Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych
Magdalena Ziębowicz
Streszczenie
W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia
związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz zbieżnością filtrów i netów w przestrzeniach topologicznych. Zostaną wskazane zastosowania filtrów i netów (konstrukcja ultraproduktu przestrzeni
Banacha) i dalsze wnioski, które są wykorzystywane jako niestandardowe metody (metrycznej) teorii punktów stałych.
1
Filtry i ultrafiltry
1.1
Filtry. Bazy i podbazy filtrów
Definicja 1 Niech X będzie niepustym zbiorem. Filtrem w zbiorze X nazywamy niepustą rodzinę F podzbiorów tego zbioru spełniającą następujące
warunki:
1) ∅ ∈
/ F,
2) iloczyn dwóch zbiorów będących elementami rodziny F jest nadal elementem tej rodziny,
3) każdy nadzbiór zbioru należącego do rodziny F jest elementem tej rodziny.
Zauważmy, że X jest elementem każdego filtru w X.
Definicja 2 Niepustą rodzinę zbiorów B ⊂ F nazywamy bazą filtru F, jeśli
każdy zbiór należący do filtru F zawiera pewien podzbiór należący do rodziny
B.
1
Definicja 3 Rodzinę zbiorów BS ⊂ F nazywamy podbazą filtru F, jeśli iloczyny skończonej liczby zbiorów należących do BS tworzą bazę filtru F.
Przykład 1 Niech M będzie niepustym podzbiorem zbioru X. Rodzina
n
F = F ∈ 2X : M ⊂ F
o
jest filtrem w zbiorze X. Filtr F nazywamy generowanym przez ten podzbiór.
Bazą tego filtru jest zbiór B = {M }.
Przykład 2 Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Dla każdego punktu x ∈ X rodzina N (x) wszystkich T -otoczeń tego punktu jest filtrem w
przestrzeni X. Bazą tego filtru jest każda baza otoczeń, w szczególności każda
otwarta baza otoczeń.
1.2
Ultrafiltry
Definicja 4 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech F oraz G będą filtrami
w tym zbiorze. Jeśli F ⊂ G, to mówimy, że filtr G jest subtelniejszy od filtru
F lub że jest rozszerzeniem filtru F.
Definicja 5 Ultrafiltrem w zbiorze X nazywamy każdy taki filtr U, którego
jedynym rozszerzeniem jest U.
Przykład 3 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech a ∈ X. Rodzina
zbiorów
n
o
U = F ∈ 2X : a ∈ F
jest ultrafiltrem w X.
Przykład 4 Niech X będzie niepustym zbiorem zawierającym przynajmniej
dwa różne
elementy i niech a,ob ∈ X, a 6= b. Rozważmy rodzinę zbiorów
n
F = F ∈ 2X : a ∈ F ∧ b ∈ F . Łatwo można sprawdzić, że F jest filtrem
generowanym przez
n
o zbiór {a, b}, ale nie jest ultrafiltrem. Istotnie, filtr G =
X
F ∈ 2 : a ∈ F jest rozszerzeniem filtru F różnym od F, gdyż {a} ∈ G,
ale {a} ∈
/ F.
Lemat 1 Niech X będzie niepustym zbiorem i niech U będzie filtrem w tym
zbiorze. Następujące warunki są równoważne:
2
1) U jest ultrafiltrem,
2) dla każdego A ⊂ X
(A ∈ U ∧ X \ A ∈
/ U) ∨ (A ∈
/ U ∧ X \ A ∈ U).
Twierdzenie 1 Niech A ⊂ X będzie podzbiorem niepustego zbioru X i niech
F będzie filtrem w tym zbiorze. Jeśli F ∩ A 6= ∅ dla każdego F ∈ F , to
w zbiorze X istnieje ultrafiltr U będący rozszerzeniem filtru F i taki, że A ∈ U.
Wniosek 1 Każdy filtr F w niepustym zbiorze X zawiera się w pewnym
ultrafiltrze.
