Matematyka MAP3032

Matematyka MAP3032
E/AiR, rok IV
Wykład 6
1. Chcemy mierzyć zbiory w dowolnej przestrzeni (ustalonym zbiorze „głównym”). Chcemy
by były spełnione podstawowe własności:
1. miara pustego jest zero
2. miara sumy zbiorów rozłącznych jest sumą miar.
Może się okazać, że nie daje się takiej miary skonstruować na rodzinie wszystkich zbiorów.
Nie chcemy rezygnować z tak podstawowych postulatów, dlatego wybieramy mniejszą rodzinę zbiorów mierzalnych. Niech X będzie ustalonym zbiorem, a P(X) rodziną wszystkich
jego podzbiorów.
Definicja 1. Rodzina A jest σ-ciałem (σ-algebrą) podzbiorów X, gdy
1. φ ∈ A,
2. dopełnienie Ac każdego zbioru A ∈ A należy do A (mówimy, że rodzina A jest
zamnkięta na branie dopełnień),
3. dla każdego ciągu zbiorów A1 , A2 , ... ∈ A suma
zamknięta na przeliczalne sumy).
S∞
i=1
Ai należy do A (tzn. A jest
Kilka prostych wniosków z definicji:
Fakt 1. X ∈ A
Dowód. φ ∈ A =⇒ X = φc ∈ A
Fakt 2. Jeśli A1 , A2 , ... ∈ A, to
T∞
i=1
Ai należy do A.
c
Dowód. Z definicji σ-algebry dopełnienia Ai c zbiorów Ai należą do A, więc ∞
i=1 (Ai ) należy
T∞
do A, zaś na mocy prawa de Morgana dopełnieniem tej sumy jest i=1 Ai .
S
Przykłady
1. Dla dowolnego zbioru X rodzina P(X) wszystkich jego podzbiorów jst σ-algebrą.
Jest to największa (w sensie zawierania) σ-algebra podzbiorów X.
2. Dla dowolnego X najmniejszą (w sensie zawierania) σ-algebrą podzbiorów X jest
σ-algebra trywialna A = {φ, X}.
3. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Wtedy rodzina
A = {A ⊂ X : |A| ¬ ℵ0 lub |Ac | ¬ ℵ0 }
jest σ-algebrą. Zbiory spełniające warunek |Ac | ¬ ℵ0 nazywamy koprzeliczalnymi.
(Zauważmy, że gdyby X był przeliczalny, to rodzina A byłaby σ-algebrą wszystkich
podzbiorów X).
1
Definicja 2. Parę (X, F), gdzie X jest dowolnym zbiorem (przestrzenią), a F wyróżnionym σ-ciałem podzbiorów X nazywamy przestrzenią mierzalną.
W powyższych przykładach opisywaliśmy σ-algebrę podając pełną charakteryzację jej
elementów (w przykładzie 3 nawet wyliczyliśmy wszystkie elementy). Niestety, często jest
tak, że zbiory, którymi chcielibyśmy się posługiwać nie tworzą σ-algebry, a jawny opis σalgebry i zawierającej rodzinę zbiorów, na której nam zależy nie jest możliwy. Niech F
będzie pewną rodziną podzbiorów X. Chcielibyśmy optymalnie rozszerzyć tę rodzinę do
σ-algebry. Zauważmy, że rodzina P(X) wszystkich podzbiorów X jest σ-algebrą i zawiera
F, ale zapewne nie jest to zbyt oszczędny wybór.
Definicja 3. σ-algebrą generowaną przez rodzinę F nazywamy najmniejszą σ-algebrę zawierającą F i oznaczamy σ(F).
W istocie jest to przekrój wszystkich σ-algebr zawierających F, a definicja ta ma sens,
bo prawdziwy jest następujący lemat.
Lemat. Niech Aα , α ∈ Λ będą σ-algebrami podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X.
T
Wtedy przekrój α∈Λ Aα jest także σ-algebrą.
Dowód. (Pominięty na wykładzie) Sprawdzimy aksjomaty σ-algebry.
T
Oczywiście, każda rodzina Aα zawiera zbiór pusty, więc φ ∈ α∈Λ Aα .
T
Niech A ∈ α∈Λ Aα . To oznacza, że A ∈ Aα dla każdej wartości α ∈ Λ. Stąd wobec
T
faktu, że Aα są σ-algebrami, Ac ∈ Aα dla każdej α, czyli Ac ∈ α∈Λ Aα .
