Teoria Inflacji - E-SGH

Ekonometria
Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień
Dr Michał Gradzewicz
Katedra Ekonomii I
KAE
Plan wykładu
Ekonometria szeregów czasowych i zależności pomiędzy nimi
• Przykłady ważnych modeli dynamicznych dla procesów stacjonarnych
– Model ze skończonym rozkładem opóźnień – DL (Distributed Lag)
– Model z nieskończonym rozkładem opóźnień – model Koycka
– Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień – ADL (Autoregressive Distributed Lag)
•
Regresja pozorna i kointegracja
– Testowanie kointegracji – metoda Engle’a-Grangera
•
Przykład ważnej klasy modeli dla procesów niestacjonarnych, skointegrowanych
– model korekty błędem (ECM – Error Correction Model)
Modele dynamiczne
•
•
Zależności między zmiennymi często mają charakter dynamiczny – są rozłożone w
czasie
Dlaczego?
– Opóźnienia w oddziaływaniu polityki makroekonomicznej (np. pieniężnej czy fiskalnej)
na gospodarkę
– Opóźnienia w reakcji (dostosowania) przedsiębiorstw czy gospodarstw domowych na
zmiany w ich otoczeniu gospodarczym, będące rezultatem m.in. długookresowego
charakteru niektórych kontraktów
– Na bieżące decyzje podmiotów gospodarczych wpływają ich oczekiwania odnośnie
przyszłości, a oczekiwania często formułowane są na podstawie przebiegu zjawisk
historycznych, co naturalnie wprowadza dynamiczny charakter powiazań pomiędzy
wielkościami makroekonomicznymi
– Ciągłe procesy obserwowane są w dyskretnych punktach czasu
– Niektóre obserwowane procesy są konsekwencją zjawisk obserwowanych wcześniej, np.
dzisiejszy wzrost sprzedaży mieszkań deweloperskich przełoży się na wzrost popytu na
meble i sprzęt RTV i AGD w okresach późniejszych
•
Zależności dynamiczne można stosunkowo łatwo modelować, uwzględniając
opóźnienia odpowiednich zmiennych, warto jednak wiedzieć jak to robić i jakie są
konsekwencje możliwych rozwiązań
Modele ze skończonym rozkładem opóźnień (Distributed Lag
Model – DL)
•
Odzwierciedlają dynamiczny charakter powiązań pomiędzy zmiennymi (dostosowania są
rozłożone w czasie) – DL(p) (założenie: 𝑦𝑡 jest zmienna stacjonarną)
𝑝
𝑦𝑡 = 𝛼 +
𝛽𝑖 𝑥𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡
𝑖=0
•
W takich modelach mnożniki estymowane są bezpośrednio, a wpływ 𝑥 na 𝑦 wygasa
całkowicie po 𝑝 okresach
•
𝛽0 =
•
Kolejne mnożniki: 𝛽𝑖 =
•
Mnożnik długookresowy 𝛽 = 𝑖=0 𝛽𝑖 mierzy długookresową reakcję 𝑦 na trwały,
jednostkowy wzrost 𝑥
Przykładowo 𝑦𝑡 = 𝛼 + 1.3𝑥𝑡 + 2.1𝑥𝑡−1 + 1.2𝑥𝑡−2 + 0.3𝑥𝑡−3
Mnożnik krótkookresowy wynosi 1.3
Mnożnik długookresowy wynosi
4.9 = 1.3 + 2.1 + 1.2 + 0.3
•
•
•
𝜕𝑦𝑡
𝜕𝑥𝑡
- nazywany jest mnożnikiem bezpośrednim
𝜕𝑦𝑡
𝜕𝑥𝑡−𝑖
mierzą opóźnioną o 𝑖 reakcję 𝑦 na jednostkową zmianę 𝑥
𝑝
Model Koycka – z nieskończonym rozkładem opóźnień
•
Ogólnie model z nieskończonym rozkładem opóźnień ma postać (założenie: 𝑦𝑡 jest zmienna
stacjonarną):
∞
𝑦𝑡 = 𝛼 +
𝛽𝑖 𝑥𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡
𝑖=0
•
Założenie: lim 𝛽𝑖 = 0. Modelu tego nie da się bezpośrednio wyestymować (nieskończona
•
liczba parametrów na skończonej próbie).
