenie standardowe wartość oczekiwana odchylenie standardowe wartość oczekiwana odchylenie standardowe wartość oczekiwana odchylenie standardowe wartość oczekiwana odchylenie standardowe wartość oczekiwana odchylenie standardowe teta_1 398,77 4,77 420,66 8,13 427,03 9,38 420,70 11,38 397,47 4,64 399,16 4,81 421,23 398,77 tata_2 397,39 5,75 353,97 8,40 372,21 8,89 408,08 10,93 395,25 4,58 394,92 6,01 353,24 397,39 tata_3 393,92 6,92 399,43 8,88 357,93 9,28 360,82 11,35 396,72 4,89 399,94 5,40 390,16 393,92 tata_4 399,39 6,00 381,20 8,95 397,84 7,65 351,92 11,74 394,87 5,03 399,67 4,88 401,94 399,39 tata_5 398,45 5,80 402,89 8,90 390,21 7,66 388,29 10,71 – – – – – 398,45 tata_6 398,98 5,90 – – – – 401,67 6,56 – – – – – 398,98 sigma 44,36 2,49 41,91 2,34 40,95 2,29 42,20 2,42 45,15 2,37 45,26 2,37 42,13 44,36 tau 5,92 4,75 31,89 13,39 33,01 13,98 33,42 12,92 5,26 4,54 6,35 5,46 37,69 5,92 Mu 397,75 4,27 392,46 12,25 390,33 12,60 389,71 12,04 396,13 4,10 398,27 4,44 392,63 397,75 182 C. Skrobisz W analizie dostaw gazu ziemnego szacowaniu poddanych zostało siedem modeli hierarchicznych, w tym cztery dwustopniowe oraz trzy trzystopniowe. Łączny rozkład a posteriori dla poszczególnych modeli hierarchicznych jest następujący: J J nj p(θ , μ, logσ , logτ / y) ∝ τ ∏ N (θ j / μ,τ )∏∏ N ( yij / θ j ,σ 2 ) 2 j =1 j =1 i=1 Do obliczeń charakterystyk rozkładów a posteriori parametrów wykorzystano metody MCMC. Wykonano 550 000 losowań (cykli Gibbsa), w tym odrzucono 50 000 spalonych cykli. W obliczeniach wykorzystano program komputerowy Gauss 6.0. Tabela 2 przedstawia wyniki wartości oczekiwanych i odchyleń standardowych a posteriori parametrów. Najmniejsza wartość oczekiwana oszacowanego parametru teta_1 wynosi 397,47 i występuje w modelu H223, natomiast największa wartość oczekiwana tego parametru to 427,03 − jest ona wynikiem oszacowania parametrów modelu dwustopniowego H34. Najwyżej oszacowana wartość oczekiwana parametru teta_2 jest dla modelu dwustopniowego H62 − wynosi ona 408,08. Z kolei oczekiwaną wartość najmniejszą (353,24) uzyskujemy w wyniku oszacowania parametrów dla modelu H322. Parametr teta_3 osiąga największą wartość oczekiwaną 399,94 dla modelu H232. Wartość najmniejsza dla tego parametru to 357,93 − uzyskana jest w wyniku oszacowań parametrów modelu dwustopniowego H34. Z kolei dla modelu H322 osiągamy największą wartość oczekiwaną dla parametru teta_4 − wynosi ona 401,94. Ten sam parametr osiąga najmniejszą wartość oczekiwaną 351,92 dla modelu dwustopniowego H62. Parametr teta_5 szacowany był dla czterech modeli dwustopniowych − największą wartość oczekiwaną 402,89 osiągnął dla modelu H43. Z kolei najmniejsza wartość oczekiwana dla tego parametru oszacowana została w modelu H62 i wynosiła 388,29. Parametr teta_6 szacowany był dla dwóch modeli. Największa wartość oczekiwana tego parametru wynosi 401,67 dla modelu H62, natomiast najmniejsza wartość oczekiwana parametru teta_6 plasuje się na poziomie 398,98 dla modelu H26. Tabela 3 przedstawia wartości kwantyli a posteriori dla poszczególnych parametrów siedmiu modeli hierarchicznych. Tabela 3. Wartości kwantyli a posteriori dla poszczególnych parametrów przy zmiennych zero-jedynkowych Modele H26 Kwantyle a posteriori teta_1 0,025 0,25 0,5 0,75 0,95 389,9737 395,2528 398,2695 402,0403 408,8277 H26 teta_2 385,6680 393,5276 397,4575 401,3873 408,2645 H26 teta_3 377,7468 390,2170 394,7516 399,2862 404,9545 H26 teta_4 388,6660 394,7414 398,7916 402,8418 412,9673 H26 teta_5 386,9108 394,8206 397,7867 401,7416 410,6401 H26 teta_6 387,8514 394,8928 398,9164 402,9400 411,9932 H26 sigma 39,80511 42,48299 44,08972 46,23203 49,44548 H26 tau 0,371392 1,855511 4,82375 8,534049 18,18083 H26 mu 389,1234 394,6417 398,0907 400,8498 406,3681 H43 teta_1 405,4392 415,2161 420,1045 426,2150 435,9918 H43 teta_2 338,2800 348,3834 353,4352 359,7498 369,8533 H43 teta_3 382,8275 393,5210 398,8677 405,5511 416,2445 H43 teta_4 364,2059 375,0064 381,7567 387,1569 397,9574 Zastosowanie Bayesowskich modeli hierarchicznych... 