T
Niech teraz A1 , A2 , ... ∈ α∈Λ Aα , tzn. A1 , A2 , ... ∈ Aα dla każdej α ∈ Λ. Wtedy
T
S∞
S∞
i=1 Ai ∈ Aα dla każdej α, a stąd
i=1 Ai ∈ α∈Λ Aα .
Bardzo ważnym przykładem zastosowania operacji generowania σ-algebry jest σ-algebra
zbiorów borelowskich na R (ogólniej w Rn ). Niech I(R) oznacza rodzinę wszystkich odcinków otwartych na przestrzeni R. Wtedy definiujemy
def
B(X) = σ (I(R)) .
Zawiera ona wszystkie podzbiory, z którymi mamy do czynienia w praktyce. Nie są to
jednak wszystkie podzbiory R; wszystkich jest znacznie więcej. Niemniej warto zauważyć,
że wszystkie podzbiory jednoelementowe są borelowskie, bo
{x} = (−∞, x) ∪ (x, ∞)
|
{z
otwarty
}
c
.
| {z }
otwarty
Zbiór liczb wymiernych (a więc przez dopełnienie także niewymiernych) jest borelowski,
jako przeliczalna suma zbiorów borelowskich (jednoelementowych).
2. Funkcje mierzalne
Do przestrzeni mierzalnej dopasowujemy rodzinę funkcji zgodnych z wprowadzoną
strukturą (jak ciągłe w przestrzeni metrycznej, liniowe w przestrzeni liniowej itp.)
Definicja 4. Funkcja f : X → R jest mierzalna, gdy {x ∈ X : f (x) > a} ∈ F dla każdego
a ∈ R. Inaczej, gdy f −1 ((a, +∞]) ∈ F dla każdego a ∈ R.
2
Uwaga. Można używać w definicji dowolnego z poniższych stwierdzeń, bo są równoważne:
1. {x ∈ X : f (x) > a} ∈ F dla każdego a ∈ R
2. {x ∈ X : f (x) ­ a} ∈ F dla każdego a ∈ R
3. {x ∈ X : f (x) < a} ∈ F dla każdego a ∈ R
4. {x ∈ X : f (x) ¬ a} ∈ F dla każdego a ∈ R
5. f −1 (B) ∈ F dla każdego B ∈ B(R).
Twierdzenie 1. Niech f i g będą mierzalnymi funkcjami rzeczywistymi o tej samej dziedzinie i niech c ∈ R. Wtedy funkcje f + c, cf , f + g, f − g, f g są również mierzalne.
3. Miara
Definicja 5. Miara na σ-algebrze F to nieujemna funkcja zbioru µ : F → [0, ∞], która
P∞
S
jest przeliczalnie addytywna, tzn. µ( ∞
n=1 µ(An ) dla rodziny zbiorów parami
n=1 An ) =
rozłącznych, i spełnia µ(∅) = 0.
Zbiory z σ-algebry będziemy nazywać mierzalnymi względem F. Parę (X, F) nazwiemy
przestrzenią mierzalną, a trójkę (X, F, µ) przestrzenią miarową lub przestrzenią z miarą.
Fakt 3. Miara jest subtraktywna, tzn. A ⊂ B pociąga µ(B \ A) = µ(B) − µ(A), gdy
µ(A) < ∞.
Dowód. µ(B \ A) + µ(A) = µ(B). Teraz wystarczy przenieść µ(A) na prawą stronę.
Fakt 4. µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B)
Dowód. µ(A) + µ(B) = µ(A ∩ B) + µ(A \ B) + µ(B)
|
{z
}
µ(A∪B)
Fakt 5. Miara jest monotoniczna, tzn. A ⊂ B pociąga µ(A) ¬ µ(B).
Dowód. Wynika z faktu 2.
Fakt 6. Miara jest przeliczalnie podaddytywna, tzn. µ(
S∞
n=1
An ) ¬
P∞
n=1
µ(An ).
Dowód. Urozłączniamy zbiory An :
µ(
∞
[
n=1

An ) =
∞
[
µ

n=1

An \ (A1 ∪ ... ∪ An−1 )
=
|
{z
}
Bn
3
∞
X
n=1
µ(Bn ) ¬
∞
X
n=1
µ(An )
Fakt 7. Miara jest „ciągła w górę”, tzn. jeśli A1 ⊂ A2 ⊂ ... dla A1 , A2 ... ∈ F ,to
lim µ(An ) = µ(
[
n→∞
An ).
n
Jeśli µ(X) < ∞, to miara jest też „ciągła w dół”, tzn. jeśli A1 ⊃ A2 ⊃ ... dla A1 , A2 ... ∈ F,
T
to limn→∞ µ(An ) = µ( n An ).