Ale jeśli nałożymy restrykcje na kształtowanie się parametrów, redukujemy przestrzeń
estymowanych parametrów do skończonej liczby
•
𝑖→∞
W modelu Koycka restrykcje te mają postać: 𝛽𝑖 = 𝛽0 𝜆𝑖 , gdzie 𝜆 < 1 (co zapewnia, że
lim 𝛽𝑖 = 0)
𝑖→∞
Wtedy mnożnikiem bezpośrednim jest 𝛽0 a wszystkie mnożniki tworzą malejący ciąg:
𝛽0 , 𝛽1 = 𝛽0 𝜆, 𝛽2 = 𝛽0 𝜆2 , …
9
beta0 = 2, lambda = 0.75
• Mnożnik długookresowy jest sumą:
8
𝛽0
7
𝛽=
𝛽𝑖 = 𝛽0 + 𝛽0 𝜆 + 𝛽0 𝜆2 + 𝛽0 𝜆3 + ⋯ =
1−𝜆 6
•
𝑖
•
Przykładowo dla 𝛽0 = 2, 𝜆 = 0.75
2
2
𝛽=
= =8
3 1
1−
4 4
5
4
3
2
1
mnożniki
łączna reakcja
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Estymacja modelu Koycka
•
Model Koycka musi zostać odpowiednio przekształcony, aby można było
wyestymować jego parametry
• Wyprowadzenie postaci do estymacji:
𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛽0 𝑥𝑡 + 𝛽1 𝑥𝑡−1 + 𝛽2 𝑥𝑡−2 + ⋯ + 𝜖𝑡
| −
𝜆𝑦𝑡−1 = 𝜆𝛼 + 𝜆𝛽0 𝑥𝑡−1 + 𝜆𝛽1 𝑥𝑡−2 + ⋯ + 𝜆𝜖𝑡−1
• Ponieważ 𝛽1 = 𝜆𝛽0 , 𝛽2 = 𝜆𝛽1 , itp., zatem wszystkie opóźnione 𝑥 zredukują się
𝑦𝑡 − 𝜆𝑦𝑡−1 = 𝛼 − 𝜆𝛼 + 𝛽0 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡 − 𝜆𝜖𝑡−1
• Zatem ostatecznie:
𝑦𝑡 = 𝛾 + 𝜆𝑦𝑡−1 + 𝛽0 𝑥𝑡 + 𝜂𝑡
Gdzie: 𝛾 = 𝛼(1 − 𝜆) oraz 𝜂𝑡 = 𝜖𝑡 − 𝜆𝜖𝑡−1
• Zatem:
– estymator przy zmiennej 𝑥𝑡 , czyli 𝛽0 , jest bezpośrednio uzyskiwanym estymatorem
mnożnika bezpośredniego
– Pozostałe mnożniki uzyskujemy jako funkcje otrzymanych oczacowań: 𝛽0 𝜆, 𝛽0 𝜆2 , …
– Jeśli jest nam potrzebny estymator wyrazu wolnego modelu pierwotnego, to
uzyskujemy go z zależności: 𝛼 =
•
𝛾
1−𝜆
Problem: 𝜂𝑡 jest skorelowany z 𝑦𝑡−1 , czyli estymujemy metodą zmiennych
instrumentalnych (MZI), gdzie instrumentem może być np. opóźniony 𝑥𝑡−1
Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień (ADL – Autoregressive
Distributed Lag)
•
•
•
•
W modelu DL rozkład w czasie dostosowań jest ograniczony rzędem opóźnienia (𝑝). Czasami
chcielibyśmy zobaczyć, czy dostosowania nie są zdecydowanie bardziej rozłożone w czasie.