Przykład 5 Niech X będzie dowolnym zbiorem zawierającym przynajmniej
dwa różne
elementy i niech a,
n
o b ∈ X, a 6= b. Rozważmy rodzinę zbiorów
F = F ∈ 2X : a ∈ F ∧ b ∈ F . Nietrudno sprawdzić, że filtr F zawiera się
w każdym z ultrafiltrów
n
o
Ua = G ∈ 2X : a ∈ G
n
o
oraz Ub = G ∈ 2X : b ∈ G
przy czym Ua 6= Ub .
Wniosek 2 Twierdzenie 1 nie daje żadnych wskazówek co do tego, jak skonstruować ultrafiltr U. Co więcej, taki ultrafiltr na ogół nie jest wyznaczony
jednoznacznie, co pokazuje przykład 5
2
Ciągi uogólnione
2.1
Zbiory częściowo uporządkowane i skierowane
Definicja 6 Zbiór A z określoną w nim relacją 4 nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym, jeśli:
1) α 4 α (relacja zwrotna),
2) jeśli α 4 β i β 4 γ, to α 4 γ (relacja przechodnia),
3) jeśli α 4 β i β 4 α, to α = β (relacja antysymetryczna)
dla każdych α, β, γ ∈ A.
Zbiór częściowo uporządkowany A przez relację 4 oznaczamy (A, 4).
3
Definicja 7 Zbiór częściowo uporządkowany (A, 4) nazywamy zbiorem skierowanym przez relację 4, jeśli
^
_
α1 4 α ∧ α2 4 α.
α1 ,α2 ∈A α∈A
Często sam zbiór A nazywamy zbiorem skierowanym, jeśli wiadomo w danym
momencie, jaka relacja została w nim wprowadzona.
Przykład 6 Niech N (x) będzie rodziną wszystkich otoczeń punktu x ∈ X
w przestrzeni topologicznej (X, T ). Zbiór N (x) jest skierowany przez relację
odwrotnej inkluzji
U 4 V ⇔ U ⊃ V dla U, V ∈ N (x).
2.2
Ciągi i podciągi uogólnione
Definicja 8 Niech (A,4) będzie zbiorem skierowanym, zaś X dowolnym zbiorem niepustym. Każdą funkcję x : A → X, α 7→ x(α) = xα nazywamy ciągiem uogólnionym w zbiorze X. Będziemy używać następującego oznaczenia:
x = (xα : α ∈ A).
Definicja 9 Ciąg uogólniony (xα : α ∈ A) nazywamy maksymalnym, jeśli
spełniony jest warunek:
^
F ⊂X
(
_
^
_
xα ∈ F ∨
α0 ∈A A3α<α0
^
xα ∈
/ F ).
α0 ∈A A3α<α0
Definicja 10 Niech x = (xα : α ∈ A) oraz y = (yβ : β ∈ B) będą ciągami
uogólnionymi w niepustym zbiorze X, gdzie (A, 4) i (B, ) są dowolnymi
zbiorami skierowanymi. Ciąg uogólniony y nazywamy subtelniejszym od ciągu uogólnionego x lub podciągiem uogólnionym ciągu uogólnionego x, jeśli
istnieje taka funkcja ϕ : B → A, że
1)
^
_
^
α 4 ϕ(β),
α∈A β0 ∈B B3ββ0
2)
^
yβ = xϕ(β) .
β∈B
Uwaga. W anglojęzycznych tekstach matematycznych (patrz [1]) stosowane są najczęściej terminy:
4
net – ciąg uogólniony,
ultranet – ciąg uogólniony maksymalny,
subnet – podciąg uogólniony ciągu uogólnionego.
Z uwagi na zwięzłość tej terminologii od tego miejsca będziemy się nią
posługiwać.