Przykłady
1. miara licząca: n(A) =
2. miara Diraca: δx (A) =

n
+∞

1
0
dla A n-elementowego
,
dla A nieskończonego
gdy x ∈ A
,
gdy x ∈
6 A
3. miara o skończonym nośniku:
µ(A) =
N
X
an · δxn (A)
n=1
dla pewnego zbioru {x1 , ..., xN } ⊂ X oraz zbioru liczb dodatnich {a1 , ..., aN },
4. Niech f (x) będzie funkcją całkowalną. Określmy
µ(A) =
Z 1
0
f (x)1A (x) dx
Uwaga: tu czai się drobne oszustwo, bo musimy mieć gwarancje, ze funkcja f · 1A
musi dać się scałkować.
5. miara Lebesgue’a na prostej – miara na R taka, że µ([a, b]) = b − a (określona jest
na σ-ciele zawierającym zbiory borelowskie).
4. Całka Lebesgue’a
Dla funkcji mierzalnych definiuje się całkę w nastepujący sposób.
ETAP 1
Definicja 6. Funkcję s : X → [0, ∞] nazywamy prostą, gdy jej zbiór wartości jest skończonym podzbiorem R. Każda funkcja prosta może być zapisana w postaci
s(x) =
n
X
ci · 1Ei ,
i=1
gdzie ci 6= cj dla i 6= j, a Ei są parami rozłączne i
S
i
Ei = X.
W szczególności, każda funkcja charakterystyczna jest prosta. Suma, różnica, iloczyn funkcji prostych są funkcjami prostymi.
4
Fakt 8. Funkcja prosta o postaci s(x) = ni=1 ci · 1Ei (Ei parami rozłączne) jest mierzalna
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory E1 , ..., En są mierzalne.
P
Rozważmy nieujemną mierzalną funkcję prostą s(x) = ni=1 ci · 1Ei (Ei niekoniecznie
rozłączne). Zbiór nieujemnych mierzalnych funkcji prostych oznaczymy przez PMN.
Wtedy definiujemy
P
Z
s dµ =
n
X
ci · µ(Ei ).
i=1
W szczególności dla funkcji charakterystycznych mamy
Z
1E dµ = µ(E).
ETAP 2
Dla nieujemnej funkcji mierzalnej f (zbiór nieujemnych funkcji mierzalnych to M N ) definiujemy
Z
Z
f dµ = sup{ s dµ : 0 ¬ s ¬ f, s ∈ P M N }.
Definicja 7. Uwagi do definicji - można inaczej:
Twierdzenie 2. Każda funkcja mierzalna nieujemna jest granicą rosnącego ciągu nieujemnych funkcji prostych mierzalnych.
Twierdzenie
3. Jeśli
sn jest rosnącym ciągiem nieujemnych funkcji prostych zbieżnym do
R
R
f , to lim sn dµ = f dµ.
Można więc zdefiniować całkę jako granicę ciągu całek z funkcji prostych, a powyższy
fakt zapewnia niezależność od wyboru ciągu funkcji prostych.
Twierdzenie 4 (Własności całki dla funkcji nieujemnych). Niech f, g ∈ MN. Wtedy:
1. 0 ¬ f dµ ¬ +∞
R
2.
R
λf dµ = λ f dµ, gdzie 0 ¬ λ ¬ +∞
3.
R
(f + g) dµ = f dµ + g dµ
R
4. jeśli f ¬ g, to
R
R
R
f dµ ¬ g dµ.
R
ETAP 3
Częścią dodatnią funkcji f : X → R nazywamy funkcję f + : X → [0, ∞] określoną wzorem
f + (x) = max(f (x), 0) = f (x) · 1{x : f (x) ­ 0},
a częścią ujemną funkcję f − : X → [0, ∞]
f − (x) = − min(f (x), 0) = −f (x) · 1{x : f (x) ¬ 0}.
5
Oczywiście, f (x) = f + (x) − f − (x) oraz |f (x)| = f + (x) + f − (x) w każdym x ∈ X.
Ponadto, jeśli f jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy f + i f − są mierzalne.
Niech f będzie dowolną funkcją mierzalną (oznaczenie: M). Wtedy definiujemy:
Z
f dµ =
Z
f + dµ −
Z
f − dµ,
o ile prawa strona ma sens.
Uwaga. Nie definiujemy całki dla funkcji, dla których
R
f + dµ = f − dµ = ∞!