Można wtedy zastosować mechanizm zbliżony do zastosowanego w modelu Koycka
(mnożniki przybliżane są ciągiem geometrycznym), co prowadzi do specyfikacji zwanej
autoregresją z rozkładem opóźnień
Często stosowany skrót – 𝐴𝐷𝐿(𝑞, 𝑝) (założenie: 𝑦𝑡 jest zmienna stacjonarną)
Postać ogólna modelu 𝐴𝐷𝐿(𝑞, 𝑝)
𝑞
𝑦𝑡 = 𝛼 +
𝑝
𝛼𝑖 𝑦𝑡−𝑖 +
𝑖=1
𝛽𝑗 𝑥𝑡−𝑗 + 𝜖𝑡
𝑗=0
•
•
𝐷𝐿 ⊂ 𝐴𝐷𝐿 (∀𝑖 𝛼𝑖 = 0)
𝐾𝑜𝑦𝑐𝑘 ⊂ 𝐴𝐷𝐿 (∀𝑖∈ 2,3,…,𝑞 𝛼𝑖 = 0 ∧ ∀𝑗∈ 1,2,…𝑝 𝛽𝑗 = 0)
•
•
Mnożnik krótkookresowy: 𝛽0
Aby policzyć mnożnik długookresowy zauważmy, że 𝑦 = 𝛼 +
względem 𝑦 otrzymujemy: 𝑦 =
𝛼
1− 𝑖 𝛼𝑖
+
𝑗 𝛽𝑗
1− 𝑖 𝛼𝑖
𝑖 𝛼𝑖 𝑦
+𝑗
𝛽𝑗 𝑥 . Rozwiązując
𝑥
𝑝
𝑗=0 𝛽𝑗
𝑞
(1− 𝑖=1 𝛼𝑖 )
•
Zatem mnożnik długookresowy ma postać: 𝛽 =
•
Pozostałe mnożniki krótkookresowe (dla kolejnych opóźnień) mogą być skomplikowaną
funkcją opóźnienia, generując różne kształty funkcji IRF
Jak dobrać rząd opóźnień?
•
•
Wybór specyfikacji (strategia modelowania):
Podejście from general to specific
–
–
–
–
•
Ustalamy początkowo maksymalne 𝑝 i 𝑞 na jakie jesteśmy się w stanie zgodzić (biorąc pod uwagę
długość próby i dostępne stopnie swobody)
Sekwencyjna redukcja zmiennych, oparta na testowaniu istotności ostatnich opóźnień (uzywając
testy dla modeli zagnieżdżonych, czyli t-Studenta czy odpowiedni test Walda istotności podzbioru
parametrów), biorąc pod uwagę kwestię stabilności parametrów, własnościach składnika losowego,
aby dojść do postaci modelu równie dobrego co początkowy (lub lepszego), ale z mniejszą liczba
parametrów
Zazwyczaj redukcję zmiennych (jako czynność sekwencyjną) można przeprowadzić na wiele
sposobów, kończąc na alternatywnych specyfikacjach finalnych -> możemy wybrać ostateczną
specyfikację porównując konkurujące modele przy użyciu skorygowanego 𝑅2 lub kryteriów
informacyjnych (AIC, SIC)
Niektórzy badacze sugerują również wybór ostatecznego modelu na podstawie oszacowania
wszystkich możliwych modeli zagnieżdżonych, policzenia dla mich określonego kryterium
informacyjnego i wybrania modelu o najniższej wartości kryterium
Istnieje jeszcze odwrotne podejście from specific to general. Jest rzadziej używane gdyż
naraża na potencjalne niebezpieczeństwo negatywnych skutków pominięcia ważnej zmiennej
(obciążenia) vs. mniejsze negatywne konsekwencje uwzględnienia w specyfikacji
niepotrzebnych zmiennych (nieefektywność)
Regresja pozorna
•
•
Jeśli analizowane zmienne są niestacjonarne, to stosując klasyczne metody
ekonometryczne przy poszukiwaniu związków między nimi możemy otrzymać
błędne wyniki, tzw. regresje pozorne
Przykład za Granger, Newbold (1974)
– Niezależnie generowane (wielokrotnie) procesy RW: 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡 oraz 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝜂𝑡 .