Przykład 7 Niech (Q+ , 4) będzie zbiorem wszystkich liczb wymiernych dodatnich skierowanych przez relację
r 4 s ⇔ s ¬ r,
gdzie ¬ jest relacją naturalnego porządku na osi liczbowej. Niech xr = r dla
każdego r ∈ Q+ . Wtedy x = (r : r ∈ Q+ ) jest netem w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech (N1 , ¬) będzie zbiorem liczb naturalnych dodatnich skierowanych
przez relację ¬. Łatwo można sprawdzić, że net ( n1 : n ∈ N1 ) jest subnetem
netu x. W definicji 10 wystarczy przyjąć, że ϕ(n) = n1 , ϕ : N1 → Q+ .
3
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych
3.1
Zbieżność filtrów i netów
Definicja 11
1) Mówimy, że filtr F = {Fα : α ∈ A} w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest zbieżny do punktu x0 ∈ X, jeżeli dla każdego
T -otwartego otoczenia U punktu x0 istnieje takie α ∈ A, że Fα ⊂ U .
Punkt x0 nazywamy granicą filtru F. Piszemy: Fα −−T→ x0 . Jeżeli x0 jest
α
jedynym punktem w przestrzeni X będącym granicą filtru F, to będziemy pisać: T - lim Fα = x0 . Jeżeli nie ma wątpliwości, jaka topologia jest
α
rozważana w zbiorze X, stosujemy odpowiednio oznaczenia: Fα −−→ x0
α
oraz lim
Fα = x0 . Filtr, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
α
2) Mówimy, że net x = (xα : α ∈ A) (gdzie (A, 4) jest zbiorem skierowanym) w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest zbieżny do punktu
x0 ∈ X, jeżeli dla każdego otoczenia T -otwartegu U punktu x0 istnieje
α0 ∈ A takie, że xα ∈ U dla wszystkich α ∈ A, α < α0 . Punkt x0
5
nazywamy granicą netu x. Piszemy: xα −−T→ x0 . Jeżeli x0 jest jedynym
α
punktem w przestrzeni X będącym granicą netu x, to będziemy pisać:
T - lim
xα = x0 . Jeżeli nie ma wątpliwości, jaka topologia jest rozwaα
żana w zbiorze X, stosujemy odpowiednio oznaczenia: xα −−→ x0 oraz
α
lim
x
α = x0 . Net, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
α
Przykład 8 W przestrzeni topologicznej (X, T ) filtr N (x0 ) wszystkich otoczeń punktu x0 ∈ X jest zawsze zbieżny do tego punktu.
Przykład 9 Net x = (r : r ∈ Q+ ) z przykładu 7 jest zbieżny do punktu
x0 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych z naturalną topologią.
Przykład 10 Niech T będzie topologią trywialną w niepustym zbiorze X.
Każdy filtr {Fα : α ∈ A} jest zbieżny w przestrzeni (X, T ) i Fα −−→ x dla każα
dego x ∈ X. Również dowolny net (xα : α ∈ A) jest zbieżny w przestrzeni
(X, T ) i xα −−→ x dla każdego x ∈ X.
α
Zakończenie
Wprowadzone pojęcia filtrów i netów pozwalają na dalsze konstrukcje,
takie jak ultrapotęgi i ultraprodukty przestrzeni Banacha. Te z kolei prowadzą do wielu niestandardowych metod dających bardzo interesujące wyniki
w metrycznej teorii punktów stałych. Chociaż metody te często nie są zaliczane do „geometrii metrycznej”, to mogą one stać się podstawą zupełnie
nowej gałęzi tej nauki.
Magdalena Ziębowicz
Instytut Matematyki
Katolicki Uniwersytet Lubelski
ul. Konstantynów 1H
20-704 Lublin
Literatura
[1] A. G. Aksoy, M. A. Khamsi, Nonstandard Methods in Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York, 1990.
6
[2] T. Pytlik, Analiza funkcjonalna, Wrocław, 2000,
URL: http://www.math.uni.wroc.pl/∼pytlik/.
[3] W. Rzymowski, Macierze i operatory, Wydawnictwo UMCS, Lublin,
2004.
[4] K. Goebel, W. A. Kirk, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych,
Wydawnictwo UMCS, Lublin, 1999.
7