183 cd. tab. 3 Modele H43 H43 H43 H43 H43 H34 H34 H34 H34 H34 H34 H34 H34 H34 H62 H62 H62 H62 H62 H62 H62 H62 H62 H223 H223 H223 H223 H223 H223 H223 H223 H223 H232 H232 H232 H232 H232 H232 H232 H232 H232 H322 H322 H322 H322 H322 H322 H322 H322 H322 Kwantyle a posteriori teta_5 teta_6 sigma tau mu teta_1 teta_2 teta_3 teta_4 teta_5 teta_6 sigma tau mu teta_1 teta_2 teta_3 teta_4 teta_5 teta_6 sigma tau mu teta_1 teta_2 teta_3 teta_4 teta_5 teta_6 sigma tau mu teta_1 teta_2 teta_3 teta_4 teta_5 teta_6 sigma tau mu teta_1 teta_2 teta_3 teta_4 teta_5 teta_6 sigma tau mu 0,025 0,25 0,5 0,75 0,95 386,2292 – 37,26073 14,51571 367,8085 409,3382 355,3150 340,4834 383,4819 375,7829 – 36,63631 14,03163 364,8577 399,5950 387,8392 339,3158 329,9038 368,0807 389,3441 37,51008 14,14599 365,9030 389,1598 386,1140 387,1473 383,9985 – – 40,3744 0,381957 388,1600 390,1134 381,1994 390,3555 390,8528 – – 40,61416 0,459738 389,4627 405,8812 337,4725 377,8466 389,6264 – – 37,63849 12,75194 358,9783 396,9803 – 40,23806 22,36057 384,9979 420,6342 366,0231 351,6399 392,6995 385,0161 – 39,48319 22,25818 382,5120 411,5354 399,3458 352,9798 344,0177 381,0205 397,2411 40,55397 24,43004 382,2939 394,3504 391,9834 393,6084 391,4555 – – 43,55412 1,908973 393,6216 395,5031 391,6753 396,5382 396,2945 – – 43,7618 2,298608 395,5639 415,7478 347,6704 385,7170 397,5199 – – 40,62892 23,78335 382,2675 402,3558 – 41,72673 30,20543 391,4439 427,6942 372,7156 358,6127 397,3083 389,6327 – 40,90663 30,48473 391,3392 420,0643 407,5649 361,5199 351,0747 389,1078 401,1896 42,07591 32,14308 390,4893 397,3165 395,6517 396,8390 394,7697 – – 45,14398 4,199496 396,3525 399,3529 395,4847 399,1879 399,4040 – – 45,33562 5,056914 398,6145 420,6811 352,7694 390,6360 401,4667 – – 42,12414 31,13762 393,9121 409,0753 – 43,71162 38,05029 400,0386 433,3422 378,0697 364,1909 403,0694 395,4035 – 42,33007 38,71128 397,9595 428,5931 415,7839 368,3519 359,8958 395,5776 406,1252 44,10517 39,85612 398,6848 400,2826 398,5864 400,0695 398,0839 – – 46,73384 7,253527 399,0833 402,4327 399,2942 403,6042 403,2909 – – 46,90944 8,734655 401,6651 426,8478 359,143 394,5712 406,4002 – – 43,61935 45,84617 402,6456 419,8263 – 46,68895 66,81477 417,2281 444,6383 388,7778 375,3474 412,2870 404,6367 – 45,65142 68,87529 415,6138 442,2393 428,9344 382,0160 374,0097 408,5174 414,0222 47,14907 65,56625 413,0268 406,9562 403,7222 406,5307 403,8837 – – 49,91356 17,17913 403,8623 409,3623 405,0083 411,5534 409,5099 – – 50,05708 20,68731 407,0036 436,7144 369,3409 402,4416 414,2938 – – 46,60978 89,97182 425,9348 184 C. Skrobisz Najmniejsza wartość dla kwantyla 0,025 wynosi 329,90383 dla parametru teta_4 w modelu H62. Z kolei największa wartość dla tego kwantyla wynosi 409,33815 dla parametru teta_1 w modelu H34. Dla kwantyla 0,5 największa wartość wynosi 420,63419; otrzymujemy ją również dla oszacowanego parametru teta_1 w modelu H34. Najmniejsza wartość dla kwantyla 0,5 wynosi 344,01772; osiągamy ją dla parametru teta_4 również w modelu H62. Dla kwantyla 0,950 największa wartość wynosi 444,63828; otrzymujemy ją dla parametru teta_1 w modelu H34. Wartość najmniejsza występuje także w modelu H43; otrzymujemy ją dla parametru teta_2. Rysunek 2 przedstawia brzegowy rozkład a posteriori parametru pierwszego, przy zero-jedynkowej zmiennej przedstawiającej dostawy gazu ziemnego dla modelu hierarchicznego H223. Rys. 2. Brzegowy rozkład a posteriori parametru 1, przy zmiennej zero-jedynkowej modelu hierarchicznego H223 Na podstawie modeli, zawartych w tab. 1, zbudowane zostały prognozy na 12 miesięcy, a następnie przeprowadzona została analiza ex post ich dokładności. Jako kryterium dokładności prognoz przyjęto średni ważony błąd prognozy. Tabela 4 przedstawia oceny tych błędów. Tabela 4. Kształtowanie się średnich błędów prognoz ekstrapolacyjnych H26 Średnie względne błędy prognoz modeli Bayesowskich [%] 7,53 H43 5,53 4,74 H34 4,63 4,62 H62 5,26 4,72 H223 7,51 7,58 H232 7,41 7,47 H322 4,78 4,86 Model Źródło: obliczenie własne oraz Zawadzki (2003). Średnie względne błędy prognoz modeli klasycznych [%] 7,51 Zastosowanie Bayesowskich modeli hierarchicznych... 