Regresja 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑥𝑡 + 𝜉𝑡 często (dużo częściej niż standardowe 5%
prawdopodobieństwa błędu I rodzaju) dawała w wyniku istotne oszacowania 𝛽 oraz
statystycznie różne od 0 (test Walda) 𝑅 2
•
•
•
•
Związki oparte na danych niestacjonarnych często są niestabilne w czasie i nie mają
sensu ekonomicznego, albo sens jest jedynie pozorny
Są odzwierciedleniem jedynie trendów stochastycznych obecnych w danych
zaintegrowanych w stopniu wyższym niż 0
Często występuje w tego typu relacjach bardzo wysoka autokorelacja składnika
losowego (niskie wartości statystyki DW), wskazująca na niestacjonarność reszt
Rozwiązanie problemu:
– Doprowadzamy zmienne do postacji stacjonarnej (liczymy odpowiednie przyrosty,
najczęściej pierwsze przyrosty), ale… wtedy koncentrujemy się na wahliwości
krótkookresowej zmiennych (badamy jedynie którkookresowe zależności pomiędzy
zmiennymi), gdyż usuwany z danych informacje o zachowaniach długookresowych
– Analiza kointegracyjna i modele korekty błędem (ECM – Error Correction Model)
Kointegracja - definicja
•
•
•
•
W niektórych modelach na danych niestacjonarnych zależności mają stabilny
charakter (nie są regresją pozorną), wtedy tego typu zależności nazywamy relacją
kointegrującą
Definicja (dla 2 zmiennych): Zmienne 𝑦𝑡 ∼ 𝐼(1) oraz 𝑥𝑡 ∼ 𝐼(1) są skointegrowane z
wektorem kointegrującym 𝜷 = 𝛽0 𝛽1 𝑇 , jeżeli skłądnik losowy 𝜖𝑡 regresji
𝑦𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡 jest stacjonarny 𝜖𝑡 ∼ 𝐼(0)
Ogólnie: ∀𝑖 𝑥𝑖 ∼ 𝐼(1), jeśli 𝜷𝑻 𝑿 ∼ 𝐼 0 , to zmienne 𝑿 są skointegrowane z
wektorem kointegrującym 𝜷
Istnienie kointegracji (relacji kointegrującej) oznacza, że analizowane zmienne
związane są zależnością długookresową (z tego powodu czasami nazywaną
równowagową),
– Charakter zależności powinien być dyktowany przez teorię ekonomiczną
– Istnienie relacji kointegrującej powinno być poparte odpowiednim testem (o którym za
chwilę)
Kointegracja – przykład teoretyczny
•
Przykład teoretyczny zależności kointegracyjnej:
– W makroekonomii definiuje się tzw. labour share, czyli udział wynagrodzenia czynnika
pracy w wypracowanym dochodzie. Wg. stylizowanych faktów Kaldora labour share
powinien być w miarę stały
– Zatem w języku ekonometrycznym – labour share powinien być stacjonarny
– 𝐿𝑆 =
𝑤𝐿
,
𝑌
gdzie 𝑤 to nominalne płace, 𝐿 – zatrudnienie a 𝑌 – nominalny PKB
– Jeśli poziom 𝐿𝑆 jest stacjonarny, to ln 𝐿𝑆 również, a ln 𝐿𝑆 = ln 𝑤 + ln 𝐿 − ln 𝑌
– Wiemy, że ln 𝑌𝑡 ∼ 𝐼 1 , ln 𝑤𝑡 ∼ 𝐼 1 , ln 𝐿𝑡 ∼ 𝐼(1), zatem zgodnie z przesłankami
teoretycznymi
– ln 𝐿𝑆𝑡 = ln
1
•
•
1
𝑤𝑡 𝐿𝑡
𝑌𝑡
= ln 𝑤𝑡 + ln 𝐿𝑡 − ln 𝑌𝑡 ∼ 𝐼(0), czyli opisywać relację kointegrującą:
ln 𝑤𝑡
−1 ln 𝐿𝑡 ∼ 𝐼(0),a wektor kointegrujący ma postać 𝜷 = 1
ln 𝑌𝑡
1
−1
𝑇
Jeśli chcemy przetestować tę przesłankę teoretyczną (stałość labour share), czy znajduje
odzwierciedlenie w danych, powinniśmy przetestować, czy labour share (lub jego logarytm)
jest stacjonarny, co oznacza, że płace, zatrudnienie i produkt związane są relacją
kointegrującą (o ile rzeczywiście wszystkie są zintegrowane w stopniu 1)
Inne przykłady dyktowanych przez teorię zależności o długookresowym charakterze:
zależność wynagrodzeń realnych od wydajności pracy, równanie popytu na pieniądz (realny
pieniądz jako funkcja nominalnych stóp procentowych i PKB), czy funkcja produkcji
Kointegracja – jak sprawdzić czy zależność między zmiennymi zintegrowanymi
nie jest pozorna?
•
•
•
Nie zawsze wiemy (a właściwie rzadko kiedy wiemy) jakie wartości powinny
przyjąć współczynniki definiujące relację kointegrującą. Jak ją wyznaczyć w
praktyce?