R
Definicja 8. Niech E będzie zbiorem mierzalnym w X. Wtedy definiujemy całkę z f po
zbiorze E jako
Z
Z
f dµ = f · 1E dµ.
E
Mamy więc
R
f dµ =
R
X
f dµ.
Twierdzenie 5. Niech f, g będą funkcjami nieujemnymi na E. Wtedy:
1. 0 ¬
2.
R
3.
R
E
R
E
f dµ ¬ +∞
λf dµ = λ
E (f
R
E
+ g) dµ =
f dµ, gdzie 0 ¬ λ ¬ +∞
R
E
R
f dµ +
4. jeśli f ¬ g na E, to
R
E
E
g dµ
f dµ ¬
R
E
g dµ.
Twierdzenie 6. Jeśli f ∈ MN, a zbiory E, F są mierzalne i E ∩ F = ∅, to
Z
f dµ =
Z
f dµ +
Z
f dµ.
F
E
E∪F
Dla funkcji o dowolnym znaku trzeba zabezpieczyć się przed różnymi niebezpieczeństwami wynikającymi z przyjmowania wartości ∞ i −∞ (czyli pojawiania się symbolu
∞ − ∞).
Definicja 9. Funkcja f jest całkowalna, gdy | f dµ| < ∞.
R
Równoważnie można zażądać, by jednocześnie f + dµ < ∞ i f − dµ < ∞ lub by
R
|f | dµ < ∞. Całkowalność nie oznacza, że funkcja daje się całkować, ale że całka jest
skończona! To inne nazewnictwo niż przy całkach Riemanna.
R
R
Definicja 10. Funkcja f jest całkowalna po zbiorze mierzalnym E, gdy |
R
Fakt 9.
Z
f
dµ
¬
Z
E
f dµ| < ∞.
|f | dµ,
Dowód.
Z
Z
f dµ = f + dµ −
Z
Z
f − dµ ¬ Z
f + dµ + =
Z
+
f dµ +
6
f − dµ
Z
−
f dµ =
Z
+ −
(f f ) dµ =
Z
|f | dµ
Twierdzenie 7 (Własności całki dla funkcji całkowalnych).
1. Jeśli f jest całkowalna i λ ∈ R (czyli nie nieskończoności), to funkcja λf jest całkowalna i
Z
Z
λf dµ = λ f dµ
2. jeśli f i g są całkowalne, to f + g jest całkowalna i
Z
3. jeśli f ¬ g, to
R
(f + g) dµ =
Z
f dµ +
Z
g dµ
f dµ ¬ g dµ
R
4. jeśli f jest całkowalna, a E i F są rozłącznymi zbiorami mierzalnymi, to
Z
f dµ =
Z
E∪F
f dµ +
E
Z
f dµ.
F
R
Przykłady 1. Dla miary Diraca f (t) dδx (t) = f (x).
2. Dla miary µ skupionej w skończenie wielu punktach x1 , ..., xn mamy
Z
f (t) dµ(t) =
n
X
f (xk )µ({xk })
k=1
3. Dla miary skupionej w przeliczalnie wielu punktach, całka to suma odpowiedniego szeregu.
4. Dla miary Lebesgue’a całka Lebesgue’a jest taka sama jak całka Riemanna (ale można
całkować większą klasę funkcji)
5. Ważne przestrzenie funkcyjne
1. L∞ (X, µ) to przestrzeń funkcji f : R (lub f : C), które są prawie wszędzie ograniczone.
Jeśli utożsamimy funkcje równe prawie wszędzie (µ{x ∈ X : f (x) 6= g(x)} = 0),
to jest to przestrzeń unormowana z normą (istotne) supremum. Jest to przestrzeń
Banacha.
2. Lp (X, µ) to przestrzeń funkcji f : R (lub f : C), które spełniają |f |p dµ < ∞. Normę
wprowadzamy
(po utożsamieniu funkcji równych prawie wszędzie) wzorem ||f ||p =
qR
p
p
|f | dµ. Są to przestrzenie Banacha, gdy p ­ 1.
R
3. RW szczególności, L2 (X, µ) to przestrzeń funkcji f : R (lub f : C), które spełniają
|f |2 dµ < ∞. Normę wprowadzamy
(po utożsamieniu funkcji równych prawie wszęqR
2
dzie) wzorem ||f ||2 =
|f | dµ. Jest to nawet przestrzeń Hilberta, gdzie iloczyn
skalarny definiujemy wzorem
Z
hf, gi = f ḡ dµ.
7