185 Z informacji zawartych w tabeli 4 wynika, że oceny błędów prognoz ekstrapolacyjnych, otrzymanych na podstawie predyktorów opartych na oszacowaniu Bayesowskich modeli hierarchicznych, charakteryzują się dość znacznym zróżnicowaniem. Najwyższe oceny średnich błędów prognoz dla wariantu 12 miesięcy otrzymano dla modelu H26. Najniższe oceny otrzymano dla modelu H34 na 12-miesięczny okres prognozowania. Warto również zauważyć, że dłuższy okres prognozowania w metodach Bayesowskich jest obarczony mniejszym średnim błędem prognoz. Zwraca uwagę fakt, że minimalne oceny błędów modeli Bayesowskich są zbliżone do błędów klasycznych modeli. Błędy te są w trzech przypadkach niższe od ocen błędów prognoz otrzymanych na podstawie predyktorów klasycznych. Dotyczy to modeli trzyczynnikowych H223, H232,H322. Różnice te wahają się od 0,06 punktu procentowego dla modelu H232 do 0,8 punktu procentowego dla modelu H322. Natomiast w tych przypadkach, w których średnie błędy prognoz są większe, różnica ta wynosi od 0,01 punktu procentowego dla modelu H34 do 0,79 punktu procentowego dla H43. Na rysunku 3 przedstawiono kształtowanie się prognozy ekstrapolacyjnej zmiennej dla modelu H26 na miesiąc prognozowania w 12-miesięcznym okresie prognozowania. Rys. 3. Wykres brzegowego rozkładu predyktywnego zmiennej dostaw gazu ziemnego w pierwszym okresie prognozowania o 12-miesięcznym okresie prognozowania W zastosowaniach metod Monte Carlo, opartych na łańcuchach Markowa, zasadniczym problemem jest ocena zbieżności z rozkładem stacjonarnym. W literaturze zazwyczaj podaje się warunki tej zbieżności, ale nie precyzując szybkości zbieżności z rozkładem stacjonarnym. Pojawia się pytanie: po jakiej liczbie cykli wstępnych – spalonych (ang. burnt-in passus) należy dokonać już losowania z rozkładu stacjonarnego? Algorytmy MCMC teoretycznie są zbieżne, ale wymagają dużej liczby cykli spalonych (ich generowanie potrwać może nawet kilka dni). Natomiast szybka zbieżność i praktyczna jej ocena są bardzo istotne w przypadku stosowania metod opartych na łańcuchach Markowa. Problem badania szybkości zbieżności algorytmu Gibbsa z losowaniami z rozkładu a posteriori omawia np. Geweke (1992). Proponuje on użycie do tego celu analizy spektralnej (widmowej). 186 C. Skrobisz PIŚMIENNICTWO Box G.E.P., Tiao G.C. 1992. Bayesian inference in statistical analysis. Wiley Classics Library, Londyn. Geweke J. 1989. Bayesian inference in econometric models using Monte Carlo integration. Econometrica 57, 31. Geweke J. 1992. Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments. Bayesian Statistics 4. Oxford University Press, Oxford. Greń J. 1970. Prognozy w świetle teorii statystycznych funkcji decyzyjnych. Prz. Statyst. 319–332. Osiewalski J. 1991. Bayesowska estymacja i predykcja dla jednorównaniowych modeli ekonometrycznych. Zeszt. Nauk. AE Krak. 100, 47–50. Osiewalski J. 2001. Ekonometria Bayesowska w zastosowaniach. AE, Kraków. Harley S.J., Myers A.M. 2001. Hierarchical Bayesian models of length-specific catchability of research trawl surveys. Canad. J. Fish. Aquatic Sci. 58, 1569–1571. Zawadzki J. 2003. Zastosowanie hierarchicznych modeli szeregów czasowych w prognozowaniu zmiennych ekonomicznych z wahaniami sezonowymi. AR, Szczecin.