Jest sporo metod, mniej lub bardziej skomplikowanych
Najprostszy sposób na przetestowanie czy analizowane zmienne powiązane są
relacją kointegrującą to metoda Engle’a-Grangera (Engel, Granger 1987)
– Sprawdzamy, czy analizowane zmienne są typu 𝐼(1). Jeśli są, to:
– Szacujemy MNK parametry regresji (potencjalnej relacji kointegrującej), np:
𝑦𝑡 = 𝛾0 + 𝛾1 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡
– Obliczamy reszty z tej regresji i testujemy ich stacjonarność
– Jeśli reszty są stacjonarne 𝐼 0 , a analizowane zmienne są niestacjonarne 𝐼 1 , to
wystosowana relacja jest relacją kointegrującą z wektorem kointegrującym 𝜸 =
– Jeśli reszty są niestacjonarne 𝐼 1 to estymowana relacja ma charakter pozorny
•
Przykłady lepszych (bardziej skomplikowanych) metod
– zmodyfikowana MNK Hansena, Phillipsa (1990),
– metoda wielowymiarowa opracowana przez Johansena (1988)
1
−𝛾1
Model korekty błędem ( ECM - Error Correction Model)
•
•
•
Niech 𝑥𝑡 ∼ 𝐼(1) oraz 𝑦𝑡 ∼ 𝐼(1) a 𝑦𝑡 − 𝛾0 − 𝛾1 𝑥𝑡 ∼ 𝐼(0) jest relacją kointegrującą, definiującą
równowagową (długookresową) zależność pomiędzy zmiennymi
Czy można jednocześnie estymować długo- i krótkookresowe zależności pomiędzy badanymi zmiennymi?
TAK. Stosując model korekty błędem ECM (gdzie 𝛿 ∈ (−1; 0))
𝑞
Δ𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛿 𝑦𝑡−1 − 𝛾0 − 𝛾1 𝑥𝑡−1 +
𝛼𝑖 Δ𝑦𝑡−𝑖 +
𝑖=1
•
•
•
•
•
•
𝑝
𝛽𝑗 Δ𝑥𝑡−𝑗 + 𝜖𝑡
𝑗=0
Część równania związana z parametrem 𝛿 nazywamy mechanizmem korekty błędem (ECM), opisującym
powrót systemu do długookresowej równowagi,
Część równania związana z opóźnieniami zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających (część ADL) ma
na celu odpowiednie odwzorowanie zmienności krótkookresowej badanego zjawiska
Jeśli 𝑦𝑡−1 > 𝛾0 − 𝛾1 𝑥𝑡−1 oraz 𝛿 ∈ (−1; 0), to Δ𝑦𝑡 jest
ujemne, czyli 𝑦𝑡 maleje, dokładnie o fragment 𝛿
𝑦𝑡
nierównowagi z poprzedniego okresu
𝛿 = −0.5
𝑦𝑡
Mechanizm ECM opisuje zatem krótkookresowy,
stopniowy powrót tego systemu do stabilnej
długookresowej równowagi, danej relacją kointegrującą
𝑦𝑡+1
Jeśli 𝛿 = 0 to mechanizm korekty błędem jest
𝑦𝑡 = 𝛾0 + 𝛾1 𝑥𝑡
nieaktywny i równanie opisuje jedynie dynamikę
krótkookresową (ADL)
Dla mechanizmu ECM również (jak dla procesu AR)
można wyznaczyć okres połowicznego wygaśnięcia (halflife), dany wzorem:
ln 0.5
𝐻𝐿 =
𝑡 𝑡+1 𝑡+2
ln 1 + 𝛿
𝑡
Estymacja modeli ECM
•
Najprostszą metodą estymacji układu ECM jest dwukrokowa metoda Engle’aGranger’a
1. Szacujemy MNK parametry relacji kointegrującej 𝑦𝑡 = 𝛾0 − 𝛾1 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡
2. Obliczamy reszty 𝑒𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝛾0 − 𝛾𝑡 𝑥𝑡 i testujemy czy są one stacjonarne 𝑒𝑡 ∼ 𝐼(0)
3. Jeśli reszty są stacjonarne (tzn. oszacowana relacja jest relacją kointegrującą), to
interpretujemy reszty jako odchylenia od relacji równowagi i szacujemy pełen model
ECM:
𝑞
Δ𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛿𝑒𝑡−1 +
𝛼𝑖 Δ𝑦𝑡−𝑖 +
𝑖=1
•
•
𝑝
𝛽𝑗 Δ𝑥𝑡−𝑗 + 𝜉𝑡
𝑗=0
Otrzymujemy wtedy oszacowania odpowiednich parametrów części dynamicznej
modelu ECM
Stosujemy omówione wcześniej strategie dla ustalenia rzędów opóźnień w części
dynamicznej równania (np. strategię from-general-to-specific)